Luận văn Thác triển chỉnh hình kiểu hartogs

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đào Quốc Tuấn THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS Chuyên ngành: Hình học và tôpô Mã số: 60 46 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức hữu hạn chiều cũng như vô hạn chiều. Trên thế giới có nhiều nhà toán học quan tâm và giải quyết vấn đề này như Ivashkovitch, Shiffman, Nguyễn Thanh Vân, Zeriahi, Ở Việt Nam thì hình thành một nhóm khá mạnh nghiên cứu về bài toán này, trong đó tập trung các nhà toán học như Hà Huy Khoái, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái, Cho đến thời điểm gần đây, việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý. Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay người ta còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Trong đó trường hợp đặc biệt (nhưng quan trọng) là với điều kiện nào của không gian phức X thì mọi ánh xạ chỉnh hình từ  2H r X có thể thác triển chỉnh hình tới 2 , ở đây 0 1r  và        2 22 1 2 1 1 2 1 2, : 1 , : 1, 1H r z z z z z z z r        Với  : 1z z    Dạng 2: Thác triển chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kì dị cô lập, qua siêu mặt hoặc qua tập đa cực đóng. Thác triển kiểu này người ta còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Riemann. Trong đa số các trường hợp thì thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khó hơn rất nhiều so với thác triển kiểu Hartogs, tuy nhiên nghiên cứu bài toán thác triển kiểu Hartogs hi vọng cho chúng ta những phương pháp nhầm tiếp cận bài toán thác triển kiểu Riemann. Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của lý thuyết thế vị, chẳng hạn bài toán thác triển trên biên dựa vào hàm đa điều hòa dưới, việc nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình đã có những bước tiến mạnh mẽ. Nhiều công trình của các nhà toán học như Shiffman, Suzuki, Đỗ Đức Thái, đã làm xuất hiện một đối tượng mới cho bài toán thác triển chỉnh hình. Đó là khảo sát việc thác triển qua tập đa cực và tập có dung lượng bằng 0. Vào những năm 80 của thế kỉ trước, D. Vogt đã đưa ra nhiều kết quả nghiên cứu về các bất biến tôpô. Các bất biến này mở ra nhiều ứng dụng cho giải tích phức. Một trong những ứng dụng đó là nghiên cứu tính chỉnh hình của ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một trong những bài toán được đặt ra bởi nhà toán học Hartogs vào năm 1906. Từ năm 1972, Nguyễn Thanh Vân lần đầu tiên đã chỉ ra rằng cơ sở Schauder của một vài không gian hàm chỉnh hình có thể dùng để giải được bài toán về thác triển chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến. Từ phát hiện đó, năm 1976, Zaharjuta đã nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập có dạng đặc biệt m n . Các kết quả sau đó được tổng quát hóa thực sự bởi Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi từ năm 1983. Gần như đồng thời, năm 1981, Siciak bằng một phương pháp tiếp cận khác là sử dụng công thức nội suy Lagrange để nhận được một kết quả tương tự. Phương pháp này sau đó được Siffmann vận dụng bằng cách phát triển lý thuyết thế vị phức được xây dựng bởi Siciak để mở rộng các kết quả nói trên vào năm 1989, trong đó ông cải thiện các điều kiện về L-chính quy. Như vậy, phương hướng đầu tiên để nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình đó là nghiên cứu bài toán thác triển kiểu Hartogs. Công trình đầu tiên được Hartogs công bố đầu thế kỉ 20 về bài toán này là ánh xạ cần thác triển là hàm số mà miền xác định là tập mở trong 2 . Tiếp đó các nhà toán học như Andreotti, Stoll, đã phát triển và mở rộng kết quả này bằng cách thay thế miền xác và miền giá trị bởi các đa tạp phức khác. Năm 1971, Siffmann đưa ra khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" và dạng yếu hơn gọi là "điều kiện lồi – đĩa yếu", sau đó dùng điều kiện lồi – đĩa yếu ông đã chứng minh được giả thuyết của S.S.Chern đưa ra vào năm 1970 khi miền xác định là một lân cận của một siêu cầu đơn vị và miền giá trị là một đa tạp phức được trang bị một metric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện không dương. Cùng năm đó, độc lập với Siffmann, Griffiths cũng đã chứng minh được giả thuyết của Chern. Như vậy, các kết quả của Siffmann và Griffiths đã giải quyết được giả thuyết của Chern trong trường hợp hữu hạn chiều. Mối chốt để giải quyết bài toán là điều kiện lồi – đĩa yếu. Từ đây xuất hiện bài toán là tìm lớp không gian vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện thác triển chỉnh hình Hartogs. Vào những năm 80, những công trình của Siffmann, Ivashkovitch, đã chỉ ra những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian kiểu như thế, chẳng hạn vào năm 1987 Ivashkovitch [7] chỉ ra rằng đó là các đa tạp Kahler lồi chỉnh hình không chứa đường cong hữu tỉ nào. Kết quả này sau đó được mở rộng bởi Đỗ Đức Thái sang trường hợp không gian phức. Sau đó, năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu X là đa tạp Banach giả lồi và có các 1 phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Kết quả này lại được phát triển bởi Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] cho các đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi. Dựa vào lịch sử của các vấn đề được nêu trên, chúng tôi nhận thấy vai trò mấu chốt của việc cần nghiên cứu một cách cẩn thận bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs như là điểm khởi đầu cho việc nghiên cứu rộng hơn cho lớp các bài toán thác triển khác. Do đó, bài toán đặt ra cho luận văn là nghiên cứu các chứng minh chi tiết của các công trình gần đây của một tác giả liên quan đến bài toán thác triển này để tìm ra cách giải quyết cho bài toán thác triển khác. Và cũng vì lý do đó mà luận văn được mang tên "Thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs" 2. Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu : Tôpô và hình học giải tích phức 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs, từ cơ sở đó tìm hiểu một cách toàn diện bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình 5. Cấu trúc của đề tài : Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Trình bày các định nghĩa và các kết quả về bài toán thác triển Hartogs. Trong đó nội dung chính là định lý mở rộng trên lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi và mối quan hệ giữa bài toán thác triển Hartogs và bài toán thác triển trên các siêu mặt. Chương 2 và chương 3: Trình bày những kết qua sâu sắc hơn về bài toán thác triển Hartogs, bao gồm các kết quả liên quan đến điều kiện lồi – đĩa và lồi – đĩa yếu cho bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs trên các tập đa cực và trên các không gian Hyperbolic. Vấn đề cuối cùng được đề cập là định lý thác triển hội tụ dạng Noguchi cho  ,n d - tập. Phần kết luận: đưa ra những nhận xét và những vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn, người thầy tận tâm và rất nghiêm khắc trong công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với các kiến thức về giải tích phức, hình học Hyperbolic, để dần nắm bắt bài toán nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thầy trong tổ hình học, Khoa toán – tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn ban giám hiệu, phòng tổ chức hành chính, Phòng Khoa học công nghệ và sau đại học, Phòng Kế hoạch - tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Chương 1. THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH TRÊN SIÊU MẶT VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI THÁC TRIỂN HARTOGS VÔ HẠN CHIỀU Như trong phần mở đầu chúng tôi đã nói, hướng tiếp cận đầu tiên cho việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình đó là thác triển lên bao chỉnh hình hay người ta còn gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Phần mở đầu chương này chủ yếu chúng tôi sẽ nhắc lại một số khái niệm liên quan đến tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, khái niệm điều kiện lồi - đĩa và điều kiện lồi – đĩa yếu của Shiffman sử dụng để chứng minh Giả thuyết Shiing – Shen Chern. Phần sau sẽ trình bày một số kết quả khác liên quan đến thác triển của ánh xạ chỉnh hình trên siêu mặt và trên hợp tăng các miền giả lồi mà chứng minh của chúng có sử dụng điều kiện lồi – đĩa yếu. 1.1 . Các định nghĩa và các kết quả đã biết. Đầu tiên chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa không gian phức (hữu hạn chiều) có tính chất thác triển Hartogs (viết tắt là HEP), được đưa ra bởi Ivashkovich [7] 1.1.1. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu mọi ánh xạ chỉnh hình f từ  vào X với  là miền Riemann trong n đều có thể thác triển chỉnh hình được đến bao chỉnh hình  của  . Gọi     22 1 2 1 2, ; 1 H r z z z r z r       0 1r  là kí hiệu cho miền Hartogs 2 chiều Theo như đã biết [10] thì X có tính chất HEP nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ chỉnh hình    ,nf H X  thác triển chỉnh hình được đến 2 . Lớp các không gian phức có tính chất HEP là khá rộng. Nó chứa các không gian phức hằng, các nhóm Lie phức, các đa tạp phức Hermitian đầy đủ với các đường cong chỉnh hình 2 chiều không dương. Đặc biệt, Ivashkovich [10] đã chỉ ra rằng đa tạp Kahler lồi chỉnh hình có tính chất HEP nếu và chỉ nếu không có chứa đường cong hữu tỉ nào. Tính chất này đã được Đỗ Đức Thái tổng quát hóa cho trường hợp các không gian Kahler lồi chỉnh hình . Định nghĩa trên có thể được mở rộng một cách tự nhiên cho trường hợp không gian Banach giải tích bằng việc thay thế n bởi một không gian Banach B nào đó. Tuy nhiên, vì những lý do mang tính kĩ thuật nên ta cần thêm điều kiện mọi miền giả lồi Riemann trên một không gian Banach B đều tồn tại. Ví dụ cho trường hợp này là không gian Banach có cơ sở Schauder ( xem Mujica [18, Định lý 54.12, Trang 390]). Do đó, trong trường hợp vô hạn chiều ta có định nghĩa sau. 1.1.2. Định nghĩa. Một không gian Banach giải tích X được gọi là có tính chất thác triển Hartogs nếu với mọi ánh xạ chỉnh hình từ một miền Riemann  trên không gian Banach B với cơ sở Schauder vào X đều có thể được thác triển chỉnh hình đến bao chỉnh hình  của  . Về lịch sử, ví dụ đầu tiên được Hartogs đưa ra đầu thế kỷ 20 về ánh xạ chỉnh hình thác triển được là hàm số mà miền xác định là một tập mở trong 2 . Cho đến nay, kết quả này đã được phát triển mở rộng cho nhiều ánh xạ chỉnh hình khác với miền xác định và miền giá trị là các đa tạp phức có cấu trúc phức tạp hơn. 1.1.3. Giả thuyết Shiing – Chen Chern. Trong hội nghị Nice năm 1970, Shiing – Chen Chern đã đưa ra giả thuyết sau: Cho X là một đa tạp phức với mêtric Hermit đầy đủ và có độ cong thiết diện chỉnh hình không dương. Gọi  221: ... 1 , 2k kB z z z k     và kU  là một lân cận của B . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình :f U X đều thác triển chỉnh hình lên B . Giả thuyết này ngay lập tức được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Năm 1971, Shiffman lần đầu tiên đưa ra khái niệm "điều kiện lồi – đĩa" như sau. 1.1.4. Định nghĩa. Với mọi 0 1, 0r s   kí hiệu    1 1: , , : 1 .s rz z s z r z             Một không gian Banach giải tích X được gọi là lồi – đĩa yếu nếu mọi dãy    ,nf Hol X  sẽ hội tụ trong  ,Hol X khi dãy  1rnf  hội tụ trong  1,rHol X với 1r  . Ở đây  ,Hol X Y kí hiệu không gian các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y cùng với tôpô compact mở. Theo định lý Montel, một không gian phức hằng (hữu hạn chiều) là lồi – đĩa và hyperbolic. Ngược lại thì không đúng trong trường hợp tổng quát. Một dạng yếu của điều kiện lồi – đĩa mà dưới đây ta gọi là điều kiện lồi – đĩa yếu 1.1.5. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là lồi – đĩa yếu nếu mọi dãy    ,nf Hol X  hội tụ trong  ,Hol X khi dãy    * *,nf H X   hội tụ trong  *,Hol X . Ở đây  và  * \ 0   lần lượt là kí hiệu của đĩa đơn vị và đĩa đơn vị thủng trong  . Dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, Shiffman đã chứng minh được định lý sau. 1.1.6. Định lý. Cho X là đa tạp phức sau cho đa tạp phủ phổ dụng của nó có một mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương. Gọi D là một tập mở của đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình :f D X đều có một thác triển chỉnh hình lên M . Áp dụng định lý này bằng cách đặt D U B  và M B , Shiffman đã chứng minh được Giả thuyết Shiing – Chen Chern. Ngoài ra, cũng trong năm đó, Griffiths đã chứng minh một cách độc lập Giả thuyết Shiing – Chen Chern. Đó là nội dung của định lý sau. 1.1.7. Định lý. Cho M là đa tạp phức có một mêtric Hermit đầy đủ với độ cong thiết diện chỉnh hình không dương. Khi đó hiện tượng Hartogs đúng với M , nghĩa là mọi ánh xạ chỉnh hình : \f N U X đều có một thác triển chỉnh hình lên N , ở đây N là một đa tạp phức liên thông và U là một lân cận mở đủ nhỏ của một đa tạp con S của N . Như vậy, xuất phát từ Giả thuyết của Chern, Shiffman và Griffiths đã đồng thời giải quyết bài toán trong trường hợp hữu hạn chiều. Trong đó để chứng minh Định lý 1.1.6 ở trên, Shiffman đã dùng điều kiện lồi – đĩa yếu, từ điều kiện này ông cũng đã chứng minh được kết quả tổng quát hơn như sau. Cho X là một đa tạp thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu. D là một tập con của một đa tạp Stein M sao cho M là bao chỉnh hình của D . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình :f D X đều có một thác triển chỉnh hình lên M . 1.2. Tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs trên hợp tăng các miền giả lồi. 1.2.1. Định lý. Cho X là một không gian giải tích Banach thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu. Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Chứng minh. Gọi :f X là ánh xạ chỉnh hình, ở đây  là một miền Riemann trên một không gian Banach B có cơ sở Schauder. Xét sơ đồ giao hoán sau:  X B f p p f f e ở đây f chỉ miền tồn tại của f . Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. 1.2.2. Bổ đề. Ánh xạ : ff X  là giả lồi địa phương, tức là với mọi x X tồn tại một lân cận giả lồi V của x trong X sao cho  1f V là giả lồi. Chứng minh. Cho x X . Chọn một lân cận V của x trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong quả cầu mở của không gian Banach. Xét ánh xạ hạn chế  1f Vf  . Gọi  ^ 1:g f V V  là thác triển chình của  1f Vf  đến bao chỉnh hình  ^ 1f V của  1f V . Vì f là miền tồn tại của f nên dẫn tới  ^ 1f V   . Mặt khác, từ      ^ 1 ^ 1f f V g f V V     ta có    1 ^ 1f V f V   . Suy ra : ff X  là giả lồi địa phương. Bây giờ ta tiếp tục chứng minh định lý. Vì B có cơ sở Schauder nên để chỉ ra ^f   chúng ta chỉ cần chứng minh  1p E giả lồi với mọi không gian con hữu hạn chiều của B . Muốn vậy ta phải kiểm chứng  1p E thỏa mãn điều kiện lồi - đĩa yếu. Thật vậy, gọi     1,k Hol p E    sao cho dãy  *k  hội tụ về  trong   * 1,Hol p E  . Vì X là lồi – đĩa yếu nên dãy    ,kf Hol X    hội tụ về  trong  ,Hol X . Lưu ý * f     . Chọn một lân cận giả lồi V của  0 trong X sao cho V đẳng cấu với một tập giải tích trong quả cầu mở của không gian Banach và  1f V giả lồi. Vì  1f V là miền Riemann giả lồi trên không gian Banach B với cơ sở Schauder nên  1f V là miền chỉnh hình. Dể dàng thấy rằng tồn tại số 0k và 0  sao cho  kf V    với mọi 0k k và   V   , ở đây  :z z     . Suy ra    1k f V    với mọi 0k k . Điều này dẫn tới  k    trong   1,Hol f V   (xem [6, Định lý 5 và Bổ đề 6]). Do đó dãy  k hội tụ trong   1,Hol f E   . Đến đây định lý đã được chứng minh hoàn toàn. Vào những năm 80 của thế kỷ trước, những công trình của Shiffmann, Ivashkovitch, ... đã chỉ ra những đặc trưng hình học cho phép nhận biết một không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Chẳng hạn vào năm 1987, Ivashkovitch đã chứng minh được một đặc trưng hình học rất quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs của những đa tạp Kahler lồi chỉnh hình đó là: Một đa tạp Kahler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs khi và chỉ khi X không chứa đường cong hữu tỉ. Năm 1994, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hương đã chứng minh được rằng nếu X là một đa tạp Banach lồi có các 1 - phân hoạch đơn vị và X không chứa các đường thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Năm 1998, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thái Sơn [30] tiếp tục mở rộng kết quả trên cho các lớp đa tạp rộng hơn, đó là lớp các đa tạp là hợp tăng của các miền giả lồi. 1.2.3. Định lý. Cho X là không gian Banach giải tích và là hợp tăng dần các miền giả lồi. Giả sử X không chứa đường thẳng phức nào. Khi đó X có thác triển Hartogs. Chứng minh: (i) Đầu tiên ta giả sử X là giả lồi. Gọi :f X là ánh xạ chỉnh hình. Xét sơ đồ giao hoán sau: ở đây f chỉ miền tồn tại của f với thác triển chính tắc : ff X  và , ,e   là các ánh xạ chính tắc song chỉnh hình địa phương. Chứng minh tương tự Bổ đề 1.2.2, ta có 1.2.4. Bổ đề. Ánh xạ : ff X  là giả lồi địa phương. Để chỉ ra rằng ^f   chúng ta chỉ cần kiểm tra f thỏa mãn điều kiện lồi – đĩa yếu. Thật vậy, gọi    , fk Hol    sao cho dãy  *k  hội tụ về  trong  *, fHol   . Và X là giả lồi và mọi tập mở compact tương đối trong X không chứa đường thẳng phức nào  X B f  f f e nên X thỏa mãn điều kiện giả lồi – đĩa yếu (xem [29, Mệnh đề 2.3]). Do đó dãy    ,kf Hol X    hội tụ về f   trong  ,Hol X . Chọn một lân cận giả lồi V của  0f   đẳng cấu với một tập giải tích trong quả cầu mở của không gian Banach và  1f V giả lồi. Vì  1f V là miền Riemann giả lồi trên không gian Banach B với cơ sở Schauder,  1f V là miền chỉnh hình. Dể dàng thấy rằng tồn tại số 0k và 0  sao cho  kf V    với mọi 0k k và  f V    , ở đây  :z z     . Suy ra    1k f V    với mọi 0k k . Điều này dẫn tới dãy  k    trong   1,Hol f V   ( xem [6, Định lý 5 và Bổ đề 6]). Do đó dãy  k hội tụ trong  , fHol   . (ii) Giả sử 1 n n X X    , ở đây nX là miền giả lồi và 1 2 ...X X  Đặt  1n nf X  với 1n  . Theo (i), với mỗi 1n  ánh xạ nnf f  thác triển được tới ánh xạ chỉnh hình ^ ^:n nf X . Dể dàng thấy rằng với mỗi 1n  tồn tại duy nhất ánh xạ chỉnh hình địa phương ^ ^ 1:n n ne    sao cho sơ đồ sau giao hoán : Và ^ ^1n n nf e f  với 1n  , ở đây ^:n B  xác định ^ n như là một miền Riemann trên B . Do đó ta có thể định nghĩa các ánh xạ ^: lim nf ind X     và : B  bởi công thức : ^ ˆn nf f  với mọi 1n  và ^ n n   với mọi 1n  . Vì n là đồng phôi địa phương với 1n  nên  cũng đồng phôi địa phương. Hơn nữa, ta có     1n n nd z d e z với mọi ^ nz  và 1n  , ở đây nd là kí hiệu khoảng cách biên tương ứng : ^n n B   với 1n  . ne ^ 1n ^ n B n 1n  Vì ^ n là giả lồi nên log nd là đa điều hòa dưới với mọi 1n  . Do đó hàm   log lim log nnd d z   , với mọi z , là đa điều hòa dưới. Điều này có nghĩa  là đa điều hòa và suy ra  là miền chỉnh hình. Do đó ^   . Định lý được chứng minh hoàn toàn. 1.2.5. Chú ý. Tồn tại đa tạp phức X không giả lồi, chẳng hạn như 1 n n X X    với nX là đa tạp Stein. Thật vậy, với mỗi n đặt:      3 1 1, , : , n n n n k X z p z p z z k                Hiển nhiên, nX là các đa tạp đóng của 3 do đó nX là đa tạp Stein. Với mỗi n xét ánh xạ 1:n n nX X  được định nghĩa như sau:   1, , ,