Luận văn Một số phương pháp nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tăng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN PGS. TS. Nguyễn Bích Huy đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Quí thầy cô của trường đã nhiệt tình giảng dạy trong quá trình em học tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em hoàn thành luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2009 Học viên Nguyễn Thị Thu Hà MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành từ những năm 1940, tiếp tục được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Lý thuyết này tìm được những ứng dụng đa dạng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, Trong lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự thì lớp phương trình với toán tử tăng đóng vai trò quan trọng. Các kết quả về toán tử dạng này cho phép nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xấp xỉ nghiệm của các phương trình chứa các toán tử không liên tục vốn xuất hiện tự nhiên từ các bài toán thực tế. Đã có nhiều định lí về điểm bất động của ánh xạ tăng, được chứng minh bằng các phương pháp khác nhau trong các bài báo của Krasnoselskii, Bakhtin, Carl, Heikkila, Nguyễn Bích Huy, Để có thể tìm ra các định lí dạng mới về điểm bất động của ánh xạ tăng hoặc để nghiên cứu các lớp ánh xạ gần với ánh xạ tăng thì cần có sự nhìn lại, phân tích các phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu ánh xạ tăng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng mà chúng tôi tìm hiểu được qua các bài báo khoa học. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là điểm bất động của ánh xạ tăng. Phạm vi nghiên cứu: luận văn trình bày bốn phương pháp nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ tăng. Đó là: phương pháp áp dụng nguyên lí đệ qui mở rộng; phương pháp áp dụng dãy qui nạp siêu hạn; phương pháp áp dụng nguyên lí Entropy; phương pháp sử dụng mêtric đặc biệt và ánh xạ co. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được ứng dụng trong việc chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu tính chất của nghiệm của các phương trình vi phân, tích phân phát sinh trong Toán học, Vật lí, Sinh học, cũng như trong nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học, 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có bốn chương. Chương 1: trình bày nguyên lí đệ qui mở rộng, ứng dụng của nó trong việc tìm điểm bất động của ánh xạ tăng. Chương 2: tìm hiểu ứng dụng của số siêu hạn vào bài toán điểm bất động của ánh xạ tăng. Chương 3: trình bày nguyên lí Entropy và ứng dụng của nó vào bài toán điểm bất động. Chương 4: ứng dụng của ánh xạ co suy rộng trong bài toán điểm bất động; khảo sát sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ có tính chất lõm. Vì khả năng và thời gian có hạn nên bản luận văn này chắc có thể thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và độc giả. Chương 1. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG NGUYÊN LÍ ĐỆ QUI MỞ RỘNG 1.1. Nguyên lí đệ qui mở rộng Định nghĩa 1.1.1 Cho tập P   , khi đó  ,P  được gọi là tập sắp thứ tự một phần nếu trên P có quan hệ thứ tự  thỏa: i. Phản xạ: x x x P   . ii. Đối xứng: Nếu x y và y x thì ,x y x y P   . iii. Bắc cầu: Nếu x y và y z thì , ,x z x y z P   . Ta kí hiệu x y nếu x y và x y . Ví dụ.      , , , , ,   là các tập được sắp thứ tự. Định nghĩa 1.1.2 Tập hợp P có thứ tự gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của nó đều có phần tử đầu tiên.  Với ,C P x P  , ta kí hiệu  xC y C y x   . Mệnh đề 1.1.1 (Nguyên lí đệ qui) Cho D là tập hợp các tập con của tập sắp thứ tự  , ,P D  và ánh xạ :F D P . Khi đó, tồn tại duy nhất tập sắp tốt C của P sao cho: 1)  xx C x F C   . (*) 2) Nếu C D thì  F C không phải là cận trên chặt của C . (**) Chứng minh. Đặt  0x F P   . Gọi M là tập tất cả các xích sắp tốt 'C của P có tính chất: 'x C thì  'xx F C . Ta có M  vì  0'C x M  . Ta sẽ chứng minh ' ' C M C M   . Bổ đề 1.1.1 Nếu 1 2,C C M và 2 1C C thì 1 2xC C với  2 1min \x C C . Chứng minh.  Vì  2 1min \x C C nên 2 1xC C Thật vậy, lấy 2xy C thì 2y C và y x . Mà  2 1min \x C C nên 2 1\y C C . Suy ra 1y C .  Giả sử 1 2\ xC C   Đặt  1 2min \ xy C C . Khi đó, ta có  1 2 1 2y xC C C C   (do 2 1xC C ) Ta sẽ chứng minh 1 2y xC C . Giả sử 1 2y xC C . Khi đó tồn tại  2 1min \x yz C C nên  2 1zx yC C . Suy ra 2 1 z yC C (vì z x ) (1) Mặt khác  2 1 2xz C C C   nên 1z C . Mà 1 yz C . Do đó y z . Suy ra 2 2y zC C . Ta có 1 2 y xC C nên 1 2y yC C (Lấy 1 2 2 2,y x yz C C z C z y z C       ) Do đó 1 2y zC C (2) Từ (1) và (2) suy ra 2 1z yC C Hay    2 1z yz F C F C y   , mâu thuẫn vì 2xz C và 2xy C . Vậy 1 2y xC C hay    1 2y xy F C F C x   , mâu thuẫn vì 1y C và 1x C . Vậy 1 2\ xC C  .  Ta đã chứng minh được 2 1 xC C và 1 2\ xC C  . Do đó 1 2xC C . Bổ đề 1.1.2 Giả sử  ,xx F C x y C M    . Khi đó x C . Chứng minh.  Vì y C M  nên  yy F C . Do x y nên ta có x yC C . Hơn nữa dấu “=” không xảy ra vì    x yx F C y F C   . Như vậy  min \y xz C C   Ta sẽ chứng minh x z thì sẽ có x C . Trước tiên, ta chứng minh x zC C Do  min \y xz C C nên z xC C (Thật vậy, lấy zu C , ta có ,u C u z y   . Mà  min \y xz C C suy ra \y x xu C C u C   ) Giả sử dấu “=” không xảy ra. Khi đó \x zt C C  Vì t và z thuộc C nên chúng so sánh được với nhau. Và từ cách chọn t , ta có z t x  . Tức là xz C , mâu thuẫn vì  min \y xz C C . Do đó x zC C Suy ra    x zx F C F C z   . Vậy x C . Chứng minh mệnh đề 1.1.1 Theo bổ đề 1.1.1 thì hai xích bất kì thuộc M đều chứa nhau. Đặt ' ' C M C C    .  Chứng minh C sắp tốt Lấy tập con ,A C A  . Ta sẽ chứng minh minx A  Chọn 1C M sao cho 1A C  Do 1C sắp tốt nên  1minx A C   . Ta chứng minh minx A Lấy y bất kì thuộc A . Ta chứng minh ,x y y A   . Khi đó, 2C M  sao cho 2y C Nếu 1y C thì 1y C A  do đó x y Nếu 1y C thì 2 1C C nên theo bổ đề 1.1.1 ta có 1 2kC C với  2 1min \k C C Có 2 1,y C y C  nên 2 1\y C C do đó k y Suy ra 2 2 k yC C tức là 1 2 2k yC C C  Do 1 2 yx C C  nên x y . Vậy ,x y y A   . Suy ra minx A tồn tại hay C là xích sắp tốt.  Chứng minh C thỏa (*) / Lấy x C thì tồn tại 1C M sao cho 1x C Lấy xy C thì tồn tại 2C M sao cho 2xy C Nếu 2 1C C thì 2 1x xC C do đó 1xy C Nếu 2 1C C thì theo bổ đề 1.1.1 ta có  1 2 2 1, min \kC C k C C  Do 1 1 2, kx C C C  nên 2kx C . Suy ra x k  1 2 2xx k xC C C   Mà 2 xy C nên 1xy C . Tức là 1 ,x xy C y C   hay 1x xC C Hiển nhiên ta có 1x xC C . Do đó 1x xC C Suy ra    1x xx F C F C  (do 1C M ). Vậy C M . / Giả sử  xx F C . Cần chứng minh x C . Giả sử trái lại x C . Ta đã chứng minh C M nên từ bổ đề 1.1.2, ta phải có ,x y y C   (1) Hiển nhiên xC  vì nếu không, ta có   0x F x C    . Đặt  1 xC C x  . Chứng minh 1C sắp tốt Với  1, ,D C D D x   thì ta có  min min xD C D nên theo định nghĩa 1.1.2 ta có 1C sắp tốt (  min xC D tồn tại vì ,x xC D C C C   sắp tốt và theo định nghĩa 1.1.2) Do (1) nên 1 1, y yC C y C   Thật vậy, lấy  1 xy C C x   Nếu y x thì   1 1 xy x x x yC C C x C C     Nếu xy C thì y x nên ta có   1 yy x yC C x C   Do đó 1C M Thật vậy, lấy 1y C , chứng minh  1yy F C Nếu y x thì      1x y yy x F C F C F C    Nếu xy C thì y C mà C M nên    1y yy F C F C  Suy ra x C , mâu thuẫn. Ta có điều phải chứng minh.  Chứng minh C thỏa (**) Thật vậy, nếu C D và  a F C là một cận trên chặt của C , thì aC C . Suy ra    aF C F C a  Do (*) nên ta có a C (mâu thuẫn vì a là cận trên chặt của C ) Vậy C thỏa (**). Kết luận: Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn. 1.2. Tập xấp xỉ liên tiếp từ một điểm đối với một ánh xạ Bổ đề 1.2.1 Cho tập có thứ tự  ,P  , ánh xạ :G P P và a P . Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho mina C và   sup xa x C x G C     I Chứng minh.  Xét     supD A P G A    toàn taïi và ánh xạ :f D P xác định bởi  f a  và    supf A G A với A D   Rõ ràng f được định nghĩa tốt.  Theo mệnh đề 1.1.1 (nguyên lí đệ qui) thì tồn tại duy nhất xích sắp tốt C của P sao cho 1)  xx C x f C   2) Nếu C D thì  f C không phải là cận trên chặt của C .  Ta kiểm tra C thỏa  I . Đặt 0 minx C (vì C sắp tốt nên tồn tại min) Ta có 0x C nên theo 1) ta có    00 xx f C f a    tức là mina C . Với a x thì xC   . Do đó    supx xx C x f C G C    (định nghĩa f ). Vậy C chính là xích sắp tốt duy nhất của P thỏa điều kiện  I . Định nghĩa 1.2.1 Xích C được xây dựng như trên gọi là xích sắp tốt (w.o) của phép lặp G từ a . Định lí 1.2.1 Cho tập có thứ tự  ,P  , ánh xạ : ,G P P a P  . Giả sử C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Nếu a Ga và  * supx G C tồn tại thì * maxx C và * *Gx x . Chứng minh. Giả sử a Ga và  * supx G C tồn tại. Ta chứng minh * maxx C  Lấy x C Nếu x a thì do   *supa Ga G C x   nên *x x Nếu a x C  ta có     *sup supxx G C G C x   Suy ra *,x x x C   .  Giả sử *x C Khi đó ta có *,x x x C   hay *xC C Ta có    ** sup sup xx G C G C  Suy ra *x C (mâu thuẫn). Do đó *x C . Vậy ta đã chứng minh được * maxx C . Và  * *supGx G C x  . Bổ đề 1.2.2 Nếu A và B là tập con của P và nếu sup , supA B tồn tại thì    sup sup sup , supA B A B  . Chứng minh. Dễ thấy hai tập hợp A B và  sup , supA B có cận trên giống nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.2 Cho C là xích sắp tốt. Với mỗi , maxx C x C  , sẽ có một phần tử tiếp sau Sx trong C , ta có  : min /Sx y C x y   . Mệnh đề 1.2.1 Cho :G P P là ánh xạ tăng và a Ga . Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Khi đó: a. Nếu x C thì x Gx và Gx C . b. Sa tồn tại khi và chỉ khi a Ga và do đó Sa Ga . c. Nếu a x C  thì Sx tồn tại khi và chỉ khi Gx x và  sup ,x Gx tồn tại, và do đó  sup ,Sx x Gx . d. Nếu a x C  thì sup xx C khi và chỉ khi x không là phần tử tiếp sau. e.  G C là xích sắp tốt của P . Chứng minh. a. Lấy x C , chứng minh x Gx Nếu x a thì x Gx (do giả thiết a Ga ) Nếu a x C  ta có xy C  thì y x mà G tăng nên Gy Gx Suy ra  sup xG C Gx hay x Gx . Vậy x C thì x Gx .  Chứng minh Gx C Ta chỉ cần xét trường hợp x Gx . Ta sẽ chứng minh  Gx xC C x  . Thật vậy Hiển nhiên có  x GxC x C  (do x Gx ) (1) Lấy Gxy C thì y C và y Gx Nếu x y thì yx C . Nên  sup yGx G C y  (mâu thuẫn vì y Gx ) Suy ra y x hay  ,x Gxy C x y C    hay  Gx xC C x  (2) Từ (1) và (2) suy ra  Gx xC C x  Do đó     sup supGx xG C G C x Gx   do G tăng. Vậy Gx C . b. Nếu Sa tồn tại thì do Sa a , Sa C khi và chỉ khi  sup SaSa G C (theo  I ) Mà    Sa aC C a a   (vì mina C nên aC  ) nên   supSa G a Ga  và a Sa Ga  .  Đảo lại, giả sử a Ga . Chứng minh Sa tồn tại. Ta có  GaC a . Thật vậy Hiển nhiên   Gaa C do a Ga Ta chứng minh  GaC a . Lấy Gax C ta có x C và x Ga Nếu a x thì xa C nên  sup xGa G C x  (do  I ) mâu thuẫn vì x Ga . Vậy x a , mà mina C nên x a hay  x a tức là  GaC a Vậy  GaC a . Khi đó:     sup supGaG C G a Ga  do  I nên Ga C . Ta có a Ga C  nên maxa C Theo định nghĩa ta có Sa tồn tại. c. Giả sử a x C  và Sx tồn tại Áp dụng  I , định nghĩa 1,2,2 và bổ đề 1.2.2 ta có        sup sup sup sup , Sx x x Sx G C G C x G C Gx x Gx               Vì  sup ,x Sx x Gx  nên Gx x .  Đảo lại, giả sử a x C  và Gx x và  sup ,z x Gx tồn tại. Ta chứng minh Sx tồn tại. Ta có  z xC C x  (tương tự a) Theo bổ đề 1.2.2 và ( )I , ta có             sup , sup sup sup x x z z x Gx G C Gx G C x G C         Suy ra z C do ( )I . Như vậy ta có x z C  nên maxx C . Theo định nghĩa 1.2.2 ta có Sx tồn tại. d. Giả sử a x C  và x không là phần tử tiếp sau Rõ ràng x là một cận trên của xC . Lấy w là một cận trên khác của xC . Với xy C thì a y x  Do y C và maxy C nên tồn tại Sy . y a thì do b) ta có a Sa Ga  . y a thì do c)  sup ,Sy y Gy Vậy với xy C ta luôn có  sup ,Sy y Gy . Suy ra xGy Sy C  (do y x và x Sy nên Sy x ) Do đó , xGy w y C   . Suy ra  sup xG C w hay x w (do ( )I ) Như vậy theo định nghĩa sup ta có sup xx C .  Giả sử x là phần tử tiếp sau, tức là x Sy với y nào đó thuộc C . Khi đó xy Sy x y C    Ta chứng minh , xz y z C   . Thật vậy Nếu tồn tại xz C và y z thì x Sy z  mâu thuẫn vì xz C . Khi đó sup xSy x C y   , mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh. Các kết quả trên kéo theo các hệ quả sau. Hệ quả 1.2.1 Nếu C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a P thì a. maxa C khi và chỉ khi a Ga . b. Nếu a x thì maxx C khi và chỉ khi Gx x hoặc  sup ,x Gx không tồn tại. Chứng minh. a. Suy ra từ mệnh đề 1.2.1.b) b. Suy ra từ mệnh đề 1.2.2.c) Hệ quả 1.2.2 Cho C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a P . Ta có Nếu x C thì Gx Sx khi và chỉ khi x Gx . Chứng minh. / Hiển nhiên Gx Sx x  / Ta có x C và x Gx Theo mệnh đề 1.2.1.a) x C nên Gx C . Khi đó tồn tại  sup ,x Gx Gx do x Gx Theo mệnh đề 1.2.1.c) ta có tồn tại  sup ,Sx x Gx Gx  (đpcm). 1.3. Điểm bất động của ánh xạ tăng Định lí 1.3.1 Cho tập sắp thứ tự P , ánh xạ tăng :G P P . a là một cận dưới của  G P . Giả sử tồn tại  * supx G C với C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Khi đó  * * max minx Gx C a x Gx x     Đặc biệt *x là điểm bất động bé nhất của G . Chứng minh.  Vì a là cận dưới của  G P nên a Ga . Mà theo giả thiết ta có  * supx G C tồn tại Nên theo định lí 1.2.1 thì * maxx C và * *Gx x Mặt khác theo mệnh đề 1.2.1 thì *x C nên * *x Gx Suy ra * * maxx Gx C   Chứng minh  * min /x a x Gx x   Đặt  /D a x Gx x   Lấy y D , ta cần chứng minh *x y . Thật vậy Giả sử *x y . Ta có  /A x C x y    vì *x A . Đặt minz A ta có z y Mà a y nên z a hay zC   Với zt C thì t y theo định nghĩa z . Suy ra  sup zz G C Gy y   do y D . Mâu thuẫn. Vậy  * , /x y y D a x Gx x      hay  * min /x a x Gx x   (do * maxx C a  và * *Gx x nên *x D ) Kết luận:  * * max min /x Gx C a x Gx x      Đặc biệt D chứa tất cả các điểm bất động của G . Mà * minx D nên *x là điểm bất động bé nhất của G . Do sự tương tự, nếu ta xét tập với quan hệ thứ tự  thì các kết quả ở 1.1, 1.2, 1.3 vẫn còn đúng. Đặc biệt ta có kết quả sau Định lí 1.3.2 Cho ánh xạ :F P P và b P . Khi đó tồn tại duy nhất xích sắp tốt nghịch đảo 'C của phép lặp F từ b thỏa  'I max 'b C  ' inf 'xb x C x F C    Nếu b Fb , F tăng và  * inf 'x F C tồn tại thì  min ' maxx Fx C b x Fx x      và x là điểm bất động lớn nhất của F . Từ các định lí 1.3.1, 1.3.2 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.3.1 Cho P là tập sắp thứ tự một phần và ánh xạ tăng :G P P a. Nếu  G P có một cận dưới và mọi xích sắp tốt của  G P đều có sup thì G có điểm bất động bé nhất *x và  * min /x x Gx x  . b. Nếu  G P có một cận trên và mọi xích sắp tốt của  G P đều có inf thì G có điểm bất động lớn nhất *x và  * max /x x Gx x  . Chứng minh. Ta chỉ chứng minh a), trường hợp b) hoàn toàn tương tự. Gọi a là cận dưới của  G P , ta có a Ga Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Theo mệnh đề 1.2.1 thì  G C C và  G C là xích sắp tốt của  G P . Do đó theo giả thiết thì  * supx G C tồn tại. Áp dụng định lí 1.3.1 ta có đpcm. Định nghĩa 1.3.1 Tập hợp sắp thứ tự một phần P được gọi là đầy đủ tương đối theo thứ tự nếu A P   là tập sắp tốt (hoặc sắp tốt nghịch đảo) thì tồn tại supA P (tương ứng inf A P ). Nếu A P thì P gọi là tập sắp tốt đầy đủ. Định nghĩa 1.3.2 Cho tập hợp sắp thứ tự một phần P . Khi đó: a. c được gọi là sup – center của P nếu tồn tại  sup , ,c y P y P   . b. c được gọi là inf – center của P nếu tồn tại  inf , ,c y y P  . c. c được gọi là order – center của P nếu nó vừa là sup – center vừa là inf – center của P . Với , ,a b P a b  . Kí hiệu             , , , , a x P a x b x P x b a b x P a x b           Định lí 1.3.3 Cho  ,P  là tập sắp thứ tự một phần, :G P P là ánh xạ tăng và  G P là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P . Khi đó a. Nếu P có một sup – center c thì G có điểm bất động x thỏa mãn   max /x x b x Gx    . với     min / sup ,b x c c Gx x   . b. Nếu P có một inf – center c thì G có điểm bất động x thỏa mãn   min /x x a Gx x    . với     max / inf ,a x c x c Gx   . Chứng minh. Ta chỉ chứng ming trường hợp a), còn trường hợp b) chứng minh tương tự.  Xét ánh xạ :f P P xác định bởi    sup ,f x c Gx . Hiển nhiên f được định nghĩa tốt. Khi đó, rõ ràng f tăng và  f P là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự (vì G tăng,  G P đầy đủ tương đối theo thứ tự)  Ta có    sup ,c c Gc f c  hay c là cận dưới của  f c . Gọi C là xích sắp tốt của f từ c . Vì  f P đầy đủ tương đối và    f C f P là tập sắp tốt nên theo định nghĩa 1.3.1 sẽ tồn tại  supb f C . Theo định lí 1.3.1 thì là điểm bất động b của f và     min /b x c f x x    Ta có    sup ,b f b c Gb  nên Gb b . Gọi 'C là xích sắp tốt nghịch đảo của G từ b . Khi đó vì  'G C sắp tốt nghịch đảo và  G P đầy đủ tương đối nên tồn tại  inf 'x G C  . Theo định lí 1.3.2 thì x là điểm bất động của G và   max /x x b x Gx    với     min / sup ,b x c c Gx x   . Hệ quả 1.3.2 Cho  ,P  là tập sắp thứ tự một phần có order – center c và ánh xạ tăng :G P P ,  G P là tập đầy đủ tương đối theo thứ tự trong P . Khi đó a. Phương trình  inf ,x c Gx có nghiệm lớn nhất trong  c . b. Phương trình  sup ,x c Gx có nghiệm bé nhất trong  c . c. G có điểm bất động bé nhất x và điểm bất động lớn nhất x trong  ,a b với ,a b xác định ở định lí 1.3.3. Hệ quả 1.3.3 Cho P là tập sắp thứ tự tốt đầy đủ và có một order – center. Khi đó, mỗi ánh xạ tăng :G P P đều có điểm bất động lớn nhất x và điểm bất động bé nhất x thỏa định lí 1.3.3. Ví dụ Kí hiệu   1 2 1 2, ,..., / ... pp pm pm mP x x x x x x r      với  0,p  và 0r  . Giả sử P được sắp thứ tự theo “thứ tự từng tọa độ” (nghĩa là nếu  1 2, , , ,..., mx y P x x x x  và  1 2, ,..., my y y y thì , 1,i ix y x y i m     ). Khi đó, mọi ánh xạ tăng :G P P đều có điểm bất động x và x thỏa định lí 1.3.3. Chứng minh. Đặt  0,0,...,0c  thì c là order – center của P . Thật vậy, lấy  1 2, ,... mx x x x P  , ta có         1 2sup , max 0, ,max 0, ,...,max 0, mc x x x x và  max 0, , 1,i ix x i m   Suy ra  sup ,c x P hay c là sup – center của P . Tương tự c là inf – center của P . Vậy c là order – center. Mặt khác P là tập đóng, bị chặn, con của m nên P là đầy đủ tương đối theo thứ tự. Áp dụng hệ quả 1.3.2 ta có đpcm. Định lí 1.3.4 Cho P là tập sắp thứ tự một phần và a P . Giả sử ánh xạ tăng :G P P thỏa a Ga và C là xích sắp tốt của phép lặp G từ a . Xét dãy lặp  n nx thỏa 0 1, n nx a x Gx  .