Luận văn Phép biến đổi radon

BỘ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ---oOo--- VŨ THỊ HỒNG HẠNH PHÉP BIẾN ĐỔI RADON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1.01.01 Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 09 năm 2003 LỜI CẢM ƠN. Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin kính gửi đến Thầy TS. Nguyễn Cam–Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh - người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán,Khoa Tâm Lý–Giáo Dục, Khoa Triết, Khoa Pháp, Phòng Khoa học–Công Nghệ–Sau Đại Học thuộc Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, các Thầy thuộc Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cũng như hỗ trợ về tư liệu,thủ tục hành chánh cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm việc. Xin chân thành cảm ơn TS.Chu Đức Khánh-Trường Dự Bị Đại Học Tp.Hồ Chí Minh, TS.Đinh Ngọc Thanh-Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.Hồ Chí Minh, đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quí báu cho luận văn được hoàn chỉnh. Xin cảm ơn các bạn cùng khóa Cao Học Giải Tích 11 Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, các bạn trong Tổ Toán trường THPT Bà Điểm và Cô Nguyễn Lê Thúy Hoa, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, đã quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập và làm luận văn. Một lần nữa xin được kính gửi đến Quý Thầy, Cô và các Bạn Hữu lời cảm ơn chân thành,sâu sắc . Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2003. Vũ Thị Hồng Hạnh. MỤC LỤC. 1. CHƯƠNG I: Các kiến thức cần dùng 1 I.Những nhận xét sơ bộ 1 II.Các không gian hàm thử 1 III.Sự hội tụ trong không gian các hàm thử 1 IV.Các phiếm hàm tuyến tính 2 V.Sự phân bố 2 VI.Đa thức Hermite Hl(x) 5 VII.Biến đổi Fourier 6 VIII.Công thức Courant và Hilbert 6 2. CHƯƠNG II : Giới thiệu phép biến đổi Radon 7 I.Giới thiệu 7 II.Biến đổi Radon trên không gian Euclide hai chiều 7 III.Biến đổi Radon trên không gian Euclide ba chiều 11 IV.Vài ví dụ 14 3. CHƯƠNG III : Biến đổi Radon và các tính chất cơ bản 17 I.Tính thuần nhất 17 II.Tính tuyến tính 20 III.Biến đổi Radon của phép biến đổi tuyến tính 20 IV.Biến đổi Radon của đạo hàm 22 V.Biến đổi Radon của đa thức Hermite 29 VI.Đạo hàm của biến đổi Radon 35 VII.Biến đổi của tích chập 42 VIII.Liên hệ giữa biến đổi Radon và biến đổi Fourier 43 4. CHƯƠNG IV : Biến đổi ngược của biến đổi Radon 45 I.Giới thiệu 45 II.Biến đổi ngược của biến đổi Radon trên không gian Euclide hai chiều 45 III.Sự thống nhất và liên hợp giữa biến đổi Radon và biến đổi ngược của nó trên không gian Euclide hai chiều 47 IV.Biến đổi ngược của biến đổi Radon trên không gian Euclide ba chiều 48 V.Sự thống nhất và liên hợp giữa biến đổi Radon và biến đổi ngược của nó trên không gian vectơ ba chiều 51 VI.Sự liên hợp giữa và 55 ℜ +ℜ CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG I.NHỮNG NHẬN XÉT SƠ BỘ: Cho X = (x1,x2,,xn)∈ Rn.Tích vô hướng của hai vectơ X,Y∈ Rn được cho bởi công thức : ∑ = == n 1j jjyxY,XY.X Và độ lớn của vectơ X là 2 1 X,XX = F(x1,x2,,xn) hay F(X) là hàm của n biến số thực. Trong hầu hết các trường hợp, F(X) có giá trị thực . Cho K là bao đóng của tập hợp các điểm X∈ Rn sao cho F(X) ≠ 0,ta gọi K là giá của F. Nếu giá K bị chặn, thì nó là tập compact (theo định lí Heine-Borel trong không gian Euclide Rn,ta có : tính đóng và bị chặn của một tập hợp tương đương với tính compact của tập hợp đó). Giá của một hàm trong Rn là tập con đóng bé nhất trong Rn,mà bên ngoài nó, hàm bị triệt tiêu. Nếu F(X) khả vi vô hạn thì nó được gọi là thuộc lớp C∞. II.CÁC KHÔNG GIAN HÀM THỬ: 1)Không gian DK : Không gian các hàm C∞ trên Rn với giá compact K⊂Rn được kí hiệu DK. 2)Không gian D: Không gian lớp các hàm C∞ trên Rn với giá compact được kí hiệu bởi D. 3)Không gian ϕ : Cho f: R ỈR gọi là hàm giảm nhanh về 0 nếu ∀m∈N thì 0x).x(fDlim mk x =∞→ ,∀k. Không gian các hàm C∞ giảm nhanh trên Rn được kí hiệu là ϕ. III.SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ: 1)Không gian DK : Cho { Fj} là dãy các hàm trong DK :Fj→F ∈ DK hay Fj = F ∞→jlim Nghĩa là : dãy {Fj-F} hội tụ đều về 0 trên tập compact K⊂ Rn. 1 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG Hơn nữa, dãy đạo hàm cấp bất kì của Fj cũng hội tụ đều trên K, tương ứng với đạo hàm cấp đó của F, (DmFj – DmF) → 0 ,với mỗi số cố định m ≥ 0. 2)Không gian D: Sự hội tụ theo nghĩa trong D được định nghĩa như trong DK nhưng đặc biệt tất cả các giá của các hàm số trong dãy {Fj } ở trong một số tập compact cố định K⊂ Rn . 3)Không gian ϕ : Cho {Fj} là dãy các hàm trong ϕ.Dãy này hội tụ về 0 khi và chỉ khi: i)Fj và DmFj hội tụ đều về 0 trên mỗi tập hợp con compact K của Rn. ii)Hằng số C(l,m) trong biểu thức⏐Xl Dm Fj⏐< C (l,m) độc lập đối với j,∀j. Dãy {Fj} được gọi là hội tụ về F∈ϕ nếu {Fj - F} hội tụ về 0.Ta có thể viết : Fj → F hay Fj = F và ta gọi là sự hội tụ theo nghĩa của ϕ. ∞→jlim IV. PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH: Một phiếm hàm tuyến tính T trên không gian tuyến tính L thoả mãn: = α + β với F1,F2 bất kì ∈ L và 2 số phức α,β. Tập hợp các phiếm hàm tuyến tính trên không gian tuyến tính L hình thành nên một không gian tuyến tính gọi là không gian đối ngẫu L’. Xét dãy các hàm số {Fj} trong không gian tuyến tính L, một phiếm hàm tuyến tính là liên tục nếu và chỉ nếu : = ∞→jlim ∞→jlim V.SỰ PHÂN BỐ: 1)Định nghĩa 1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian D được gọi là một phân bố. 2)Định nghĩa 2: Không gian các phân bố được kí hiệu là D’. 3)Định nghĩa 3: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian ϕ được gọi là phân bố tempered. 4)Định nghĩa 4: Không gian của các phân bố tempered được kí hiệu là ϕ’. 2 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG LƯU Ý : Đẳng thức, phép côïng, phép nhân vô hướng trên những không gian L’ được định nghĩa như sau: (i)T1∈L’ và T2∈L’,ta có: T1 = T2 ⇔ 〈T1,F〉 = 〈T2,F〉,∀F∈L (ii)(T1+T2)∈L’,ta có: 〈T1+T2,F〉 = 〈T1,F〉 + 〈T2,F〉, ∀F∈L (iii)αT∈L’,α∈C,ta có: 〈αT,F〉 = α*〈T,F〉, ∀F∈L Dãy các hàm suy rộng {Tj}∈L’ được gọi là hội tụ về hàm suy rộng T∈L’khi: L∈∀=∞→ F,F,TF,Tlim jj Bây giờ ta xét dãy các hàm số sau : ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤ < =∈∀ k 1x,0 k 1x0,k 0x,0 xS,Nk k Rõ ràng, dãy {Sk} không có một giới hạn xác định rõ (k→∞) trong phép tính giới hạn sơ cấp.Xét dạng tích phân sau : ( ) ( ) ( )∫∫ == ∞+ ∞− k 1 0 kk dxxF.kdxxFxSF,S với F là hàm thuộc D. Cho mỗi dãy {Fj}⊂D sao cho : , D∈→ ∞→ FF j j ta có: F,SF,Slim kjk j =∞→ Vì vậy 〈Sk,F〉 ∀F∈D là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D. Khi ta nói Sk là một phân bố thì phải hiểu là đã đồng nhất Sk với phiếm hàm tuyến tính liên tục: F,SF k6 .Với T(x) khả tích trên mọi đoạn [a,b] thì T là một phân bố xác định bởi : ( ) ( )∫ ∞+ ∞− =∈∀ dxxFxTF,T:F D Các phân bố được xác định như trong ví dụ 2 được gọi là phân bố chính qui . Các phân bố không chính qui được gọi là phân bố kì dị. 3 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG Ta nhận thấy rằng dãy {Sk} không có giới hạn theo nghĩa thông thường. Nhưng 〈Sk,F〉 ,với F∈D, có một giới hạn. Theo định lí giá trị trung bình: ( ) ( ),FF k 1.kF,S kkk ηη == k 10 k << η . Vì vậy : ( ) ( )0FFlimF,Slim k k k k == ∞→∞→ η . Xét phân bố δ xác định bởi : ( )0FF, =δ , ∀F∈D. Và ta thường viết: ( ) ( ) ( )0FdxxFxF, == ∫ ∞+ ∞− δδ Lưu ý rằng cách viết : ( ) ( )∫ ∞+ ∞− dxxFxδ hoàn toàn mang tính hình thức mà thôi.Và ta xem như phân bố δ xác định bởi : theo nghĩa giới hạn của phân bố. k k Slim∞→=δ Định nghĩa:Hàm Dirac δ được viết với x∈R1 ,được xác định như sau: ( ) ( ) 1dxx,0x,0x =∫≠∀= ∞+ ∞− δδ Đặt : ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +> +≤≤ < =− k 1ax,0 k 1axa,k ax,0 axSk thì: ( ) ( ) ( ) ( ) k 1aa,F k 1.kdxxF.kdxxFaxSF,S kk k 1a a k 1a a kk +≤≤==−= ∫∫ ++ ηη ( ) ( )aFFlimF,Slim kkkk == ∞→∞→ η ( ) ( ) (aFdxxFax =−⇒ ∫ ) ∞+ ∞− δ Như vậy: ( ) ( ) ( )aFdxaxxF =−∫ ∞+ ∞− δ ***Hàm Dirac δ là hàm số chẵn, nghĩa là δ(-x) = δ(x), ∀x∈R. 4 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG VI.ĐA THỨC HERMITE Hl(x) : a) Hàm số tổng quát: ( ) ∑∞ = − = 0l l ltxt2 !l txH2e b) Các giá trị đặc biệt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00H !l !l210 xH1xH 1l2 l l2 l l l = −= −−= + H c) Công thức truy hồi và đạo hàm: H 0lH2xH2 lH2 H lH2xH2H l ' l " l 1l ' l 1ll1l =+− = −= − −+ d) Tính trực giao: ( ) ( ) lmlxml !l2dxexHxH 2 δπ=∫ +∞ ∞− − . e) Công thức Rodrigues : ( ) ( ) 22 xlxll edx de1xH −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= ( ) ( )xHexHe dx d nm x n x m 22 +−− =⎟⎠ ⎞⎜⎛ ⎝− f) Vài giá trị đầu tiên của công thức Rodrigues: x2H 1H 1 0 = = x12x8H 2x4H 3 3 2 2 −= −= x120x160x32H 12x48x16H 35 5 24 4 +−= +−= g) Một số dạng khai triển: 1 1 0 0 H 2 1x Hx = = 5 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG ( )202 HH24 1x += ( )133 H6H8 1x += ( )0244 H12H12H16 1x ++= ( )1355 H60H20H32 1x ++= VII.BIẾN ĐỔI FOURIER : Cho hàm thử F∈ϕ a)Biến đổi Fourier : ( ) ( )∫ +∞ ∞− −= dttFexF xti2~ π b)Biến đổi ngược của biến đổi Fourier : ( ) ( )∫ ∞+ ∞− = dxxFetF ~xt2i π VIII.CÔNG THỨC COURANT VÀ HILBERT : Xét X,Y ∈ Rn ,ξ là vecto đơn vị, p là một vô hướng, và ΔX là toán tử Laplacian. 1)n lẻ và n ≥ 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ −=− = +−− XY.YdYfdXf124 1 2 1n X2 1n1n ξξΔπ ξ 2)n chẵn và n ≥ 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ −=− = − XY.lnYdYfdXf12 1 2 n X2 2nn ξξΔπ ξ 6 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON CHƯƠNG II: GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON. I.GIỚI THIỆU: Trong chương này, phép biến đổi Radon của hàm f trên không gian Euclide được định nghĩa cho những hàm trên R2,R3, và ta làm việc trên những lớp hàm tốt như lớp ϕ của những hàm giảm nhanh khả vi mọi cấp C∞ hay lớp hàm D của những hàm khả vi mọi cấp C∞ và có giá compact. II.BIẾN ĐỔI RADON TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE HAI CHIỀU: Cho (x,y) toạ độ của những điểm trong mặt phẳng , xét hàm f xác định trên D ⊂ R2.Hàm f triệt tiêu bên ngoài miền D. Nếu L là một đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng , thì phép biến đổi Radon của f được xác định bởi : =ℜ=∨ ff ( )∫ L dsy,xf (2.1) trong đó ds là số gia của chiều dài dọc theo L.Miền D có thể là toàn bộ R2 hoặc một bộ phận của R2 như trong hình : Ly D O x Hình 2.1 Phép biến đổi Radon xác định bởi (2.1) và phép biến đổi ngược của nó đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Johann Radon (1917).Radon đã chỉ ra rằng nếu f liên tục và có giá compact, thì ℜf được xác định duy nhất bởi tích phân dọc theo mọi đường thẳng L. 7 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON L ϕ y y O x P M I x Hình 2.2 Xét phương trình của đường L được cho như sau: p = x.cosφ + y.sinφ (2.2) Thật vậy, p = d(O,(L))=OM L có pháp vectơ ( )φφ sin,cosn =→ Cho I(x,y). Toạ độ M là : M(p.cosφ,p.sinφ) ⇒ ( )ysin.p,xcos.pIM −−=→ φφ Ta có: →⊥→ nIM φφ sin.ycos.xp +=⇔ 0n.IM =⇔ →→ Tích phân đường (2.1) phụ thuộc vào giá trị của p,φ . Điều này được xác định bởi biểu thức sau: (2.3) Nếu ( xác định với mọi p và φ , thì là PHÉP BIẾN ĐỔI RADON HAI CHIỀU của f(x,y) . ( ) =ℜ=∨ fp,f φ ( )∫ L dsy,xf ) )φ,pf∨ ( φ,pf∨ Khi chỉ được xác định với một số giá trị φ , ta nói ta có MỘT MẪU của phép biến đổi Radon. ∨ f Bây giờ giả sử một hệ trục toạ độï mới được giới thiệu với trục quay góc φ . Nếu hệ trục mới được ký hiệu bởi p và s như hình sau: 8 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON Hình 2.3 S y N I M P xφ O Ta có: ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ s p . cossin sincos y x φφ φφ là công thức đổi trục toạ độ. ⎩⎨ ⎧ += −= φφ φφ cos.ssin.py sin.scos.px Vậy: (2.4) ( )∫ ∞+ ∞− φ+φφ−φ dscos.ssin.p,sin.scos.pf Hiển nhiên, giới hạn có thể hữu hạn nếu f triệt tiêu bên ngoài miền D. Cho X=(x,y) là vectơ với thành phần x và y, thì : f(X)=f(x,y). Ngoài ra , ta có các vectơ đơn vị sau : ξ = (cosφ, sinφ) và ξ⊥ = (-sinφ, cosφ) Như vậy , sẽ tồn tại tham số vô hướng t sao cho : X = p.ξ + t.ξ⊥ Hình 2.4 L y x (x, y) ξ Pξ φ O 9 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON Theo biến số mới thì (2.4) có dạng : ( ) =∨ ξ,pf dt.t.pf∫ ∞+ ∞− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⊥+ ξξ (2.5) Ta có thêm một dạng biểu diễn nữa. Đầu tiên , xét phương trình (2.2) có thể được viết như sau : p = ξ.X = x.cosφ + y.sinφ Phép biến đổi có thể được viết dưới dạng tích phân trên R2 bởi hàm delta Dirac , chọn đường p = ξ.X trong R2 . Ta sẽ chứng minh : ∫∫ −=∨ 2R dxdy)X.p().X(f),p(f ξδξ Thực hiện phép đổi biến số : ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ y x . cossin sincos v u φφ φφ ⎩⎨ ⎧ +−= +=⇔ φφ φφ cos.ysin.xv sin.ycos.xu ⎩⎨ ⎧ += −=⇔ φφ φφ cos.vsin.uy sin.vcos.ux Ta có : ( ) ( )∫∫ − 2R dxdyX.pXf ξδ ( ) ( )∫∫ −= 2R dxdyX.py,xf ξδ = ( ) ( )∫∫ −+− 2R dudvup.cos.vsin.u,sin.vcos.uf δφφφφ = ( ) ( )∫∫ −+− 2R dudvpu.cos.vsin.u,sin.vcos.uf δφφφφ = ( )∫ +− dvcos.vsin.p,sin.vcos.pf φφφφ ( ) ( )ξ φ ,pf ,pf ∨ = ∨ = Vậy: ( ) =ξ∨ ,pf ( ) ( )∫∫ ξ−δ 2R dxdyX.p.Xf (2.6) Để đơn giản hơn ta có thể viết: ( ) =ξ∨ ,pf ( ) ( )∫ ξ−δ dXX.p.Xf (2.7) 10 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON III.BIẾN ĐỔI RADON TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE BA CHIỀU: Cho (x,y,z) là toạ độ những điểm trong không gian R3 . Xét hàm f xác định trên D ⊂ R3 và triệt tiêu bên ngoài miền D. Nếu (P) là một mặt phẳng bất kỳ trong không gian, thì phép biến đổi Radon của f được xác định bởi : (2.8) ( ) ( )∫=ℜ= ∨ P dsz,y,xfff Miền D có thể là toàn bộ R3 hoặc một bộ phận của R3 . Ta xét p = d(O,(P))=OM (P) có pháp vectơ với ( ) ξξξξ ==→ 321 ,,n 1=ξ Cho I(x,y,z),tọa độ điểm M là : ( )321 .p,.p,.pM ξξξ p I M ξ O x z y Hình 3.1 ( )z.p,y.p,x.pIM 321 −−−=→ ξξξ Ta có : →→ ⊥ nIM 0n.IM =⇔ →→ 321 .z.y.xp ξξξ ++=⇔ (2.9) Tích phân mặt (2.8) phụ thuộc vào giá trị của p,ξ . Điều này được xác định bởi biểu thức sau : (2.10) ( ) ( ) ( )∫=ℜ= ∨ P dsz,y,xff,pf ξ 11 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON Nếu xác định với mọi p,ξ , thì là PHÉP BIẾN ĐỔI RADON BA CHIỀU của f(x,y,z) (với ⏐ξ⏐=1). ( ξ,pf∨ ) )( ξ,pf∨ Giả sử ta có một hệ trục tọa độ mới với một trục Ox vuông góc với (P). Ta ký hiệu hệ trục mới là Opvw. Ta có : ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ w v p . qq 0q qq z y x 132 3 2 321 1 ξξξξ ξ ξξξξ Với : 23 2 1q ξξ += , 12322212 =++= ξξξξ Vậy : ( ) ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− ∨ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ξ+ξξ−ξ+ξξ−ξξ−ξ=ξ dvdww q v q p,qvp,w q v q pf,pf 132323211 (2.11) Giới hạn có thể hữu hạn nếu f triệt tiêu bên ngoài miền D. Cho X = (x,y,z) là vectơ với thành phần x,y,z thì : f(X) = f(x,y,z) Ngoài ra, ta có các vectơ đơn vị sau với , 23 2 1q ξξ += ( )321 ,, ξξξξ = ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −−= q ,q, q 3221 v ξξξξξ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= q ,0, q 13 w ξξξ Các vectơ wv ,, ξξξ đôi một vuông góc. Như vậy sẽ tồn tại tham số vô hướng v,w sao cho : wv .w.v.pX ξξξ ++= Theo biến số mới thì (2.11) có dạng : ( ) ( )∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∨ ++= dvdw.w.v.pf,pf wv ξξξξ (2.12) Phương trình (2.9) có thể được viết như sau : 321 .z.y.xX.p ξξξξ ++== 12 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON Phép biến đổi radon có thể được viết dưới dạng tích phân trên R3 bởi hàm delta Dirac. Ta sẽ chứng minh : ∫∫∫ −=∨ 3R dxdydz)X.p().X(f),p(f ξδξ Thực hiện phép đổi biến số : ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x . q 0 q q q q w v u 13 3221 321 ξξ ξξξξ ξξξ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −+−= ++= ⇔ z q x q w z. q y.qx. q v .z.y.xu 13 3221 321 ξξ ξξξξ ξξξ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−= += −−= ⇔ w q v q uz qvuy w q v q ux 132 3 2 321 1 ξξξξ ξ ξξξξ Ta có : ( ) ( )∫∫∫ − 3R dxdydzX.pXf ξδ ( ) ( )∫∫∫ −= 3R dxdydzX.pz,y,xf ξδ ( )∫∫∫ −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−+−−= 3R 132 32 321 1 dudvdwup.wq v q u,qvu,w q v q uf δξξξξξξξξξ ∫∫ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−+−−= 2R 132 32 321 1 dvdwwq v q p,qvp,w q v q pf ξξξξξξξξξ ( )f p,∨= ξ 13 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON Vậy : = (2.13) ( )ξ∨ ,pf ( ) ( )∫∫∫ − 3R dxdydzX.pXf ξδ Để đơn giản,ta thay bằng ta có : ∫∫∫ 3R ∫ (2.14) ( ) ( ) ( )∫ ξ−δ=ξ∨ dXX.pXf,pf IV.VÀI VÍ DỤ : 1.Ví dụ 1 : Cho ( ) 22 yxey,xf −−= ( )∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−∨ −−=ℜ= dxdyyxpeff 21yx 22 ξξδ với ( ) 1,, 2221221 =+== ξξξξξξ Bằng phép biến đổi tuyến tính trực giao, ta có : ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ y x . 12 21 v u ξξ ξξ ⎩⎨ ⎧ +−= +=⇒ y1x2v y2x1u ξξ ξξ với =1 , x2+y2 = u2+v2 det ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 12 21 ξξ ξξ Như vậy: ( )=∨ ξ,pf ( )∫ ∫∞+ ∞− ∞+ ∞− −− − dudvup.e 22 vu δ ∫ ∞+ ∞− −−= dve 22 vp ∫ ∞+ ∞− −−= dvee 22 vp 2pe. −= π Vì vậy, ta có kết quả quan trọng: 222 pyx e.e −−− π=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ℜ (2.15) 14 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON 2.Ví dụ 2 : Kết quả ở ví dụ 1 có thể được mở rộng theo giá trị của n. Nếu n=3, ta có : 222 xyxe)y,x(f −−−= Thực hiện đổi biến số : ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −−= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ z y x . q 0 q q q q w v u 13 3221 321 ξξ ξξξξ ξξξ với 23 2 1q ξξ += det =1 , ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− q 0 q q q q 13 3221 321 ξξ ξξξξ ξξξ 123 2 2 2 1 2 =++= ξξξξ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−= −+−= ++= ⇒ z q x q w z q qyx q v zyxu 13 3221 321 ξξ ξξξξ ξξξ ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +−+++= ++− −+++++= +++++= ⇒ xz2zxw zx2yz2 xy2zyxv zx2yz2xy2zyxu 2 3 2 1 312 2 3 2 1 2 12 2 3 2 1 2 32 2 3 2 1 3 2 21 32 21 2 2 3 2 1 2 3 2 222 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 2 12 133221 22 3 22 2 22 1 2 ξξ ξξ ξξ ξ ξξ ξ ξξ ξξξξξ ξξξξ ξξξξξξ ξξ ξξξξξξξξξ 15 CHƯƠNG II:GIỚI THIỆU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON 222222 zyxwvu ++=++⇒ ( )∫ ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−−∨ −−−=ℜ= dxdydzzyxpeff 321zyx 222 ξξξδ ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−−∨ −= dudvdwupe,pf 222 wvu δξ ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−−= dvdwe 222 wvp ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− −−−= dvdwee 222 wvp ∫ ∞+ ∞− −−= dwee 22 wp π 2 2 p p e. e