Luận văn Nghiên cứu didactic về phép kéo theo và phép tương đương trong dạy học Toán ở trung học cơ sơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------------------ LÂM THỊ NGỌC DUNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh-2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------------------ LÂM THỊ NGỌC DUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC : Thành phố Hồ Chí Minh-2009 Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Lương Công Khanh, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và đã cho tôi những ý kiến đóng góp quý giá giúp tôi hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cám ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent, PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PSG.TS. Lê Văn Tiến, TS. Nguyễn Chí Thành, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý Thầy Cô đã nhiệt tình và tận tâm khi tham gia giảng dạy lớp cao học chuyên nghành Didacdtic Toán khóa 17. Xin chân thành cám ơn : Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ toán trường trung học chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm (thành phố Vĩnh long) đã giúp đỡ và tạo mọi điểu kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cám ơn các bạn cùng lớp Didactic Toán khóa 17 đã luôn chia sẻ với tôi những buồn vui và khó khăn trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, tôi cũng xin chân thành cám ơn gia đình và những người thân thiết của tôi đã luôn động viên và ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua. Lâm Thị Ngọc Dung MỞ ĐẦU II. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Chúng tôi xin được bắt đầu bằng một bài toán hình học trong sách giáo khoa Toán lớp 8 như sau: “Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Tìm điều kiện của ABCD để tứ giác MNPQ là: a/ hình chữ nhật b/ hình thoi c/ hình vuông Chúng tôi ghi nhận được lời giải của một số học sinh lớp 8 sau đây: “Nếu tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (sau khi đã chứng minh được MNPQ là hình bình hành) thì MN MQ  Mà MN// AC Mà MQ// BD Nên AC BD  Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.” Lí luận tương tự, các em cũng kết luận rằng: “Vậy tứ giác MNPQ là hình thoi thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau”. “ Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau”. Như vậy, trong lời giải thật ra các em mới tìm được một điều kiện cần trong khi yêu cầu của bài toán là phải tìm điều kiện cần và đủ. Nói cách khác, học sinh chỉ mới đưa ra được một điều kiện để MNPQ là hình chữ nhật (tương ứng hình thoi, hình vuông) mà chưa chứng minh được rằng ngoài điều kiện đã nêu, bài toán không còn điều kiện nào khác. Vì vậy, học sinh đã nêu ra một lời giải đúng về mặt kết quả nhưng sai lầm về mặt lập luận. Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra các câu hỏi sau đây: - Phép kéo theo và phép tương đương được sách giáo khoa đưa vào ở thời điểm nào, bằng cách nào, và nhằm mục đích gì? - Quan hệ giữa phép kéo theo và phép tương đương được thể hiện như thế nào trong sách giáo khoa? - Cách trình bày của sách giáo khoa đã ảnh hưởng thế nào đến việc tiếp thu của học sinh? Tri thức này được học sinh vận dụng như thế nào? - Có những qui tắc nào của hợp đồng didactic về phép kéo theo và phép tương đương đã ảnh hưởng sâu sắc đến việc dạy và học khái niệm này? Nó có tạo những khó khăn cho học sinh khi vận dụng chúng để giải các bài tập cụ thể hay không? Ứng xử của giáo viên trước những “sai lầm” về mặt lôgic như đã nêu trong phần trên? III. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Để tìm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong lí thuyết didactic toán, cụ thể là :  Lí thuyết nhân chủng học didactic  mối quan hệ thể chế , cách tiếp cận sinh thái  mối quan hệ cá nhân  các tổ chức toán học  Khái niệm hợp đồng didactic IV.Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khuôn khổ của phạm vi lí thuyết tham chiếu vừa lựa chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm phép kéo theo, phép tương đương có thể được phân tích và tổng hợp từ các công trình nghiên cứu đã có? Những kiểu tình huống, những kiểu bài toán nào làm cho phép kéo theo, phép tương đương được xuất hiện? Những đối tượng toán học nào có ảnh hưởng đến sự hình thành và phát triển khái niệm này? Q2: Khái niệm phép kéo theo, phép tương đương được trình bày như thế nào trong chương trình và sách giáo khoa Toán lớp 7 nói riêng và các lớp ở trung học cơ sở nói chung? Những dạng bài tập nào được sách giáo khoa, sách bài tập ưu tiên đưa ra trong hệ thống bài tập mà ở đó phép kéo theo, phép tương đương có khả năng vận hành tốt nhất? Q3: Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm này của học sinh? Đâu là những chướng ngại của học sinh khi học khái niệm này? Q4: Những qui tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy- học khái niệm này? V. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã nêu ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau đây: - Phân tích, tổng hợp các tài liệu hoặc các công trình đã được công bố về lịch sử toán học hay về khoa học luận để làm rõ nghĩa của phép kéo theo, phép tương đương. Kết quả này sẽ là câu trả lời cho câu hỏi Q1 và là cơ sở tham chiếu cho mối quan hệ thể chế nghiên cứu ở phần sau. - Phân tích chương trình và sách giáo khoa Việt Nam có so sánh, đối chiếu với sách giáo khoa của Pháp. Đồng thời tiến hành phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm phép kéo theo, phép tương đương để làm rõ các câu hỏi Q2, Q3, Q4. Từ đó, có thể đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. - Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về tính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu nêu ra ở trên và làm rõ ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế của khái niệm này lên mối quan hệ cá nhân của học sinh. VI. Tổ chức của luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm có bốn chương: - Mở đầu: những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát - Chương 1: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. - Chương 2: Nghiên cứu khoa học luận về các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương. - Chương 3: Nghiên cứu sự vận hành của phép kéo theo, phép tương đương trong việc giải một số bài toán hình học tiêu biểu và trong việc giải các phương trình có chứa căn, các phương trình có chứa ẩn ở mẫu và các bài toán có tham số. - Chương 4: Thực nghiệm để kiểm tra rính thỏa đáng của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên. - Phần kết luận: Tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3, 4 và nêu một số hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn . Chương 1. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương Chương này phân tích chương trình hiện hành, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập Toán các lớp 7, 8, 9 để làm rõ mối quan hệ thể chế với các khái niệm phép kéo theo, phép tương đương và những điều kiện, ràng buộc của thể chế đối với các khái niệm này. Trong khi phân tích, chúng tôi xem sách giáo viên không những là văn bản chính thức giải thích cho chương trình và sách giáo khoa mà còn là tài liệu cơ bản có ảnh hưởng lớn đến việc thực hành giảng dạy của giáo viên trong lớp học. 1.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán trung học cơ sở Chương trình Toán trung học cơ sở không đưa vào các khái niệm Phép kéo theo, phép tương đương như là hai đối tượng tri thức với đầy đủ tên gọi và định nghĩa của chúng. Việc này được thực hiện trễ hơn ở trung học phổ thông. Tuy nhiên, một số yếu tố liên quan đến phép kéo theo, phép tương đương được đưa dần vào chương trình trung học cơ sở, bắt đầu từ phân môn Hình học lớp 7. Tại sao chương trình lại chọn Hình học thay vì Đại số, chọn lớp 7 thay vì một lớp khác để đưa vào phép kéo theo, phép tương đương? Chúng tôi sẽ phân tích sự lựa chọn này trong phần sau. 1.1.1.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 7 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 7 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau: Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28tiết tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết) Định lí - bài đầu tiên liên quan đến phép kéo theo - được xếp cuối chương I (Đường thẳng vuông góc. Đường thẳng song song) của phân môn Hình học, rơi vào tiết 12, tuần thứ 6 của học kỳ 1. Mục tiêu về kiến thức, kỹ năng cơ bản, tư duy của bài học là “biết cấu trúc của một định lí (giả thiết, kết luận), biết thế nào là chứng minh một định lí, biết đưa một định lí về dạng ‘Nếu... thì...’, làm quen với mệnh đề lôgic p  q” [2, tr. 102] Trong chương II (Tam giác), thông qua việc giới thiệu định lí Py-ta-go và định lí Py-ta-go đảo, chương trình đưa vào các thuật ngữ định lí thuận, định lí đảo nhằm “giúp học sinh biết quan hệ thuận, đảo của hai mệnh đề và hiểu rằng có những định lí không có định lí đảo” [2, tr.133]. Đa số định lí trong chương II được thừa nhận trong khi hầu hết các định lí trong chương III (Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác) được chứng minh để học sinh quen dần với phép chứng minh toán học. Tuy nhiên, chứng minh phản chứng và một số chứng minh phức tạp không được đưa vào chương trình. Như vậy, chương trình Toán 7 chưa sử dụng phép chứng minh phản chứng như là một kỹ thuật để giải quyết cho kiểu nhiệm vu “Chứng minh một mệnh đề toán học” Có sự thiếu vắng yếu tố công nghệ nào khiến kỹ thuật này không thể vận hành?. Điều này ảnh hưởng thế nào đến các bài toán chứng minh trong phần bài tập? Chúng tôi sẽ cố gắng trả lời câu hỏi này khi phân tích sách giáo khoa. Tóm lại, thông qua các khái niệm định lí, định lí thuận, định lí đảo, chương trình Toán 7 tìm cách đưa vào một số yếu tố ban đầu của phép kéo theo, phép tương đương trong điều kiện không đề cập đến các thuật ngữ liên quan. Sự xuất hiện của các khái niệm này tạo ra một yếu tố công nghệ mới giúp nosphere tạo ra sự nối khớp giữa hình học trực quan của hình học lớp 6 và hình học suy diễn của hình học lớp 7, giúp học sinh rèn luyện năng lực tư duy. Còn tại sao nosphere lại lựa chọn cách tiếp cận thông qua chương trình hình học mà không phải là đại số? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi bắt buộc phải quan tâm đến đặc trưng khoa học luận của các khái niệm này. 1.1.2.1 Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 8 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 8 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau: Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4tiết Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết) Phần hình học, trong chương I: Tứ giác, mục tiêu của chương là “ rèn luyện kỹ năng lậpluận và chứng minh hình học do đó, hầu hết các định lí trong chương được chứng minh hoặc gợi ý chứng minh” [4, tr.93]. Trong chương này, chúng tôi còn thấy xuất hiện một kiểu nhiệm vụ mới” dựng hình” thông qua cấu trúc logic của bài toán dựng hình:” Dựng hình H có tính chất  ”như sau: - Phân tích: Chứng tỏ rằng nếu hình H có tính chất  thì hình H có tính chất  - Cách dựng: Dựng hình K có tính chất  (theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản). - Chứng minh: Chứng tỏ rằng hình K có tính chất  ( K ≡ H ) - Biện luận: Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán. Trong đó, sách giáo viên có nêu rõ “phân tích là điều kiện cần (đảm bảo không dựng thiếu hình), chứng minh là điều kiện đủ (đảm bảo không dựng thừa hình) của hình phải dựng”. Như vậy, thông qua bài toán dựng hình , sách giáo viên có giới thiệu các thuật ngữ điều kiện cần và điều kiện đủ. Chúng tôi đặt câu hỏi có phải đây là hai phần thuận và đảo của một vấn đề mà giáo viên cần phải làm rõ khi dạy học khái niệm này?.Việc “giảm tải” cho học sinh trình bày phần phân tích và biện luận trong bài làm nói lên mối ràng buộc nào của thể chế khi dạy học khái niệm này? (có phài là hình luôn dựng được và khi đó, chỉ có một nghiệm hình). Những câu hỏi này là những định hướng cho chúng tôi khi đi vào phân tích sách giáo khoa hình học lớp 8. Sự xuất hiện của định lí Thales thuận , định lí Thales đảo trong chương II :Tam giác đồng dạng, cùng với ghi nhận trong sách giáo viên “Chỉ cần cho học sinh tiếp cận với định lí bằng cách nhận xét trên hình vẽ rồi rút ra các cặp tỉ số bằng nhau, rồi cho học sinh thừa nhận định lí vì cách chứng minh dài dòng và phức tạp Đây không phải là chứng minh định lí mà chỉ cho học sinh tiếp cận dần với định lí.” [4, tr.67-69] cho phép chúng tôi kết luận kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng vẫn chưa được sử dụng ở năm lớp 8. Như vậy, phải chăng trong chương trình lớp 8, nosphere vẫn chưa giới thiệu yếu tố công nghệ cho phép kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng xuất hiện và vận hành cùng với kỹ thuật chứng minh trực tiếp đã giới thiệu ở năm lớp 7? Chuyển sang phần đại số, “Trong chương trình, có nêu định nghĩa hai phương trình, bất phương trình tương đương nhưng không đưa vào các định lí về các phép biến đổi tương đương mà chỉ giới thiệu các phép biến đổi tương đương một số dạng phương trình cụ thể. “Lần đầu tiên, kí hiệu “ ” được sử dụng để chỉ sự tương đương của hai phương trình, bất phương trình. Giáo viên cần lưu ý cho học sinh không dùng kí hiệu này một cách tùy tiện: “Biết dùng đúng chỗ, đúng lúc kí hiệu “ ” [4, tr.3, tr.53]. Như vậy, cùng với khái niệm phương trình, bất phương trình tương đương, học sinh còn được tiếp cận với phép biến đổi tương đương và kí hiệu” ” được xem là hai công cụ chủ yếu của kỹ thuật giải các phương trình trong đại số. Đến đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: có những ràng buộc nào của thể chế được đặt ra ở đây, khi sách giáo viên không đưa vào đầy đủ yếu tố công nghệ để biện minh cho kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình? mà vẫn đảm bảo kỹ thuật này vận hành tốt nhất? Việc đề nghị giáo viên lưu ý học sinh sử dụng kí hiệu ” ” này một cách hết sức cẩn trọng phải chăng là lưu ý có một quy tắc hợp đồng ngầm ẩn nào đó, giữa giáo viên và học sinh khi dạy học khái niệm này? Đây là những câu hỏi giúp chúng tôi định hướng khi phân tích chương trình lớp 8 1.1.3.Phép kéo theo, phép tương đương trong chương trình Toán 9 Tiến độ thực hiện chương trình Toán 9 được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định như sau: Học kỳ 1 (72 tiết) 4 tiết x 19 tuần = 76 tiết Đại số (42 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Hình học (34 tiết) 2 tiết x 15 tuần đầu = 30 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Học kỳ 2 (68 tiết) 4 tiết x 18 tuần = 72 tiết Đại số (32 tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 1 tiết x 4 tuần cuối = 4 tiết Hình học (40tiết) 2 tiết x 14 tuần đầu = 28 tiết 3 tiết x 4 tuần cuối = 12 tiết Cả năm (148 tiết) 4 tiết x 37 tuần = 148 tiết Đại số (74 tiết) Hình học (74 tiết) Về kỹ năng, “ yêu cầu về chứng minh định lí được nâng cao hơn so với các lớp dưới, nhiều định lí được chứng minh đầy đủ” [6, tr.121]. Giải thích cho nhận định trên, chúng tôi ghi nhận so với chương trình lớp 8, chương trình lớp 9 có mật độ xuất hiện các định lí thuận và định lí đảo dày đặc hơn. Một vài chứng minh, sách giáo khoa có trình bày bằng phương pháp phản chứng (ở chương II: Đường tròn , bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, cách xác định đường tròn) mà không thừa nhận như ở lớp 7 và lớp 8.Như vậy, sách giáo khoa đã bổ sung yếu tố công nghệ nào để kỹ thuật nảy có thể vận hành? Nó được trình bày ra sao? câu hỏi này sẽ được chúng tôi trả lời khi phân tích sách giáo khoa . Chương III: Góc với đường tròn, ở bài cung chứa góc , học sinh tiếp cận với bài toán quỹ tích thông qua bài toán quỹ tích “ cung chứa góc”.Sách giáo viên có đề nghị lời giải một bài toán quỹ tích bao gồm phần thuận, phần đảo và kết luận Thuật ngữ “điều kiện ắt có và điều kiện đủ” được giới thiệu trong Sách giáo viên ở bài tứ giác nội tiếp nhằm giới thiệu cho học sinh điều kiện để tứ giác nội tiếp (điều kiện ắt có và điều kiện đủ). Tuy nhiên,” sách giáo khoa chưa sử dụng cụm từ “điều kiện ắt có và đủ” [6, tr.106]. Như vậy, trong chương trình lớp 9 - Có xuất hiện thêm các thuật ngữ mới điều kiện ắt có và điều kiện đủ. - Kỹ thuật chứng minh bằng phản chứng được đưa vào giảng dạy cho học sinh. Qua phân tích chương trình các lớp 7, 8, 9, chúng tôi nhận thấy so với chương trình trung học phổ thông, khái niệm phép kéo theo và phép tương đương được đưa vào một cách không đầy đủ , nhiều tính chất, đặc trưng quan trọng của phép kéo theo và phép tương đương cũng không được nêu rõ ràng trong cả sách giáo viên và sách giáo khoa. Chính sự thiếu vắng các yếu tố công nghệ- lí thuyết này đã làm hạn chế nhiều việc giảng dạy khái niệm này ở trung học cơ sở. Nhằm có thể tìm kiếm câu trả lời cho một loạt các câu hỏi đã nêu ra và minh chứng cho những điều ghi nhận ở trên chúng tôi xin được đi vào phân tích sách giáo khoa 1.2. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa 1.2.1. Phép kéo theo, phép tương đương trong Sách giáo khoa Toán 7 . Ở chương I: Đường thẳng vuông góc- Đường thẳng song song, bài Định lí, sách giáo khoa Toán 7, tập 1, tr99-100, có ghi: Định lí - Tính chất “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng không phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận. Một tính chất như thế là một định lí. Ta có thể hiểu: Định lí là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng. - Khi định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu thì ”, phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết (GT), phần sau từ “thì” là phần kết luận (KL). Chứng minh định lí Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận. Sau đó, , sách giáo khoa giới thiệu chứng minh một định lí Ví dụ: Chứng minh định lí: Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông. Giải (h.35) GT xÔz và zÔy kề bù Om là tia phân giác của xOz On là tia phân giác của zOy KL mÔn = 900 chứng minh mÔz = 2 1 xÔz (1) (vì Om là tia phân giác của xÔz) zÔn = 2 1 zÔy (2) (vì On là tia phân giác của zÔy) Từ (1) và (2) ta có : mÔz+ zÔn= 2 1 . (xÔz+ zÔy). (3) Vì tia OZ nằm giữa tia Om, On và vì xÔz và zÔy kề bù (theo giả thiết). nên từ (3) ta có mÔn = 2 1 ×1800 Vậy mÔn = 900 n z m y x O (h.35) Qua trình bày của sách giáo khoa , ta nhận thấy thể hiện ngầm ẩn quy tắc hợp đồng sau: “ chứng minh một mệnh đề là : -nêu các bước, mỗi bước gồm một khẳng định và căn cứ của khẳng định đó, - nối chúng lại bằng các liên từ :ta có, vì nên, suy ra” Qua phần trình bày của sách giáo khoa, phép kéo theo được giới thiệu thông qua định lí được viết dưới dạng “ Nếu thì” và học sinh ghi nhận thông qua các ví dụ cụ thể. Một chú ý là sách giáo khoa không giới thiệu kí hiệu “” khi nói về phép kéo theo nhưng t