Luận văn Nguyên lý banhach – Caccioppoli trong không gian k - Metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VÕ VIẾT TRÍ NGUYÊN LÝ BANHACH – CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K - METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 MỞ ĐẦU Nguyên lý ánh xạ co cổ điển của Banach-Caccioppoli tuy đơn giản nhưng có những ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học nói riêng và trong khoa học kỹ thuật nói chung ... Nguyên lý này đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau để có thể áp dụng cho các lớp bài toán mới. Cho là một không gian vectơ dược xếp thứ tự bởi nón và là một tập hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ gọi là K-metric trên nếu thỏa các tiên đề sau: (a) (b) (c) (d) Khi đó: Cặp gọi là không gian K-metric. Luận văn trình bày hướng mở rộng của nguyên lý ánh xạ co cho các ánh xạ tác động trong các không gian K-metric dạng: thỏa mãn điều kiện trong đó là một ánh xạ từ vào Với một số điều kiện đặt lên và không gian , luận văn trình bày sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ . Đây là hướng nghiên cứu chưa được trình bày rộng rãi. Nội dung luận văn gồm 4 chương. Chương 1 trình bày khái niệm không gian K-metric và không gian K-định chuẩn đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương tiếp theo. Ngoài ra, với mục đích mở rộng định lý Krasnolselski trong không gian K-định chuẩn, chương này còn xây dựng tô pô trên không gian K-định chuẩn, chứng minh một kết quả mở rộng của định lý Schauder về điểm bất động của toán tử trong không gian K-định chuẩn. Nội dung nguyên lý Banach-Caccioppoli được trình bày trong chương 2 và chương 3 tập trung vào các định lý 1, định lý 2, định lý 3, đây cũng là các định lý được nêu trong bài báo [2], luận văn trình bày chứng minh các định lý trên một cách chi tiết. Chương cuối cùng của luận văn nhằm mục đích đưa ra một vài ví dụ về vận dụng nguyên lý Banach-Caccioppoli cho toán tử tương đối cụ thể, đồng thời trình bày chứng minh một kết quả là mở rộng của định lý Krasnoselski cho không gian K- định chuẩn . Chương 1. KHÔNG GIAN K-METRIC VÀ K-ĐỊNH CHUẨN Mục đích chương này chỉ trình bày một số khái niệm về không gian K- metric và không gian K-định chuẩn và một số kết quả sẽ được dùng trong các chương sau. Ngoài ra, còn nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm, phương trình vi phân và một số ví dụ được dùng đến ở những chương tiếp theo. 1.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón 1.1.1 Khái niệm nón Định nghĩa 1 Cho là không gian tuyến tính (trên trường số thực ) và là một tập con khác rỗng của được gọi là nón nếu: (i) ; ; (ii) và Trong trường hợp là không gian định chuẩn thì có thêm tính chất: (iii) là tập đóng. 1.1.2 Thứ tự sinh bởi nón Trong không gian tuyến tính với nón , ta xét quan hệ như sau: Ta thấy quan hệ có các tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Như vậy là một quan hệ thứ tự trên . Như vậy bộ ba ( ) là không gian tuyến tính có thứ tự. Các kí hiệu được sử dụng như thông thường. Trong không gian tuyến tính có thứ tự, ta có thể định nghĩa các khái niệm phần tử nhỏ nhất, phần tử lớn nhất, cận trên, cận dưới, cận trên nhỏ nhất, cận dưới lớn nhất của một tập hợp và các khái niệm dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn trên, dãy bị chặn dưới, dãy bị chặn như thông thường. 1.1.3 Ánh xạ đơn điệu, ánh xạ dương Định nghĩa 2 Cho là không gian tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón , ánh xạ 1. gọi là đơn điệu nếu như dẫn đến ( ). 2. gọi là ánh xạ dương nếu như 1.1.4 Không gian tuyến tính có thứ tự cùng với sự hội tụ Cho là không gian tuyến tính có thứ tự sinh bởi nón ta qui ước sự hội tụ có các tính chất sau đây: (a) Mỗi dãy hội tụ có duy nhất một giới hạn , ký hiệu ( ta cũng nói là dãy hội tụ về và ký hiệu: ) (b) Dãy hằng là hội tụ và (c) Sự hội tụ của dãy là không thay đổi nếu như thêm hoặc bỏ bớt một số hữu hạn phần tử của dãy. (d) Nếu dãy hội tụ về thì dãy con bất kỳ cũng hội tụ về (e) Tổng của hai dãy hội tụ , là một dãy hội tụ và (f) Tích của dãy hội tụ (trong ) , và dãy hội tụ là hội tụ và (g) Nếu và thì (h) (Tính chất Weierstrass) Nếu là một dãy tăng và bị chặn trên (giảm và bị chặn dưới): Thì tồn tại ( ) và có đẳng thức ( ). Trong các phần sau ta qui ước gọi không gian tuyến tính thứ tự theo nghĩa gồm bộ ba , trong đó là không gian tuyến tính, là nón trong và sự hội tụ có các tính chất nói trên. 1.1.5 Ánh xạ thỏa tính chất Fatou Định nghĩa 3 Trong không gian tuyến tính thứ tự , ánh xạ gọi là có tính chất Fatou trên (Fatou dưới) nếu như dãy thỏa: ( ) dẫn đến: ( ) 1.1.6 Nón chuẩn Định nghĩa 4 Nón trong không gian định chuẩn gọi là nón chuẩn nếu tồn tại số sao cho: Với số gọi là hằng số phổ dụng. 1.2. Không gian K-metric và K-định chuẩn Giả sử là không gian tuyến tính có thứ tự sinh bởi nón và sự hội tụ 1.2.1 Không gian K-metric Định nghĩa 5 Cho là một tập hợp khác rỗng bất kỳ, ánh xạ gọi là K-metric trên nếu thỏa các tiên đề sau: (a) ( là zero của ), (b) (c) (d) (bất đẳng thức tam giác) Cặp ở đây là tập hợp khác rỗng bất kỳ và là một K-metric trên gọi là không gian K-metric. gọi là hội tụ về phần tử (Ký hiệu ) nếu như dãy hội tụ về trong nghĩa là: Định nghĩa 6 Cho không gian K-metric 1. Tập con của gọi là tập đóng nếu hoặc có tính chất sau: Nếu dãy và thì Bằng cách kiểm tra các tiên đề xác định tô pô, ta có: là một tô pô trên , và gọi là tô pô sinh bởi K-metric . 2. Quả cầu tâm bán kính là tập hợp: 1.2.2 Không gian K-định chuẩn Định nghĩa 7 Cho là một không gian tuyến tính (trên trường số thực ). Ánh xạ gọi là K-chuẩn trên nếu thỏa các tiên đề sau: (a) (b) (c) (d) Cặp = , ở đây là một không gian tuyến tính, là một K-chuẩn trên gọi là không gian K-định chuẩn. Mệnh đề 1. Mỗi không gian K-định chuẩn là một không gian K-metric với K-metric sinh bởi chuẩn tương ứng cho bởi công thức: Chứng minh: Việc kiểm tra các tiên đề của một K-metric không khó khăn, chẳng hạn ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác. với Như vậy, trong không gian K-định chuẩn các cách viết sau đây là cùng một nghĩa: (i) (ii) (iii) 1.2.3 Không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass và Kantorovich Cho là không gian K-metric với K-metric Cho dãy , ta ký hiệu để chỉ chuổi tương ứng là hội tụ (trong ), nghĩa là dãy tổng riêng là hội tụ (trong ), và cũng viết: Định nghĩa 8 1. Dãy gọi là dãy cơ bản nghĩa Weierstrass nếu . Không gian K-metric gọi là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, nếu mỗi dãy cơ bản nghĩa Weierstrass là hội tụ. 2. Dãy gọi là dãy cơ bản nghĩa Kantorovich, nếu tồn tại dãy sao cho: ( ). Không gian K-metric gọi là đầy đủ theo nghĩa Kantorovich nếu mỗi dãy cơ bản nghĩa Kantorovich là hội tụ. 1.3 Một số ví dụ và kết quả được dùng 1.3.1 Tính chất của thứ tự và sự hội tụ 1. Cho không gian tuyến tính thứ tự , nón . (i) (zero của ) (ii) ( ). (iii) Nếu và thì (iv) Nếu dãy là tăng (giảm) và hội tụ về thì 2. Cho không gian tuyến tính thứ tự , nón . Nếu là ánh xạ tuyến tính, dương thì là đơn điệu. 3. Cho không gian định chuẩn , có thứ tự bởi nón . Khi đó sự hội theo chuẩn trong có các tính chất của sự hội tụ ngoại trừ tính chất Weierstrass. 4. Cho không gian định chuẩn , thứ tự bởi nón chuẩn (hằng số phổ dụng là ). Nếu và thì Chứng minh: Từ suy ra vì nên mà nên suy ra: 1.3.2 Kết quả của giải tích hàm được sử dụng 1. Cho là một tập hợp khác rỗng bất kỳ, Nếu mỗi có một họ thỏa các tính chất sau: (i) với mọi (ii) (iii) và (iv) Với mỗi tồn tại sao cho với mọi Thì khi đó, tồn tại duy nhất một tô pô trên sao cho đối với tô pô này họ là họ tất cả các lân cận của điểm ( ). 2. Cho là không gian tô pô thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (tại mỗi điểm đều có cơ sở lân cận đếm được). Khi đó: Nếu compact thì compact theo dãy (mọi dãy trong đều chứa dãy con hội tụ) 3. Cho là không gian tô pô thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó: Tập con khác rỗng của là đóng khi và chỉ khi mọi dãy và thì 4. Cho là không gian tuyến tính tô pô, và là một lân cận (mở) của gốc, khi đó: là lân cận (mở) của 5. Không gian tuyến tính tô pô là không gian Hausdorff khi và chỉ khi: Với mọi tồn tại lân cận của gốc không chứa 6. là không gian metric compact, là không gian định chuẩn, là ánh xạ liên tục, khi đó 7. là không gian định chuẩn, là không gian metric compact, là không gian các hàm liên tục từ vào , với chuẩn Giả sử dãy và hội tụ đều về ánh xạ thì 8. Cho và là các không gian Banach, là một ánh xạ tuyến tính, liên tục và nếu là song ánh thì liên tục. 9. Cho là không gian Banach, dãy nếu chuổi hội tụ thì chuổi hội tụ. 10.(Định lý Brouwer) Cho là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian ( ), ánh xạ liên tục, khi đó có điểm bất động trong 11. Trên không gian tuyến tính hữu hạn chiều, chỉ có duy nhất một tô pô lồi địa phương và Hausdorff, đó là tô pô Euclide thông thường (tô pô thông thường trên ). 1.3.3 Ví dụ 1. Cho . Ta có là nón trong . 2. , Sự hội tụ thông thường là không gian tuyến tính có thứ tự và sự hội tụ. 3. trên ta xét các phép toán cộng và nhân ngoài thông thường: và chuẩn thông thường: Khi đó là không gian Banach. Đặt là một tập đóng trong và là nón chuẩn (hằng số phổ dụng ). Sự hội tụ được xét đến trong là sự hội tụ theo chuẩn Cho là không gian Banach và là một số thực dương. là tập các hàm liên tục trên đoạn và nhận giá trị trong . Ta phân hoạch đoạn như sau , ký hiệu , Ta xác định một ánh xạ như sau: Khi đó: 1. là một K-chuẩn trên . 2. là không gian K-định chuẩn và đầy đủ theo dãy nghĩa Weierstrass. Chứng minh: Trước hết ta nhận xét: với vì là liên tục trên tập compact nên là hàm bị chặn, tức là ánh xạ là xác định. 1. Việc kiểm tra các tiên đề của một K-chuẩn không mấy khó khăn, chẳng hạn ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác. Với , theo bất đẳng thức tam giác của chuẩn trong ta có: ( ) Suy ra: và do đó 2. Giả sử thỏa , ta chứng tỏ tồn tại , để cho: . Thật vậy, với cho trước, do chuổi hội tụ trong không gian Banach , nên tồn tại số tự nhiên sao cho: với thì Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta suy ra: và do là nón chuẩn (với hằng số phổ dụng ) nên ta có ( ) và do đó: với mọi thì: (1.1) Như vậy, với mỗi , dãy là dãy cơ bản trong do là không gian Banach nên tồn tại sao cho (hội tụ trong ), ta xác định được hàm . Từ (1.1) cho ta có: khi thì với mọi (1.2) Tức là hội tụ đều về trên , và do liên tục trên nên liên tục trên , tức là Từ (1.2) suy ra: khi , suy ra: với ta có ( ) Suy ra: với ta có . Vậy hay trong không gian K-định chuẩn . 1.4 Mở rộng định lý Schauder về điểm bất động trong không gian K- định chuẩn Cho không gian K-định chuẩn với K-chuẩn ở đây là không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón . 1.4.1 Tô pô trên không gian K-định chuẩn Trong trường hợp là nón chuẩn (hằng số phổ dụng là ) ta sẽ chứng tỏ tô pô sinh bởi metric tương thích với cấu trúc đại số trên , hơn nữa, là tô pô lồi địa phương, Hausdorff và thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (có cơ sở lân cận địa phương đếm được). Trước hết ta định nghĩa một số ký hiệu: ( ) Mệnh đề 2 Tồn tại một tô pô duy nhất trên nhận làm họ tất cả các lân cận của ( ), và do đó họ là cơ sở lân cận của Ta ký hiệu tô pô này là Chứng minh: Theo một kết quả về cách xác định tô pô, ta chỉ cần chứng minh họ thỏa các tính chất sau: (i) với mọi (ii) (iii) và (iv) Với mỗi tồn tại sao cho với mọi 1. Chứng minh tính chất (i) theo định nghĩa họ tồn tại sao cho nên 2. Chứng minh tính chất (ii) Giả sử sao cho đặt thì và do đó 3.Chứng minh tính chất (iii) 4.Chứng minh tính chất (iv) sao cho đặt thì , ta chứng tỏ với mọi Thật vậy, ta có: , suy ra: tức là suy ra Vậy Như vậy tồn tại tô pô duy nhất trên sao cho với họ chứa tất cả các lân cận của theo định nghĩa họ ta có ngay họ là một cơ sở lân cận của Do với mỗi số , tồn tại số hữu tỷ và nên họ: cũng là một cơ sở lân cận của Vậy thỏa tiên đền đếm được thứ nhất. Mệnh đề 3 là không gian tuyến tính tô pô, lồi địa phương và Hausdorff. Chứng minh: 1. Chứng minh ánh xạ là liên tục là lân cận của , khi đó và tương ứng là các lân cận của và Với ta có: suy ra: tức là 2. Chứng tỏ ánh xạ liên tục là lân cận của đặt: khi đó: với thỏa ta có: suy ra: với chú ý ta suy ra: 3. Chứng tỏ tồn tại cơ sở lân cận của gốc gồm toàn những tập lồi Theo kết quả trước thì họ: là họ tất cả các lân cận của gốc. Xét họ ( chỉ bao lồi của ). Ta chứng minh là một cơ sở lân cận của gốc. Thật vậy, đặt: (với ) ta có: suy ra Vậy là một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn những tập lồi. 4. Chứng tỏ tách ta có thì là một lân cận của gốc không chứa Mệnh đề 4 ( là tô pô sinh bởi K-metric ) Chứng minh: Xét ánh xạ đồng nhất 1. Chứng tỏ liên tục là tập đóng (đóng đối với tô pô ), suy ra suy ra Vậy là tập đóng. 2. Chứng tỏ liên tục là tập đóng, (chỉ bao đóng của đối với tô pô ), do thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nên tồn tại dãy Vậy là tập đóng Mệnh đề 5 Ánh xạ là liên tục và do đó tập hợp: ( ) là mở Chứng minh: Do thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nên ta chỉ cần chứng tỏ mọi dãy thì dãy Thật vậy, ta có: do nên suy ra và do là nón chuẩn nên suy ra: và do ánh xạ (từ vào ) là liên tục nên Tập mở vì 1.4.2 Mở rộng định lý Schauder cho không gian K-định chuẩn Cho là không gian K-định chuẩn, với là không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón chuẩn (hằng số phổ dụng là ). Trên ta xét tô pô Định nghĩa 9 Tập gọi là bị chặn nếu như tồn tại số sao cho Mệnh đề 6 (mở rộng định lý Brouwer) Giả sử là không gian hữu hạn chiều, là tập lồi, đóng, bị chặn trong và ánh xạ liên tục. Khi đó có điểm bất động trong Chứng minh: Giả sử do tô pô là lồi địa phương và Hausdorff, nên theo một kết quả của giải tích hàm, đẳng cấu với với tô pô Euclide thông thường, nghĩa là tồn tại một song ánh, tuyến tính, liên tục hai chiều Đặt là lồi, đóng, bị chặn trong ánh xạ: định bởi khi đó là liên tục, áp dụng định lý Brouwer thì có điểm bất động , do đó ta có là điểm bất động của Mệnh đề 7 Cho là tập compact trong không gian Khi đó: Với mỗi cho trước, tồn tại tập hữu hạn và một ánh xạ liên tục sao cho: ( ) và ( chỉ bao lồi của ) Chứng minh: Với cho trước, đặt họ là một phủ mở của do là compact nên tồn tại tập hữu hạn sao cho với mỗi đặt ánh xạ định bởi: ( ). Nhận xét: liên tục (vì theo mục trước ánh xạ là liên tục), nếu thì do đó ngược lại, nếu thì Đặt định bởi: thì liên tục và ta có: ( ), suy ra: do đó: ( ) Mệnh đề 8 (mở rộng định lý Schauder) Cho là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian liên tục và là tập compact tương đối, khi đó có điểm bất động trong Chứng minh: Gọi là bao đóng của tập là đóng, lồi và chứa trong nên là tập compact. theo mệnh đề trước thì tồn tại tập hữu hạn và một ánh xạ liên tục thỏa: ( ). Đặt là bao đóng của thì là tập lồi, đóng và bị chặn và chứa trong Gọi là không gian véc tơ sinh bởi tập , thì Đặt là thu hẹp của trên tập như vậy, là tập lồi, đóng, bị chặn trong và chứa và ta có là liên tục, áp dụng kết quả mệnh đề 6 cho không gian K-định chuẩn thì tồn tại sao cho suy ra: với chú ý , nên suy ra: do và là compact nên tồn tại dãy con hội tụ về cho trong bất đẳng thức: với chú ý ánh xạ và ánh xạ liên tục, suy ra: suy ra và do đó Vậy có điểm bất động trong . Chương 2. NGUYÊN LÝ BANACH-CACCIOPPOLI VỚI ĐIỀU KIỆN LIPSCHITZ Cho khộng gian tuyến tính thứ tự và là không gian K-metric với K-metric Trong chương này ta trình bày sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tác động trong không gian K-metric và thỏa điều kiện Lipschitz: ( ), (2.1) ở đây, là ánh xạ từ vào dương và liên tục tại (theo nghĩa nếu thì dẫn đến ), ta xét đến trong hai trường hợp: (i) là là ánh xạ tuyến tính. (ii) là ánh xạ thỏa , đơn điệu. 2.1 Điểm bất động của ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz là ánh xạ tuyến tính Cho là ánh xạ tuyến tính, liên tục tại ta định nghĩa các tập hợp: (2.2) (2.3) Ta định nghĩa ánh xạ định bởi: ( ) (2.4) Định lí 1 Cho là không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass, ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz (2.1) ( ), với hệ số Lipschitz là một ánh xạ tuyến tính tác động trong , dương liên tục tại . Giả sử thỏa . Khi đó: có điểm bất động nằm trong quả cầu tâm bán kính , ngoài ra , ( ) và thỏa: ( )(2.5) Cuối cùng, điểm bất động nếu có trong tập hợp (2.6) là duy nhất. Chứng minh: Đặt , theo giả thiết Bằng qui nạp theo ta chứng minh được (2.7) Thật vậy, , , ( là ánh xạ đồng nhất) nên tức là (2.7) đúng khi Giả sử khi đó: suy ra: Tức là bất đẳng thức (2.7) được chứng minh. 1. Chứng minh sự tồn tại phần tử và thỏa bất đẳng thức (2.5) Với kết quả (2.7) và sử dụng tính chất của thứ tự ta suy ra: dãy tổng riêng là dãy tăng và thỏa ( ) Do , nên . Suy ra dãy tăng và bị chặn trên, theo tính chất Weierstrass thì dãy này hội tụ, tức là . Do là không gian K-metric đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy hội tụ, suy ra tồn tại để cho: Với ta có: , áp dụng bất đẳng thức (2.7) ta suy ra: , sử dụng tính tuyến tính của ta suy ra: ( ) Suy ra: ( ), cho trong bất đẳng thức trên với chú ý (vì ) ta có bất đẳng thức (2.5) và đặc biệt với trong bất đẳng thức này cho ta nằm trong quả cầu tâm bán kính 2. Chứng tỏ là điểm bất động của . Ta có (với ), cho trong bất đẳng thức trên với chú ý liên tục tại và thì ta có Vậy . 3. Chứng minh điểm bất động nếu có trong tập nếu có là duy nhất. Giả sử là các điểm bất động của . Trước hết bằng qui nạp theo n ta chứng tỏ: ( )(2.8) Thật vậy, hiển nhiên bất đẳng thức (2.8) đúng khi giả sử ta có (nhờ tính đơn điệu của ), tức là bất đẳng thức (2.8) được chứng minh. Mặt khác, ta có , từ tính tuyến tính và đơn điệu của ta suy ra: suy ra: ( ), cho trong bất đẳng thức trên với chú ý và ta suy ra Vậy 2.2 Điểm bất động của ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz là ánh xạ không tuyến tính Cho ánh xạ dương, đơn điệu, và liên tục tại Ta định nghĩa các tập sau: (2.9) (2.10) (2.11) ở đây, ( ) (2.12) ký hiệu để chỉ dãy tăng và hội tụ. (Tính chất tăng là do bản thân định nghĩa dãy) Ta định nghĩa các ánh xạ: định bởi: (2.13) định bởi: (2.14) Định lí 2 Cho là không gian K-metric, ánh xạ thỏa điều kiện Lipschitz (2.1) ( ), với hệ số Lipschitz là một ánh xạ tác động trong , dương, đơn điệu, liên tục tại và Giả sử , Đặt ( ) (2.15) 1. Nếu và là không gian đầy đủ theo nghĩa Weierstrass thì có điểm bất động nằm trong quả cầu tâm bán kính , ngoài ra, (2.16) và thỏa: ( ) (2.17) 2. Nếu , liên tục tại và là không gian đầy đủ theo nghĩa Kantorovich thì có điểm bất động nằm trong quả cầu tâm bán kính , ngoài ra: và thỏa: ( ) (2.18) Cuối cùng, trong cả hai trường hợp trên, điểm bất động của nếu có trong tập hợp (2.19) là duy nhất. Chứng minh: Đặt Trường hợp 1. Giả sử và là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass. 1. Chứng minh sự tồn tại và thỏa bất đẳng thức (2.17). Bằng qui nạp như trong chứng minh định lý 1 ta chứng tỏ được ( ) Suy ra ( ). Do nên , và do dó theo tính chất Weierstrass ta suy ra: Do là không gian đầy đủ theo nghĩa Weierstrass nên dãy hội tụ, tức là tồn tại để cho: Bây giờ ta chứng tỏ có bất đẳng thức (2.17). Với , đặt: ( ) Trước hết bằng qui nạp theo ta chứng tỏ: (2.20) trong đó , ( ) Thật vậy, với Vì , nên bất đẳng thức (2.20) là đúng, giả sử , khi đó: Vậy bất đẳng thức (2.20) được chứng minh. Từ bất đẳng thức (2.20) và bất đẳng thức ta suy ra: cho trong bất đẳng thức trên với chú ý và (do ta có: , tức là có bất đẳng thức (2.17) Sử dụng (2.17) với ta suy ra thuộc quả cầu tâm bán kính 2. Chứng tỏ là điểm bất động của Ta có ( ) Do liên tục tại và nên suy ra: và do đó Trường hợp 2. Giả sử , liên tụ