Luận văn Lý thuyết floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1

®¹i häc th¸i nguyªn tr•êng ®¹i häc s• ph¹m ---------------------------- bïi thÞ huÖ lý thuyÕt floquet ®èi víi hÖ ph•¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Th¸i Nguyªn - 2009 ®¹i häc th¸i nguyªn tr•êng ®¹i häc s• ph¹m ---------------------------- bïi thÞ huÖ lý thuyÕt floquet ®èi víi hÖ ph•¬ng tr×nh vi ph©n ®¹i sè chØ sè 1 Chuyªn ngµnh: gi¶i tÝch M· sè : 60.46.01 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ng•êi h•íng dÉn khoa häc: TS §µo ThÞ Liªn Th¸i Nguyªn - 2009 MỤC LỤC Danh mụ c cá c ký hiệ u dùng trong luận văn Mục lục Trang Mở đầ u 1 Chương 1. Kiế n thứ c cơ sở 3 1.1. Hệ phương trì nh vi phân thườ ng 3 1.1.1. Các khái niệm cơ bản 3 1.1.2. Tính ổ n đị nh củ a hệ phương trì nh vi phân tuyế n tí nh 5 1.1.3. Lý thuyết Floquet 7 1.2. Hệ phương trì nh vi phân đạ i số 9 1.2.1. Mộ t số khá i niệ m cơ bả n 9 1.2.2. Hệ phương trì nh vi phân đạ i số tuyế n tí nh 12 1.2.3 Hệ phương trì nh vi phân đạ i số phi tuyế n 19 Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22 2.1. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22 tuyế n tí nh 2.1.1. Ma trậ n cơ bả n 24 2.1.2. Biế n đổ i tương đương tuầ n hoà n 35 2.2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 46 phi tuyế n tí nh . Kế t luậ n 55 Tài liệu tham khảo 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỘ T SỐ KÝ HIỆ U DÙ NG TRONG LUẬ N Á N m m m: là t mập hợp các toán tử tuyến tính liên tục trên LL( ) : ( , ) AT : ma trậ n chuyể n vị củ a ma trậ n A : ảnh của A im() A : không gian không củ a A ker A A : nghịch đảo Moore – Penrose A : đị nh thứ c củ a ma trậ n A det A : hạng của ma trận A rank A : chỉ số của cặp ma trận A ind A : chỉ số của cặp ma trậ n ind( A , B ) (AB , ) : ma trậ n ché o diag( m , N ) : ma trậ n đơn vị cấ p r I r : tậ p cá c vé c tơ hà m liên tụ c trong m xác 11mm CNx: x  C ( , ) : P  C ( , ) đị nh trên  m  1  m : tậ p cá c ma trậ n hà m khả vi liên tụ c trong và xác định trên C ( , ) G: A BQ A10: A B Q B0 :' B AP : là phép chiếu chính tắc lên dọc 11 Nt() St() Qs : QA1 B QG B là phép chiế u chí nh tắ c lên dọc Nt() St() Pss: I Q : bao tuyế n tí nh củ a Span P() t Pt() S( t ) : z m : B ( t ) z  im A ( t ) : tính vô hướng xy, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên MỞ ĐẦU Trong khoa học và ứng dụng thực tiễn hiện nay có nhiều bài toán, chẳng hạn mô tả hệ động lực, hệ thống mạng điện, những bài toán điều khiển ,... đòi hỏi phải giải và xét tính chất nghiệm những hệ phương trình dạng: trong Ax'0 Bx đó m hoặc m gọi là hệ phương trình vi phân đại A, B L ( ) A, B L ( I , ), det A 0 số. Một trong những lớp đơn giản nhất của các hệ phương trình đại số là hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Trường hợp ta dễ dàng đưa hệ trên detA  0 về hệ 1 (những phương trình này được coi là có chỉ số 0), nghĩa là hệ x'  A Bx phương trình vi phân thường được xem là một trường hợp riêng của hệ phương trình vi phân đại số. Rất nhiều bài toán và kết quả của hệ phương trình thường được xét đối với hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả của các tác giả René Lamour-Roswitha Marz and Renate Winkler, Đào Thị Liên, Phạm Văn Việt về lý thuyết Floquet đối với các hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, từ đó tác giả đưa ra tiêu chuẩn ổn định của nghiệm tuần hoàn của hệ phi tuyến. Trong bài báo “How Floquet Theory Applies to Index 1 Differential Algebraic Equations”, René Lamour- Roswitha Marz and Renate Winkler, nhiều kết quả chưa được chứng minh hoặc chỉ chứng minh vắn tắt. Luận văn này đã chi tiết các chứng minh và đưa ra những ví dụ minh họa cho các kết quả quan trọng trong bài báo. Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1. Các kiến thức cơ sở Nội dung chương này là hệ thống các kết quả của lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân thường và các kiến thức cơ bản về hệ phương trình vi phân đại số. Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Đây là nội dung chính của luận văn. Ở đây các khái niệm được lấy ví dụ minh họa, các kết quả được chứng minh chi tiết và có ví dụ áp dụng. 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên LỜI CẢM ƠN Tác giả chân thành cảm ơn TS Đào Thị Liên, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Xin được cám ơn Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên, nơi tác giả hoàn thành Chương trình Cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình của các thày, cô giáo. Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, trường THPT Thượng Lâm-Na Hang-Tuyên Quang đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành chương trình học tập. Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chƣơng 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 1.1.1 Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Hệ phương trình vi phân thường (ODE) là hệ phương trình dạng: dy , (1.1.1) i f( t , y , y ,..., y ), ( i 1, 2, , n ) dt in12 trong đó là biến độc lập (thời gian); là các hàm cần tìm, là các hàm t dy yy1,..., n fi 1 a( t ) y  a ( t ) y  ...  a ( t ) y  f ( t ) xác định trong một bándt trụ 11 1 12 2 1nn 1 .   T I  D, I  t  t    t y t 0 và là một miền mở thuộc n . Dy  Định nghĩa 1.1.2.dy Hệ2 phương trình vi phân thường tuyến tính có dạng  a21( t ) y 1  a 22 ( t ) y 2  ...  a 2nn ( t ) y  f 2 ( t )  dt   ........................................ (1.1.2) .................... dy  n a( t ) y  a ( t ) y  ...  a ( t ) y  f ( t )  dt n1 1 n 2 2 nn n n trong đó t là biến độc lập và là các ẩn hàm cần tìm, các hàm y( t ),..., y ( t ) 1 n atij () và lần lượt được gọi là các hệ số và hệ số tự do của hệ. Chúng được giả fti () thiết là liên tục trên khoảng nào đó. I( a , b ) Dùng ký hiệu ma trận, có thể viết hệ (1.1.2) dưới dạng thu gọn dY (1.1.3) A( t ) Y F ( t ) dt 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên trong đó là ma trận hàm cấp là vector cột. n n, f ( t ) ( f ( t ),..., f ( t ))T A( t ) ( aij ( t )) 1 n Nếu , ta gọi hệ trên là hệ tuyến tính thuần nhất, ngược lại, ta gọi hệ trên ft( ) 0 là hệ tuyến tính không thuần nhất. Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm của hệ Z Z( t ) ( a  t   ) dY (1.1.4)  F( t , Y ) dt y1 trong đó  , Y colon( y1 ,..., yn ) yn F( t , Y ) colon f1 ( t , Y ),..., fn ( t , Y ) dY dy12 dy dyn  colon, ,..., dt dt dt dt được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi (hay ngắn gọn là ổn định), t   nếu với mọi và , tồn tại sao cho:   0 ta0 ( , )  (  ,t0 ) 0 1. Tất cả các nghiệm của hệ (1.1.4) (bao gồm cả nghiệm ) Y Y() t Zt() thỏa mãn điều kiện (1.1.5) Y( t00 ) Z ( t )  xác định trong khoảng , tức là khi . [t , ) Y() t D 0 Y tt 0 ,) 2. Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn khi (1.1.6) Y( t ) Z ( t )  tt0    Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm được gọi là ổn định tiệm Z Z( t ) ( a  t   ) cận khi t   , nếu: 1. Nó ổn định theo Lyapunov và 2. Với mọi tồn tại sao cho mọi nghiệm Yt() ta0 ( , )   (t0 )  0 thỏa mãn điều kiện thì ()tt   0 Y( t00 ) Z ( t )   (1.1.7) limY ( t ) Z ( t ) 0 t 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.1.2. Tính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính Xét hệ vi phân tuyến tính (1.1.2), dưới dạng ma trận (1.1.3), trong đó ma trận và véctơ liên tục trong khoảng . At() Ft() (a , ) Giả sử (1.1.8)  X( t ) xij ( t ) (det X ( t ) 0) là ma trận nghiệm cơ bản (tức là hệ nghiệm cơ bản được viết dưới dạng - ()nn ma trận) của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng dY (1.1.9)  A() t Y dt tức là ma trận gồ m nghiệm độc lập tuyến tính của (1.1.9): n (1) X( t ) colon x11 ( t ),..., xn 1 ( t ) ;  ........................................ ............  X()n ( t ) colon x ( t ),..., x ( t ) .   1n nn  Nếu ma trận nghiệm cơ bản là chuẩn hóa tại , tức là , thì Xt() tt 0 X() t0  In (1.1.10) Y( t ) K ( t , t00 ) Y ( t ) với 1 K( t , t00 ) X ( t ) X ( t ) có dạng (1.1.11) Y( t ) X ( t ) Y ( t0 ) Định nghĩa 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định (hoặc không ổn định) nếu tất cả các nghiệm của nó tương ứng ổn định Y Y() t (hoặc không ổn định) theo Lyapunov khi t   . Định nghĩa 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t   . Định lý 1.1.1. Điều cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định với số hạng tự do bất kì là nghiệm tầm thường Ft() Y00 ( t 0  t   , t 0  ( a ,  )) của hệ thuần nhất tương ứng (1.1.9) ổn định. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định lý 1.1.2. Hệ vi phân tuyến tính (1.1.3) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng Y0  0 (1.1.9) ổn định tiệm cận khi . t   Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9), trong đó liên tục trong At() khoảng . (a , ) Định lý 1.1.3. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định theo nghĩa Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm của hệ đó bị chặn Y Y( t ) ( t0  t   ) trên nửa trục . tt0    Định lý 1.1.4. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của nó dần tới không khi , tức là Y Y() t t   (1.1.12) limYt ( ) 0 t Xét hệ (1.1.9) trong đó là ma trận hằng .  ()nn Aa ij Định lý 1.1.5. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận hằng A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng của A đều ii ()A có phần thực không dương. Rei (A ) 0 ( i 1, 2,..., n ) và các nghiệm đặc trưng có các phần thực bằng không đều có ước cơ bản đơn. Định lý 1.1.6. Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.1.9) với ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng ii ()A của A đều có phần thực âm, tức là Rei (A ) 0 ( i 1,..., n ) 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.1.3. Lý thuyết Floquet Xét ODE với hệ số tuần hoàn , (1.1.13) x( t ) W ( t ) x ( t ) 0 trong đó m với , giả sử (1.1.13) có ma trận W C( , L ( )),t W ( t )  W ( t  T ) nghiệm cơ bản , với Xt() . X( t ) W ( t ) X ( t )  0, X (0)  In Định lý 1.1.7. (định lý Floquet [8]). Ma trận nghiệm cơ bản của Xt() (1.1.13) có thể viết dưới dạng (1.1.14) X( t ) F ( t ) etW0 , trong đó là không suy biến, với F C1( , L (m )) F( t ) F ( t T ) m t , W0  L ( ). Định lý 1.1.8. (định lý Lyapunov [9]). (i) Giả sử 1 làm F C( , L ( )) không suy biến và T-tuần hoàn. Khi đó biến (1.1.13) thành ODE tuyến x F() t x tính thuần nhất với một ma trận hệ số T- tuần hoàn, nhân tử đặc trưng của chúng trùng với nhân tử đặc trưng của (1.1.13). (ii) Tồn tại 1 m không suy biến, T-tuần hoàn ( F C( , L ( )) 1 mkhông suy biến, 2T-tuần hoàn) với sao cho phép biến F C( , L ( )) FI(0)  n đổi biến (1.1.13) thành một hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng. x F() t x Định nghĩa 1.1.7. Các giá trị riêng của ma trận tức là i (in 1,2,..., ) W0 nghiệm của phương trình được gọi là các số mũ đặc trưng của det (WI0  ) 0, hệ (1.1.13). Định nghĩa 1.1.8. Các giá trị riêng của ma trận , i (i 1, 2,...,n ) XT() tức là nghiệm của phương trình (1.1.15) det [XI (T ) ] 0 được gọi là các nhân tử. 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Định lý 1.1.9. Với mọi nhân tử tồn tại một nghiệm không tầm thường  của hệ tuần hoàn (1.1.13), thỏa mãn điều kiện ()t (1.1.16) (t T )  ( t ) Ngược lại, nếu đối với một nghiệm không tầm thường nào đó điều ()t kiện (1.1.16) được thỏa mãn thì số sẽ là nhân tử của hệ đã cho.  Hệ quả. Hệ vi phân tuyến tính tuần hoàn (1.1.13) có nghiệm tuần hoàn chu kì T khi và chỉ khi có ít nhất một nhân tử của nó bằng 1.  Định lý 1.1.10. Hệ vi phân tuyến tính với ma trận hệ số liên tục và tuần hoàn là khả qui. Định lý 1.1.11. 1) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tuần hoàn với ma trận liên tục là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nhân tử của nó i (in 1,2,..., ) nằm trong hình tròn đơn vị đóng và các nhân tử nằm trên đường tròn  1 đều có ước cơ bản đơn.  1 2) Hệ tuần hoàn ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nhân tử của nó đều nằm trong hình tròn  1 Định lý 1.1.12. Nếu hệ tuần hoàn thuần nhất tương ứng của (1.1.3) là (1.1.9) không có nghiệm tầm thường T  tuần hoàn, tức là tất cả các nhân tử của nó khác , thì hệ (1.1.3) có nghiệm tuần hoàn duy nhất với chu kì T . 1(i  1,i ) Định lý 1.1.13. Nếu hệ (1.1.3) có một nghiệm giới nội , thì Y(tt ) ( 0) nó có nghiệm T  tuần hoàn. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.2.1. Phép chiếu (viết gọn là ) là PL (mm , ) PL ()m một - ma trận sao cho PP2  . Đối với mỗi phép chiếu P ta luôn có hệ ()mm thức sau m imPker P Ngược lại, với mỗi một sự phân tích m thành tổng trực tiếp của hai không gian con m , UV luôn luôn tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho và . im P U ker PV Khi đó phép chiếu P được gọi là phép chiếu lên dọc theo . Rõ ràng rằng U V là phép chiếu lên dọc theo . V U Q I P Phép chiếu lên dọc theo được gọi là phép chiếu chính tắc. ker A S Qcan Định nghĩa 1.2.2. [5] Cặp ma trận được gọi là chính qui nếu tồn (AB , ) tại z  sao cho . Trường hợp ngược lại, ta gọi cặp là det (z A B ) 0 (AB , ) không chính qui. Chú ý. Nếu cặp ma trận chính qui thì với hầu hết (AB , ) det(cA B ) 0 giá trị c  . Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi -ma trận A , chỉ số của ma trận A là ()mm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho kk và 1được kí hiệu như sau k  kerAA ker . ind( A ): min k  :ker( Akk )  ker( A 1 ) Định nghĩa 1.2.4. [5] Nếu cặp ma trận chính qui và (AB , ) thì 1 được gọi là chỉ số của cặp ma trận , ký det(c A B ) 0 ind(( c A B ) A ) (AB , ) hiệu 1 ind( A , B ): ind (( cA B ) A ). Chú ý. Trong [5] đã chỉ ra rằng chỉ số của cặp ma trận không phụ (AB , ) thuộc vào việc chọn số c . 9 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Một số tính chất của cặp ma trận chính qui (xem [5], [11]): (AB , ) (i) Nếu cặp ma trận chính qui thì cặp ma trận cũng (AB , ) (A , B sA ) chính qui với mọi và s ind( A , B ) ind ( A , B sA ) (ii) Nếu cặp ma trận chính qui, và (AB , ) ind( A , B )  k thì tồn tại các ma trận m khả nghịch sao cho rank(( cA B )1 A )k r S, T L ( ) A S diag( IrB , N ) T S , diag( M , Imr ) T , trong đó kl với mọi . NN0, 0 lk (iii) Nếu và m A( t ), B ( t ) C ( J , L ( )) , với trên , thì tồn J a  0 d (t ,  ) det ( d A ( t )  B ( t ))  ad ( t )   ...  a10 ( t )   a ( t ) tại các ma trận khả nghịch m sao cho S, T ( J , L ( )) I 0 Mt( ) 0 S( t ) A ( t ) T11 ( t )d , S ( t ) B ( t ) T ( t )   0Nt ( ) 0 Imd trong đó là -lũy linh tức là k trên J và l với mọi . Nt() k Nt( ) 0 Nt( ) 0 lk Ngoài ra nếu im và A( t ), B ( t ) C ((in J , 0,1,2,..., L ( ) )) với mọi degdet(A B )  ranktJ A  : r thì tồn tại các ma trận khả nghịch im sao cho S( t ), T ( t ) C ( J , L ( )) (xem [11]). 11Id 0 Mt( ) 0 S( t ) A ( t ) T ( t ) , S ( t ) B ( t ) T ( t )  00 0 Imr Định lý 1.2.1. [5] Giả sử m là ma trận suy biến, m khi AL () BL () đó 7 mệnh đề sau tương đương (i) Cặp ma trận chính qui chỉ số 1; (AB , ) (ii) Từ và kéo theo ; xAker Bx imA x  0 (iii) Cặp ma trận chính qui và (AB , ) degdet (A B ) rank A ; (iv) Cặp ma trận chính qui và với mỗi ma (A , B AW ) ind( A , B AW ) 1 trận m WL ( ); (v) Ma trận không suy biến với mỗi phép chiếu Q lên ker A G: A BQ 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (vi) Với ta có hệ thức m SAker . S:: x Bx im A (vii) Nhân vào bên trái với ma trận không suy biến thích hợp m EL () sao cho ta nhận được một ma trận không A1 B1 EA,, EB  rank A  rank A1 0 B2 suy biến A1 m  L( ). B2 Định nghĩa 1.2.5. [5] Ma trận  m thỏa mãn các tính chất AL () (i)  vớiT mà , A y x im() A y im() A Ax y (ii)  với T , Ay 0 yA ker( ) được gọi là nghịch đảo Moore – Penrose của ma trận m . AL () Định lý 1.2.2. [5] Giả sử m , khi đó AL () (i) A AA  A  và AA A A ,   (ii) AA là phép chiếu vuông góc lên dọc T và AA là phép im() A ker(A ) chiếu vuông góc lên T dọc . im() A ker(A ) Định lý 1.2.3. [5] Nếu , k ind( A ) k , rank ( A ) r k im( A ) span ( s1 ,..., sr ) và k ker(A ) span ( s11S ,...,[ s1 ,..., s sm ]m ) M thì , trong đó1 là - ma trận không suy biến và là A S diag( M , N ) S ()rr N k -lũy linh. Định nghĩa 1.2.6. Giả sử các ma trận m có , khi (A , B ) L ( ) ind( A , B ) 1 đó được gọi là không gian liên hợp của cặp . S:: x Bx imA (AB , ) Mệnh đề. [5] Nếu cặp ma trận chính qui, và là (AB , ) ind( A , B ) 1 Q phép chiếu lên ker A thì các đẳng thức sau đây là đúng 11 G A I  Q, G BQ  Q và , trong đó . 1 G: A BQ QG B Qcan Định lý 1.2.4. [5] Giả sử cặp ma trận chính qui chỉ số 1 khi đó (AB , ) các hệ thức sau thỏa mãn 11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên và1 S im(( cA B ) A ) 11D Qcan  I [( cA  B ) A ] ( cA  B ) A trong đó sao cho khả nghịch và AD là nghịch đảo Drazin của A . c cA B 1.2.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính Định nghĩa 1.2.7. Phương trình vi phân đại số tuyến tính là phương trình dạng , (1.2.1)  A( t ) x ' B ( t ) x  f ( t ), t   [0,  )  trong đó với mọi , mm A( t ), B ( t ) C (t  , L ( )), f ( t )  C ( , ), rank A ( t )  r  m và có số chiều là với mọi  . N( t ) ker A ( t ) mr t  Định nghĩa 1.2.8. Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.1) được gọi là chính qui chỉ số 1 nếu cặp ma trận hệ số chính qui chỉ số 1. (AB , ) Định nghĩa 1.2.9. Giả sử là trơn, nghĩa là tồn tại phép N( t ): ker A ( t ) chiếu 1  mlên . Hàm được gọi là nghiệm của Q C( , L )) N( t ), P I Q 1 x() t CN phương trình (1.2.1) trên  nếu hệ thức A( t )(( P ( t ) x ( t )) P ( t ) x ( t ))  B ( t ) x ( t )  q ( t ) thỏa mãn với mọi  . t  Hơn nữa đối với phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chính qui chỉ số 1  (1.2.2) A( t ) x B ( t ) x  0, t  thì là không gian nghiệm của (1.2.2), không gian nghiệm của (1.2.2) S() t imPcan có số chiều là . Nói một cách chính xác, với mỗi , có r( r rank A ( t )) x00 S() t đúng một nghiệm của (1.2.2) đi qua vào thời điểm . x0 t0 Nghiệm của phương trình thuần nhất (1.2.2) được xác định bởi , trong đó là nghiệm của phương trình u( t ) imP ( t ) x( t ) Pcan ( t ) u ( t ) (1.2.3) 1 u( P PA10 B ) u . Định nghĩa 1.2.10. Phương trình (1.2.1) được gọi là chuyển được (transferable) trên  nếu là trơn và ma trận trong đó Nt() G( t ): A ( t ) B ( t ) Q ( t ), 12 Số hóa bởi Trung tâm H