Luận văn Thành phần liên thông đường trong C (x, y)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Thu Hà THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRONG ( , )C X Y LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hồ Thị Thu Hà THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRONG ( , )C X Y Chuyên ngành : Hình học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Hà Thanh, không sao chép của ai khác. LỜI CẢM ƠN Với lòng biết ơn sâu sắc nhất tôi xin được gửi đến TS. Nguyễn Hà Thanh, người thầy đã trực tiếp truyền đạt tri thức khoa học, hướng dẫn, giúp đỡ tôi tận tình qua những buổi học, những giờ thảo luận bổ ích để tôi có thể học hỏi thêm nhiều kiến thức cho việc học tập, nghiên cứu khoa học và cho công tác giảng dạy sau này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Hình học và Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ những kiến thức cần thiết làm nền tảng trong quá trình viết luận văn. Con xin cảm ơn bố mẹ đã luôn ủng hộ và giúp đỡ con, đồng thời xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ ........................................... 3 1.1. Không gian mêtric ................................................................................................. 3 1.2. Không gian tôpô .................................................................................................... 4 1.3. Ánh xạ liên tục ...................................................................................................... 8 1.4. Không gian compact ........................................................................................... 10 1.5. Không gian liên thông ......................................................................................... 13 Chương 2. TÔPÔ TRÊN ( , )C X Y .......................................................................... 15 2.1. Không gian ( , )C X Y ........................................................................................ 15 2.2. Không gian đều ................................................................................................... 20 2.3. Tôpô đều trên ( , )C X Y ...................................................................................... 28 Chương 3. LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN ( , )C X Y ........................................... 37 3.1. Mở đầu ................................................................................................................ 37 3.2. Tính liên thông đường của ( , )C X Y với những tôpô đều ................................. 40 KẾT LUẬN .................................................................................................................. 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 50 Danh mục các ký hiệu ( , )X d : Không gian mêtric d : Mêtric || . || : Chuẩn ( , )B a  : Hình cầu mở tâm a , bán kính  ( , )X : Không gian tôpô : Tôpô x : hệ lân cận của điểm x X : Compact hóa của không gian X ~ : Quan hệ tương đương ( , )C X Y : Không gian các ánh xạ liên tục từ X đến Y ( , )C X Y : Không gian tôpô ( , )C X Y với tôpô mở ( , )pC X Y : Không gian tôpô ( , )C X Y với tôpô hội tụ theo điểm ( , )kC X Y : Không gian tôpô ( , )C X Y với tôpô mở compact : Họ các tập con của X X ( , )X : Không gian đều với cấu trúc đều , ( , )C X Y  : Không gian tôpô ( , )C X Y với tôpô đều trên  đối với  d : Mêtric Supermum *( , )C X Y : Không gian con của ( , )C X Y gồm các phần tử bị chặn của ( , )C X Y ( )E g : Lớp tương đương của ( , )g C X Y : Kết thúc chứng minh 1 LỜI MỞ ĐẦU Nghiên cứu tôpô trên không gian các ánh xạ liên tục là một bài toán luôn được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Từ năm 1883, Ascoli, Arzelà và Hadamard đã bắt đầu các ý tưởng manh nha nghiên cứu tôpô trên không gian các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , kí hiệu ( , )C X Y . Năm 1906, Fréchet nghiên cứu về tôpô mêtric supremum. Năm 1953, Tychonoff cho thấy rằng tích Tychonoff trên tập XY không có gì mới cả đó chỉ là tôpô hội tụ đều. Năm 1945, tôpô mở compact được nghiên cứu trên không gian các ánh xạ liên tục bởi Fox. Không lâu sau đó, năm 1946 Arens tiếp tục nghiên cứu về tôpô mở compact này và Arens gọi tôpô đó là k -tôpô. Năm 1952, tôpô mở được tìm hiểu bởi Arens và Dugundji. Năm 1952, Jackson và năm 1968, Dugundji nghiên cứu tính compact của tôpô trong không gian ( , )C X Y . Gần đây nhất, năm 2014, Jindal, McCoy và Kundu đã nối tiếp các nghiên cứu về không gian ( , )C X Y , các nhà toán học này nghiên cứu thành phần liên thông đường trên không gian đều gồm các ánh xạ liên tục từ không gian Tychonoff vào không gian định chuẩn. Vì thế một trong những bài toán mà chúng ta quan tâm là nghiên cứu các tính chất của ( , )C X Y với hai tôpô đều khác nhau cùng với mối quan hệ giữa các tính chất có được giữa các không gian này. Vấn đề chúng ta xem xét cụ thể trong luận văn này đó là: Trong trường hợp X là không gian Tychonoff và Y là không gian định chuẩn, không gian ( , )C X Y với hai tôpô đều khác nhau có đồng phôi với nhau hay không. Do đó trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến hai tôpô đều  và  trên ( , )C X Y , cùng với tính liên thông của hai không gian tôpô này. Tôpô  là tôpô cảm sinh bởi mêtric tự nhiên có được từ chuẩn trên Y , tôpô  là tôpô cảm sinh bởi mêtric bị chặn do sử dụng hàm arctan. Chúng tôi tìm hiểu tính liên thông 2 đường của không gian ( , )C X Y và nhận thấy rằng với bất kì X nào không giả compact, ( , )C X Y không liên thông đường. Mặt khác chúng tôi đề cập đến tính liên thông của không gian ( , )C X Y và biết rằng ( , )C X Y liên thông đường. Do đó chúng tôi đưa ra kết quả là không gian đều ( , )C X Y và ( , )C X Y không đồng phôi. Nội dung chính của luận văn dựa trên tài liệu [7]. Luận văn được chia làm 3 chương như sau: Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ Chương này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tôpô được dùng trong luận văn. Chương 2. TÔPÔ TRÊN ( , )C X Y Chương này sẽ trình bày khái niệm liên quan đến ( , )C X Y và các tôpô trên ( , )C X Y . Chương 3. LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN ( , )C X Y Chương này trình bày tính liên thông của ( , )C X Y với hai tôpô đều khác nhau và chứng minh hai không gian tôpô cùng với hai tôpô đều tương ứng không đồng phôi. Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn sẽ khó tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được hoàn chỉnh hơn nữa. 3 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ 1.1. Không gian mêtric 1.1.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp, một mêtric hay khoảng cách trên X là một hàm :d X X  thoả mãn các điều kiện sau: Với mọi , ,x y z X 1. ( , ) 0d x y  , ( , ) 0d x y  nếu và chỉ nếu x y . 2. ( , ) ( , )d x y d y x . 3. ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y  . Không gian mêtric là một cặp ( , )X d , trong đó X là một tập hợp và d là một mêtric d trên X . 1.1.2. Định nghĩa Giả sử A là một tập hợp con của không gian mêtric ( , )X d . Dễ dàng thấy rằng hàm |A Ad d là một mêtric trên tập hợp A . Không gian mêtric ( , )AA d được gọi là không gian con của không gian mêtric ( , )X d , ta gọi Ad là mêtric cảm sinh bởi mêtric d trên A . 1.1.3. Định nghĩa Cho ( , )X d là một không gian mêtric. Với mọi a X và số 0  , ta gọi ( , ) { : ( , ) }B a x X d x a    là hình cầu mở tâm a , bán kính  . Tập M X được gọi là mở nếu với mọi a M , tồn  sao cho ( , )B a M  . 1.1.4. Định nghĩa Cho không gian mêtric ( , )X d . Dãy phần tử { }nx X hội tụ theo mêtric d về phần tử x X nếu lim ( , ) 0n n d x x   . Như vậy, lim n n x x   trong ( , )X d có nghĩa là: * 0 00, : , ( , )nn n n n d x x         4 Tính chất 1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. 2. Nếu dãy phần tử { }nx X hội tụ theo mêtric d về phần tử x X thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ về x . 3. Nếu lim , limn n n n x x y y     thì lim ( , ) ( , )n n n d x y d x y   . 1.1.5. Định nghĩa Cho X là một không gian mêtric. Tập con A X được gọi là tập đóng nếu \X A là tập mở. 1.1.6. Định lý Giả sử ( , )A X d và x X . Điểm x A khi và chỉ khi tồn tại một dãy { }nx những phần tử của A hội tụ về x hay là lim n n x x   . 1.1.7. Định nghĩa Tập con A được gọi là trù mật trong X nếu A X . Khi đó, tập A là trù mật trong X khi và chỉ khi với mỗi x X tồn tại một dãy { }nx trong A sao cho lim n n x x   . 1.1.8. Định nghĩa Không gian mêtric X được gọi là không gian khả ly nếu tồn tại một tập con A đếm được trù mật trong X . 1.2. Không gian tôpô 1.2.1. Định nghĩa Cho X là một tập hợp. Một họ các tập con của X được gọi là tôpô trên X nếu họ thỏa mãn các tính chất sau: 1.  , X  . 2. Nếu iU  thì i i I U   . 3. Nếu ,U V  thì U V  . 5 Không gian tôpô ( , )X là một tập X cùng với một tôpô trên nó. Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô là X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị một tôpô nào đó. Nếu X là một không gian tôpô thì các tập U được gọi là các tập mở, các phần tử của X gọi là các điểm. Tập có phần bù là tập mở được gọi là tập đóng. 1.2.2. Định nghĩa Cho không gian tôpô ( , )X , A X . Tập con U của không gian tôpô X được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A . Với mỗi điểm x X , tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở U trong X sao cho x U V  . Nhận xét: Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở, nhưng mỗi tập mở bất kỳ là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Nếu lân cận của một điểm là tập mở thì ta nói đó là lân cận mở của điểm đó. 1.2.3. Định lý Tập con U của không gian tôpô ( , )X là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Cho không gian tôpô ( , ),X x X và tập A X 1. Điểm x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận của x đều chứa điểm khác x của tập A . Tập hợp tất cả các điểm giới hạn của A được kí hiệu là dA . 2. x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở U sao cho x U A  . 3. x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở U sao cho \x U X A  . 4. x gọi là điểm biên của A nếu ,xU U A    và \U X A  . 1.2.4. Định lý Tập con U của không gian tôpô ( , )X T là tập đóng khi và chỉ khi U chứa mọi điểm giới hạn của nó. 6 1.2.5. Định nghĩa Cho  là một họ các tập con của X . Họ  chứa các tập con khác rỗng của X được gọi là  -lưới trên X nếu với mỗi A  và lân cận mở U của A , tồn tại một B  sao cho A B U  . Một lưới trên X được gọi là lưới đóng nếu mỗi phần tử của lưới là đóng. 1.2.6. Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X được gọi là 0T -không gian nếu với hai điểm khác nhau bất kì ,x y X tồn tại ít nhất một điểm có lân cận không chứa điểm kia. 1.2.7. Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X được gọi là 1T -không gian nếu với hai điểm khác nhau bất kỳ ,x y X luôn tồn tại các lân cận xU của x và yV của y sao cho xy U và yx U . 1.2.8. Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X được gọi là 2T -không gian (không gian Hausdorff) nếu với hai điểm khác nhau bất kỳ ,x y X luôn tồn tại các lân cận xU của x và yV của y sao cho x yU V  . Không gian mêtric là không gian tôpô Hausdorff. Thật vậy, với hai điểm khác nhau x, y bất kì thuộc không gian mêtric X , ta có ( , )B x  và ( , )B y  là hai tập mở rời nhau, với ( , ) 2 d x y   , do đó X là Hausdorff. 1.2.9. Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X được gọi là 3T -không gian (hoặc không gian chính quy) nếu X là 1T -không gian và với mọi x X với mọi tập đóng F X thoả mãn x F , luôn tồn tại các lân cận mở xU của x và V của F sao cho xU V  . 7 1.2.10. Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X được gọi là không gian Tychonoff hay không gian 1 2 3 T hoặc không gian hoàn toàn chính quy nếu cho bất kì tập đóng F và bất kì điểm x F thì tồn tại một hàm liên tục từ X đến đường thẳng thực sao cho ( ) 0f x  và với mọi , ( ) 1y F f y  . 1.2.11. Bổ đề Tích tôpô của họ các không gian hoàn toàn chính quy là không gian hoàn toàn chính quy. 1.2.12. Định nghĩa (Alexandroff và Hopf) Không gian tôpô ( , )X được gọi là 4T -không gian hoặc là không gian chuẩn tắc nếu X là 1T -không gian và với hai tập đóng rời nhau ,A B của X luôn tồn tại các lân cận mở U của A và V của B sao cho .U V  1.2.13. Bổ đề (Bổ đề Urysohn) Cho ( , )X là không gian tôpô chuẩn tắc. Nếu A, B là các tập con đóng rời nhau của x thì tồn tại một ánh xạ liên tục : [0,1]f X  sao cho ( ) {0}, ( ) {1}f A f B  . 1.2.14. Định nghĩa Cho không gian tôpô ( , )X , x là phần tử của X . Họ x các lân cận của điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô tại x (hay còn gọi là cơ sở lân cận tại x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại xV  sao cho x V U  . Họ con các phần tử thuộc được gọi là cơ sở của trên X nếu mọi phần tử thuộc đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc . Họ con  được gọi là tiền cơ sở của tôpô nếu họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc lập thành một cơ sở của tôpô . 8 1.2.15. Định lý Cho không gian tôpô ( , )X , họ con  . Các mệnh đề sau tương đương 1. Họ là cơ sở của tôpô. 2. Tại mỗi điểm x X cùng với một lân cận U tuỳ ý của nó luôn tồn tại V  sao cho x V U  . 3. Đối với mỗi phần tử x X , họ x bao gồm tất cả các phần tử thuộc chứa x tạo thành cơ sở địa phương của tôpô tại x. 1.2.16. Định nghĩa Không gian tôpô ( , )X thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm tuỳ ý trong X đều có cơ sở địa phương không quá đếm được. Không gian tôpô ( , )X thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô trên X có cơ sở không quá đếm được. 1.2.17. Định lý Nếu không gian tôpô ( , )X thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì tại mỗi điểm x X luôn tồn tại một cơ sở địa phương ( )i iU  thỏa mãn 1i iU U  với mọi i . 1.3. Ánh xạ liên tục 1.3.1. Định nghĩa Ánh xạ :f X Y từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y là liên tục tại điểm 0x X nếu với mỗi lân cận U của điểm 0( )f x Y luôn tồn tại lân cận V của điểm 0x thỏa mãn ( )f V U . Ánh xạ f được gọi là ánh xạ liên tục trên không gian tôpô X nếu nó liên tục tại mọi điểm x X . 1.3.2. Định lý Cho :f X Y là ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y . Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: 1. Ánh xạ f là liên tục. 9 2. Đối với mỗi tập con A bất kì của X luôn có ( ) ( )f A f A . 3. Tạo ảnh của mỗi tập con đóng tùy ý trong Y là tập con đóng trong X . 4. Tạo ảnh của mỗi tập con mở tùy ý trong Y là tập con mở trong X . 5. Tạo ảnh của mỗi phần tử thuộc tiền cơ sở nào đó của tôpô trong Y là tập con mở trong X . 6. Đối với mỗi tập con B bất kì trong Y luôn có 1 1( ) ( )f B f B  . 1.3.3. Định lý Giả sử X, Y, Z là ba không gian tôpô, :f X Y và :g Y Z là các ánh xạ liên tục. Khi đó ánh xạ :h g f X Z  cũng là ánh xạ liên tục. 1.3.4. Định nghĩa Ánh xạ :f X Y từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y được gọi là ánh xạ mở (tương ứng đóng), nếu ảnh của mỗi tập mở (tương ứng đóng) bất kì trong X qua ánh xạ f là tập mở (tương ứng đóng) trong Y . 1.3.5. Định nghĩa Ánh xạ :f X Y từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y được gọi là phép đồng phôi nếu f là song ánh và 1,f f  đều là các ánh xạ liên tục. Hai không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép đồng phôi từ X đến Y . 1.3.6. Định lý 1. Ánh xạ :f X Y là ánh xạ mở khi và chỉ khi ảnh ( )f U của phần tử U tuỳ ý trong cơ sở nào đó của tôpô trên X là mở trong Y . 2. Hợp thành của hai ánh xạ mở là ánh xạ mở. 3. Song ánh :f X Y là một phép đồng phôi khi và chỉ khi f là ánh xạ liên tục và mở. 10 1.3.7. Định lý (Định lý nhúng Tychonoff ) Mọi không gian tôpô ( , )X là Tychonoff khi và chỉ khi nó đồng phôi với không gian tích các đoạn [0,1] với tôpô thông thường. 1.4. Không gian compact 1.4.1. Định nghĩa Cho X là không gian tôpô. Một họ { } IG  các tập mở của X được gọi là phủ mở của X nếu I U X   . 1.4.2. Định nghĩa Không gian X được gọi là compact nếu mọi phủ mở { } IG  tồn tại tập con hữu hạn J I sao cho { } JG  là phủ mở của X . Tập con A X được gọi là compact nếu nó compact đối với tôpô cảm sinh. Tập con A X được gọi là compact tương đối nếu A là compact. 1.4.3. Định lý Không gian tôpô là compact khi và chỉ khi mỗi họ các tập đóng có tính giao hữu hạn đều có giao khác rỗng. 1.4.4. Định lý Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi lưới trong X có lưới con hội tụ tới một điểm nào đó của X . 1.4.5. Định lý Nếu không gian X là compact thì mọi tập đóng của nó đều là tập compact. 1.4.6. Định lý Nếu không gian tôpô X là Hausdorff thì mọi tập con compact của X là tập đóng. 1.4.7. Định lý Không gian Hausdorff compact là không gian chuẩn tắc. 11 1.4.8. Định lý Nếu X là không gian tôpô chính quy, A là tập con compact và U là lân cận của A thì tồn tại lân cận V đóng cửa A sao cho V U . 1.4.9. Định lý Cho X là không gian chính quy compắc, A là tập compắc và U là lân cận mở của A . Khi đó tồn tại trên X một hàm f liên tục lấy giá trị trên khoảng đơn vị đóng [0,1] thỏa mãn ( ) 0f x  nếu , ( ) 1x A f x  nếu \x X U . 1.4.10. Định nghĩa Không gian giả compact là một không gian tôpô mà ảnh của nó qua bất kì hàm liên tục nào cũng là một tập bị chặn trên . 1.4.11. Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô không compact, X là không gian tôpô compact,  là phép nhúng đồng phôi X vào X sao cho ( )X trù mật trong X . Khi đó cặp ( , )X  được gọi là một compact hoá của X . Compact hóa Stone-Cech: Compact hóa Stone-C ech là một kĩ thuật xây dựng một ánh xạ phổ dụng từ một không gian tôpô X để một không gian compact Hausdorff X . Compact hóa Stone-C ech của một không gian tôpô X là không gian Hausdorff compact lớn nhất sinh bởi bởi X . Nếu X là một không gian Tychonoff thì ánh xạ từ X vào ảnh của nó trong X là một đồng phôi, vì vậy X có thể được xem như là một không gian con (trù mật) của X . Cho X là không gian không compact và f là ánh xạ liên tục từ X vào không gian Hausdorff compact Y , khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục của f đi từ X vào Y . 12 Sử dụng siêu lọc để compact hóa một không gian tôpô không compact. Ta định nghĩa lọc và siêu lọc như sau: 1.4.12. Định nghĩa Một lọc trên X là một họ T các tập con của X thỏa mãn các tính chất sau đây: 1. Nếu A thuộc T và B là một tập con của X chứa A thì B thuộc T . 2. Nếu A thuộc T và B thuộc T thì A B thuộc T . 3. T . 1.4.13. Định nghĩa Cho tập hợp X , một siêu lọc U trên X là một lọc cực đại trên X , tức là với mọi lọc T sao cho U T ta suy ra U T . Nếu X là không gian rời rạc thì ta có thể xây dựng X như là một tập của tất cả siêu lọc trên X với tôpô Stone. Mỗi phần tử của X là một siêu lọc chính (Siêu lọc chính bao gồm các tập con của X có chứa một phần tử x cho trước của X , tất cả các siêu lọc trên một tập hữu hạn đều là chính.). Ta áp dụng tính phổ dụng như sau: Cho :f X Y với Y compact Hausdorff và F là một siêu lọc trên X , ta suy ra ( )f F là siêu lọc trên Y . Do K compact nên siêu lọc này có một giới hạn duy nhất x . Khi đó ta đặt ( )f F x  , ta suy ra f liên tục. Tương tự, ta có thể lấy không gian Stone của đại số đầy đủ Bool chứa tất cả các tập con của X như là compact hóa Stone-C ech của X . Nó được xây dựng một cách tương tự, vì không g