Luận văn Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Ngọc Thanh Trang MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Ngọc Thanh Trang MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 2 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và hỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫn và giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán - Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ý cho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạch tài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ này. 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ....................................................................................... 1 Lời cảm ơn ........................................................................................... 2 Mục lục ................................................................................................ 3 Mở đầu ................................................................................................. 6 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................... 8 1.1.Đa tạp khả vi .................................................................................. 8 1.1.1.Đa tạp khả vi ............................................................................ 8 1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều .......................................................... 8 1.1.1.2. Ánh xạ khả vi..................................................................... 9 1.1.2. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc ................................ 9 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc pT M .................. 10 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc ............................................................... 11 1.1.2.3. Trường vectơ ..................................................................... 12 1.1.2.4. Trường mục tiêu ................................................................ 12 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ ............................................ 12 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc .................................................................. 13 1.1.3. Đa tạp con ............................................................................... 14 1.1.4. Trường tenxơ ........................................................................... 14 1.1.4.1. Tích tenxơ ......................................................................... 14 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến ..................................... 15 1.1.4.3. Trường tenxơ .................................................................... 16 1.2. Lý thuyết liên thông ...................................................................... 18 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp ............................ 18 1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ ..................................... 20 1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong ....................................................... 20 4 1.2.4. Đường trắc địa ......................................................................... 21 1.3. Đa tạp Riemann ............................................................................. 23 1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann ....................................................... 23 1.3.2. Liên thông Riemann ................................................................ 23 1.3.2.1. Định nghĩa liên thông Riemann ......................................... 23 1.3.2.2. Định lý ............................................................................... 23 1.3.3. Liên thông Levi – Cita ............................................................. 25 1.3.3.1. Định nghĩa ......................................................................... 25 1.3.3.2. Định lý ............................................................................... 25 1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann ................................................... 26 1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan .................................... 26 1.3.4.2. Độ cong thiết diện .............................................................. 27 1.3.4.3. Độ cong Ricci .................................................................... 27 1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp Riemann ................................ 28 1.3.6. Tính đầy của đa tạp Riemann ................................................... 28 1.3.6.1. Định lý ............................................................................... 28 1.3.6.2. Bổ đề ................................................................................. 29 Chương 2: ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN..... 30 2.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. ...................................................................... 30 2.1.1. Đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann. Công thức Gauss .......................................... 30 2.1.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 31 2.1.1.2. Mệnh đề ............................................................................. 34 2.1.2. Công thức Weingarten ............................................................. 37 2.1.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 38 2.1.2.2. Mệnh đề ............................................................................. 40 5 2.1.3. Một số ví dụ minh họa ............................................................. 41 2.2. Phương trình của Gauss và Codazzi .............................................. 44 2.2.1. Phương trình Gauss ................................................................. 44 2.2.1.1. Mệnh đề ............................................................................. 45 2.2.1.2. Hệ quả ............................................................................... 46 2.2.1.2.1. Ví dụ ............................................................................ 46 2.2.1.2.2. Ví dụ ............................................................................ 47 2.2.2. Phương trình của Codazzi ........................................................ 48 2.2.2.1. Mệnh đề ............................................................................. 49 2.2.2.2. Hệ quả ............................................................................... 49 2.2.2.3. Mệnh đề ............................................................................. 51 2.2.2.4. Mệnh đề ............................................................................. 52 2.2.2.5. Định lý ............................................................................... 53 2.2.2.6. Bổ đề ................................................................................. 53 2.3. Các siêu mặt trong một không gian Euclide ................................... 55 2.3.1. Tính chất cơ bản ...................................................................... 55 2.3.2. Định nghĩa ............................................................................... 58 2.3.3. Biểu thức Tenxơ Ricci của siêu mặt ........................................ 62 2.3.4. Tính chất của đa tạp Anhstanh ................................................. 62 2.3.4.1. Định lý .............................................................................. 62 2.4. Định lý cơ bản cho các siêu mặt .................................................... 68 2.4.1. Định lý..................................................................................... 68 2.4.2. Bổ đề ....................................................................................... 69 2.4.3. Bổ đề ...................................................................................... 70 2.4.4. Bổ đề ....................................................................................... 72 Kết luận ................................................................................................ 75 Tài liệu tham khảo ................................................................................ 77 6 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học Riemann là nột trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân. Ra đời từ thế kỷ XVIII nhưng do những ứng dụng sâu sắc của nó trong thực tế, hình học Riemann vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Nhà toán học Đức Georg Friedrich bernhard Riemann ( 17 tháng 9, 1826 – 20 tháng 7, 1866), một học trò xuất sắc của nhà tóan học thiên tài K.F.Gauss, là người đầu tiên mở rộng các kết quả nghiên cứu về hình học vi phân từ không gian ba chiều thông thường ( cụ thể là lý thuyết về các mặt trong không gian Euclide ba chiều) sang các không gian nhiều chiều. Những công trình của ông được nhiều nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ và sau này nghiên cứu và phát triển trở thành một lý thuyết quan trọng của hình học vi phân mang tên ông gọi là hình học Riemann. Hình học Riemann có những đóng góp to lớn chẳng những trong sự phát triển của toán học mà cả trong đời sống thực tế. Lý thuyết tương đối của nhà bác học Einstein đã dựa trên cơ sở toán học là hình học Riemann. Từ việc nghiên cứu hình học Riemann bằng những công cụ toán học hiện đại, nhiều môn hình học khác như hình học Finsler, hình học phức, hình học Symplectic, đã ra đời và phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Khi chọn đề tài “ Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann”, chúng tôi muốn tìm hiểu một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của hình học vi phân. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài này, chúng tôi muốn mở rộng các kết quả đã biết của lý thuyết mặt trong không gian Euclide ba chiều đã học ở đại học. Luận văn này được thực hiện nhằm chứng minh một cách đầy đủ một số định lý và 7 mệnh đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận văn tập trung nghiên cứu một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann, cụ thể là nghiên cứu về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của đa tạp con của một đa tạp Riemann, và các siêu mặt trong không gian Euclide. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này tạo ra những cơ sở mở đầu để nghiên cứu về đa tạp con của một đa tạp Riemann. 5. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: hệ thống lại các kiến thức chuẩn bị về tôpô vi phân và hình học vi phân, gồm các khái niệm cơ bản và các định lý cơ sở, làm nền tảng xây dựng chương 2. Chương 2: nghiên cứu về đa tạp con của đa tạp Riemann, bao gồm các vấn đề về đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai, các phương trình của Gauss và Codazzi, các siêu mặt trong không gian Euclide và định lý cơ bản cho các siêu mặt. 8 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đa tạp khả vi 1.1.1.Đa tạp khả vi 1.1.1.1. Đa tạp khả vi n chiều Cho M là một không gian tôpô Hausdoff có cơ sở đếm được . M được gọi là đa tạp tôpô n - chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Euclide n
, tức là : • ∀ x M∈ , ∃ lân cận U của x và một đồng phôi • :U Vϕ → mở n⊂
Giả sử M là đa tạp tôpô n - chiều , cặp ( ,U ϕ ) xác định trên được gọi là một bản đồ trên M . Một atlas (tập bản đồ) khả vi lớp kC ( 1k ≥ ) là một họ C = { }( , ) :i iU i Iϕ ∈ các bản đồ thỏa mãn hai điều kiện a) Họ { }iU là một phủ mở của M. b) Với hai bản đồ ( , )i iU ϕ và ( , )j jU ϕ , i jU U∩ ≠ ∅ , ánh xạ 1j i−ϕ ϕ xác định trên ( )i i jU Uϕ ∩ là ánh xạ khả vi lớp kC từ ( )i i jU Uϕ ∩ lên ( )j i jU Uϕ ∩ . Hai tập bản đồ C1 = { }( , ) :i iU i Iϕ ∈ và C2 = { }( , ) :j jV j Jψ ∈ khả vi lớp kC được gọi là tương thích với nhau , nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp kC . Quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp kC . Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp kC trên M. Đa tạp tôpô n - chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp kC cho trên nó 9 được gọi là một đa tạp khả vi n - chiều lớp kC .Nếu k = ∞ , cấu trúc khả vi tương ứng được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn. 1.1.1.2.Ánh xạ khả vi Giả sử M , N là hai đa tạp khả vi với số chiều m , n tương ứng . Ánh xạ liên tục f : M→N được gọi là khả vi tại p M∈ nếu với mọi bản đồ ( , )U ϕ quanh p và ( , )V ψ quanh f(p) = q sao cho ( )f U V⊂ thì ánh xạ 1f −ψ ϕ  : ( ) ( )U Vϕ → ψ là khả vi tại điểm ( ) mpϕ ∈
Ánh xạ f là khả vi , nếu nó khả vi tại mọi điểm p M∈ . Cho ánh xạ khả vi f : M→N , p M∈ , ( , )V ψ là bản đồ địa phương quanh ( )pϕ , các tọa độ được cho bởi n hàm jy trên V . Giả sử ( , )U ϕ là bản đồ quanh p M∈ , các tọa độ cho bởi 1(.) ( ,..., )mx xϕ = với ( )f U V⊂ Ánh xạ 1f −ψ ϕ  được cho bởi biểu thức 1 2( , ,..., ), 1,2,...,j j my h x x x j n= = ( jh là những hàm khả vi). Hạng của ma trận j i h x  ∂  ∂  (m ×n) tại 1( ) ( ( ),..., ( ))mp x p x pϕ = không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương , được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p. Khi đó f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều bằng m = dim M . Ánh xạ f được gọi là một nhúng nếu f là một dìm và f là một đồng phôi từ M lên f(M). 1.1.2.Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc 10 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc pT M Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp kC . Một đường cong khả vi lớp rC trên M là một ánh xạ c: J M→ (0 J∈ mở ⊂
) khả vi lớp kC . Ánh xạ f: M→
lớp rC được gọi là một hàm khả vi lớp rC trên M . Kí hiệu F r(M) là tập hợp hàm khả vi ( lớp rC ) trên M , F r(p) là tập hợp các hàm khả vi lớp rC trong lân cận của p , 1pC (M) là tập các đường cong c khả vi lớp 1C trên M sao cho c(0) = p. Ta xét một quan hệ “∼ ” trên 1pC (M) như sau: 1 2: , :c J M c J M→ → sao cho 1 2(0) (0)c c p= = Ta nói 1 2c c ⇔∼ có bản đồ (U ,x) quanh x sao cho với I = 1,2,,m. Khi đó quan hệ “∼ ” là một quan hệ tương đương trên tập hợp các đường cong khả vi lớp 1C qua p M∈ . Mỗi lớp tương đương đối với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp xúc tại p của M . Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là pT M . Ta mô tả cấu trúc của pT M . Tập F k(p) với các phép toán cộng và nhân tự nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
– đại số. Ta gọi một đạo hàm tại p là một hàm v: F k(p)→
thỏa mãn hai điều kiện • v là ánh xạ tuyến tính giữa các
– không gian vectơ. • v(f.g) = v(f) . g(p) + f(p) . v(g) , ∀ f ,g ∈ F k(p). Giả sử [c] pT M∈ , ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau : ( ) ( )1 20 0i it td dx c x cdt dt= ==  11 Với f ∈ F k(p) , đặt [c](f) = 0( ) d f c t dt  (1) Khi đó quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của [c] , nó thỏa mãn hai tính chất trên . Bằng đồng nhất này , ta có một đơn ánh từ pT M vào không gian các đạo hàm tại p . Xét bản đồ địa phương (U , x) quanh p sao cho 1( ,..., )mx x x= . Với mỗi j , xét đường cong 1( ) ( ( ) )j jc t x x p te−= + , 1{0, ,..., }me e là mục tiêu trong m
, thì jc là đường cong trên M qua p , nó xác định vectơ tiếp xúc , kí hiệu j px ∂   ∂  . Ta có 1 ( ) ( ) ( )jj x p p f D f x x − ∂  = ∂   , với jD là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j . Ta viết ( )j j p p ff x x ∂ ∂    =   ∂ ∂    . Khi đó pT M chính là không gian con m chiều của không gian vectơ các đạo hàm tại p , và hệ , 1,...,j p j m x  ∂   =  ∂    là cơ sở của không gian vectơ tiếp xúc pT M của đa tạp M tại p. 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc Giả sử M là đa tạp khả vi m chiều lớp kC . Xét p p M TM T M ∈ = ∪ . Đối với mỗi bản đồ (U, x) trên M , đặt p p U TU T M ∈ = ∪ . Xét ánh xạ  : ( ) mx TU x U→ ×
được xác định ( 1 , ( ) m j p j j p v T M v v x x= ∂  ∈ =  ∂ ∑ , x là một song ánh)  1( ) ( ( ), ( ),..., ( ))mx v x p v x v x= 12 Ta gọi ( , )TU x là bản đồ trên TM , kết hợp với (U , x) . Ta có thể trang bị cho TM một tôpô xác định duy nhất sao cho các bản đồ ( , )TU x trên TM có x là đồng phôi . Cụ thể , xét { }( , ),i iU V x i I= ∈ là một tập bản đồ trên M , : mi i ix U V→ ⊆
. Khi đó A mở trong TM khi và chỉ khi ( )iA TU∩ là tạo ảnh của tập mở trong miV ×
qua  ix , i I∀ ∈ . Khi đó , tập các bản đồ { },iTU x tạo thành một atlas khả vi lớp 1kC − , cho cấu trúc khả vi lớp 1kC − trên TM. TM cùng với cấu trúc khả vi xác định như trên là đa tạp khả vi 2m chiều , được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M. Ánh xạ :TM Mpi → với ( )v ppi = ( pv T M∈ ) là khả vi và có hạng cực đại. 1.1.2.3. Trường vectơ Cho M là đa tạp khả vi m chiều , TM là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M , U mở M⊂ . Trường vectơ khả vi trên M là ánh xạ khả vi X: M→TM sao cho . ( )X p ppi = ( p M∈ ) .Ta còn gọi X là nhát cắt khả vi xác định trên M. Tập các trường vectơ khả vi trên M được kí hiệu là V(M). Đa tạp M được gọi là khả song nếu tồn tại m trường vectơ tiếp xúc độc lập tuyến tính trên M , nghĩa là có m trường vectơ khả vi 1,..., mX X sao cho với mỗi p ∈M, 1( ),..., ( )mX p X p tạo thành cơ sở của pT M . 1.1.2.4. Trường mục tiêu Trường mục tiêu trên U mở M⊂ là hệ gồm n trường vectơ { }1,..., nX X trên U sao cho với mỗi p U∈ thì hệ { }1 ,...,p npX X là một cơ sở của ( )pT M . 13 Nếu với p U∀ ∈ , .ip jp ijX X = δ thì { }iX được gọi là trường mục tiêu trực chuẩn. 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ Với mỗi trường vectơ khả vi ( )X V M∈ , hàm khả vi f∈ F r(M), ta xác định hàm Xf∈ F r–1(M), với : 0,( )( ) ( ) ( ( ))p t dp M Xf p X f f c t dt = ∈ = =  . với X , Y là hai trường vectơ khả vi trên M , tích Lie của X và Y , kí hiệu [X , Y] được xác định như sau [ ], ( ) ( )X Y f X Yf Y Xf= − , f ∈ F r(M) 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc Giả sử ,M N là hai đa tạp khả vi với số chiều ,m n tương ứng và :f M N→ là ánh xạ khả vi. Với mỗi p M∈ , xét ( ):p p f pT f T M T N→ xác định như sau: Với , [ ], :pv T M v c c J M∈ = → mà (0)c p= , đặt: Ta thấy định nghĩa trên không phụ thuộc vào đường cong đại diện cho vectơ v. Ta xét biểu diễn địa phương của pT f . Giả sử ( , )U x là bản đồ địa phương quanh p, ( , )V y là bản đồ địa phương quanh ( )f p , sao cho ( )f U V⊂ . Khi đó , nếu 1 ( ) m i i i p v v x x = ∂ = ∂∑ thì Do đó pT f là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy ta xác định được ánh xạ :Tf TM TN→ , với ( )( ) ( )( )p pv T M Tf v T f v∈ ⇒ = . Ta có biểu đồ sau giao hoán: ( )( ) [ ]p f pT f v f c T N= ∈ 1 ( ) ( )( ) ( ) n j p j j f p T f v v y f y = ∂ = ∂∑  14 Tf f TM TN M N pi pi → ↓ ↓ → Ta thường kí hiệu pT f là *f p và Tf là *f và gọi là ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ khả vi f . 1.1.3. Đa tạp con Một ánh xạ : 'f