Luận văn Một lớp các P. I đại số nửa nguyên tố

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Nguyễn Thị Minh Nguyệt MỘT LỚP CÁC P.I ĐẠI SỐ NỬA NGUYÊN TỐ Chuyên ngành : Đại Số và Lí Thuyết Số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CÁM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo Sư Tiến sĩ Bùi Tường Trí. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tôi phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Đại Số, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện luận văn này. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Thủ Đức đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM năm 2009 Nguyễn Thị Minh Nguyệt MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Theo Posner- Rowen thì bất kỳ P.I đại số nguyên tố nào đều được nhúng vào một P.I đại số nguyên thủy , là đại số thương theo tâm của nó như một thứ tự trái phải trong nó.Như chúng ta đã biết, đại số nửa nguyên tố là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố, đại số nửa nguyên thủy là tích trực tiếp con các đại số nguyên thủy .Câu hỏi tự nhiên đặt ra, liệu ta có thể mở rộng định lý Posner-Rowen cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố, điều đó có nghĩa là: Liệu có thể nhúng một P.I đại số nửa nguyên tố vào P.I đại số nửa nguyên thủy như một thứ tự trái phải trong nó? Trong P.I Algebras An Introduction, tác giả Nathan Jacobson đã từng nhận định là điều trên không còn đúng và luận văn thạc sỹ của Trương Huy Hoàng đã đưa ra ví dụ minh chứng điều đó.Vậy trong điều kiện nào thì định lý Posner- Rowen được mở rộng cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố? Câu hỏi có một sức hấp dẫn nhất định,trả lời câu hỏi lý thú này là cơ hội để tôi vận dụng các kiến thức toán học hữu ích,đồng thời giúp bản thân phát triển tư duy và tiếp cận với toán học hiện đại .Đó là lý do đưa tôi đến việc nghiên cứu đề tài “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”, đó là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố mà định lý Posner-Rowen được mở rộng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài của tôi là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố” để định lý Posner-Rowen có thể mở rộng, hay nói rõ hơn là trong luận văn này tôi sẽ đưa thêm điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố ,để có thể nhúng P.I đại số nửa nguyên tố đó vào một P. I đại số nưả nguyên thủy. 3. Phương pháp nghiên cứu Để mở rông định lý Posner Rowen đối với các P.I đại số nửa nguyên tố, thông thường có hai phương hướng: hoặc là xây dựng lại khái niệm đại số thương một cách phù hợp; hoặc là bổ sung điều kiện cần thiết cho các P.I đại số nửa nguyên tố. Với luận văn này, phương hướng bổ sung điều kiện là phương pháp mà tôi lựa chọn để mở rộng định lý . 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương. Chương 1: Một số khái niệm và các định lý về vành không giao hóan. Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành không giao hoán có liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Chương 2: Các P.I đại số nguyên tố và nửa nguyên tố. Tại đây, hầu hết các định lý đều được chứng minh một cách tường minh. Chương này giới thiệu định lý Posner -Rowen, đưa ra ví dụ trong luận văn thạc sĩ của Trương Huy Hoàng để chứng minh định lý không còn đúng đối với P.I đại số nửa nguyên tố. Cuối cùng, tôi sẽ bổ sung một số mệnh đề cần thiết để đạt được mục tiêu mà luận văn đã đề ra: là chỉ ra “Một lớp các P.I đại số nửa nguyên tố”- đó là lớp các P.I đại số nửa nguyên tố mà định lý Posner-Rowen có thể mở rộng. Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về vành không giao hoán có liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. Trong chương này, ký hiệu R là vành không giao hoán, M là R-modul phải 1.1. Modun bất khả quy trung thành Định nghĩa 1.1.1:  M được gọi là R-modul nếu tồn tại ánh xạ : ( , ) f MxR M m r mr   thỏa:  m(a+b)=ma+mb  (m+n)a=ma+na  (ma)b=m(ab)  m.1=m với mM;a,b,1R  M được gọi là R-modul trung thành nếu M.r = thì r = 0 Bổ đề 1.1.2: Ký hiệu: A(M) = {rR/ M.r = } Ta có: A(M) là ideal hai phía của R và M là R/A(M)- modul trung thành. Chứng minh: Ta có A(M)  R vàaA(M),rR  ta có : M.ar=(Ma)r=0.r=0 suy ra arA(M) Cũng có: M.ra = (Mr)aMa=0,suy ra raA(M) Vậy: A(M) là ideal hai phía của R   r = (r+A(M)) R/A(M) .Xét: ) : / ( ) ( , f MxR A M M m r mr   Ta có: (m, r )= (m, 'r )  r = 'r  (r-r’) A(M) m(r-r’)=0, mMmr=mr’ Vậy: f là ánh xạ và thỏa các tính chất của R/A(M)- modul Nên: M là R/A(M)- modul  Ta có : M r = Suy ra: m r =0,mM  mr=0, mM,  r  A(M) hay r =0 Vậy: M là R/A(M)-modul trung thành Cho M là R- modul , aR, xét ánh xét :T M Ma  với mTa = ma, mM là đồng cấu nhóm cộng. Ký hiệu E(M) là tập tất cả các đồng cấu nhóm cộng thì E(M) là một vành với các phép toán cộng và nhân các đồng cấu nhóm Xét ánh xạ: a :R ( ) a T E M   thì  là đồng cấu vành Ta cũng có: ker = A(M) suy ra R/A(M) Im Bổ đề 1.1.3: R/A(M) đẳng cấu với vành con của vành E(M) Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = .Khi đó  là đơn cấu nên ta có thể nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a với Ta , aR. Định nghĩa 1.1.4:  Ta có C(M)=  ( ) / ,a af E M T f fT a R    là vành giao hoán tử của R trong M.Lúc đó: C(M) là vành con của vành E(M) v à C(M)= REnd M Định nghĩa 1.1.5.:  M được gọi là R-modul bất khả quy nếu M và M chỉ có hai modul con tầm thường là và M  Cho  là trường số thực, trong 2 xét ma trận 0 -11 0      . Xét A=   là ideal sinh bỡi , V={ }1 2 1 2( ; ) / ;x x x xg = Î .Lúc đó V là A-modun bất khả quy. Bổ đề 1.1.6: Nếu M là R-modul bất khả quy thì MR/  với  là ideal tối đại của R.Hơn nữa tồn tại aR sao cho x-ax  với mọi xR (  được gọi là ideal phải chính quy).Ngược lại với  là ideal phải chính quy thì R/  là R-modul bất khả quy. Bổ đề 1.1.7: Nếu M là R-modul bất khả quy thì C(M) là một thể . 1.2. Radical của vành Định nghĩa 1.2.1:  Radical Jacobson của vành R,ký hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R mà linh hoá tất cả các modul bất khả quy của R,J(R)= A(M) với M là R-modul bất khả quy. Lúc đó J(R) là ideal hai phía của R  Nếu R không có modul bất khả quy, ta quy ước J(R)=R,Lúc đó R được gọi là vành radical. Định nghĩa 1.2.2:  là ideal phải của R , ký hiệu (  :R)= {xR/Rx  } Bổ đề 1.2.3:  Nếu  là ideal phải chính quy thì (  :R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong  .  Nếu  là ideal phải tối đại chính quy thì A(M)= (  :R) với M=R/  . Định lý 1.2.4.: J(R) =  (  :R) với  là ideal phải tối đại chính quy của R. Bổ đề 1.2.5: Nếu  là ideal phải chính quy của R(  R) thì  nằm trong một ideal phải chính quy tối đại nào đó. Định lý 1.2.6: J(R) =   với  là ideal phải tối đại chính quy của R. Định nghĩa 1.2.7.:  aR được gọi là tựa chính quy phải nếu: a’R: a+a’+aa’=0.  a’ được gọi là tựa nghịch đảo phải của a.  tương tự ta có tựa chính quy trái , tựa nghịch đảo trái.  Một ideal được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải.  J(R) là ideal tựa chính quy phải. Định lý 1.2.8: J(R) là ideal phải tựa chính quy phải và chứa mọi ideal phải tựa chính quy phải, tức là J(R) là ideal phải tựa chính quy phải tối đại duy nhất của R. Định nghĩa 1.2.9:  Phần tử aR được gọi là luỹ linh nếu tồn tại nN sao cho na =0  Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải (trái) nếu mọi phần tử của nó đều luỹ linh  Ideal phải (trái )  của R đựơc gọi là luỹ linh nếu tồn tại m N sao cho . ...1 2a a am =0 với mọi ai   , tức tồn tại m N sao cho m =0 Nhận xét:  Nếu  là ideal luỹ linh thì  là nil-ideal  mọi phần tử luỹ linh đều tựa chính quy  J(R) chứa mọi nil-ideal một phía  Nếu R có ideal luỹ linh khác 0 thì R có ideal hai phía luỹ linh khác 0. 1.3. Radical của một đại số Định nghĩa 1.3.1: A đựơc gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau:  A là một vành  A là không gian vectơ trên trường F   a,b A ,   F thì  (ab)=( a)b=(a)b Nếu A có đơn vị 1 thì .1 nằm trong tâm của A (với  F) Mệnh đề 1.3.2: Nếu A là một đại số trên trường F thì radical Jacobson của đại số A trùng với radical Jacobson của vành A. 1.4. Một số đại số đặc biệt 1.4.1. Đại số nửa nguyên thuỷ Định nghĩa 1.4.1.1: Đại số A được gọi là nửa nguyên thuỷ  J(A)=0. Mệnh đề 1.4.1.2: Nếu A là một đại số thì A/J(A) là đại số nửa nguyên thuỷ. Chứng minh: Lấy  là ideal phải tối đại chính quy của A, ta có J(A)   . Ta cũng có  +J(A) là ideal phải tối đaị của A/J(A)  chính quy nên aA: x-ax  ,xA   a = (x-ax) +J(A)   +J(A): x - a x  +J(A),  xA/J(A) Suy ra:  +J(A)chính quy Ta cũng có: J(A)=   với  chạy khắp ideal tối đại phải chính quy của A nên  ( +J(A))=. Vậy J(A/J(A))=, hay A/J(A) là nửa nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.1.3: Nếu A không có nil-ideal khác 0 thì A[ ] là nửa nguyên thuỷ. Mệnh đề 1.4.1.4: Nếu B là ideal hai phía của đại số A thì J(B)=J(A) B. Hệ quả 1.4.1.5: Mọi ideal hai phía của đại số nửa nguyên thuỷ đều nửa nguyên thuỷ. Nhận xét: Điều trên không còn đúng nếu I là ideal một phía Ví dụ: Xét R là vành ma trận vuông cấp 2 trên trường F, R là vành nửa nguyên thủy nên J( R) = 0 Lấy A= : , 0 0 F               là ideal phải của R và x= 0 0 0     J(A) với  F Vì 2x = 20 0 0      = , suy ra x lũy linh và 0 : 0 0 F            là nil ideal phải của A .Suy ra J(A)  .Do đó : J(A) A J(R) 1.4.2. Đại số nguyên thuỷ Định nghĩa 1.4.2.1:  Đại số A được gọi là nguyên thuỷ nếu nó có một modul bất khả quy trung thành.  IA, I được gọi là ideal nguyên thủy  A/I là đại số nguyên thủy. Mệnh đề 1.4.2.2: Cho A là một đại số tuỳ ý,M là một A-modul bất khả quy thì A(M) là một ideal hai phía của A và A/A(M) là một đại số nguyên thủy Mệnh đề 1.4.2.3: A là đại số nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính quy  cuả A sao cho (  :A) = .Khi đó A là nửa nguyên thủy và nếu A giao hoán có đơn vị thì A là một trường Vậy: Mọi đại số nguyên thủy đều nửa nguyên thủy Định nghĩa 1.4.2.4: Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R-mođun bất khả quy trung thành. Đặt  =C(M) thì  là một thể.Khi đó M là không gian vec tơ trên  với phép nhân ngoài  : M x  M với  (m;  )=m =(m) ,trong đó  :MM thuộc  =C(M)= End MR .  Họ , ,...,1 2v v vn trong M được gọi là độc lập tuyến tính trên  ( 0 0, 1, , ) 1, v i ni i i ii n           Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M nếu với mọi n và , ,...,1 2v v vn trong M là hệ độc lập tuyến tính trên  và bất kỳ n phần tử w ,w ,...,w1 2 n trong M thì tồn tại r sao cho w1 v ri (i=1,2,3,..n)  Nếu M là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên  và R tác động trung thành và dày đặc trên M thì R= End M n  với n là vành ma trận vuông cấp n trên  . Thật vậy: Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con nếu đồng nhất rTr :MM với (m)Tr =mr    , ta có (m )Tr =m( Tr )=m(Tr  )=(mTr ) ,suy ra: Tr  End M , hay R End M Ngược lại: giả sử , ,...,1 2v v vn là cơ sở của M trên  và f End M .Do R dày đặc trên M nên: r R sao cho ( vi )f= vi r (i=1,2,..,n), suy ra: ( vi )f=( vi )Tr hay f=Tr  r R Suy ra End M R Vậy: R= End M n  . Định lý 1.4.2.5: (Định lý dày đặc) Cho R là vành nguyên thủy, M là R-modul phải bất khả quy trung thành.Nếu  = C(M) thì R là vành dày đặc những phép biến đổi tuyến tính của M trên  . Chứng minh: Trước tiên ta nhận thấy rằng để chứng minh định lý ta cần chứng tỏ rằng: Với một không gian con hữu hạn chiều V của M trên  ,dimV=n và m M sao cho m V thì chúng ta có thể tìm được r R với Vr= nhưng mr  0.Ta sẽ chứng minh điều này bằng quy nạp theo n  Với n=0, khi đó dimV=0, hay V=, Vì vậy , m 0 ,m M m V s u y ra    Nên , 0 : 0 ( M R 0 )r R r m r d o       và Vr=  Giả sử điều đó luôn đúng với dim V<n  Ta chứng minh trường hợp dim V=n, khi đó giả sử V= 0V +w , Với dim 0V = dimV- 1và w 0V .Theo giả thiết quy nạp  y 0V , y M, ta có r R: 0V r= nhưng yr  0.Hay  y 0V , y M,  r A( 0V ):yr 0 Suy ra : m 0V thì m A( 0V )  0.Khi đó với A( 0V ) là ideal phải của R, vì w  0V ,w A( 0V )  0 là modun con của M bất khả quy nên wA( 0V )=M. Dùng phản chứng , giả sử rằng tồn tại m  M,m V sao cho  r R mà Vr=thì mr=0.Ta chứng minh điều này không thể, vì: wA( 0V )=M x M,  a A( 0V ):x=wa Xét: : M M  sao cho wa=xma Khi đó  được định nghĩa là tốt, vì nếu x=0wa=0a linh hóa w và a A( 0V )a linh hóa V, hay Va=0, suy ra ma=0 Mặt khác ta có   E(M),x=wa với a A( 0V )thì  r R,ta có: xr=(wa)r=w(ar) và (xr) =w(ar) =m(ar)=(ma)r=(x )r, suy ra    Vì vậy: a A( 0V ),ma=(wa) =(w )a, suy ra (m-w )a=0,a A( 0V ) Suy ra: (m-w ) 0V , hay m 0V + w mà 0V  0V + w  0V +w Suy ra: m V (mâu thuẫn với m  V). Chứng minh định lý: Lấy   1,vi i n là một họ độc lập tuyến tính trên M và  w 1,i i n là một họ tùy ý trên M, Gọi Vi là không gian véc tơ sinh bỡi họ  1,j iv j j n .Ta có: dimVi =n-1, vi  M, vi  Vi , nên tồn tại r  R: Vi r=, vi r  0 Nên: vi rR , suy ra: vi rR=M, suy ra:  wi  M, is  R : wi = vi r is Đặt: it = r is thì wi = vi r is = vi it và Vi it =(Vi r) is =0. Đặt: t= 1t + 2t +.+ nt , khi đó: vi t= vi ( 1t + 2t +.+ nt )= vi it Hay: wi = vi t,  i=1,n .Vậy R dày đặc trên M. 1.4.3. Đại số đơn: Định nghĩa 1.4.3.1: Đại số A được gọi là đại số đơn nếu A  0 và A không có ideal thực sự. Mệnh đề 1.4.3.2: Đại số A là đại số đơn có đơn vị thì A là đại số nguyên thủy Chứng minh: J(A)  A- đại số đơn và J(A)  A vì 1 J(A).Suy ra: J(A)=0 Do J(A)=   với  là ideal phải tối đại chính quy của A Suy ra: tồn tại ideal (  :A) là ideal hai phía lớn nhất nằm trong  Suy ra: (  :A)=( do A là đại số đơn),suy ra: A là đại số nguyên thủy (theo mệnh đề 1.4.2.3) 1.4.4. Đại số nguyên tố Định nghĩa 1.4.4.1:  Một ideal P của đại số A được gọi là ideal nguyên tố nếu BCP thì hoặc BP hoặc CP với B,C là các ideal của A.  Đại số A được gọi là đại số nguyên tố nếu 0 là ideal nguyên tố của A.  Ta còn có thể định nghĩa PA, P được gọi là ideal nguyên tố  A/P là đại số nguyên tố. Mệnh đề 1.4.4.2: Nếu A là đại số nguyên thuỷ thì A là đại số nguyên tố. Chứng minh: Ta có A là đại số nguyên thủy nên A có M là A-modul bất khả quy trung thành.Gọi B và C là 2 ideal khác 0 của A.Ta có: (BC)M=B(CM)=BM=M ( vì BM và CM là hai modul con khác 0 của M) Suy ra: BC 0 Vậy: A là đại số nguyên tố. Bổ đề 1.4.4.3: Các mệnh đề sau tương đương: a) A là đại số nguyên tố b) bAc=0 thì b=0 hay c=0 với mọi b,c A c) linh hoá tử bên trái của một ideal trái khác 0 bất kỳ là bằng 0 d) linh hoá tử bên phải của một ideal phải khác 0 bất kỳ là bằng 0 1.4.5. Đại số nửa nguyên tố Tích trực tiếp con:  Tích trực tiếp của họ các K-đại số  A I  là tập hợp AI  mà trên đó ta định nghĩa các phép cộng và nhân như sau: (f+g)(  ) = f( ) + g( ) ; (f.g)(  ) = f( ).g( ) Khi đó A I  cùng với hai phép toán trên lập thành một vành và là K-đại số  Đặt  là phép chiếu: A AI     . Đại số A được gọi là tích trực tiếp con các đại số  A I   nếu tồn tại đơn cấu : A AI   : = A , IA        B A I   sao cho B = và A/ B  A Định nghĩa 1.4.5.1:  Một đại số A được gọi là nửa nguyên tố nếu nó không có ideal luỹ linh khác 0.  Một ideal B của đại số A được gọi là ideal nửa nguyên tố nếu A/B là nửa nguyên tố.  Nhận xét: A là đại số nguyên tố thì A là nửa nguyên tố. Mệnh đề 1.4.5.2: A là đại số nửa nguyên tố khi và chỉ khi A là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố. Chứng minh:  Cho A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố A và gọi N là ideal lũy linh của A, thì N   (N) là một ideal lũy linh của A , Suy ra N =0,  .Vậy N=0  Giả sử A là đại số nửa nguyên tố, B là một ideal khác 0 của A, chọn 1b  0 trong B, ta có A 1b A là ideal khác 0 trong B.Vì 2)( 1AAb = A 1b A 1b A 0 Suy ra 1b A 1b  0 nên ta tìm được 1a sao cho 2b = 1b 1a 1b  0 và 2b B, cứ tiếp tục như vậy , ta tìm được dãy các phần tử khác 0 1b ; 2b = 1b 1a 1b ; 3b = 2b 2a 2b ;; 1 1 1b b a bi i i i    ;chứa trong B. Trong quá trình hình thành các phần tử này đã chứng tỏ rằng nếu k>i,j thì i jb b a bi jk  , Với i ja A.Vì  ib = , nên theo Bổ đề Zorn tồn tại một ideal P của A sao cho P là ideal lớn nhất trong tập các ideal của A thỏa P ib = .Chúng ta sẽ chứng minh P là ideal nguyên tố của A.Gọi C và D là hai ideal khác 0 của P sao cho C P;D P, ta có : 1C =C+PP ; 1D =D+PP,suy ra:  bi 1C ; b j 1D .Nếu k> i,j thì i jb b a bi jk   1C 1D Suy ra 1C 1D  P (vì bk P).Vì 1C 1D =(C+P)(D+P)=CD+CP+PD+PCD+P nên CD P.Vậy P là ideal nguyên tố. Vì P ib = và  ib B, nên B P.Như vậy, ta đã chứng tỏ được rằng với B là ideal bất kỳ khác 0 trong A , ta luôn tìm được ideal nguyên tố P không chứa B , suy ra P Pngto  ={0} và A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố A/P. Định nghĩa 1.4.5.4: Tổng các ideal luỹ linh không nhất thiết là ideal luỹ linh, gọi tổng này là N(0), ta định nghĩa một dãy siêu hạng các ideal như sau:  nếu  là một bản số nào đó mà không là bản số giới hạn , =  +1, ta định nghĩa N( ) là ideal của A sao cho N( )/N(  ) là tổng tất cả các ideal luỹ linh của A/ N( )  N ếu  là bản số giới hạn, nghĩa là không có bản số đứng ngay trứơc nó, ta đặt N( )= N( )   . Khi đó ta có N( )N( ’) nếu  < ’ và tồn tại bản số đầu tiên  sao cho N( )= N( +1).Ta gọi N( ) này là nil radical dươí của A,ký hiêu lnA. Định nghĩa 1.4.5.5:  Đại số A được gọi là lũy linh địa phương nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều sinh ra một đại số con lũy linh  Một ideal I của A được gọi là ideal lũy linh địa phương nếu A/I là đại số lũy linh địa phương Nhận xét:  Mọi ideal lũy linh đều là lũy linh địa phương  Mọi ideal lũy linh địa phương đều là nil ideal Mệnh đề 1.4.5.5:  Tồn tại duy nhất một nil ideal tối đại của đại số A chứa mọi nil ideal của A, Nil ideal đó được gọi là upper nil radical của A, ký hiệu : Un(A)  Tồn tại duy nhất một ideal luỹ linh địa phương tối đại của đại số A, chứa mọi ideal luỹ linh một phía của A, ideal luỹ linh địa phương tối đại này được gọi là Levitzki nil radical cuûa A, ký hiệu: L(A). Mệnh đề 1.4.5.6:  A/Un(A) không chứa nil ideal khác 0. suy ra Un(A/Un(A))=0  A/ln(A) không chứa ideal luỹ linh khác 0  L(A/L(A))=0  Ln(A) L(A)Un(A) rad(A)  Ln(A)= P P  với P là ideal nguyên tố của A 1.4.6. Đại số thoả mãn đồng nhất thức (P.I đại số) Định nghĩa 1.4.6.1:  Cho X là vị nhóm tự do sinh bởi tập đếm được các phần tửx , ,..., ,...1 2x xn .Lúc đó X là tập được xác định : X= 1, ... ,... 1 2 x x xi i ir   