Sự bùng nổ của nghiên cứu tôpô trong thời gian gần đây buộc chúng ta
phải xem xét lại các vấn đề cơ bản và xác định chủ đề nào nên có trong
nghiên cứu tôpô. Các nhà toán học tin rằng cơ sở để nghiên cứu một không
gian tôpô là tính chuẩn tắc, compact, paracompact và định lý thác triển Tietze.
Như chúng ta đã biết, các nhà tôpô thuần túy nghiên cứu các không
gian thông qua các phủ mở. Trong khi đó, các nhà tôpô hình học lại dùng các
hàm liên tục để nghiên cứu các không gian. Chính vì điều này, các nhà toán
học: J. Dydak, N. Feldman, J.Segal, R. Engelking, I. M. James, A. T. Lundell,
S. Weingram, . . . , nổi bật là Dydak đã nảy ra ý tưởng hợp nhất hai cách
nghiên cứu này. Họ dùng phân hoạch đơn vị để giải quyết vấn đề và đã thành
công.
Chúng ta cũng đã biết, phân hoạch đơn vị là một trong các công cụ cơ
bản của giải tích, nó cũng thường được sử dụng trong lý thuyết đồng luân.
Nhưng theo sự trình bày của tôpô chính thống thì phân hoạch đơn vị chỉ tồn
tại phụ thuộc vào phủ cho trước. A. T. Lundell và S. Weingram cũng đã có
những cố gắng áp dụng phân hoạch đơn vị vào tôpô của các CW phức nhưng
chỉ dừng lại ở phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương. I. M. James cũng chỉ
thảo luận được phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm ở tôpô tổng quát và lý thuyết
đồng luân. Vì vậy, các ứng dụng gặp khó khăn khi dùng phương pháp đại số
để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương. Ngay cả phân hoạch đơn
vị tùy ý theo dạng định sẵn cũng gặp lắm phiền phức để tránh tất cả các trở
ngại
99 trang |
Chia sẻ: duongneo | Lượt xem: 1439 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Phân hoạch đơn vị trên không gian paracompact, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------
Phan Thị Ngọc Hưng
PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
2
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------------------
Phan Thị Ngọc Hưng
PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ
TRÊN KHÔNG GIAN PARACOMPACT
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN HÀ THANH
Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
3
LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ
Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã
từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh
nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức
quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin
trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao
trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình
học cao học.
Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại
học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này.
Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các
nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Jerzy Dydak đã tận tình giải đáp
các vấn đề liên quan. Xin chân thành cám ơn giáo sư.
Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường
THPT Dân lập An Đông đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học cao học.
Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý
và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
TP. HCM tháng 8 năm 2008
Tác giả
Phan Thị Ngọc Hưng
4
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................... 2
Lời cám ơn .................................................................................................. 3
Mục lục ........................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 9
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ..................................................... 12
1.1. Không gian tôpô .............................................................................. 12
1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô ................................................... 12
1.1.2. Lân cận .................................................................................. 12
1.1.3. Cơ sở ..................................................................................... 13
1.1.4. Cơ sở lân cận ......................................................................... 13
1.1.5. Điểm tụ (hay điểm giới hạn) .................................................. 13
1.1.6. Phần trong, bao đóng, tập trù mật .......................................... 13
1.1.7. Định nghĩa không gian khả li ................................................. 14
1.1.8. Các tiên đề đếm được ............................................................ 14
1.2. Ánh xạ liên tục ................................................................................ 14
1.3. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi ....................................... 15
1.4. Không gian con ............................................................................... 16
1.4.1. Định nghĩa tôpô cảm sinh, không gian con ............................ 16
1.4.2. Định lý (Điều kiện để một tập mở, đóng trong không gian
con) ....................................................................................... 16
1.4.3. Hệ quả ................................................................................... 17
1.4.4. Định lý (Điều kiện để một tập mở, đóng trong không gian
con) ....................................................................................... 17
1.5. Không gian thương .......................................................................... 17
1.6. Các tiên đề tách ............................................................................... 18
5
1.6.1. Định nghĩa các Ti – không gian .............................................. 18
1.6.2. Định lý .................................................................................. 19
1.7. Không gian chuẩn tắc ...................................................................... 19
1.7.1. Bổ đề Urysohn ....................................................................... 19
1.7.2. Định lý Tietze – Urysohn ...................................................... 19
1.7.3. Hệ quả ................................................................................... 19
1.7.4. Định lý (Điều kiện để một không gian là chuẩn tắc) .............. 20
1.7.5. Hệ quả ................................................................................... 20
1.8. Không gian mêtric hóa .................................................................... 20
1.8.1. Định nghĩa tôpô sinh bởi mêtric............................................ 20
1.8.2. Định nghĩa không gian mêtric hóa ....................................... 20
1.8.3. Định lý ................................................................................ 20
1.8.4. Các kết quả ........................................................................... 21
1.9. Hữu hạn địa phương ........................................................................ 21
1.9.1. Định nghĩa hữu hạn địa phương ............................................ 21
1.9.2. Bổ đề .................................................................................... 21
1.9.3. Định nghĩa rời rạc (rời rạc địa phương) ................................ 21
1.9.4. Định nghĩa hữu hạn σ-địa phương (hữu hạn địa phương
đếm được) .......................................................................... 22
1.9.5. Định nghĩa rời rạc σ-địa phương (σ-rời rạc, rời rạc địa
phương đếm được) ............................................................. 22
1.9.6. Định nghĩa làm mịn, làm mịn mở, làm mịn đóng .................. 22
1.9.7. Bổ đề .................................................................................... 23
1.10. Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov ........................................... 23
1.10.1. Tập hợp dạng Gδ ................................................................ 23
1.10.2. Tập hợp dạng Fσ ................................................................ 24
1.10.3. Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov ................................ 24
6
1.11. Không gian compact ...................................................................... 24
1.11.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn ................................ 24
1.11.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn ................................. 24
1.11.3. Định nghĩa không gian compact ......................................... 25
1.11.4. Định lý................................................................................ 25
1.11.5. compact hóa ........................................................................ 26
1.12. Không gian paracompact ............................................................... 26
1.12.1. Định nghĩa không gian paracompact ................................... 27
1.12.2. Định lý................................................................................ 27
1.12.3. Hệ quả ................................................................................ 27
1.12.4. Định lý ............................................................................... 27
1.12.5. Định nghĩa giá của ánh xạ (support f) ................................. 27
1.13. Không gian phụ hợp ...................................................................... 27
Chương 2: PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ ....................................................... 29
2.1. Phân hoạch đơn vị ........................................................................... 29
2.1.1. Định nghĩa tổng ..................................................................... 29
2.1.2. Định nghĩa các loại phân hoạch ............................................. 29
2.1.3. Định nghĩa phân hoạch U-small ............................................ 30
2.1.4. Định nghĩa không gian chuẩn tắc ........................................... 30
2.1.5. Định lý thác triển Tietze trên không gian chuẩn tắc ............... 31
2.1.6. Định nghĩa không gian paracompact ...................................... 31
2.1.7. Hệ quả ................................................................................... 31
2.1.8. Mệnh đề................................................................................. 32
2.1.9. Hệ quả ................................................................................... 34
2.2. Đồng liên tục - Đồng liên tục nghiêm ngặt ...................................... 35
2.2.1. Định nghĩa đồng liên tục nghiêm ngặt ................................... 35
7
2.2.2. Định nghĩa đồng liên tục ........................................................ 35
2.2.3. Mệnh đề................................................................................. 36
2.2.4. Mệnh đề................................................................................. 38
2.2.5. Mệnh đề................................................................................. 40
2.2.6. Định nghĩa phân hoạch xấp xĩ ............................................... 42
2.2.7. Hệ quả ................................................................................... 43
2.2.8. Mệnh đề................................................................................. 44
2.2.9. Bổ đề ..................................................................................... 46
2.2.10. Định lý về sự tồn tại phân hoạch đơn vị U-small .................. 47
2.2.11. Định nghĩa closure-preserving ............................................. 47
2.3. Thác triển phân hoạch đơn vị .......................................................... 47
2.3.1. Mệnh đề ................................................................................ 48
2.3.2. Mệnh đề................................................................................. 49
2.3.3. Định lý ................................................................................. 51
2.3.4. Bổ đề .................................................................................... 52
2.3.5. Bổ đề .................................................................................... 53
2.3.6. Bổ đề .................................................................................... 55
2.3.7. Bổ đề .................................................................................... 56
2.3.8. Bổ đề .................................................................................... 58
2.3.9. Định lý (Thác triển phân hoạch đơn vị trên paracompact) ..... 59
2.4. Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị ................................. 60
2.5. Bậc và chiều .................................................................................... 61
2.5.1. Định nghĩa bậc của phủ ......................................................... 61
2.5.2. Định nghĩa bậc của phân hoạch đơn vị .................................. 61
2.5.3. Định nghĩa chiều của không gian ........................................... 62
2.5.4. Bổ đề ..................................................................................... 62
2.5.5. Định nghĩa chiều của không gian paracompact ...................... 64
8
2.5.6. Hệ quả ................................................................................... 64
Chương 3: ỨNG DỤNG PHÂN HOẠCH ĐƠN VỊ VÀO TÔPÔ ........... 66
3.1. Ứng dụng phân hoạch đơn vị trên không gian paracompact ............ 66
3.1.1. Định lý thác triển Tietze ........................................................ 66
3.1.2. Bổ đề ..................................................................................... 68
3.1.3. Định lý A. H. Stone ............................................................... 69
3.1.4. Bổ đề ..................................................................................... 70
3.1.5. Định lý Tamano ..................................................................... 70
3.1.6. Chú ý (Điều kiện để paracompact đếm được là chuẩn tắc) ..... 72
3.1.7. Định lý (Điều kiện đủ trên không gian paracompact
đếm được) ............................................................................. 73
3.1.8. Định lý thay thế phân hoạch đơn vị ....................................... 75
3.1.9. Hệ quả (Định lý Michael) ...................................................... 80
3.1.10. Định lý mêtric hóa ............................................................... 81
3.1.11. Định lý mêtric hóa Nagata – Smirnov (Điều kiện cần) ......... 84
3.2. Chiều và phân hoạch đơn vị ............................................................ 86
3.2.1. Định lý (Tổng quát hóa của định lý thác triển Tietze) ............ 86
3.2.2. Mệnh đề (Chiều của không gian phụ hợp) ............................. 88
3.2.3. Định lý (Chiều của không gian paracompact) ........................ 89
3.2.4. Mệnh đề (Sự thác triển xấp xĩ) ............................................... 91
3.2.5. Hệ quả ................................................................................... 93
3.2.6. Định lý .................................................................................. 93
KẾT LUẬN ............................................................................................... 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 98
9
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sự bùng nổ của nghiên cứu tôpô trong thời gian gần đây buộc chúng ta
phải xem xét lại các vấn đề cơ bản và xác định chủ đề nào nên có trong
nghiên cứu tôpô. Các nhà toán học tin rằng cơ sở để nghiên cứu một không
gian tôpô là tính chuẩn tắc, compact, paracompact và định lý thác triển Tietze.
Như chúng ta đã biết, các nhà tôpô thuần túy nghiên cứu các không
gian thông qua các phủ mở. Trong khi đó, các nhà tôpô hình học lại dùng các
hàm liên tục để nghiên cứu các không gian. Chính vì điều này, các nhà toán
học: J. Dydak, N. Feldman, J.Segal, R. Engelking, I. M. James, A. T. Lundell,
S. Weingram, . . . , nổi bật là Dydak đã nảy ra ý tưởng hợp nhất hai cách
nghiên cứu này. Họ dùng phân hoạch đơn vị để giải quyết vấn đề và đã thành
công.
Chúng ta cũng đã biết, phân hoạch đơn vị là một trong các công cụ cơ
bản của giải tích, nó cũng thường được sử dụng trong lý thuyết đồng luân.
Nhưng theo sự trình bày của tôpô chính thống thì phân hoạch đơn vị chỉ tồn
tại phụ thuộc vào phủ cho trước. A. T. Lundell và S. Weingram cũng đã có
những cố gắng áp dụng phân hoạch đơn vị vào tôpô của các CW phức nhưng
chỉ dừng lại ở phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương. I. M. James cũng chỉ
thảo luận được phân hoạch đơn vị hữu hạn điểm ở tôpô tổng quát và lý thuyết
đồng luân. Vì vậy, các ứng dụng gặp khó khăn khi dùng phương pháp đại số
để xây dựng phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương. Ngay cả phân hoạch đơn
vị tùy ý theo dạng định sẵn cũng gặp lắm phiền phức để tránh tất cả các trở
ngại.
10
Sự ra đời của khái niệm “Phân hoạch của các hàm đồng liên tục” là
một hướng mới để tận dụng tất cả các ưu điểm của các phép tính vi tích phân
và phương pháp đại số để nghiên cứu phân hoạch đơn vị.
Khái niệm “Paracompact” ra đời trong những năm gần đây. Nó là một
tổng quát hóa hữu ích nhất của không gian compact. Nó đặc biệt giúp ích cho
các ứng dụng trong tôpô và hình học vi phân, điển hình là định lý mêtric hóa.
Một trong những tính chất hữu ích nhất mà không gian paracompact sở hữu
đó là sự tồn tại của phân hoạch đơn vị.
Vì những lí do đó, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu về phân hoạch đơn vị đặc
biệt là phân hoạch đơn vị phụ thuộc vào phủ, phân hoạch đồng liên tục, tính
đồng liên tục, thác triển phân hoạch đơn vị, bậc của phân hoạch đơn vị.
Trên cơ sở đó, chúng tôi tìm hiểu và áp dụng chúng để nghiên cứu tôpô
và hình học, đặc biệt là nghiên cứu về: “Phân hoạch đơn vị trên không gian
paracompact ”.
2. Mục đích
Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ để chứng minh các kết quả trên
không gian paracomapact một cách ngắn gọn và đơn giản hơn.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Không gian paracompact.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Dùng phân hoạch đơn vị phụ thuộc phủ làm giảm đi một số điều kiện đối
với các kết quả trên không gian paracompact giúp cho các phát biểu trên
không gian paracompact trở nên đơn giản và ngắn gọn hơn.
11
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức về tôpô đại
cương có liên quan đến đề tài nghiên cứu.
Chương 2: Phân hoạch đơn vị. Ở chương này trình bày:
- Phân hoạch đơn vị, đồng liên tục, đồng liên tục nghiêm
ngặt cùng các tính chất kèm các chứng minh chi tiết.
- Thác triển phân hoạch đơn vị.
- Tích phân và đạo hàm của phân hoạch đơn vị.
- Bậc phân hoạch đơn vị và chiều.
Các kết quả khác liên quan đến không gian chuẩn tắc luận
văn chỉ trình bày chứ không chứng minh.
Chương 3: Ứng dụng phân hoạch đơn vị vào tôpô. Cụ thể:
- Dùng phân hoạch đơn vị chứng minh một số kết quả trên
không gian paracompact: Định lý thác triển Tietze, định
lý A. H. Stone, định lý Tamano, định lý mêtric hóa
Nagata – smirnov (điều kiện cần).
- Trình bày một số áp dụng về lý thuyết chiều.
12
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô chính thống
có liên quan đến các chương sau. Ở đây, hầu hết các định lý, các hệ quả, các
bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng
làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài.
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô:
Cho tập X. Họ τ các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu thỏa các
điều kiện sau:
τ1) X, ∅ thuộc τ,
τ2) Hợp của tùy ý các tập thuộc τ là thuộc τ,
τ3) Giao của hữu hạn các tập thuộc τ là thuộc τ.
Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là không gian tôpô. Viết là (X, τ)
hay X nếu không cần chỉ rõ τ là tôpô trên X. Các phần tử của không gian
thường gọi là các điểm.
Cho (X, τ) là không gian tôpô. Tập G∈τ được gọi là tập mở của X. Tập
con F của X gọi là tập đóng nếu X \ F mở.
Từ định nghĩa suy ra:
a) ∅, X là tập đóng,
b) Giao của tùy ý các tập đóng là tập đóng,
c) Hợp của hữu hạn các tập đóng là tập đóng.
1.1.2. Lân cận:
13
Cho (X, τ) là không gian tôpô và x∈X. Tập V ⊂ X được gọi là một lân
cận của x nếu tồn tại tập mở G sao cho x
∈ G ⊂ V.
Nếu lân cận V của x là tập mở thì V gọi là lân cận mở của x.
Nhận xét:
- Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở.
- Tập G là mở nếu và chỉ nếu G là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
1.1.3. Cơ sở:
Cho (X, τ) là không gian tôpô. Một họ con β của τ gọi là một cơ sở của τ
nếu: ∀G∈τ, ∀x∈G, ∃V∈β : x∈V ⊂ G.
1.1.4. Cơ sở lân cận:
Một họ Ux các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu: Mọi lân
cận V của x đều tồn tại lân cận U∈Ux sao cho U ⊂ V.
1.1.5. Điểm tụ (hay điểm giới hạn):
Cho A là một tập con của không gian tôpô X và x∈X. Nếu mọi lân cận V
của x ta đều có V ∩ (A \ {x}) ≠ ∅ thì x được gọi là điểm tụ (hay điểm giới
hạn) của tập A.
1.1.6. Phần trong, bao đóng, trù mật:
Cho X là không gian tôpô, tập A ⊂ X.
- Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong
A, ký hiệu A0.
- Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, ký hiệu
Ā hay cl(A).
- Tập con A được gọi là trù mật (hay trù mật khắp nơi ) trong X nế