Luận văn Mối quan hệ giữa các p.i nửa nguyên tố và điều kiện của ore và goldie về sự tồn tại vành các thương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Thị Tuyết Mai MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC P.I NỬA NGUYÊN TỐ VÀ ĐIỀU KIỆN CỦA ORE VÀ GOLDIE VỀ SỰ TỒN TẠI VÀNH CÁC THƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gởi lời tri ân PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin trân trọng cám ơn tất cả các quý thầy cô trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM và trường Đại học Khoa Tự Nhiên TP.HCM, Phòng Nghiên cứu Khoa học Sau đại học trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá học. Tôi xin cám ơn quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc, nhận xét và đóng góp những ý kiến quý báu về luận văn này. Cảm ơn tất cả các bạn học viên Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 18 đã cùng tôi trao đổi hoàn thiện kiến thức trong quá trình học tập. Cảm ơn tất cả các bạn bè cùng đồng nghiệp đã quan tâm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin dành tất cả những tâm tình sâu lắng nhất đến gia đình, đặc biệt là mẹ tôi trong thời gian điều trị căn bệnh nan y – bệnh ung thư – người đã không ngừng động viên tôi hoàn thành luận văn. Có thể luận văn của tôi không hoàn thiện nhưng trong tim mẹ tôi nó là đẹp nhất, hay nhất, đáng trân trọng nhất. Cảm ơn bố mẹ đã cho con được đến trường, được có một cuộc đời tươi đẹp, được trải nghiệm hạnh phúc nhất đời mỗi con người là được làm những gì mình thực sự muốn và được chăm sóc mẹ. Do trình độ còn hạn chế nên luận văn sẽ không tránh khỏi sai sót, kính mong được sự thông cảm và góp ý xây dựng của quý thầy cô cùng các bạn. TP. HCM năm 2010 Vũ Thị Tuyết Mai MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong lĩnh vực lý thuyết các vành không giao hoán, ta đã biết để xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán các nhà toán học đã xây dựng theo hai cách. Cách cổ điển còn gọi là “Địa phương hóa theo tâm” là sự mở rộng tự nhiên của việc xây dựng trường các thương của một miền nguyên, với cách làm này ta thu được vành các thương cổ điển bên trái (hoặc phải) của vành R không giao hoán. Đối với cách xây dựng này các nhà toán học nhận thấy không phải tất cả các vành không giao hoán đều xây dựng được vành các thương. Do đó hai nhà toán học Ore và Goldie đã tìm ra một cách mới, hiện đại hơn để làm điều này, ta tạm gọi là xây dựng vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie. Chúng ta đã biết, đối với các P.I vành nguyên tố thì luôn luôn xây dựng được các thương theo nghĩa cổ điển và do đó các P.I vành nguyên tố cũng có thể xây dựng được theo nghĩa của Ore và Goldie. Vấn đề tương tự được đặt ra cho các P.I nửa nguyên tố. Liệu các P.I vành nửa nguyên tố có thể luôn luôn xây dựng được vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie ? 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là chúng tôi muốn giải quyết một bộ phận các câu hỏi đó. Luận văn mong muốn làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các P.I nửa nguyên tố và các điều kiện của Ore và Goldie về sự tồn tại vành các thương. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lớp các vành không giao hoán. Phạm vi nghiên cứu là các vành đặc biệt. 4. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích và so sánh. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương. Chương 1. Những vấn đề cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán. Trong chương này luận văn trình bày lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết vành không giao hoán có liên quan đến các chương sau. Luận văn chỉ phát biểu lại các định lý, các bổ đề, các hệ quả và không đi sâu vào chứng minh chúng. Các kết quả nhắc lại được dùng làm lý thuyết phục vụ đề tài. Chương 2. Các phương pháp xây dựng vành các thương của các vành không giao hoán. Trong chương này chúng tôi nêu rõ hai phương pháp xây dựng vành các thương, theo cách cổ điển và hiện đại. Các định lý hầu hết chúng tôi đều chứng minh một cách tường minh. Chương 3. Nghiên cứu về việc xây dựng vành các thương của Ore và Goldie cho lớp các P.I nửa nguyên tố. Chúng tôi sẽ chỉ ra một ví dụ về sự không tồn tại của vành các thương theo nghĩa của Ore và Goldie khi cho một vành P.I nửa nguyên tố. CHƯƠNG 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.1. Tóm tắt những kiến thức cơ sở Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác 0 trong R đều khả đảo (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia). Định nghĩa 1.1.2 * M được gọi là R -modul nếu tồn tại ánh xạ :f M R M   ,m r mr thỏa:         ) ) ) i m a b ma mb ii m n a ma na iii ma b m ab        với , ; , ,1m n M a b R  * M được gọi là R -modul trung thành nếu  . 0M r  thì 0r  Định nghĩa 1.1.3 Cho M là R -mođun, ta định nghĩa  A M là tập hợp tất cả các phần tử của R linh hóa toàn bộ M.     . 0A M r R M r   Bổ đề 1.1.4     . 0A M r R M r   là ideal hai phía của R và M là  R A M -modul trung thành. M là R -mođun trung thành    (0)A M  Định nghĩa 1.1.5 M được gọi là R -modul bất khả quy nếu  0M  và M chỉ có hai modul con tầm thường là  0 và M . Bổ đề 1.1.6 Nếu M là R -modul bất khả quy thì RM  với  là ideal tối đại của R . Hơn nữa : ,a R x ax x R      .  được gọi là ideal phải chính quy. Ngược lại, nếu  là ideal phải chính quy thì R  là R -modul bất khả quy. Định nghĩa 1.1.7 (Định nghĩa tâm tập) Cho M là R -modul, ta gọi tâm tập của M trên R là tập hợp:     : ,r rC M E M T T r R        với :rT M M rm mT mr Bổ đề 1.1.8 Nếu M là R -modul bất khả quy thì  C M là một thể (vành chia). Chứng minh Hiển nhiên,  C M là vành con của  E M . Do đó  C M là một vành. Ta cần chứng minh  C M  và 0  đều là phần tử khả nghịch trong  C M . Thật vậy, do 0  nên 0M  và M cũng là mođun con của M . Theo giả thiết M là R -modul bất khả quy nên ta có M M  , suy ra  là toàn cấu. Hơn nữa  là đơn cấu, do ker 0  . Thật vậy, giả sử ker 0  thì do M là R -modul bất khả quy nên ker M  , khi đó 0  (mâu thuẫn). Tóm lại ta có  là đẳng cấu. Suy ra tồn tại đẳng cấu ngược  1 E M  . Khi đó ta có:   ,r rC M T T r R       1 1 ,r rT T r R        1 ,r rT T r R     1 1 ,r rT T r R       1 C M  Định nghĩa 1.1.9 A được gọi là một vành Artin phải nếu những tập con khác rỗng của các ideal phải của A có phần tử nhỏ nhất. Hay những tập con khác rỗng của các ideal phải của A thỏa mãn chuỗi điều kiện giảm. 1.2. Radical của vành và của một đại số Định nghĩa 1.2.1 Radical của vành R , ký hiệu là  J R , là tập các phần tử của R mà linh hóa tất cả các modul bất khả quy của R . Khi đó    J R A M  với M là R - modul bất khả quy.  J R được gọi là ideal hai phía của R . Nếu R không có modul bất khả quy thì  J R R . Khi đó R được gọi là radical Jacbson. Định nghĩa 1.2.2 Một ideal phải  của R được gọi là chính quy nếu có một phần tử :a R , x ax x R    . Định nghĩa 1.2.3 Nếu  là một ideal phải của R thì    : = R x R Rx   . Bổ đề 1.2.4 Nếu  là ideal phải chính quy của R thì  : R là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong  . Nếu  là ideal phải tối đại chính quy của R thì    :A M R với RM  . Định lý 1.2.5    :J R R  với  là ideal phải tối đại chính quy của R . Bổ đề 1.2.6 Nếu  là ideal phải chính quy của   R R  thì  nằm trong một ideal phải chính quy tối đại nào đó. Định lý 1.2.7  J R   với  là ideal phải tối đại chính quy của R . Định nghĩa 1.2.8 * a R được gọi là tựa chính quy phải nếu ' : ' ' 0a R a a aa     * 'a được gọi là tựa nghịch đảo phải của a . * Tương tự ta có tựa chính quy trái, tựa nghịch đảo trái. * Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải. *  J R là ideal tựa chính quy phải. Định lý 1.2.9  J R là ideal tựa chính quy phải và chứa mọi ideal tựa chính quy phải, tức là  J R là ideal tựa chính quy phải tối đại duy nhất của R . Định nghĩa 1.2.10 * Phần tử a R được gọi là lũy linh nếu : 0nn N a   . * Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh. * Ideal phải (trái)  của R được gọi là ideal lũy linh phải (trái) nếu :m N  1 2. ... 0 m ia a a a    , tức là : 0mm N    . Nhận xét * Nếu  là ideal lũy linh thì  là nil-ideal. * Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy. *  J R chứa mọi nil-ideal một phía. * Nếu R có ideal lũy linh khác 0 thì R có ideal hai phía lũy linh khác 0. Định nghĩa 1.2.11 A được gọi là đại số trên trường F nếu A thỏa mãn các điều kiện: * A là một vành. * A là không gian vecto trên trường F . *      , , :a b A F ab a b a b         Nếu A có đơn vị là 1 thì .1 nằm trong tâm của A với F  . Mệnh đề 1.2.12 Nếu A là đại số trên trường F thì radical của đại số A trùng với radical của vành A . Định nghĩa 1.2.13 Miền nguyên A (trong vành không giao hoán) là một vành không có ước của không. Định nghĩa 1.2.14 Đại số A được gọi là đại số chia nếu A là một vành không giao hoán mà mọi phần tử khác không đều khả nghịch. 1.3. Một số vành đặc biệt 1.3.1. Vành nửa đơn Định nghĩa 1.3.1.1 Vành R được gọi là nửa đơn    0J R  Định lý 1.3.1.2  R J R là vành nửa đơn. Bổ đề 1.3.1.3 Mọi ideal hai phía A của vành nửa đơn R đều là vành nửa đơn. Định lý 1.3.1.4 Nếu A là ideal hai phía của vành R thì    J A J R A  . Định lý 1.3.1.5      n nJ M R M J R . Với  nM R là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành không giao hoán R nào đó. 1.3.2. Vành Artin Định nghĩa 1.3.2.1 Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu. (Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu). Ta có thể định nghĩa vành Artin bằng cách khác: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải i của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các i đều bằng nhau. (Vành R được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái i của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các i đều bằng nhau). Nhận xét: * Trường, thể (vành chia) là vành Artin. * Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. * Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải (trái) là vành Artin. * Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin. * Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin. Định lý 1.3.2.2 Nếu R là vành Artin thì  J R là một ideal lũy linh. Hệ quả 1.3.2.3 Trong vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh. Nhận xét: Giả sử R là vành tùy ý, nếu R có ideal phải, lũy linh, khác  0 thì R sẽ có ideal phải hai phía, lũy linh, khác  0 . Định nghĩa 1.3.2.4 Phần tử , 0e R e  được gọi là lũy đẳng nếu 2e e . Bổ đề 1.3.2.5 Giả sử R là một vành không có ideal lũy linh khác  0 , giả sử  0  là ideal phải (trái) tối tiểu của vành R . Khi đó  là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đó trong :R eR  . Nhận xét: Trong vành không có ideal lũy linh khác  0 thì mọi ideal phải (trái) khác  0 , tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng. Bổ đề 1.3.2.6 Cho R là vành tùy ý, a R sao cho 2a a lũy linh. Khi đó, hoặc chính a lũy linh hoặc tồn tại đa thức  q x với hệ số nguyên sao cho  .e a q a là phần tử lũy đẳng khác 0. Định lý 1.3.2.7 Nếu R là vành Artin và  0  là ideal phải (trái) không lũy linh của R thì  chứa phần tử lũy đẳng khác 0. Định lý 1.3.2.8 Nếu R là vành tùy ý và e là phần tử lũy đẳng trong R thì    ReJ e eJ R e . Định lý 1.3.2.9 Giả sử R là vành không có ideal lũy linh khác  0 và 0e  là phần tử lũy đẳng trong R . Khi đó eR (ideal phải chính sinh bởi e ) là ideal phải tối tiểu của R  vành Ree là một thể. Hệ quả 1.3.2.10 Nếu R là vành không có ideal lũy linh khác  0 và e là phần tử lũy đẳng trong R thì eR là ideal phải tối tiểu của R  Re là ideal trái tối tiểu của R . Định lý 1.3.2.11 Giả sử R là vành Artin, nửa đơn và  0  là ideal phải bất kỳ của R thì eR  với e là phần tử lũy đẳng. 1.3.3. Vành nguyên thủy Định nghĩa 1.3.3.1 Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có modul bất khả quy và trung thành. Nhận xét: i) Nếu R là vành nguyên thủy tồn tại M là R -modul bất khả quy và trung thành.       : 0 0A M r R Mr     . Xét ánh xạ:  : : r R E M r T M M m mr     M trung thành  đơn cấu. R nhúng đẳng cấu vào trong  E M    ker 0A M    ii) Nếu R là vành nguyên thủy thì    0J R  . Vì R là vành nguyên thủy thì    0A M  mà      0J R A M   . Vậy mọi vành nguyên thủy đều nửa đơn. iii) Nếu R là vành bất kì với M là R -modul bất khả quy thì  A M là ideal hai phía của R và  R A M là vành nguyên thủy. iv) Nếu M là R -modul bất khả quy,  là ideal phải, tối đại, chính quy của R và nếu RM  thì    :A M R là ideal hai phía lớn nhất nằm trong  . Khi đó ta có  :R R là vành nguyên thủy. Định lý 1.3.3.2 R là vành nguyên thủy  là ideal phải, tối đại, chính quy trong R sao cho    : 0R  . Trong trường hợp này R là vành nửa đơn, hơn nữa nếu vành nguyên thủy R giao hoán thì R là trường. 1.3.4. Vành đơn Định nghĩa Vành R được gọi là vành đơn nếu  2 0R  và trong R không có ideal thực sự nào ngoài  0 và R . Mối liên hệ giữa vành đơn – vành nửa đơn – vành Artin – vành nguyên thủy i) Nếu R là vành đơn có đơn vị thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, do R là vành đơn và có đơn vị nên  J R không thể bằng R .    0J R  R là vành nửa đơn. ii) Nếu R vừa là vành đơn vừa là vành Artin thì R là vành nửa đơn. Thật vậy, giả sử R vừa là vành đơn.  2 0R  Mà 2R là ideal của R nên 2R R (vì R là vành đơn). Ta cần chứng minh    0J R  . Giả sử    0J R  , mà  J R là ideal của R nên  J R R (vì R đơn).   2 2J R R R   . Thực hiện liên tiếp các bước ta được     0n nJ R R R   . Mà R là vành Artin nên không có phần tử lũy linh khác  0 .    0J R  R là vành nửa đơn. iii) Nếu R là vành nguyên thủy thì R vừa là vành đơn. Thật vậy, giả sử R là vành nguyên thủy, khi đó tồn tại M là R -modul bất khả quy trung thành.              : 0 0 0 A M r R Mr J R A M         R là vành nửa đơn. iv) Nếu R là vành vừa đơn vừa nửa đơn thì R là vành nguyên thủy. Thật vậy, để chứng minh R là vành nguyên thủy ta chứng minh rằng trong R tồn tại ideal phải, tối đại, chính quy  mà    : 0R  . Ta có :  : R là ideal của R . Do R là vành đơn nên    : 0R  hoặc  : R R  Nếu  : R R  thì  : R R  (vô lý vì R là vành nửa đơn).           : 0 : 0 J R R R        R là vành nguyên thủy. v) Nếu R là vành Artin – đơn thì R là vành nguyên thủy. Thật vậy, vì R là vành Artin nên  J R lũy linh, tức là tồn tại n N sao cho     0nJ R  . Mặt khác, do R đơn nên  2 0R  . Mà 2R là ideal hai phía của R nên  2 0R R  (do R đơn).  0 nR R n    R không lũy linh.  J R R     0J R  (do  J R là ideal hai phía của R ) R nửa đơn. Vậy R là vành vừa đơn vừa nửa đơn nên R là vành nguyên thủy. 1.3.5. Vành nguyên tố Định nghĩa 1.3.5.1 Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi ,a b R thì   00 0 a aRb b     . Bổ đề 1.3.5.2 Vành R là vành nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa một trong các điều kiện sau: i) Linh hóa tử bên phải (trái) của một ideal phải (trái) khác  0 của R phải bằng  0 . ii) Nếu ,A B là hai ideal của R và  0AB  thì suy ra    0 0 A B   Bổ đề 1.3.5.3 Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố. Định nghĩa 1.3.5.4 Tổng các ideal lũy linh không nhất thiết là ideal lũy linh. Gọi tổng này là  0N , ta định nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau: * Nếu  là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn, 1   , ta định nghĩa  N  là ideal của A sao cho    N N  là tổng tất cả các ideal lũy linh của  A N  . * Nếu là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trước nó, ta đặt    N N       . Khi đó ta có    'N N  nếu '  và tồn tại bản số đầu tiên  sao cho    1N N   . Ta gọi  N  là ideal lũy linh dưới của A , ký hiệu là ln A . Định nghĩa 1.3.5.5 * Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh. * Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A I là đại số lũy linh địa phương. Nhận xét: * Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương. * Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil-ideal. Mệnh đề 1.3.5.6 * Tồn tại duy nhất một nil-ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil-ideal của A , nil-ideal đó được gọi là upper nil-radical của A , ký hiệu là  Un A . * Tồn tại duy nhất một ideal lũy linh địa phương tối đại của đại số A chứa mọi ideal lũy linh một phía của A , ideal lũy linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil-radical của A , ký hiệu là  L A . Mệnh đề 1.3.5.7 *  AUn A không chứa nil-ideal khác 0. Suy ra    0AUn Un A     . *  A L A không chứa ideal lũy linh khác 0. *    0AL L A     *        ln A L A Un A rad A   *   P ln A P với P là ideal nguyên tố của A . 1.4. Một số đại số đặc biệt 1.4.1. Đại số nửa nguyên thủy Định nghĩa 1.4.1.1 Đại số A được gọi là nửa nguyên thủy    0J A  Mệnh đề 1.4.1.2 Nếu A là đại số thì  A J A là đại số nửa nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.1.3 Nếu A không có ideal lũy linh khác 0 thì  A  là nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.1.4 Nếu B là ideal hai phía của đại số A thì    J B J A B  . Hệ quả 1.4.1.5 Mọi ideal hai phía của đại số nửa nguyên thủy đều nửa nguyên thủy. (Điều này không đúng với ideal một phía). 1.4.2. Đại số nguyên thủy Định nghĩa 1.4.2.1 Đại số A được gọi là nguyên thủy nếu nó có một modul bất khả quy trung thành. I A , I được gọi là ideal nguyên thủy A I là đại số nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.2.2 Cho A là một đại số tùy ý, M là một A - modul bất khả quy thì  A M là một ideal hai phía của A và  A A M là một đại số nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.2.3 A là nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy  của A sao cho    : 0A  . Khi đó A là nửa nguyên thủy và nếu A giao hoán có đơn vị thì A là một trường. Nhận xét: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy. Định nghĩa 1.4.2.4 Giả sử R là vành nguyên thủy, M là một R - modul bất khả quy trung thành. Đặt  C M  thì  là một thể. Khi đó M là không gian vecto trên  với phép toán nhân ngoài : M M  với    ,m m m     trong đó : M M  thuộc   RC M End M   . 1.4.3. Đại số đơn Định nghĩa 1.4.3.1 Đại số A được gọi là đại số đơn nếu  0A  và A không có ideal nào ngoài  0 và A . Mệnh đề 1.4.3.2 Đại số A là đại số đơn có đơn vị thì A là đại số nguyên thủy. 1.4.4. Đại số nguyên tố Định nghĩa 1.4.4.1 * Một ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BC P thì hoặc B P hoặc C P với ,B C A . * Đại số A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A . * P A , P được gọi là ideal nguyên tố A P là đại số nguyên tố. Mệnh đề 1.4.4.2 Nếu A là đại số nguyên thủy thì A là đại số nguyên tố. Bổ đề 1.4.4.3 Các mệnh đề sau tương đương: i) A là đại số nguyên tố. ii)   00 , 0 b bAc b c A c      iii) Linh tử hóa bên trái của một ideal trái khác 0 bất kì là bằng 0. iv) Linh tử hóa bên phải của một ideal phải khác 0 bất kì là bằng 0. 1.4.5. Đại số nửa nguyên