Luận văn T - Nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Hạnh Linh T-NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , tôi đã nhận được sự hướng dẫn , giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn . Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới : Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư ph ạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình họ c tập v à thực hiện bảo vệ luận văn. PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng g iúp đỡ , dạy bảo , và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập . Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn. Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn. MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu dùng trong luận văn LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................... 2 1.1. Nhóm con. Nhóm con chuẩn tắc. .......................................................................... 2 1.2. Nhóm con tối đại. Nhóm con tối tiểu. ................................................................... 2 1.3. Nhóm con trung tâm. Nhóm con chuẩn hóa. ........................................................ 3 1.4. Định lý Sylow. ...................................................................................................... 4 1.5. p’-nhóm. p-phần bù. p-perfect nhóm. .................................................................. 5 1.6. Nhóm giải được. .................................................................................................... 6 1.7. Nhóm siêu giải được. ............................................................................................ 7 1.8. Nhóm con á chuẩn tắc. .......................................................................................... 8 1.9. Nhóm con chuẩn tắc yếu. ...................................................................................... 8 1.10. Nhóm con abnormal. ........................................................................................... 9 1.11. Nhóm con pronormal. ....................................................................................... 10 1.12. Điều kiện á chuẩn hóa. ...................................................................................... 10 1.13. H-nhóm con. ...................................................................................................... 11 Chương 2. T-NHÓM HỮU HẠN. .............................................................................. 13 2.1. T-nhóm hữu hạn. ................................................................................................. 13 2.2. PSP-nhóm. .......................................................................................................... 30 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 34 BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Ý nghĩa H G≤ H là nhóm con của G H G< H là nhóm con thực sự của G H G H là nhóm con chuẩn tắc của G [ ]:G H Chỉ số của nhóm con H trong G G Cấp, lực lượng, số phần tử của G ( )Z G Tâm của nhóm G ( )GC H Tâm hóa tử của H trong G ( )GN H Chuẩn hóa tử của H trong G xH 1x Hx− ( )pO G p-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G ( )'pO G p’-nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nS Nhóm các phép thế bậc n nA Nhóm các phép thế chẵn bậc n 1 LỜI MỞ ĐẦU Như đã biết, tính chất chuẩn tắc của nhóm con trong một nhóm là không có tính bắc cầu. Nhóm nhị diện D8 là một ví dụ điển hình. Từ đó nảy sinh ra một câu hỏi rất thú vị là: khi nào tính chuẩn tắc của nhóm con trong một nhóm có tính chất bắc cầu? Các nhóm đó có những tính chất gì? Người ta gọi những nhóm như vậy là T-nhóm. Các T-nhóm có nhiều tính chất thú vị và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học như D. J. S. Robinson, Gaschutz, T. A. Peng, Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “T-nhóm hữu hạn” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. Nội dung chính của luận văn dựa trên kết quả của bài báo On finite T-groups của hai tác giả A. Ballester-Bolinches và R. Esteban-Romero. Luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho chương sau. Chương 2 là tổng hợp các kết quả về T-nhóm hữu hạn và các tính chất của chúng, đặc biệt đưa ra mối liên hệ giữa các nhóm con chuẩn tắc, chuẩn tắc yếu, á chuẩn tắc, nhóm con pronormal, H-nhóm con và sử dụng chúng để mô tả T-nhóm hữu hạn giải được. Ngoài ra phần cuối của chương 2 trình bày về các nhóm hữu hạn mà các nhóm con của nó tựa chuẩn tắc hoặc tự tựa chuẩn tắc, gọi là PSP-nhóm. Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này. TP.HCM, ngày 12 tháng 8 năm 2014 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Nhóm con. Nhóm con chuẩn tắc 1.1.1. Các tiêu chuẩn nhóm con (1) Tiêu chuẩn 1: Một tập con A ≠ ∅ trong nhóm G là nhóm con của G (ký hiệu là A G≤ ) nếu: • ,x y A∀ ∈ thì xy A∈ ; • e A∈ ; • x A∀ ∈ thì 1x A− ∈ . (2) Tiêu chuẩn 2: Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e A∈ (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả của hai đòi hỏi còn lại). (3) Tiêu chuẩn 3: Một tập hợp con A ≠ ∅ trong nhóm G là nhóm con của G nếu: ,x y A∀ ∈ thì 1xy A− ∈ . 1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc Một nhóm con A của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G (kí hiệu A G ) nếu A thỏa thêm điều kiện: ,g G a A∀ ∈ ∀ ∈ thì 1g ag A− ∈ (hoặc 1gag A− ∈ ). 1.1.3. Định lý Lagrange Cho G là nhóm hữu hạn và H là nhóm con của G . Khi đó H là ước số của G và [ ]:G H G H= [2, Định lý 2.6]. 1.2. Nhóm con tối đại. Nhóm con tối tiểu 1.2.1. Định nghĩa (1) Cho G là nhóm, H G< . 3 H gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N G≤ sao cho H N G< < . H gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu 1H ≠ và không tồn tại K G≤ sao cho 1 K H< < . (2) Cho G là nhóm, H G . H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H G< và không tồn tại N G sao cho H N G< < . H gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H G< và không tồn tại K G sao cho 1 K H< < . 1.2.2. Định lý Cho G là nhóm hữu hạn, H G≤ . Nếu [ ]:G H là một số nguyên tố thì H là nhóm con tối đại của G. 1.2.3. Nhân tử cơ bản Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H K với ,H K G và H K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G K . 1.3. Nhóm con trung tâm. Nhóm con chuẩn hóa 1.3.1. Nhóm con trung tâm Cho G là một nhóm và H G∅ ≠ ⊂ . Khi đó ( ) { }| ,GC H g G hg gh h H G= ∈ = ∀ ∈ ≤ và được gọi là nhóm con trung tâm của H trong G. 1.3.2. Nhóm con chuẩn hóa Cho G là một nhóm và H G∅ ≠ ⊂ . Khi đó ( ) { }| gGN H g G H H= ∈ = và được gọi là nhóm con chuẩn hóa của H trong G. Nhận xét : 4 1. ( )GN H G≤ và ( )GH N H . 2. Nếu K G≤ sao cho H K thì ( )GK N H≤ . 1.3.4. Tâm của nhóm Cho G là một nhóm. Khi đó ( ) { }| ,Z G x G gx xg g G G= ∈ = ∀ ∈  và được gọi là tâm của nhóm G. 1.4. Định lý Sylow 1.4.1. Định nghĩa (1) Cho p là số nguyên tố. Một nhóm hữu hạn được gọi là p-nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p. (2) Cho G là một nhóm hữu hạn cấp ap m với ( ), 1p m = và p là số nguyên tố. Một nhóm con của nhóm G có cấp là ap được gọi là p-nhóm con Sylow. (3) Cho A, B là hai nhóm con của nhóm G. A được gọi là liên hợp với B : gg G A B⇔ ∃ ∈ = 1.4.2. Định lý Sylow Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó: (1) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G. (2) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. (3) Nếu pn là số p-nhóm con Sylow của G thì pn là ước của n và ( )1 modpn p≡ [2, Định lý 7.2]. 1.4.3. Định lý Cho G là một nhóm hữu hạn và H G . Khi đó nếu P là một p-nhóm con Sylow của H thì ( ). GG H N P= . 5 1.4.4. Định lý Cho P là một p-nhóm Sylow của G. (1) Nếu ( )GN P H G≤ ≤ thì ( )GH N H= . (2) Nếu N G thì P N∩ là một p-nhóm con Sylow của N và PN N là một p- nhóm con Sylow của G N . 1.4.5. Định nghĩa Nhóm con sinh bởi tất cả các p-nhóm con chuẩn tắc của G là một nhóm. Đây là p-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G. Kí hiệu là ( )pO G . 1.4.6. Định lý Cho G là một nhóm, p là số nguyên tố. Khi đó ( )pO G là giao của tất cả các p- nhóm con Sylow của G. 1.5. p’-nhóm. p-phần bù. p-perfect nhóm 1.5.1. p’-nhóm Cho p là số nguyên tố. Một nhóm hữu hạn được gọi là p’-nhóm nếu cấp của nó nguyên tố cùng nhau với p. Nhóm con sinh bởi tất cả các p’-nhóm con chuẩn tắc của G là một nhóm. Đây là p’-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G. Kí hiệu là ( )'pO G . 1.5.2. Phần bù, p-phần bù Cho H là nhóm con của nhóm G. Một nhóm con K được gọi là phần bù của H trong G nếu G HK= và 1H K∩ = . Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp . ma p với ( ), 1a p = thì một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p-phần bù. 1.5.3. Định lý Burnside về phần bù chuẩn tắc 6 Cho G là nhóm hữu hạn, P là p-nhóm con Sylow của G thỏa ( )( )GP Z N P≤ . Khi đó tồn tại K G sao cho G PK= và 1P K∩ = . 1.5.4. p-perfect nhóm Cho p là số nguyên tố, G được gọi là p-perfect nhóm nếu nó không có p-nhóm thương không tầm thường. G được gọi là p’-perfect nhóm nếu nó không có nhân tử không tầm thường là p’- nhóm hay nói cách khác, mọi nhân tử là p’-nhóm của G đều tầm thường. Nhận xét : p-nhóm con là p’-perfect nhóm con. Thật vậy: Giả sử H là p-nhóm con, thì ta có mH p= . Nếu K H thì ( )0kH K p k m= ≤ ≤ . Nếu 0k > thì H K không là p’-nhóm. Nếu 0k = thì /H K tầm thường. Vậy H là p’-perfect nhóm. 1.6. Nhóm giải được 1.6.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con 0 11 ... nG G G G= =   thỏa điều kiện 1i iG G+ là nhóm aben i∀ . Một nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy aben. 1.6.2. Các tính chất của nhóm giải được Cho nhóm G , N là nhóm con của G . Ta có các khẳng định sau: (1) Nếu G giải được thì N giải được. (2) Nếu G giải được, N G thì G N giải được. (3) Nếu N G , N và G N giải được thì G giải được. (4) Tích hai nhóm con chuẩn tắc giải được là giải được. 7 1.7. Nhóm siêu giải được 1.7.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Dãy các nhóm con chuẩn tắc của G : 0 11 ... nG G G G= ≤ ≤ ≤ = trong đó 1i iG G+ là nhóm cyclic được gọi là dãy cyclic chuẩn tắc. Một nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic chuẩn tắc. Chú ý rằng nhóm siêu giải được thì giải được. 1.7.2. Các tính chất của nhóm siêu giải được 1.7.2.1. Mệnh đề Cho G là nhóm siêu giải được ,H G N G≤  . Khi đó : (1) H là nhóm siêu giải được. (2) G N là nhóm siêu giải được. (3) Nếu 1 2, ,..., nA A A là nhóm siêu giải được thì 1 2 ... nA A A× × × là nhóm siêu giải được. 1.7.2.2. Mệnh đề Nhân tử cơ bản của nhóm siêu giải được có cấp nguyên tố và nhóm con tối đại có chỉ số là số nguyên tố [9, 5.4.7, tr 150]. 1.7.2.3. Định lý Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó : (1) Với mọi H G≤ , H có một nhóm con có chỉ số trong H là p với mỗi p là ước nguyên tố của H . (2) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc S và S có phần bù T trong G. 1.7.3. Nhóm p-siêu giải được 8 Nhóm hữu hạn G được gọi là p-siêu giải được nếu các p-nhân tử cơ bản của nó đều cyclic. p-nhân tử cơ bản là nhân tử cơ bản mà cấp của nó chia hết cho p. 1.8. Nhóm con á chuẩn tắc Nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại dãy các nhóm con 0 1 ... nH H H H G= =   . 1.9. Nhóm con chuẩn tắc yếu 1.9.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là chuẩn tắc yếu trong G nếu ( ) ( )g G GH N H g N H≤ ⇒ ∈ . 1.9.2. Các tính chất của nhóm con chuẩn tắc yếu (1) Nếu H K G≤ ≤ và H chuẩn tắc yếu trong G thì H chuẩn tắc yếu trong K. (2) Nếu N chuẩn tắc trong G, P là p-nhóm con chuẩn tắc yếu của G và ( ), 1N p = thì PN là chuẩn tắc yếu trong G và PN N là chuẩn tắc yếu trong G N . Chứng minh (1) Giả sử ( )k KH N H≤ , cần chứng minh ( )Kk N H∈ . Lấy k K∈ . Do ( )k KH N H≤ và ( ) ( )K GN H N H≤ nên ( )k GH N H≤ . Vì H là nhóm con chuẩn tắc yếu trong G nên suy ra ( ) ( ) ( )G G Kk N H k K N H N H∈ ⇒ ∈ ∩ = . (2) Chứng minh PN là chuẩn tắc yếu trong G. Vì N G và P chuẩn tắc yếu trong G nên PN là chuẩn tắc yếu trong GN G= . Chứng minh PN N là chuẩn tắc yếu trong G N . Giả sử ( ) ( )( ),gN G NPN N N PN N g G gN G N≤ ∈ ∈ hay ( ) ( ) g GPN N PN≤ . Ta cần chứng minh ( )Gg N PN∈ . 9 Vì N G và ( ), 1N P = nên P là p-nhóm con Sylow của PN. Vì ( ) ( )G GN P N PN≤ nên ( ) ( )G GN PN N P N= . Nếu ( ) ( )( )g GPN N PN g G≤ ∈ thì ( )g GP N P N≤ . Do đó ( ) ,Gm N P n N∃ ∈ ∈ sao cho ( )( ) ( )( ) ( )1mn ng gnG G GP N P N P P N P − ≤ = ⇒ ≤ . Vì P chuẩn tắc yếu trong G nên ( ) ( )1 G Ggn N P g N P N− ∈ ⇒ ∈ hay ( )Gg N PN∈ . 1.9.3. Mệnh đề Nếu H chuẩn tắc yếu trong G và H chuẩn tắc trong nhóm con K của G thì ( ) ( )G GN K N H⊂ . Chứng minh Lấy ( )Gg N K∈ tức là ta có gK K= . Theo giả thiết ( )GH K G H K N H≤ ⇒ ≤ ≤ . Suy ra ( ) ( )g g gG GH K K N H H N H≤ = ≤ ⇒ ≤ . Do H là chuẩn tắc yếu trong G nên ( )Gg N H∈ . Vậy ( ) ( )G GN K N H⊂ . 1.10. Nhóm con abnormal 1.10.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là abnormal trong G nếu , xx H H∈ với mọi x G∈ . Ví dụ: (1) Nếu D là chuẩn hóa tử của p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G thì D abnormal trong G. 10 (2) Nếu H là nhóm con tối đại, không chuẩn tắc trong G thì H abnormal trong G. 1.10.2. Định lý Nhóm con H của G là abnormal nếu và chỉ nếu những điều kiện dưới đây được thỏa : (1) Mọi nhóm con trung gian K, H K G≤ ≤ , đều tự chuẩn hóa, nghĩa là ( )GN K K= . (2) Nếu hai nhóm con trung gian liên hiệp với nhau thì chúng trùng nhau. Chú ý: Nếu H abnormal trong G và H K G≤ ≤ thì K abnormal trong G [1, Định lý 5.3]. 1.11. Nhóm con pronormal 1.11.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là pronormal trong G nếu với mỗi g G∈ , tồn tại , gu H H∈ sao cho g uH H= . Ví dụ: (1) Mọi nhóm con chuẩn tắc đều pronormal. (2) Mọi nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal. (3) Mọi nhóm con abnormal đều pronormal. 1.11.2. Định lý Nếu H pronormal trong G thì ( )GN N H= abnormal trong G [1, Định lý 6.12]. 1.11.3. Hệ quả Cho P là p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G thì ( )GN P là abnormal trong G [1, 6.13]. 1.12. Điều kiện á chuẩn hóa Nhóm con H của G được gọi là thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G nếu với mọi nhóm con K của G sao cho H K thì ta luôn có ( ) ( )G GN K N H≤ . 11 Nhận xét: Nếu H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong nhóm G thì H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong mọi nhóm con của G chứa H. 1.13. H-nhóm con 1.13.1. Định nghĩa Nhóm con H của nhóm G được gọi là H-nhóm con của G nếu ( ) ,gGN H H H g G∩ ≤ ∀ ∈ Ví dụ: (1) Các nhóm con chuẩn tắc và tự chuẩn hóa của một nhóm bất kì là H-nhóm con. (2) Các p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn là H-nhóm con. 1.13.2. Bổ đề Cho G là một nhóm và ,N H G≤ . (1) Nếu N H≤ và N G thì H là H-nhóm con của G khi và chỉ khi H N là H- nhóm con của G N . (2) Nếu H N≤ và ( )GG N H N= thì H là H-nhóm con của N kéo theo H là H-nhóm con của G [5, Bổ đề 2]. 1.13.3. Bổ đề Cho G là một nhóm và H là H-nhóm con của G. Nếu ( )GH K N H≤ ≤ thì ( ) ( )G GN K N H≤ . Chứng minh Lấy ( )Gg N K∈ . Khi đó ( ), g GH H K N H≤ ≤ Mặt khác do H là H-nhóm con của G nên ( ) gGN H H H∩ ≤ Suy ra ( )g g GH H H H g N H≤ ⇒ = ⇒ ∈ . Do đó ( ) ( )G GN K N H≤ . 12 1.13.4. Định lí Cho G là một nhóm và H là H-nhóm con của G thì: (1) ( )( ) ( )G G GN N H N H= , do đó ( )GN H là H-nhóm con của G. (2) Nếu H là nhóm con á chuẩn tắc của ≤K G thì H K . (3) Nếu N G và ( )GN N H≤ thì ( ) ( )G GN HN N H= và HN là H-nhóm con của G [5, Định lý 6]. 13 Chương 2. T-NHÓM HỮU HẠN Trong chương này, các nhóm được xét là nhóm hữu hạn. 2.1. T-nhóm hữu hạn 2.1.1. Định nghĩa Nhóm G được gọi là T-nhóm nếu mọi nhóm con á chuẩn tắc của G đều chuẩn tắc trong G. 2.1.2. Ví dụ Ví dụ 1 : 3S là một T-nhóm. Chứng minh Nhận thấy 3S chỉ có sáu nhóm con là ( ) ( ) ( ) 3 31, 12 , 13 , 23 , ,A S . Chứng tỏ ( )12 không là nhóm con á chuẩn tắc của 3S . Thật vậy, vì ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )13 112 13 12 13 23 12−= = ∉ ; nên ( )12 không là nhóm con chuẩn tắc của 3S . Mặt khác 312 2, 6S= = . Gọi H là nhóm con trung gian của 3S đối với ( )12 , suy ra 2H = hoặc 6H = nên ( )12H = hoặc 3H S= . Do đó không tồn tại dãy ( ) 1 31,2 ... nH H S=   . Vậy ( )12 không là nhóm con á chuẩn tắc của 3S . Tương tự ( ) ( )13 , 23 không là nhóm con á chuẩn tắc của 3S . Ta có 3 3A S (vì [ ]3 3: 2S A = ); hiển nhiên 3 3 31 ,S S S  . Vậy trong 3S chỉ có ba nhóm con 3 31, ,A S là á chuẩn tắc của 3S đồng thời là chuẩn tắc của 3S . Do đó 3S là T-nhóm. 14 Ví dụ 2. 4S không là một T-nhóm. Chứng minh Xét tập con của 4S là ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }4 1, 12 34 , 13 24 , 14 23V = . Ta có 4 4A S . Với mọi ( ) 4 4,i j S S∈ ∀δ∈ , với mọi { }1,2,3,4k∈ . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 àk khi k i v k j i j k j khi k i i khi k j − − −  δ ≠ δ ≠  δ δ = δ δ =  δ δ = Nên ( ) ( ) ( )( )1 1 1i j i j− − −δ δ = δ δ . Do đó ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 1 1 412 34 12 34 1 2 3 4 V− − − − − − −δ δ = δ δδ δ = δ δ δ δ ∈ (do 1−δ là song ánh). Tương tự ( )( ) ( )( )1 1 4 413 24 , 14 23 ,V S− −δ δ δ δ∈ ∀δ∈ . Do đó 4 4V S . Từ đó suy ra 4 4 4V A S  . Xét ( )( ) ( )( ){ }12 34 1, 12 34D = = Mà ( )( ) ( )( ) ( )( ){ }4 1, 12 34 , 13 24 , 14 23V = . Suy ra 4D V≤ . Vậy [ ]4 4( : 2)D V Do V D = . Từ đó ta có 4 4 4D V A S   . Do đó D là một nhóm con á chuẩn tắc của 4S . Mặt khác ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )2312 34 23 12 34 23 13 24 12 34= = ∉ . Vậy D không là nhóm con chuẩn tắc của 4S . Do đó 4S không là T-nhóm. 15 2.1.3. Mệnh đề Cho G là một nhóm. Khi đó G là một T-nhóm nếu và chỉ nếu với H K G  ta có H G , với mọi H, K là các nhóm con của G. Chứng minh ( )⇒ : Hiển nhiên. ( )⇐ : Giả sử G là một nhóm mà với mọi nhóm con H, K thỏa H K G  ta có H G . Lấy H là nhóm con á chuẩn tắc tùy ý của G, thì tồn tại dãy nhóm con của G : 0 1 ... nH H H H G= =   . Ta chứng minh H G bằng phương pháp qui nạp theo n. Với 2n ≤ , điều phải chứng minh là hiển nhiên. Giả sử điều phải chứng minh đúng với 2n k= ≥ . Xét trường hợp 1n k= + , nghĩa là ta có 0 1 1... kH H H H G+= =