Luận văn Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Trần Thị Mỹ Dung NGHIÊN CỨU THỰC HÀNH CỦA GIÁO VIÊN TRONG DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Ở LỚP 10 Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã tận tình hướng dẫn, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Ái Quốc, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, PGS. TS. Claude Comiti, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình truyền đạt cho chúng tôi những kiến thức Didactic quý báu. TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Ban Giám hiệu và Thầy Cô Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, THPT Chuyên Lê Hồng Phong, THPT Nguyễn Huệ, THTH ĐHSP, THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, THPT Tạ Quang Bửu, THPT Nguyễn Trãi, THPT Ngô Quyền, THPT Nguyễn Văn Cừ, THPT Lương Thế Vinh, THPT Bùi Thị Xuân, THPT Lê Qúy Đôn TP. Hồ Chí Minh và THPT Hoàng Lê Kha Tây Ninh đã giúp đỡ tôi hoàn thành thực nghiệm cho luận văn này. Ban Giám hiệu trường ĐHSP TP.HCM, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN & SĐH đã giúp đỡ, tổ chức tốt lớp học cho chúng tôi. Các thành viên của lớp cao học Didactic khóa 16 đã động viên tôi trong quá trình nghiên cứu. Trần Thị Mỹ Dung DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa GK9 : Sách giáo khoa toán đại số 9 – tập 2 hiện hành GKCB : Sách giáo khoa toán đại số 10 cơ bản hiện hành GKNC : Sách giáo khoa toán đại số 10 nâng cao hiện hành BT9 : Sách bài tập toán đại số 9 – tập 2 hiện hành BTCB : Sách bài tập toán đại số 10 cơ bản hiện hành BTNC : Sách bài tập toán đại số 10 nâng cao hiện hành GV9 : Sách giáo viên toán đại số 9 – tập 2 hiện hành GVCB : Sách giáo viên toán đại số 10 cơ bản hiện hành GVNC : Sách giáo viên toán đại số 10 nâng cao hiện hành TCTH : Tổ chức toán học OD : Tổ chức didactic Hệ (m, n) : Hệ gồm m phương trình và n ẩn số GV : Giáo viên HS : Học sinh PTTT : Phương trình tuyến tính MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài và Câu hỏi xuất phát Trong chương trình toán ở trường phổ thông, hệ phương trình tuyến tính xuất hiện trong cả hai phạm vi đại số và hình học, trước hết với tư cách một đối tượng nghiên cứu, sau đó với tư cách một công cụ để giải quyết nhiều dạng toán khác nhau. Có những hệ thống biểu đạt khác nhau đã được sử dụng để nói về đối tượng này. Không chỉ vậy, hệ phương trình tuyến tính còn xuất hiện và giải quyết nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khoa học khác như vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế, trắc địa, tin học, và cả trong cuộc sống thường nhật. Chính sự phong phú và đa dạng đó đã thúc đẩy chúng tôi tìm hiểu thật rõ về đối tượng tri thức này. Câu hỏi đầu tiên mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: Q1’: Nhìn từ góc độ tri thức toán học, có những phương pháp nào để giải hệ phương trình tuyến tính, cơ sở lý thuyết của các phương pháp ấy là gì ? Ưu, nhược điểm của mỗi phương pháp? Việc giải hệ phương trình tuyến tính giúp giải quyết những vấn đề gì? Tìm và học được một tri thức cho bản thân mình quả thực có ý nghĩa, nhưng khai sáng tri thức cho nhiều người còn ý nghĩa hơn hàng vạn lần. Là giáo viên giảng dạy toán, điều mà chúng tôi mong muốn nhất là có một bài giảng thật hay gắn với đối tượng tri thức nhắm đến. Một bài giảng không phải là bài thuần lý thuyết mà là để sau đó, học sinh còn có thể thấy được sự cần thiết phải học tri thức ấy, phải thấy rằng biết được tri thức ấy là hé mở ra một chân trời cho nhiều ứng dụng, ích lợi cho thực tế cuộc sống. Chính vì vậy, chúng tôi muốn nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ PTTT. Tri thức phổ thông là nền tảng cơ bản để từ đó mỗi người có thể tự mình tìm đến miền tri thức cao hơn, xa hơn. Với ý nghĩa đó, chúng tôi chọn thời điểm nghiên cứu thực hành của GV trong dạy học hệ PTTT là ở lớp 10 – lớp cuối cùng mà hệ PTTT chính thức được dạy. Như vậy, ngoài câu hỏi Q1’, chúng tôi còn tìm kiếm những yếu tố trả lời thích đáng cho các câu hỏi sau: Q2’: Gắn với đối tượng hệ phương trình tuyến tính, chương trình toán phổ thông hiện hành quy định dạy những gì và dạy như thế nào? Có sự khác biệt gì so với tri thức toán học? Có những yếu tố nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng nó đã không được xây dựng? Q3’: Trong thực tế dạy học, giáo viên đã giảng dạy tri thức ấy như thế nào? Có sự khác biệt, tương đồng nào giữa tri thức toán học, tri thức trình bày trong sách giáo khoa (SGK) và tri thức được dạy? Q4’: Những sự lựa chọn của chương trình, SGK phổ thông và của giáo viên đã ảnh hưởng như thế nào đến việc dạy, học, hiểu tri thức? Liệu có một sự lựa chọn nào tốt hơn hay không? Để giải đáp bốn câu hỏi nêu trên, chúng tôi tiến hành tìm kiếm các công trình nghiên cứu đã có liên quan đến hệ PTTT. Kết quả cho thấy, có hai luận văn thạc sỹ gắn với nội dung này. Luận văn thứ nhất của tác giả Nguyễn Thị Như Hà, nghiên cứu về “Máy tính bỏ túi trong dạy – học toán. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 10”. Luận văn thứ hai của Nguyễn Thùy Trang, nghiên cứu về “Algorit và tham số trong dạy – học chủ đề phương trình ở trường THPT. Trường hợp hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn”. Trong cả hai luận văn này, chưa có một luận văn nào nghiên cứu hoạt động tác nghiệp của giáo viên. Vì lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ PTTT ở lớp 10”.  Thế nhưng, căn cứ vào đâu để đánh giá giáo viên theo hệ câu hỏi nêu trên? 2. Khung lý thuyết tham chiếu Đã từ lâu, thanh tra giáo dục thường dự giờ các tiết dạy của giáo viên, giám sát hoạt động của họ trên lớp học rồi đưa ra những nhận xét, đánh giá. Ở cương vị một giáo viên, chúng tôi cũng thường xuyên làm công việc này. Chúng tôi đã dựa vào đâu mà đánh giá? Thường là: giáo viên trình bày bảng ra sao? Sử dụng các phương tiện dạy học như thế nào? Có quản lý tốt học sinh trên lớp hay không? Đặc biệt, về kiến thức, có sai sót gì không và về phương pháp thì giáo viên đó đã sử dụng phương pháp gì, có phù hợp với nội dung và đối tượng dạy học hay không? Như vậy, việc đánh giá chủ yếu chỉ dựa vào hai cơ sở: về mặt pháp lý, đó là những quy định của chương trình; về mặt cá nhân, đó là kinh nghiệm của người dự giờ. Những cơ sở này dường như chưa thực sự thỏa đáng, đặc biệt là yếu tố kinh nghiệm. Chính didactic đã cung cấp những công cụ cho phép phân tích và đánh giá hoạt động tác nghiệp của giáo viên. Trong những công cụ đó, chúng tôi giữ lại các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học khi tìm kiếm các yếu tố trả lời cho bốn câu hỏi trên. Các khái niệm đó là: Chuyển đổi didactic, Tổ chức toán học, Quan hệ thể chế, Tổ chức didactic, Quan hệ cá nhân. Dưới đây chúng tôi sẽ cố gắng chỉ ra tính thỏa đáng cho sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình.  Chuyển đổi didactic Quá trình hình thành và truyền bá một tri thức toán học gồm ba mắc xích cơ bản: hình thành tri thức trong cộng động bác học sau đó biến tri thức ấy thành tri thức cần dạy và từ tri thức cần dạy này biến đổi thành tri thức được dạy. Nghiên cứu thực hành của GV là nghiên cứu ở khâu tri thức được dạy và GV đóng vai trò như một Noosphère, người thực hiện vai trò chuyển đổi trong mắc xích thứ ba này. Như thế, muốn hiểu xem sự chuyển đổi của GV có thỏa đáng hay không, đòi hỏi ta phải đối chiếu tri thức được GV giảng dạy với tri thức cần dạy mà chương trình, SGK quy định và tri thức toán học. Chính vì vậy, ta cần vận dụng khái niệm chuyển đổi didactic.  Tổ chức toán học Làm thế nào để phân tích độ chênh lệch của tri thức khi nhìn từ các góc độ: tri thức toán học, tri thức cần dạy và tri thức được dạy? Chính khái niệm tổ chức toán học là một công cụ hiệu quả để mô hình hóa các tri thức toán học, tri thức cần dạy, tri thức được dạy đó dưới dạng các tổ chức toán học. Từ đó, tiến hành so sánh, đối chiếu và đánh giá các tổ chức toán học này để chỉ ra sự chênh lệch (nếu có).  Quan hệ thể chế Theo quan điểm chuyển đổi didactic, một nghiên cứu tri thức dưới góc độ tri thức cần dạy trong chương trình, SGK chính là một tiêu chuẩn tham chiếu để xem xét, đánh giá tính thỏa đáng của tri thức được giáo viên giảng dạy. Do đó, ta cần phải chỉ ra quan hệ của thể chế I đối với đối tượng tri thức O. Cụ thể, O chính là hệ PTTT và I là thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành. Để nghiên cứu quan hệ thể chế, đòi hỏi ta phải tiếp cận từ góc độ sinh thái học. Theo cách tiếp cận này, một đối tượng tri thức O không thể tồn tại lơ lửng mà chúng phải nằm trong một thể chế I và có mối quan hệ chằng chịt với những đối tượng khác. O sinh ra, tồn tại và phát triển trong mối quan hệ ấy. Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.  Tổ chức didactic. Quan hệ cá nhân Một nghiên cứu về thực hành giảng dạy của GV đòi hỏi tất yếu phải trả lời được: GV đã làm thế nào để truyền bá một tổ chức toán học, một tri thức toán học? Tổ chức didactic là công cụ cho phép tìm ra các yếu tố trả lời thích đáng cho câu hỏi ấy. Chevallar đã không nghĩ rằng mọi tổ chức toán học đều được tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất. Thế nhưng, Ông cũng nhận thấy rằng cho dù con đường nghiên cứu có khác nhau thì một số kiểu tình huống nhất thiết phải có mặt, mặc dầu dưới những hình thức rất khác nhau. Và Ông đã tìm ra được sáu thời điểm nghiên cứu. Lý thuyết này cho phép mô tả kỹ thuật cụ thể để phân tích, đánh giá và phát triển các tổ chức didactic. Thông qua phân tích thực hành giảng dạy O của GV, chúng ta cũng sẽ phần nào xác định được GV đó đã nghĩ gì về O, hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao, Đó chính là các yếu tố cấu thành nên mối quan hệ của cá nhân GV đó với đối tượng tri thức O. 3. Mục đích nghiên cứu của luận văn Trong khuôn khổ của luận văn này, do điều kiện về thời gian nên chúng tôi phải gác câu hỏi Q4’ lại để tập trung vào giải quyết thỏa đáng cho ba câu hỏi Q1’, Q2’, Q3’. Và trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, ba câu hỏi này được trình bày lại như sau:  Q1: Nhìn từ góc độ một tri thức toán học Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nẩy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó mang lại thuận lợi gì? Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì?  Q2: Nhìn từ góc độ tri thức cần dạy ở lớp 10 Xét trên phương diện đối tượng, những kỹ thuật nào đã được khai thác để giải hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Tham chiếu với tri thức toán học, kỹ thuật nào đã không có cơ hội xuất hiện? Kỹ thuật nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Tại sao? Những hệ thống biểu đạt nào đã được sử dụng và chúng có ảnh hưởng gì? Vấn đề dạy học bằng mô hình hóa có được thể chế quan tâm đến hay không? Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được đưa vào? So với tri thức tham chiếu, những kiểu nhiệm vụ nào đã không được khai thác? Những kiểu nhiệm vụ nào lẽ ra có thể tồn tại nhưng đã không tồn tại? Vì sao? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt được tính đến như thế nào? Vấn đề dạy học mô hình hóa được thể chế quan tâm đến như thế nào?  Q3: Nhìn từ góc độ tri thức được dạy bởi giáo viên Xét trên phương diện đối tượng, GV đã khai thác những kỹ thuật nào để giải hệ? Có hay không các yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho từng kỹ thuật? Vấn đề về các hệ thống biểu đạt, dạy học bằng mô hình hóa gắn với đối tượng hệ PTTT được GV quan tâm đến như thế nào? Xét trên phương diện công cụ, những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT đã được GV khai thác? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; vấn đề dạy học mô hình hóa được GV tính đến như thế nào ? Các tổ chức didactics (OD) nào đã được GV dùng để triển khai các TCTH trên ?  So với nghiên cứu tri thức cần dạy, đã có sự khác biệt gì hay không? Vì sao? 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn Luận văn của chúng tôi nhắm đến việc tìm ra những yếu tố trả lời thích đáng cho ba câu hỏi nêu trên.  Đối với câu hỏi Q1, do không có điều kiện về tư liệu cũng như về thời gian nên chúng tôi không thể dấn thân vào một nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa trên các tài liệu lịch sử toán. Vì vậy, chúng tôi sẽ phân tích một số giáo trình toán dùng ở các trường đại học và một số giáo trình lịch sử tìm được nhằm chỉ ra các yếu tố trả lời cho câu hỏi này. Công cụ lý thuyết mà chúng tôi sử dụng chính là mô hình Tổ chức toán học của lý thuyết nhân chủng. Kết quả sẽ được trình bày trong chương 1 và đây cũng chính là cơ sở tham chiếu cho các nghiên cứu tiếp theo.  Tham chiếu những kết quả thu được từ chương 1, chúng tôi sử dụng các khái niệm tổ chức toán học, phân tích sinh thái, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến hành phân tích chương trình toán trung học phổ thông và phân tích các sách giáo khoa toán lớp 10 hiện hành để trả lời cho câu hỏi Q2. Nghiên cứu này sẽ được trình bày trong chương 2.  Nghiên cứu ở hai chương đầu cho phép chúng tôi dự đoán những gì có thể tồn tại trong lớp học, những điều kiện, ràng buộc trên hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học của học sinh, sự tiến triển và thời điểm quan trọng nhất của việc học, ... Đây là cơ sở để tìm các yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 – tiến hành phân tích thực hành của GV. Kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày trong chương 3. Trong chương này, ngoài việc chỉ ra các TCTH thực sự được GV dạy trong lớp học, chúng tôi cũng sẽ làm rõ tổ chức didactic mà GV lựa chọn để triển khai các TCTH đó. Cụ thể, dựa vào lý thuyết sáu thời điểm nghiên cứu trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ xác định các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà GV đã triển khai. Ngoài ra, từ quan điểm chuyển đổi didactic, chúng tôi sẽ chỉ ra sự chênh lệch (nếu có) giữa TCTH được GV dạy trong lớp học với TCTH cần phải dạy. Q1 Tri thức toán học Q2 Quan hệ thể chế Giáo Viên Q3  Kết quả nghiên cứu ở ba chương đầu cho phép chúng tôi đưa ra những kết luận gắn với thực tế dạy học và là cơ sở để phát triển tổ chức didactic. Dựa vào những kết quả thu được từ chương 3, từ việc đánh giá các tổ chức toán học và tổ chức didactic kết hợp với những kết quả có được từ nghiên cứu hệ PTTT nhìn từ góc độ tri thức toán học, tri thức cần dạy, chúng tôi sẽ có cơ sở để phát triển tổ chức didactic. Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NHÌN TỪ GÓC ĐỘ MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC Mở đầu Nghiên cứu thực hiện ở chương này nhằm làm rõ những đặc trưng của hệ PTTT nhìn từ góc độ một tri thức toán học. Cụ thể, qua nghiên cứu này, chúng tôi muốn tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1: Xét trên phương diện đối tượng, có những kỹ thuật nào để giải hệ PTTT? Mỗi kỹ thuật nảy sinh từ nhu cầu giải quyết những kiểu bài toán nào? Đâu là các yếu tố công nghệ, lý thuyết của từng kỹ thuật? Những hệ thống biểu đạt nào được sử dụng và nó mang lại thuận lợi gì? Xét trên phương diện công cụ, có những kiểu nhiệm vụ nào được giải quyết bằng công cụ hệ PTTT? Sự chuyển đổi phạm vi và hệ thống biểu đạt; sự mô hình hóa gắn với hệ PTTT đã mang lại những thuận lợi gì? Như đã nói trong phần mở đầu, do không có điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu gốc trên các tài liệu lịch sử toán học. Cùng với vài tài liệu lịch sử tìm được, chúng tôi sẽ tìm kiếm câu trả lời cho những câu hỏi trên trong một số giáo trình dành cho sinh viên toán các trường đại học sư phạm, tổng hợp, kỹ thuật, kinh tế. Hệ PTTT là một đối tượng xuất hiện trong nhiều phân môn toán học: đại số tuyến tính, phương pháp tính và hình học. Chúng tôi sẽ phải xem xét giáo trình của tất cả các phân môn này. Như thế, hệ thống tư liệu tham khảo của chúng tôi gồm 4 nhóm :  Nhóm giáo trình đại số tuyến tính: Những giáo trình sau đã được chúng tôi xem xét : - Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ (2003), Toán cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục - Tạ Văn Hùng – Nguyễn Phi Khứ - Hà Thanh Tâm (2000), Đại số tuyến tính, NXB Thống Kê - Trần Văn Hãn (1996), Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, Tủ sách trường Đại học Đại Cương, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp - V.V. Voevôđin (1983), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, NXB “Mir” Hà Nội – Maxcova. Bản dịch của NXB ĐH và THCN.  Nhóm giáo trình hình học: Phân môn Hình học chỉ có trong chương trình dành cho các trường đại học sư phạm và tổng hợp. Giáo trình mà chúng tôi đã tham khảo là: - Nguyễn Mộng Hy (2001), Hình học cao cấp, NXB Giáo dục  Nhóm giáo trình phương pháp tính: - Nguyễn Chí Long (2002), Phương pháp tính, NXB ĐHQG TP.HCM - Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội - Lê Văn Hạp – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp tính và các thuật toán, NXB Giáo Dục.  Nhóm các tài liệu lịch sử: chúng tôi đã sử dụng tư liệu được đăng tải trên hai trang web: - J J O'Connor and E F Robertson, “Matrices and determinants”, groups.dcs.st- nd.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html. - “A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory”, Kết quả nghiên cứu của chương được chúng tôi trình bày thành hai phần: hệ PTTT với tư cách một đối tượng và với tư cách một công cụ toán học. Trong phần thứ nhất, chúng tôi sẽ làm rõ những hệ thống biểu đạt được dùng để biểu diễn đối tượng hệ PTTT và đặc biệt là lợi ích của mỗi một trong chúng đối với việc nghiên cứu các kỹ thuật giải hệ phương trình. Trong phần thứ hai, chúng tôi sẽ chỉ ra tác động của hệ PTTT trong hai tổ chức toán học liên quan đến hai bài toán hình học - biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn vectơ và nghiên cứu sự tương giao của các phẳng. 1.1. Hệ phương trình tuyến tính xét trên phương diện đối tượng 1.1.1. Hệ PTTT và các hệ thống biểu đạt Một hệ PTTT có thể được biểu thị ít nhất bằng ba ngôn ngữ.  Một hệ gồm m phương trình của n ẩn số x1, x2, ..., xn  *m,n có dạng (1.1) 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m a x a x ... a x b a x a x ... a x b ......................................... a x a x ... a x b             với ij ia b K (i 1,m; j 1,n  , ) , K là trường số thực hay số phức, được gọi là hệ PTTT (m phương trình, n ẩn số) trên K. Nghiệm của hệ (1.1) là một bộ n số sắp thứ tự (c1, c2¸..., cn) sao cho khi thay xj = cj n nj ,1 vào các phương trình của hệ (1.1) ta nhận được các đồng nhất thức trên K.  Phương trình ma trận Bằng cách đưa vào các kí hiệu   11 12 1n 21 22 2n ij m x n m1 m2 mn a a ... a a a ... a A a ... ... ... ... a a ... a           , 1 2 m b b B ... b          , X = (và gọi chúng lần lượt là ma trận các hệ số của ẩn, ma trận cột hệ số tự do, ma trận cột các ẩn), người ta có thể viết hệ phương trình (1.1) ở dạng AX = B (1.2) 1 2 n x x ... x         Cách viết này được gọi là dạng ma trận của hệ phương trình (1.1).  Phương trình vectơ Ta còn có thể viết hệ phương trình (1.1) dưới dạng mibxa i n j jij ,1;. 1   . Nếu kí hiệu ,            mj j j j a a a A ... 2 1 , thì hệ (1.1) lại được viết lại dưới dạng mới : nj ,1 x1A1 + x2A2 + ... + xnAn = B (1.3) hay .    n j jj BA