Luận văn Phương trình Pell

PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong suốt bao nhiêu năm học toán từ thời tiểu học đến đại học, em đã học được rất nhiều điều hay, điều mới lạ, có những vấn đề dễ hiểu, có những vấn đề đọc mãi mà chẳng ra, có những vấn đề có trong chương trình học, mà có nhiều vấn đề không có trong chương trình. Đó là những vấn đề có thể đối với thế giới là bình thường nhưng đối với em là điều mới, điều hay và nó thu hút bản năng thích tìm tòi, khám phá và chinh phục của mình. Phương trình Pell là một dạng của phương trình Diophantine nhưng bản thân nó khá phong phú và lại rất đa dạng cả trong lịch sử ra đời, trong định nghĩa, trong phương pháp giải và cả ứng dụng của nó trong số học. Chính tính hấp dẫn của vấn đề cùng với việc mong muốn giới thiệu vấn đề tới các bạn sinh viên ngành toán của trường.Vì thế, em đã có động lực để nghiên cứu đề tài và chọn đề tài luận văn của mình là: “Phương trình Pell” dưới sự góp ý của thầy hướng dẫn Bùi Anh Kiệt. 2. Lịch sử vấn đề Jonh Pell (1611-1685) nhà toán học, người đã tìm ra những nghiệm nguyên ở thế kỉ 17. Tuy nhiên ông chưa là người đầu tiên làm điều này. Phương trình Pell đã được phát minh với chiều sâu hàng trăm năm trước khi Pell ra đời. Sự đóng góp đầu tiên là nhà toán học người Ấn Độ - Brahmagupta, cách đây 1000 năm, trước thời gian của Pell. Với sự đóng góp của ông đã bắt đầu lịch sử nghiên cứu về phương trình Pell. Năm 1150 sau Công Nguyên, một nhà toán học Ấn Độ khác – Bhaskara II, ông đã khám phá ra phương pháp tuần hoàn, mà người Ấn Độ gọi là chakravala . Thế kỉ thứ 14, Narayana đưa ra một số ví dụ về phương pháp tuần hoàn của Bhaskara II. Thế kỉ thứ 17, ở Châu Âu, Fermat đã khẳng định rằng “với mọi số n, có vô hạn con số là nghiệm của phương trình”, ông không chứng minh được. Nhưng các nhà toán học người Anh: William Bramker và John Walliss đã làm được. Ngoài ra Frenicle de Bessy đã sắp xếp thành bảng những nghiệm của phương trình Pell với tất cả số . Thế kỉ thứ 18, vào năm 1766, Lagrange đã chứng minh được rằng nghiệm của phương trình phụ thuộc vào khai triển liên phân số của . 3. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu là tập hợp và hệ thống lại một số kiến thức cơ bản của liên phân số. Đồng thời vận dụng kiến thức này vào nghiên cứu phương trình Pell có đặc điểm gì? Phương pháp giải và ứng dụng của nó trong Số học? Xây dựng hệ thống ví dụ nhằm bổ sung làm sáng tỏ phần lý thuyết và các bài tập giúp người đọc hiểu sâu hơn. Đồng thời đưa ra một số ứng dụng của nó trong Số học. Em hay bất cứ một bạn sinh viên nào trước khi ra trường đều muốn tạo dựng một thành quả tốt đẹp cho mình, một công trình nhỏ của riêng mình, để thấy được rằng đây chính là sản phẩm đầu tay của người sinh viên sau 4 năm ngồi trên giảng đường Đại học . Em nghiên cứu đề tài này là muốn hoàn thành Luận văn tốt nghiệp, bên cạnh đó em muốn được mở mang kiến thức, tầm nhìn của mình về môn toán. Từ đó tạo đà cho em sẽ phát triển cao hơn về năng lực tư duy trong nghiên cứu toán học. 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Luận văn thừa nhận một số khái niệm và tính chất cơ bản của Số học, dãy số. Bên cạnh đó, luận văn trình bày một số kiến thức cơ sở của liên phân số cuối cùng là đi đến khái niệm phương trình Pell và hình thành cách giải của phương trình. 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách có liên quan đến đề tài, tìm tài liệu trên mạng. Sử dụng phương pháp phân tích để nắm vững vấn đề một cách chi tiết. Sử dụng phương pháp tổng hợp, hệ thống những kiến thức tiên quyết, trình bày vấn đề theo trình tự logic để người đọc dễ theo dõi. 6. Nội dung nghiên cứu Nội dung chính của đề tài gồm 4 chương: Chương I. Kiến thức chuẩn bị Chương II. Các dạng phương trình Pell và một số phương pháp giải Trong chương này, thì gồm 3 dạng của phương trình Pell và các định lý nói lên phương pháp giải của nó cùng các ví dụ cụ thể. Chương III. Bài tập Chương IV. Một vài ứng dụng PHẦN NỘI DUNG Chương I. Kiến Thức Chuẩn Bị I.1. Bổ đề 1 Cho là số vô tỉ, khi đó tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p, q): Chứng minh Theo tính chất của liên phân số vô hạn ta có: với . Mà theo cách xác định , thì: Vì thế: Chọn , ta có điều phải chứng minh.£ I.2. Bổ đề 2 Với cặp số nguyên dương (p, q) tồn tại trong bổ đề 1 Khi đó: Chứng minh Thật vậy ta có: Mà: .£ I.3. Biểu diễn liên phân số của Chiều dài chu kì của liên phân số của là n. Trong đó Ví dụ 1 Cho phương trình: , biểu diễn liên phân số của Vậy . Trong đó n = 4 chính là chiều dài của chu kỳ liên phân số của .£ Một số biểu diễn liên số của với d là số không chính phương nằm trong đoạn từ 2 đến 40: I.4. Bổ đề 3 Giả sử d và n là số nguyên sao cho d > 0, d không là số chính phương, . Khi đó nếu thì là giản phân của liên phân số của . Chứng minh Trường hợp 1: n > 0 Vì Do đó: hơn nữa, do nên: . Do ta suy ra được là giản phân của liên phân số của . Trường hợp 2: n < 0 Chia hai vế của , ta được : Lập luận tương tự như trên ta có, khi là giản phân của liên phân số của . Do đó: là giản phân của liên phân số của .£ I.5. Bổ đề 4 Liên phân số đã cho, xác định một cách đệ quy bằng hệ thức: Khi đó: Chứng minh a) và b) Bằng phương pháp quy nạp toán học: * Với k = 0, hiển nhiên đúng. * Giả sử với k > 0 với được xác định như trên thì . * Chứng minh: đúng với k + 1 Thật vậy: theo giả thuyết quy nạp. Ta có vì thì là số chính phương (vô lý ). Ta có: Ta có và theo giả thuyết quy nạp nên . . c) Bằng phương pháp quy nạp: * Với k = 0, luôn đúng. * Giả sử với k > 0 thì * Chứng minh: đúng với k + 1. Thật vậy: .£ I.6. Bổ đề 5 Nếu là giản phân của liên phân số của . Khi đó: Chứng minh * Cho Ta biết: mà ta có: Ta có: Do vế phải là số hữu tỉ mà là số vô tỉ nên: lần lượt nhân 2 vế của hệ thức cho Ta có: Cộng vế theo vế ta có kết quả là: Mà ta có: Nên ta có: * Ta có : , vì thế: Nếu k chẵn: Nếu k lẻ: Xét : Nếu k lẻ thì (k - 1) chẵn nên: Nếu k chẵn thì (k - 1) lẻ nên: Ta bắt đầu với Mà . Tương tự ta có mà .£ I.7. Bổ đề 6 Nếu n là chiều dài chu kì của liên phân số của Thì khi đó nếu và chỉ nếu . Chứng minh Đảo Cho Ta có: Khi đó: Ta có: Nhưng: Vậy kết quả nhận được là Thuận Cho j là số nguyên dương thỏa . Khi đó: Xét phần nguyên, ta có thể viết: Định nghĩa của Ta có: Điều đó có nghĩa là khối duy trì sự lặp lại trong sự biểu diễn liên phân số của Do đó, j phải là bội của chiều dài n chu kì của liên phân số .£ Ví dụ 2 n = 2 là chiều dài chu kì của liên phân số của . 3 1 6 1 1 3 4 27 31 0 1 1 7 8 Khi đó: Sự tính toán đã chỉ ra rằng: Chương II. Các Dạng Phương Trình Pell Và Một Số Phương Pháp Giải II.1. Định nghĩa Phương trình Pell có dạng: Trong đó d và n là số nguyên cho trước, x và y là nghiệm nguyên cần tìm. Trong phạm vi đề tài này, tôi nghiên cứu phương trình Pell ở 3 dạng: và bất kì. Đặc biệt ta chỉ xét nghiệm nguyên dương. II.2. Các định lý II.2.1. Dạng 1 (1) với d là số nguyên. II.2.1.1. Định lý 1 Nếu d là số chính phương (d = m2), thì (1) không có nghiệm nguyên dương. Chứng minh Ta có: d = m2 nên Giả sử (1) có nghiệm nguyên dương nên (vô lý) Vậy (1) không có nghiệm nguyên dương.£ II.2.1.2. Định lý 2 Nếu d là số nguyên âm thì (1) không có nghiệm nguyên dương. Chứng minh Đặc . Khi đó: (1) . Nếu Nếu Vậy (1) không có nghiệm nguyên dương.£ II.2.1.3. Định lý 3 (Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình Pell dạng 1) Phương trình Pell có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi d là số nguyên dương và không phải là số chính phương. Chứng minh Thuận Theo định lý 1 và định lý 2, ta có: phương trình có nghiệm nguyên dương thì d là số nguyên dương và không chính phương. Đảo Theo bổ đề 2 ta có tồn tại vô số cặp số (x, y) nguyên dương sao cho: (2) Từ tính vô hạn của các cặp số nguyên dương (x, y) nên: sao cho có vô số cặp số nguyên dương (x, y) thỏa: . Khi đó ta xét tập với Và . * Vì có vô số (x, y) . Do cặp số (i, j) là hữu hạn vì Mà hiển nhiên suy ra từ định nghĩa của hai tập . mà (i, j) là hữu hạn cặp nên * Xét . Sao cho : (3) Ta có : (4) Mà từ (3) ta có : (5) (6) Kết hợp 3, 4, 5, 6 ta có được : Nhân hai vế của hệ phương trình ta có : Do * Ta đi chứng minh u và v là những số nguyên dương. Ta có: và ta chỉ xét nghiệm nguyên dương. Giả sử v = 0, ta có: Theo (3) thì ta có : (7) Giả sử là số hữu tỉ (vô lý). Nên Từ (7) ta có : Vì là số vô tỉ và nên : (vô lý). Vậy v > 0 . Tóm lại .£ II.2.1.4. Định lý 4 Cho là giản phân của liên phân số của với n là chiều dài của nó. a) Nếu n chẵn, khi đó tất cả các nghiệm dương của (1) được cho bởi: b) Nếu n lẻ, khi đó tất cả các nghiệm dương của (1) được cho bởi: Chứng minh Theo Bổ đề 3 ta có: là nghiệm của phương trình Trong đó: là giản phân của liên phân số của Theo Bổ đề 5, thì: So với: là số chẵn. Theo bổ đề 5 Nếu n lẻ: mà ( j + 1) chẵn nên k’ chẵn , k’ = 2k Vậy nghiệm của phương trình (1) là: Nếu n chẵn: mà ( j + 1) chẵn nên Vậy nghiệm của phương trình (1) là: .£ Ví dụ 3 Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: (1) Thật vậy: với chiều dài chu kì là 5 (lẻ). Nên ta có các giản phân sau: 3 1 1 1 1 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 3 4 7 11 18 119 137 256 393 649 4287 4936 9223 14159 23382 0 1 1 2 3 5 33 38 71 109 180 1189 1369 2558 3927 6485 Ta có tử số và mẫu số của giản phân (*) là dạng nghiệm của phương trình (1). Với k = 1: nên (649, 180) là cặp nghiệm bé nhất của phương trình (1). Để tìm các cặp nghiệm còn lại ta lần lượt thế k = 2, 3, 4,…vào (*) và dựa vào bảng các giản phân ta sẽ xác định được. * Định nghĩa nghiệm cơ bản Nghiệm (x, y) của phương trình Pell được gọi là nghiệm cực tiểu nếu x < u với (u, v) là nghiệm khác của phương trình. Nghiệm cực tiểu được gọi là nghiệm cơ bản. II.2.1.5. Định lý 5 là nghiệm cơ bản của phương trình. Xét dãy được xác định bởi : với n = 0,1,.. Khi đó là nghiệm dương của phương trình với n = 0, 1,… Chứng minh Theo lí thuyết về dãy số, thì phương trình đặc trưng của dãy trên là: (1) Phương trình (1) có hai nghiệm là Do (a, b) là một cặp nghiệm của phương trình , nên ta có . Vì lẽ đó hai nghiệm của phương trình (1) là: . Từ đó theo lý thuyết dãy số, thì: Bây giờ ta xác định từ các điều kiện . Xét hệ phương trình sau: Từ (2) ta có .Thay vào (3) ta có: Từ đó Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có: Rõ rànglà các số nguyên và từ (4), (5) suy ra là các số nguyên dương. Từ (4) và (5) ta có: Vì vậy: Vậy là nghiệm nguyên dương của phương trình Pell loại 1: với mọi n = 0, 1, 2,…£ II.2.1.6. Định lý 6 Nếu là nghiệm cơ bản của , với mỗi nghiệm dương (x, y) bất kì của phương trình thì: Chứng minh Chứng minh bằng phản chứng: * Giả sử u, v là nghiệm dương của phương trình mà không đạt được dạng . Tức là Giả sử Vì nên lũy thừa của sẽ lớn tùy ý. Điều đó có nghĩa là: Số nguyên r, s được xác định: Ta có: do đó r, s là nghiệm của phương trình. * r, s > 0 vì Vậy r, s là nghiệm dương của phương trình So với (1) mâu thuẫn. Nên điều phản chứng là sai. Nên tồn tại số n sao cho mọi u, v là nghiệm nguyên dương của phương trình đều có dạng: .£ Ví dụ 4 Tìm ba nghiệm đầu tiên của phương trình: (*) Thật vậy: trước tiên ta xác định nghiệm cơ bản của phương trình (*) Bằng phương pháp thế: y = 1, 2, 3,… vào 23y2 + 1 Với y = 1: x2 = 23 + 1 = 24 loại Với y = 2: x2 = 23.4 + 1 = 92 loại Với y = 3: x2 = 23.32 + 1 = 208 loại Với y = 4: x2 = 23.42 + 1 = 369 loại Với y = 5: x2 = 23.52 + 1 = 576 nên x = 24 Vậy nghiệm cơ bản là (24, 5) * Ta có: Vậy nghiệm thứ hai của phương trình (*) là (1151, 240) Tương tự, ta tìm nghiệm thứ ba như trên, ta có: Vậy nghiệm thứ ba của phương trình (*) là (55224, 11515). II.2.1.7. Định lý 7 Nếu là nghiệm của phương trình (1) Và là nghiệm của phương trình (2) Thì là nghiệm của phương trình Các nghiệm của phương trình (*) khác biệt nhau với sự khác biệt của Chứng minh Đặt Ta thấy: Giả sử lần lượt là nghiệm của phương trình (1) và (2) với II.2.1.8. Hệ quả Nếu (a, b) là nghiệm của phương trình Thì là nghiệm của phương trình Chứng minh Áp dụng trực tiếp từ định lý 8, ta có: là nghiệm của phương trình (1) Chia hai vế của phương trình cho c2 ta nhận được: .£ Ví dụ 5 Trở lại ví dụ ở phần II.1.14 Ta thấy: (5, 1) là nghiệm của phương trình Nên (25 + 23.1, 2.5.1) = (48, 10)là nghiệm của phương trình Vậy (24, 5) là nghiệm của phương trình Ta có: (48, 10) là nghiệm của phương trình Nên (482 + 23.102, 2.48.10) = (4604, 960) là nghiệm của phương trình Vậy = (1151, 240) là nghiệm của phương trình . II.2.2. Dạng 2 (1) với d là số nguyên. II.2.2.1. Định lý 1 Phương trình (1) không có nghiệm nguyên dương khi d = m2, m là số nguyên ( khi d là số chính phương). Chứng minh Khi d = m2, thì (1) có dạng: Với m là nguyên dương. Từ tính nguyên dương của x và y nên suy ra: vô lý vì x > 0. Với m là nguyên âm. Từ tính nguyên dương của x và y nên suy ra: vô lý vì x > 0. Vậy phương trình Pell loại 2 không có nghiệm nguyên dương, khi d không là số chính phương.£ II.2.2.2. Định lý 2 Phương trình (1) không có nghiệm khi d có ước nguyên tố p = 4k + 3. Chứng minh Bằng phản chứng, giả sử khi d có ước nguyên tố p = 4k + 3, mà phương trình vẫn có nghiệm (*) Từ (*) suy ra: . Vì p có dạng 4k + 3, nên theo lý thuyết chia hết suy ra 1 chia hết cho p. Vô lý, vậy giả thuyết là sai nên phương trình (1) không có nghiệm trong trường hợp này. II.2.2.3. Định lý 3 Nếu d là số nguyên tố, thì phương trình (1) có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi d không có dạng 4k + 3. Chứng minh Thuận Giả sử phương trình (1) có nghiệm. Khi đó theo định lý 2 thì d không có dạng 4k + 3. Đảo Giả sử . Có các trường hợp sau: mà do d là số nguyên tố nên chỉ còn 2 trường hợp: Trường hợp 1: , d = 4k + 2 nên d chia hết cho 2 Mà d là số nguyên tố nên d = 2. Vậy phương trình: có nghiệm nguyên dương (1, 1). Trường hợp 2: , d = 4k + 1. Xét phương trình Pell dạng 1: (2) gọi là phương trình liên kết với (1) Gọi (a, b) là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (2), khi đó ta có: (3) Xét hai khả năng sau: * Nếu a chẵn, thì vế trái của (3) lẻ, do d = 4k + 1 là số lẻ nên b lẻ. Do đó: , vậy: Điều này vô lý vì a chẵn nên . Vì thế không xảy ra khả năng này. * Nếu a lẻ, khi đó lập luận tương tự như trên ta có b chẵn. Giả sử Thay vào (3) ta được: (4) Vì d là số nguyên tố, và , nên từ (4) suy ra: trong đó: ; u, v là số nguyên dương. Nếu: Trong trường hợp này (u, v) là nghiệm nguyên dương của phương trình (1). Nếu: Lúc này (v, u) là nghiệm của phương trình (2). Do (a, b) là nghiệm cơ bản của (2) nên ta có . Từ đó: Bất đẳng thức thu được mâu thuẫn vì là số nguyên dương. Trong trường hợp này không thể xảy ra.£ II.2.2.4. Định lý 4 ( Điều kiện để phương trình Pell loại 2 có nghiệm). Gọi (a, b) là nghiệm cơ bản của phương trình liên kết với phương trình Pell loại 2. Khi đó phương trình Pell loại 2: (1) có nghiệm khi và chỉ khi hệ sau: có nghiệm nguyên dương. Chứng minh Đảo Giả sử là nghiệm nguyên dương của hệ (2)-(3). Vì (a, b) là nghiệm của phương trình:, nên . Từ đó theo hệ ta có suy ra: . * Nếu thì là nghiệm nguyên dương của phương trình Pell liên kết. Do (a, b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình này, nên: . Đó là điều vô lý. * Nếu . Khi đó là nghiệm nguyên dương của phương trình (1). Thuận Giả sử phương trình (1) có nghiệm nguyên dương. Khi đó gọi là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của nó. Ta sẽ chứng minh rằng chính là nghiệm của hệ (2)-(3). Thật vậy, đặt . Từ đó: . Vì thế (u, v) là một nghiệm của phương trình Pell liên kết. Từ tính nhỏ nhất của (a, b), suy ra . Ta sẽ chứng minh u = a ; v = b, khi đó thì là nghiệm của hệ (2)-(3). Giả sử trái lại, nghĩa là u > a , v > b. Ta có: Từ a < u, b < v, suy ra: Hay: Đặt: . Khi ấy (4), (5) có dạng như sau: Ta thấy: Do là nghiệm của phương trình (1): , nên: , vậy từ (6) ta có: (7) Lại do (a, b) là nghiệm của phương trình Pell liên kết, nên từ (7): (8) Giả sử: s = 0, thì từ (8) suy ra: dt2 = 1. Do tính nguyên dương của d và t nên d = t = 1. Điều đó vô lý vì d không là số chính phương. Do đó s khác 0. Ta chứng minh: t > 0. Thật vậy: Bất đẳng thức (9) đúng nên t > 0 đúng. Do s khác 0 nên chỉ có hai trường hợp xảy ra: * Nếu s > 0: Khi đó (s, t) là nghiệm nguyên dương của phương trình (suy ra từ (8)), mà là nghiệm dương bé nhất của phương trình này nên: Từ (4’) và (10) ta suy ra mâu thuẫn, nên không thể có s > 0. * Nếu s < 0: Khi đó (-s, t) là nghiệm nguyên dương của phương trình . Bằng cách lập luận tương tự trường hợp trên, ta dẫn đến: (11) Từ (5’) và (11) cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ta luôn dẫn tới điều vô lý, nên giả thuyết chứng minh phản chứng là sai. Điều đó có nghĩa là (u, v) = (a, b). £ II.2.2.5. Định lý 5 Nếu (a, b) là nghiệm cơ bản của phương trình Pell liên kết .(1) Hệ có nghiệm (u, v) duy nhất. Xét hai dãy số nguyên dương sau đây: Khi đó là nghiệm của phương trình (4) Chứng minh Theo lý thuyết về dãy số, thì phương trình đặc trưng của dãy là: (5) Phương trình (5) có hai nghiệm là . Do (a, b) là nghiệm của (1) nên , từ đó ta có: Vậy hai nghiệm của phương trình đặc trưng (5) là Theo lý thuyết dãy số, thì: Bây giờ ta xác định từ điều kiện Xét hệ phương trình sau: Từ (6) ta có . Thay vào (7) ta có: Nên: Tương tự ta có: Từ (8) và (9), ta có: Nhân đẳng thức trên ta có:. Theo chứng minh của II.2.2.4, thì: do (u, v) là nghiệm của hệ (2)-(3) nên . Nên dẫn đến: . Vậy là nghiệm nguyên dương của phương trình (4).£ II.2.2.6. Định lý 6 Nếu (a, b) là nghiệm của phương trình Pell liên kết (1) Hệ có nghiệm duy nhất (u, v). Gọi là nghiệm của phương trình Pell: (4) Khi đó : Chứng minh Xét số sau đây: Ta có: Ở đây . Lại thấy: Vậy (s, t) là nghiệm của phương trình (1). Do (a, b) là nghiệm bé nhất của nó, nên theo II.2.1.6 thì Mặt khác: thay vào (7) ta được : Hay: Điều đó có nghĩa là mọi nghiệm tùy ý là nghiệm của phương trình (4) được biểu diễn ở dạng (8). £ Ví dụ 6 Tìm 3 nghiệm đầu tiên của phương trình (1) Thật vậy, trước tiên ta xác định nghiệm cơ bản của phương trình Pell liên kết: (2) Bằng các phương pháp đã nêu ở phần II.2.1, ta tìm được nghiệm bé nhất của phương trình (2) là (9, 4). Xét hệ phương trình sau:giải ra ta được nghiệm nguyên duy nhất là (2, 1). Vậy ta có: đây là nghiệm bé nhất của phương trình (1). Ta có: là nghiệm thứ hai của phương trình (1). Ta có: là nghiệm thứ ba của phương trình (1). Vậy (2, 1); (38, 17) và (682, 305) là 3 nghiệm đầu tiên của phương trình (1). Ví dụ 7 Tìm ba nghiệm đầu tiên của phương trình: (1) Thật vậy, trước tiên ta xác định nghiệm cơ bản của phương trình liên kết: (2) Bằng các phương pháp đã nêu ở phần II.2.1, ta tìm được nghiệm bé nhất của phương trình (2) là (19, 6). Xét hệ phương trình sau:giải ra ta được nghiệm nguyên duy nhất là (3,1). Vậy ta có: đây là nghiệm bé nhất của phương trình (1). Ta có: là nghiệm thứ hai của phương trình (1). Ta có: là nghiệm thứ ba của phương trình (1). Vậy (3, 1); (117, 37) và (4443, 1405) là ba nghiệm đầu tiên của phương trình (1). II.2.2.7. Định lý 7 Giả sử d là số nguyên dương không chính phương . là giản phân của liên phân số của , k = 0, 1, 2, 3,… n là chiều dài chu kì của liên phân số của . a) Nếu n chẵn: khi đó phương trình Pell: (1) vô nghiệm. b) Nếu n lẻ: khi đó tất cả các nghiệm của phương trình (1) được cho bởi công thức: Chứng minh Theo I.4. ta có là nghiệm của phương trình (1). Trong đó là giản phân của liên phân số của . Theo I.5. ta có: So với: nên j + 1 là số lẻ và . Do n là chiều dài của liên phân số của theo I.7. a) Nếu n là số lẻ Do j + 1 số lẻ nên nj’ lẻ mà n lẻ nên j’ lẻ ,vậy j’ = 2k-1 , Từ đó ta có: j = n(2k – 1) - 1 Vậy nghiệm của phương trình (1) có dạng : b) Nếu n là số chẵn: Do j + 1 là số lẻ nên nj’ là số lẻ mà n chẵn nên vô lý. Nên không tồn tại j’ thỏa. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.£ Ví dụ 8 Tìm hai nghiệm đầu tiên của phương trình Thật vậy, dựa vào ví dụ 3, ta có: Với k = 1 thì là nghiệm bé nhất của phương trình. Với k = 2 thì là nghiệm thứ hai của phương trìn