Luận văn Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHI MINH LÊ HỮU THỨC MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 2LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng tri ân sâu sắc đối với Thầy PGS. TS. Lê Hoàn Hóa – Khoa toán – Tin học, Trường Đại học Sư Phạm TP.HCM đã hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi tận tình trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Tôi chân thành cảm ơn các Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh, các Thầy Cô đã tận tình tham gia giảng dạy tôi trong lớp Cao học Giải tích khoá 15 và Phòng KHCN - SĐH Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh. Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Bộ môn Toán trường Dự Bị Đại học TP.HCM, Trường THPT DL An Đông đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong công tác để tôi có thể tham gia đầy đủ các khóa học cũng như hoàn thành luận văn này. Đặc biệt là lời cảm ơn sâu sắc Thầy TS. Chu Đức Khánh đã góp ý cho luận văn và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng gởi lời cảm ơn đến tất cả các bạn trong lớp Cao học khoá 15. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc. Mọi ý kiến đóng góp xin gởi về email: lehuuthuc74@gmail.com. Xin chân thành cảm ơn. 3MỤC LỤC Trang phụ bìa ................................................................................................. 1 Lời cảm ơn ...................................................................................................... 2 Mục lục ........................................................................................................... 3 MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 4 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................. 6 1.1. Nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn ............... 6 1.2. Nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn ............ 10 1.3. Định lý Hille – Yosida ....................................................................... 14 1.4. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính và bài toán Cauchy ............... 15 1.5. Họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach ................................ 18 Chương 2: MỘT ĐỊNH LÝ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH ....................... 21 2.1. Giới thiệu............................................................................................ 21 2.2. Kết quả .............................................................................................. 25 Chương 3: ỨNG DỤNG ................................................................................. 36 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 40 4MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay, vấn đề nửa nhóm và họ tiến hóa trong không gian Banach là một hướng nghiên cứu lớn của toán học hiện đại. Nhiều nhà toán học trên thế giới đã và đang tiếp tục nghiên cứu, phát triển các vấn đề này theo nhiều hướng khác nhau trong đó nghiên cứu mối quan hệ của nửa nhóm tiến hóa với bài toán Cauchy được nhiều nhà toán học quan tâm. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu trên. 2. Mục đích: Luận văn này nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân thông qua lý thuyết phổ của nửa nhóm tiến hóa. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu tính tuần hoàn của nghiệm yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn: Kết quả của luận văn này là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu tính các tính chất khác của nghiệm yếu của phương trình vi phân không thuần nhất với tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn. 55. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có 3 chương: Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến nửa nhóm, họ tiến hóa tuần hoàn và một số phương trình vi phân. Chương 2: Chúng tôi trình bày và chứng minh định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach. Chương 3: Chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của định lý trên. Cuối cùng là các tài liệu tham khảo mà chúng tôi có trích dẫn một số định lý cũng như chứng minh của chúng. ---------------------------------- 6CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 NỬA NHÓM LIÊN TỤC ĐỀU CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Định nghĩa 1.1.1: Cho X là không gian Banach. Họ một tham số T(t), 0 ≤ t < , của các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X được gọi là một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu (i) T(0) = I, ( I là toán tử đồng nhất trên X ) (ii) T(t+s) =T(t).T(s) với mọi t, s  0 Một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn T(t) được gọi là liên tục đều nếu 0 lim ( ) 0 t T t I    (1.1) Từ định nghĩa rõ ràng ta có : Nếu T(t), 0 ≤ t < , là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn thì lim ( ) ( ) 0 s t T s T t    (1.2) Định nghĩa 1.1.2: Cho {T(t)}t0 là một nửa nhóm của các toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X. Với h > 0 ta định nghĩa toán tử tuyến tính Ah xác định như sau: ( ) , .h T h x x A x x X h   (1.3) Kí hiệu D(A) là tập tất cả các xX sao cho giới hạn 0 lim h h A x  tồn tại, ta xác định toán tử A trên D(A) như sau: 70 lim , ( )h h Ax A x x D A    (1.4) Ta gọi toán tử A xác định như trên là toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn hơn là toán tử sinh) của nửa nhóm T(t) và D(A) là tập xác định của A. Định lý 1.1.3: Một toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục đều nếu và chỉ nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn. Chứng minh: Cho A là một toán tử tuyến tính bị chặn trên X và đặt 0 ( ) ( ) ! n tA n tA T t e n     (1.5) Vế phải của (1.5) hội tụ theo chuẩn với mọi t  0 và xác định với mỗi t một toán tử tuyến tính bị chặn T(t). Rõ ràng là T(0) = I và với cách tính trực tiếp trên chuỗi lũy thừa trên ta thấy T(t+s) = T(t).T(s) Tiến hành đánh giá chuỗi lũy thừa trên ta có: ( ) t AT t I t A e  và ( ) ( ) T t I A A T t I t     Từ đó suy ra rằng T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X và A là toán tử sinh của T(t). Mặt khác cho T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn xác định trên X. Cố định  >0, đủ nhỏ, sao cho 81 0 ( ) 1I T s ds     Suy ra rằng 1 0 ( )T s ds     là khả nghịch và vì vậy 0 ( )T s ds   là khả nghịch Bây giờ 1 0 ( ( ) ) ( )h T h I T s ds     = 1 0 0 ( ( ) ( ) )h T s h ds T s ds       = 1 0 0 ( ( ) ( ) ) h h h T s ds T s ds     Vì vậy 1( ( ) )h T h I  = 1 1 1 0 0 0 [ ( ) ( ) ]( ( ) ) h h h T s ds h T s ds T s ds        (1.6) Cho 0h  trong (1.6) ta thấy 1( ( ) )h T h I  là hội tụ theo chuẩn và vì vậy đủ mạnh để toán tử tuyến tính bị chặn 1 0 ( ( ) )( ( ) )T I T s ds     là toán tử sinh của T(t).
Vậy nửa nhóm T(t) có một toán tử sinh A thì có duy nhất không? Trả lời câu hỏi này ta xem định lý sau. Định lý 1.1.4: Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn. Nếu 0 0 ( ) ( ) lim lim t t T t I S t I A t t     (1.7) thì T(t) = S(t) với mọi t  0 Chứng minh: 9Cho T > 0, S(t) = T(t), với 0 ≤ t ≤ T. Cố định T > 0, khi ( )t T t và ( )t S t là liên tục thì tồn tại một hằng số C sao cho ( ) ( )T t S s C với 0 ≤ t, s ≤ T. Từ (1.7), cho  > 0, tồn tại một số  > 0 sao cho 1 ( ) ( )h T h S h TC    với 0≤ h ≤  (1.8) Cho 0 ≤ t ≤ T và chọn n  1 sao cho t n  . Từ tính chất của nửa nhóm và (1.8) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) t t T t S t T n S n n n    1 0 ( 1) (( ) ) ( ) (( 1) ) ( ) n k t kt t k t T n k S T n k S n n n n        1 0 (( 1) ) ( ) ( ) ( ) n k t t t kt t T n k T S S Cn n n n n TC n           Vậy T(t) = S(t) với mọi 0 ≤ t ≤ T
Do hai định lý trên ta có kết quả sau Cho T(t) là nửa nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn. Ta có a) Tồn tại một hằng số 0  sao cho ( ) tT t e . b) Tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn duy nhất A sao cho ( ) tAT t e . c) Toán tử A trong phần b) là toán tử sinh của T(t). d) ( )t T t là khả vi với chuẩn và ( ) ( ) ( )dT t AT t T t A dt   . 10 1.2 NỬA NHÓM LIÊN TỤC MẠNH CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN Trong suốt chương này, X là không gian Banach. Định nghĩa 1.2.1: Một nửa nhóm T(t), 0 ≤ t < , của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X là nửa nhóm liên tục mạnh nếu 0 lim ( ) t T t x x   với mọi x  X (1.9) Một nửa nhóm liên tục mạnh của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X sẽ được gọi là một nửa nhóm của lớp C0 hay gọi tắt là nửa nhóm_C0. Định lý 1.2.2: Cho T(t) là nửa nhóm_C0 , khi đó tồn tại một hằng số 0  và M  1 sao cho: ( ) . tT t M e với 0 ≤ t < . (1.10) Chứng minh: Trước tiên ta thấy rằng có một số 0  sao cho ( )T t là bị chặn trong 0 t   . Nếu điều này sai thì có dãy {tn} thỏa tn  0, lim 0nn t  và ( )nT t n . Áp dụng định lý bị chặn đều ta thấy tồn tại x  X sao cho ( )nT t x là không bị chặn, mâu thuẫn với (1.9),vậy ( )T t M với 0 t   . Ta có (0) 1T  , M  1. Cho 1 log 0M    . Cho t  0 ta có t n   , với 0    . Áp dụng tính chất nửa nhóm ta có 1( ) ( ) ( ) . . t n n tT t T T M M M M e     
11 Hệ quả 1.2.3: Nếu T(t) là một nửa nhóm_C0 thì với mọi x  X, ( )t T t x là một hàm liên tục từ 0  (đường thẳng thực không âm) vào X. Chứng minh: Cho t, h  0. ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT t h x T t x T t T h x x Me T h x x      Và cho t  h  0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT t h x T t x T t h x T h x Me x T h x       Vậy hàm ( )t T t x liên tục.
Định lý 1.2.4: Cho T(t) là một nửa nhóm_C0 và cho A là toán tử sinh của nó. Ta có: a) Với x  X, 0 1 lim ( ) ( ) t h h t T s xds T t x h    (1.11) b) Cho x  X, ta có 0 ( ) ( ) t T s xds D A và 0 ( ) ( ) t A T s xds T t x x        (1.12) c) Cho ( ), ( ) ( )x D A T t x D A  và ( ) ( ) ( )d T t x AT t x T t Ax dt   (1.13) d) Cho ( )x D A , ( ) ( ) ( ) ( ) t t s s T t x T s x T r Ax dr AT r xdr    (1.14) 12 Chứng minh: a) Phần này được suy ra trực tiếp từ tính liên tục của ( )t T t x . b) Cho x  X, và h > 0. Ta có 0 0 ( ) 1 ( ) ( ( ) ( ) ) t tT h I T s xds T s h x T s x ds h h      0 1 1 ( ) ( ) t h h t T s xds T s xds h h     và khi 0h  vế phải sẽ tiến đến ( )T t x x . Ta có điều phải chứng minh. c) Cho x  D(A), và h > 0, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T h I T h I T t x T t x T t Ax h h       khi 0h  (1.15) Vì vậy, T(t)x  D(A) và AT(t)x = T(t)Ax. (2.7) cũng suy ra rằng ( ) ( ) ( ) d T t x AT t x T t Ax dt    Nghĩa là, đạo hàm bên phải của T(t)x là T(t)Ax. Chứng minh (1.13) chúng ta phải thấy rằng cho t > 0, đạo hàm bên trái của T(t)x tồn tại và bằng T(t)Ax. 0 ( ) ( ) lim ( ) h T t x T t h x T t Ax h      = 0 0 ( ) lim ( ) lim( ( ) ( ) ) h h T h x x T t h Ax T t h Ax T t Ax h          . 13 Và cả hai giới hạn bên phải đều bằng không. Giới hạn thứ nhất bằng không là do x  D(A) và ( )T t h bị chặn trên 0 ≤ h ≤ t, giới hạn thứ hai là bởi tính liên tục mạnh của T(t). Kết thúc chứng minh c). d) Chứng minh phần này ta lấy tích phân từ s đến t cho 2 vế của (1.13).
Hệ quả 1.2.5: Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm_C0 T(t) thì D(A), tập xác định của A, trù mật trong X và A là một toán tử tuyến tính đóng. Chứng minh: Với mọi x  X, tập 0 1 ( ) t tx T s xdst   . Do b) của định lý 1.2.4 nên xt  D(A) với t > 0 và do a) của định lý 1.2.4 nên tx x khi 0t  . Vì vậy ( )D A X . Tính chất tuyến tính của A thì rõ ràng, do đó ta chỉ cần chứng minh thêm A là ánh xạ đóng. Cho xn  D(A), nx x và nAx y khi n  Từ d) của định lý 1.2.4 ta có: 0 ( ) ( ) t n n nT t x x T s Ax ds   (1.16) Hàm dưới dấu tích phân ở vế phải của (1.16) hội tụ đến T(s)y đều trên một khoảng bị chặn, do vậy khi cho n  trong (1.16) ta có 0 ( ) ( ) t T t x x T s y ds   (1.17) 14 Chia (1.17) cho t > 0 và cho 0t  , ta có x D(A) và Ax = y ( do a) của định lý 1.2.4 ).
Định lý 1.2.6: Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm_C0 của các toán tử tuyến tính bị chặn với 2 toán tử sinh tương ứng là A và B. Nếu A = B thì T(t) = S(t) với mọi t  0. Chứng minh: Cho x D(A) = D(B) . Từ c) của định lý 1.2.4 ta thấy rằng hàm ( ) ( )s T t s S s x  khả vi và ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d T t s S s x AT t s S s x T t s BS s x ds       ( ) ( ) ( ) ( ) 0T t s AS s x T t s BS s x      Vì vậy hàm ( ) ( )s T t s S s x  là hàm hằng và trong trường hợp đặc biệt giá trị của nó ở s = 0 và s = t là giống nhau, tức là T(t)x = S(t)x với mọi x  X. Điều này đúng cho mọi x  D(A) . Do hệ quả 1.2.5, D(A) trù mật trong X và T(t), S(t) bị chặn nên T(t)x = S(t)x với mọi x  X.
1.3 ĐỊNH LÝ HILLE – YOSIDA Cho T(t) là một nửa nhóm_C0. Từ định lý 1.2.2 ta có hằng số 0  và M  1 sao cho ( ) . tT t M e với 0 ≤ t < . Nếu 0  thì T(t) được gọi là bị chặn đều và nếu thêm M = 1 thì nó được gọi là nửa nhóm_C0 rút gọn. Nếu A là một toán tử tuyến tính ( không nhất thiết bị chặn) trong X, tập giải ( )A của A là tập gồm các số phức  sao cho I A  có ánh xạ ngược, 15 tức là 1( )I A  là một toán tử tuyến tính bị chặn trong X. Họ 1( , ) ( ) , ( )R A I A A      được gọi là giải thức của A. Định lý 1.3.1: (Hille – Yosida) Một toán tử tuyến tính (có thể không bị chặn) A là toán tử sinh của một nửa nhóm_C0 rút gọn T(t), t  0 nếu và chỉ nếu (i) A là đóng và ( )D A X . (ii) Tập giải ( )A của A là tập chứa  và cho 0  1 ( , )R A  (1.18) Định lý 1.3.2: Cho T(t) là một nửa nhóm liên tục mạnh xác định trên X và A là toán tử sinh tương ứng thỏa 2 điều kiện của định lý 1.3.1. Khi đó ta có kết quả sau: lim ( , ) ,R A x x x X        Chứng minh: Đầu tiên giả sử rằng ( )x D A thì: ( , ) ( , )R A x x AR A x    = 1( , ) 0R A Ax Ax   khi   . Nhưng D(A) thì trù mật trong X và ( , ) 1R A   . Vì vậy ( , )R A x x   khi   với mọi x X .
1.4 NỬA NHÓM CỦA CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH VÀ BÀI TOÁN CAUCHY 16 Chúng ta xem xét một số phương trình vi phân và các quan hệ của nó với nửa nhóm của các toán tử tuyến tính . Cho X là không gian Banach và cho A là một toán tử tuyến tính từ D(A)  X vào X. Cho x  X, Bài toán Cauchy của A với giá trị đầu x là ( ) ( ), 0 (0) du t Au t t dt u x      (1.19) Nghiệm của bài toán là một hàm u(t) có giá trị trong X sao cho u(t) liên tục với mọi t  0, khả vi liên tục và u(t)  D(A) với mọi t > 0 và thỏa (1.19). Rõ ràng là nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) thì bài toán Cauchy theo A có nghiệm u(t) = T(t)x với mọi x thuộc D(A). Thật vậy theo định lý 1.2.4 thì ( ) ( ) ( )d T t x AT t x T t Ax dt   và T(0)x = x. Bây giờ ta xem xét tiếp bài toán giá trị đầu không thuần nhất ( ) ( ) ( ), 0 (0) du t Au t f t t dt u x       (1.20) Với : [0, [f T X , và A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t) sao cho phương trình thuần nhất tương ứng ( tức là phương trình với f  0 ) có nghiệm duy nhất với mọi giá trị đầu x D(A). Định nghĩa 1.4.2: 17 Một hàm : [0, [u T X là nghiệm mạnh của (1.20) trên [0,T [ nếu u là liên tục trên [0,T [, khả vi liên tục trên ]0,T [, u(t) D(A) với 0 < t < T và (1.20) được thỏa trên [0,T [ . Cho T(t) là nửa nhóm_C0 được sinh bởi A và cho u là một nghiệm của (1.20). khi đó hàm có giá trị trong X, g(s) = T( t – s )u(s) là khả vi với 0 < s < t và ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dg AT t s u s T t s u s ds AT t s u s T t s Au s T t s f s T t s f s             (1.21) Nếu 1(0, : )f L T X thì ( ) ( )T t s f s là khả tích và lấy tích phân của (1.21) từ 0 đến t ta có 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t T t s u s T t s f s ds u s T t x T t s f s ds         0 ( ) ( ) ( ) ( ) t u t T t x T t s f s ds   (1.22) Từ định nghĩa trên ta thấy nếu 1(0, : )f L T X thì với mọi x  X, bài toán giá trị đầu (1.20) có nhiều nhất một nghiệm. Nếu nó có một nghiệm thì nghiệm này được cho bởi (1.22). Định nghĩa 1.4.4: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Cho x  X và 1(0, : )f L T X . Hàm ([0, ]: )u C T X được cho bởi 18 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t u t T t x T t s f s ds t T     , là một nghiệm yếu (mild solution) của bài toán giá trị đầu (1.20) trên [0,T ] (Tham khảo [11]). Định lý 1.4.5: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Cho 1(0, : )f L T X liên tục trên [0,T] và cho 0 ( ) ( ) ( ) 0 t v t T t s f s ds t T    Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T [ với mọi x  D(A) nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa: (i) v(t) là khả vi liên tục trên ]0,T [. (ii) v(t)  D(A) với 0 < t < T và Av(t) là liên tục trên ]0,T [ Nếu (1.20) có nghiệm u trên [0,T [ với một x  D(A) nào đó thì v(t) sẽ thỏa cả 2 điều kiện (i), (ii) Hệ quả 1.4.6: Cho A là toán tử sinh của nửa nhóm_C0 T(t). Nếu f(s) là khả vi liên tục trên [0,T] thì Bài toán (1.20) có nghiệm mạnh u trên [0,T[ với mọi x  D(A). 1.5 HỌ TIẾN HÓA TUẦN HOÀN TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Định nghĩa: 19 Cho X là không gian Banach. Ta ký hiệu L(X) là không gian Banach của các toán tử tuyến tính xác định trên X. ta cũng ký hiệu . là chuẩn của vectơ trong X hoặc của toán tử trong L(X) Ho