Luận văn Mở rộng của giá trị tuyệt đối phi archimede trên một trường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH _________________________ ĐẶNG THỊ THANH THẢO MỞ RỘNG CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDE TRÊN MỘT TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành Phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN  Luận văn được thực hiên sau quá trình tích luỹ kiến thức ở lớp cao học khóa 17 tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM. Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất đến PGS.TS Mỵ vinh Quang, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ............................................................................................. Lời cảm ơn ...............................................................................................1 Mục lục ....................................................................................................2 LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................3 Chương 1- KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. Một số định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối trên trường ......5 1.2. Giá trị tuyệt đối phi Archimedean ....................................................9 1.3. Một số tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối phi Archimedean......14 Chương 2- MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đủ ................16 2.2. Mở rộng giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên bao đóng đại số ..25 Chương 3 - NHÓM GIÁ TRỊ VÀ TRƯỜNG THẶNG DƯ 3.1. Nhóm giá trị ....................................................................................39 3.2. Trường thặng dư .............................................................................45 3.3. Ví dụ................................................................................................53 KẾT LUẬN ..........................................................................................54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................55 LỜI NÓI ĐẦU Như ta đã biết, theo định lý Ostrowski: “ Mọi giá trị tuyệt đối trên trường Q hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối p” . Nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường R , lấy bao đóng đại số của R ta được trường C. Còn nếu làm đầy đủ Q theo giá trị tuyệt đối phi Archimedean p ta được trường pQ , lấy bao đóng đại số của pQ rồi làm đầy đủ trường này ta được trường pC . Trong trường hợp tổng quát, thay Q bởi trường F bất kì cùng với giá trị tuyệt đối phi Archimedean |.|. Lấy K là một mở rộng của F , liệu có tồn tại giá một trị tuyệt đối phi Archimedean ||.|| trên K là mở rộng của |.| ? Và nếu tồn tại thì có tồn tại duy nhất hay không? Giả sử đã có giá trị tuyệt đối mở rộng đó rồi thì mối liên quan giữa nhóm giá trị và trường thặng dư của chúng như thế nào? Đây là những vấn đề khá cơ bản để xây dựng các trường với các giá trị tuyệt đối phi Archimedean. Luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Các kiến thức cơ bản: trình bày định nghĩa giá trị tuyệt đối , giá trị tuyệt đối phi Archimedean, các điều kiện tương đương của giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối phi Archimedean, một số tính chất cơ bản và đặc biệt là hai ví dụ về giá trị tuyệt đối p-adic trên Q và giá trị tuyệt đối trên trường các phân thức hữu tỉ  K x . Chương 2: Mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đủ và bao đóng đại số của một trường: trình bày định lý xây dựng trường bao đủ của một trường, định lý mở rộng giá trị tuyệt đối trên bao đóng đại số, tính duy nhất của các mở rộng này, Chương 3: Nhóm giá trị và trường thặng dư: trình bày các khái niệm nhóm giá trị, trường thặng dư, phân loại các giá trị tuyệt đối dựa vào nhóm giá trị; so sánh nhóm giá trị, trường thặng dư của một trường với trường bao đủ, trường bao đóng của nó, Vì thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ. Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN TRƯỜNG Định nghĩa 1.1.1: Cho F là trường, ánh xạ | . |:F R được gọi là giá trị tuyệt đối trên trường F nếu thoả các điều kiện sau: i. | | 0 ; | | 0 0x x F x x      ii. | . | | | . | | ,x y x y x y F   iii. | | | | | | ,x y x y x y F     Ví dụ 1.1.2: Trường Q, R, C với giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trị tuyệt đối theo nghĩa trên. Ví dụ 1.1.3: Cho trường F bất kì. Định nghĩa: là giá trị tuyệt đối trên F, gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường. Từ định nghĩa ta có một số tính chất cơ bản sau: 1) |1|=1 2) 1 1| | | | x x   3) Nếu trường F hữu hạn thì trên F có duy nhất một giá trị tuyệt đối là giá trị tuyệt đối tầm thường. Định nghĩa 1.1.4: 1) Cho F là trường, |.| là giá trị tuyệt đối trên F. Khi đó dễ dàng chứng minh được d(x,y) = |x-y| là một mêtric trên F và được gọi là một mêtric cảm sinh từ giá trị tuyệt đối. Hai giá trị tuyệt đối 1 2| . | ,| . | được gọi là |x| = 1 nếu 0x  0 nếu x = 0 tương đương nếu topo cảm sinh bởi hai mêtric trên là như nhau. Kí hiệu 1 2| . | ~| . | . 2) Dãy  nx trên trường F được gọi là dãy Cauchy nếu ,lim | | 0m nm n x x   , nghĩa là 0 00, / , | |m nn N m n n x x          . 3) Dãy nx trên trường F được gọi là hội tụ về x F nếu ,lim | | 0nm n x x   , nghĩa là 0 00, / | |nn N n n x x          Kí hiệu : lim nn x x  Ta có thể chứng minh được rằng một dãy hội tụ là dãy Cauchy và các tính chất quen thuộc về dãy Cauchy như tổng, tích hai dãy Cauchy là dãy Cauchy Ngoài ra, cũng có thể chứng minh các kết quả về giới hạn như như giới hạn của tổng, tích, Định lý 1.1.5: ( Các điều kiện tương tương đương của giá trị tuyệt đối) Cho 1 2| . | ,| . | là các giá trị tuyệt đối trên trường F, các mệnh đề sau tương đương: 1) 1 2| | 1 | | 1x x x F     2) 1 2| | 1 | | 1x x x F     3) Tồn tại hằng số c>0 sao cho 1 2| | | | cx x x F   4)  nx là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối 1| . |  nx là dãy Cauchy đối với giá trị tuyệt đối 2| . | 5) 1 2| . | ~| . | . Chứng minh:  1 2 Phản chứng. Giả sử 1| | 1x  nhưng 2| | 1x  . Ta có: 1 12 2 1 1| | 1 | | 1 | | 1 | | 1x x x x         (trái giả thiết). Vậy 1 2| | 1 | | 1x x   .  2 1 Làm tương tự  1 2  1 3  Trường hợp một trong hai giá trị tuyệt đối là tầm thường . Giả sử 1| . | tầm thường suy ra 1:| | 1x F x   (  \ 0F F  ) Nếu 2| | 1x  thì  1| | 1 !x  Nếu 2| | 1x  thì  1 12 1 1| | 1 | | 1 | | 1 !x x x      Như vậy 2 2| | 1 | . |x   tầm thường suy ra 2 11 0 :| | | | cc x x     Nếu 1| . | không tầm thường 0 0 1 0 2:| | 1 | | 1.x F x x     Đặt 0 1 0 2| | ; | |a x b x   1 1,| | log | |ax F x a x     . Ta chứng minh 2| |x b . Thật vậy:  , m nmr Q r a a n      0 1 1| | | | m nx x  0 1 1| | | |m nx x  (lấy mũ n 2vế ) 0 1 0 2| . | 1 | . | 1 n m n mx x x x     2 0 2 2 0 2 2| | | | | | | | | | m m n m n nx x x x x b      Lấy dãy   , ,n n nr Q r n r     ,theo chứng minh trên 2| | nrx b . Cho n ta có  2| | 1x b .  Tương tự ta có với ,mr Q r n    thì 2| | m nx b  2| | 2x b  . Từ  1 và  2 suy ra 2| |x b x F    Vậy    log log2 1 1| | | | | | log 0a ab b c ax a x x c b     .  3 5 Ta có :      1 1 1, :| | :| | c cB a r x F x a r x F x a r           2 2:| | ,c cx F x a r B a r     Do đó  1 1, ,A a A B a r A      2 2 , , ca A B a r A A        Vậy 1 2 1 2| . | ~| . |   .  5 1 Ta có : 1 1| | 1 | | 0nx x   khi n 0nx  theo giá trị tuyệt đối 1| . | 0nx  theo giá trị tuyệt đối 2| . | 2| | 0 nx  khi n 2| | 1x  .  3 4 Lấy dãy  nx F là dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối 1| . | Khi đó 1lim | | 0m nn x x   suy ra 1lim | | 0 c m nn x x   2lim | | 0m nn x x    nx là dãy Cauchy theo giá trị tuyệt đối 2| . |  4 1 1 1:| | 1 | | 0nx F x x     khi n 0nx  theo giá trị tuyệt đối 1| . |  nx là dãy Cauchy theo 1| . |  nx là dãy Cauchy theo 2| . | 1 2| | 0 n nx x   khi n 2| ( 1) | 0 nx x   khi n 2 2| | | ( 1) | 0 nx x   khi n 0nx  theo giá trị tuyệt đối 2| . | 2| | 0 nx  khi n . 2| | 1x  . Tương tự ta cũng có nếu 2 1| | 1 | | 1x x   . □ 1.2. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN Định nghĩa 1.2.1 : Trường F với ánh xạ | . |:F R được gọi là giá trị tuyệt đối phi Archimedean nếu : i. | | 0 ; | | 0 0x x F x x      ii. | . | | | . | | ,x y x y x y F   iii.  | | max | |,| | ,x y x y x y F    Như vậy giá trị tuyệt đối phi Archimedean là giá trị tuyệt đối với điều kiện iii) thoả bất đẳng thức tam giác mạnh . Ví dụ 1.2.2: Giá trị tuyệt đối tầm thường trên F là phi Archimedean. Thật vậy : iii. Nếu  | | 0 | | max | |,| |x y x y x y     Nếu 0 | | 1| | 1 0 0 | | 1 x x x y x y y y              Do đó  | | max | |,| |x y x y  Vậy  | | max | |,| | ,x y x y x y F    . Ví dụ 1.2.3 : Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên 0a  ta ký hiệu pOrd a là số nguyên không âm lớn nhất m sao cho 0(mod )ma p . Qui ước 0pOrd   . Với p p pax Q Ord x Ord a Ord bb     không phụ thuộc vào phần tử đại diện ,a b . Với 0 1  , trên Qta xét ánh xạ |.| như sau: | | pOrd xx x Q   . |.| là một giá trị tuyệt đối phi Archimedeanan trên Qvà với các  khác nhau ta được các giá trị tuyệt đối khác nhau nhưng đều tương đương với nhau. Thật vậy : i. ,| | 0pOrd xx Q x     ( hiển nhiên ) | | 0 0 0pOrd x px Ord x x       ii. , : p p px y Q Ord xy Ord x Ord y    | | . | | . | |p p p p pOrd xy Ord x Ord y Ord x Ord yxy x y        iii.    , : min ,p p px y Q Ord x y Ord x Ord y         min ,| | max , ,p pp p pOrd x Ord yOrd x y Ord x Ord yx y         (vì 0 1  )  | | max | |,| |x y x y   Vậy |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên Q. Với 1 20 , 1   , ta có 1 1 2 2| | ; | |p pOrd x Ord xx x x Q     . Ta chứng minh 1 2| . | ;| . | là hai giá trị tuyệt đối tương đương. Thật vậy :     1212 2loglog1 1 2 2 2 1:| | | | ( log 0)pp pOrd xOrd x Ord x cx Q x x c             Nếu 1 p   thì giá trị truyệt đối | . |p trên Q là : 1| | p p Ord x Ord x px p x Qp        . Ví dụ 1.2.4 : Cho 1  , F là trường, F x   là vành đa thức, với f F x    . Đặt : deg| | ff  . ( qui ước deg0   )    1. : , ; 0F x s f g f g F x g       là trường các phân thức với hệ số thuộc F. Đặt : 1| | | | . | |s f g  Khi đó |.| là giá trị tuỵêt đối phi Archimedean trên  F x . Thật vậy : i.  1. :| | 0s f g F x s    (hiển nhiên). 1| | 0 | | . | | 0 | | 0 deg 0 0s f g f f f s           . ii. 1 2,f f F x     , ta có  1 2 1 2deg . deg degf f f f   1 2 1 2 1 2deg . deg deg deg deg1 2 1 2| . | . | | . | |f f f f f ff f f f        . Do đó  1 11 1 1 2 2 2. ; .s f g s f g F x     , ta có:         11 1 11 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2| . | | . . . | | . . . | | . | . . |s s f g f g f f g g f f g g     1 1 1 11 2 2 1 1 1 2 2 1 2| | . | | . | | . | | | | . | | . | | . | | | | . | |f f g g f g f g s s       iii. 1 2,f f F x     , ta có    1 2 1 2deg max deg ,degf f f f       1 2 1 2max deg ,deg deg deg1 2 1 2| | max , max | |,| |f f f ff f f f       . Do đó  1 11 1 1 2 2 2. ; .s f g s f g F x     , ta có:        1 11 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2| | | . . . . | | . . | . | . |s s f g f g g g f g f g g g          11 2 2 1 1 2max | . |,| . | . | . |f g f g g g      1 11 2 1 2 2 1 1 2max | . | . | . |,| . || . |f g g g f g g g   1 11 1 2 2max | | . | | ,| | . | |f g f g   1 2max | |,| |s s . Với 1 2, 1   thì ta được hai giá trị tuyệt đối tương đương. Thật vậy:   12 2 logdeg deg 1 1 1 2 2log 0 :| | | | f f cf F x c f f               . Suy ra     11 11 1 1 2 2 2. ,| | | | . | | | | . | | | | .c c cs f g F x s f g f g s       Chú ý : Lấy 0 1  ; qui ước deg0   thì định nghĩa trên vẫn là giá trị tuyệt đối trên  F x . Định lý 1.2.5 : ( Các điều kiện tương đương của tính phi Archimedean ) Cho F là trường , |.| là giá trị tuyệt đối trên F . Các điều kiện sau tương đương : 1) |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean . 2) | 2 | 1 . 3) | | 1n n N   . 4) Tập N bị chặn , tức tồn tại c>0 sao cho | |n c n N   . Chứng minh:  1 2  | 2 | |1 1| max |1|,|1| 1     2 3 n N  , ta có:   2 10 1 2.2 .2 ... .2 0; 0;1 ,2 2s s ss s in a a a a a a n          | | 1n s   .Thật vậy :  0,1 | | 1i ia a i    . Do đó : 20 1 2| | | .2 .2 ... .2 | s sn a a a a     20 1 2| | | | . | 2 | | | . | 2 | ... | | . | 2 | s sa a a a     1 1.1 1.1 ... 1.1     1s  . Ngoài ra 12sn  nên k N  ta có    112 2k s kk s kn n    Giả sử   2 10 1 2.2 .2 ... .2 0; 0;1 ;2 2k t t k tt t in b b b b b b n          Sử dụng kết quả trên ta được : | | 1kn t  Mà     11 1 2 2 s kt kt s k n     do  | | 1kn s k   | | 1k kn s k   khi| | 1n k    3 4 Hiển nhiên khi chọn c = 1.  4 1 ,x y F  , ta có:   0 0 | | | | | | | | . | | . | | n nnn k k n k k k n k n n k k x y x y C x y C x y               do1 . max | |,| | ( | |n k kn nn C x y C N C C     hằng số   | | 1. . max | |,| |n nx y n C x y    Cho n ta có  | | max | |,| |x y x y  Vậy |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean. □ Hệ quả 1.2.6 : Nếu trường F có đặc số p thì mọi giá trị tuyệt đối là phi Archimedean . Chứng minh: Xét N={1,2,} ( ở đây e = 1 )  , , 0,1,..., 1n N n pq r r p      Ta có : | | | | | | | | | |n pq r pq r r     Do r chỉ nhận hữu hạn giá trị  0,1,..., 1p  nên tập N bị chặn. Áp dụng Định lý 1.2.5 suy ra điều phải chứng minh .□ 1.3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN Cho F là trường , |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên F Mệnh đề 1.3.1 :  , , | | | | | | max | |,| |x y F x y x y x y      . Chứng minh : Giả sử |x| > |y|. Ta có:  | | | | max | |,| | | |x x y y x y y x y       ( vì |x| > |y| )  | | max | |,| | | |x y x y x   Do đó  | | | | max | |,| |x y x x y   Làm tương tự nếu |x| < |y|. Vậy  , , | | | | | | max | |,| |x y F x y x y x y      . □ Mệnh đề 1.3.2 : Dãy  nx F là dãy Cauchy  1 0n nx x   khi n Chứng minh : Giả sử  nx là dãy Cauchy trong F suy ra ,lim | | 0n mn m x x   Chọn m = n + 1 suy ra  1 0n nx x   khi n Ngược lại giả sử  1 0n nx x   khi n suy ra 00, n N    sao cho 0 1,| |n nn n x x     Khi đó 0, ,m n n m n k    thì | | | |m n n k nx x x x        1 1 2 1| ... |n k n k n k n k n nx x x x x x               1 1 2 1max | |,| |,...,| |n k n k n k n k n nx x x x x x             , lim | | 0m nm n x x   Vậy  nx là dãy Cauchy. □ Mệnh đề 1.3.3 :  nx là dãy Cauchy trong F i. Nếu lim 0nn x  thì lim | | 0nn x  ii. Nếu lim 0nn x  thì  | |nx là dãy dừng Chứng minh : i. Nếu lim 0nn x  thì lim | 0 | 0 lim | | 0n nn nx x     . ii. Nếu lim 0nn x  thì 0  sao cho có dãy con    kn nx x mà | |knx  Vì  nx là dãy Cauchy trong F nên 0 0/ , :| |m nn N m n n x x        Chọn 0 0k n n , suy ra : 0n n  thì     0 0 0 0 0 | | | | max | |,| | | |n n n n n n n nx x x x x x x x      (do 0 0 | | ,| |n n nx x x    , sử dụng mệnh đề 1.3.1 ). □ Chương 2: MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRÊN BAO ĐỦ VÀ BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG 2.1. MỞ RỘNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHI ARCHIMEDEAN TRÊN BAO ĐỦ Định lý 2.1.1: Cho |.| là giá trị tuyệt đối phi Archimedean trên trường F . Tồn tại duy nhất trường mở rộng L của F với giá trị tuyệt đối ||.|| là sự mở rộng của giá trị tuyệt đối trên F thoả: i) L đầy đủ ii) F trù mật trong L Khi đó L còn được gọi là bao đủ của F. Chứng minh Chứng minh sự tồn tại: Trước tiên ta đi xây dựng trường L như sau: Đặt    / ,n n nS x x F x  là dãy Cauchy theo |.|  Trên S ta định nghĩa một quan hệ tương đương:    ~ lim | | 0n n n nnx y x y   Khi đó    / ~ , ,n n nL S x x F x   là dãy Cauchy theo |.|  Trên L ta định nghĩa hai phép toán: Phép cộng:      n n n nx y x y   Phép nhân:     . .n n n nx y x y với mọi    ,n nx y L Hai định nghĩa trên là tốt. Thật vậy: Lấy        , ' , , 'n n n nx x y y là các dãy Cauchy trong F theo giá trị tuyệt |.| sao cho        ~ ' ; ~ 'n n n nx x y y Suy ra lim | ' | 0;lim | ' | 0n n n nn nx x y y     Do đó  lim | ( ) ( ' ' ) |n n n nn x y x y    lim | ( ' ) ( ' ) |n n n nn x x y y     max lim | ' |,lim | ' |n n n nn nx x y y    =0    ~ ' 'n n n nx y x y   Như vậy phép cộng được định nghĩa tốt.  | . . ' . ' ' . ' |n n n n n n n nx y x y x y x y   = | .( ' ) ( ' ). ' |n n n n n nx y y x x y    max | | . | ' |;| ' | . | ' |n n n n n nx y y x x y   Mà | ' | 0n ny y  khi n ; và  nx là dãy Cauchy nên 0nx  hoặc lim 0nn x  thì  | |nx là dãy dừng lim | | . | ' | 0n n nn x y y   Tương tự ta có lim | ' | . | ' | 0n n nn x x y   suy ra lim | . ' . ' | 0n n n nn x y x y      . ~ ' . 'n n n nx y x y Như vậy phép nhân được định nghĩa tốt. Khi đó L với hai phép toán trên là trường vì:      , ,n n nx y z L  i)      n n nx y z       n n nx y z    n n nx y z     n n nx y z      n n nx y z   2i)            n n n n n n n nx y x y y x y x       3i) phần tử 0 là lớp  nx với lim 0nn x  4i)  nx L  phần tử đối là  nx . Thật vậy:         0n n n nx x x x      5i)     . .n n nx y z     . .n n nx y z  . .n n nx y z   . .n n nx y z   . .n n nx y z 6i)          . . . .n n n n n n n nx y x y y x y x   7i) Phần tử đơn vị  1 1 8i)      0, lim 0 | |n n n nnx x L x x     là dãy dừng Suy ra tồn tại 0n N sao cho 0 ,| | 0nn n x a    Khi đó     1n ny x  trong đó 0ny  nếu 0n n 1n n y x  nếu 0n n Ta sẽ chứng minh  ny là dãy Cauchy và  ny là nghịch đảo của  nx . Thật vậy:  0 | |1 1, ,| | | | | | . | | . | | m n m n n m n m n m n m x x x x n m n y y x x x x x x         . Vì , lim | | 0n mn m x x   và 2| | . | |n mx x a là hằng số nên , lim | | 0n mn m y y   .Suy ra  ny là dãy Cauchy.  0 1,| . 1| | . 1| 0 lim | . 1| 0n n n n nn n n n x y x x y x              . ~ 1n nx y Vậy  ny là nghịch đảo của  nx . Bây giờ ta đi xây dựng giá trị tuyệt đối| |.|| trên L và chứng minh (L,||.||) thoả hai điều kiện đã cho như sau: Đặt ||.|| : L R   || || lim | |n nnx x x x  Định nghĩa này tốt vì :  Kiểm tra tồn tại lim Nếu   0nx x  thì    ~ 0 lim | | 0n nnx x  Nếu   0