Luận văn Tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2015 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- NGÔ THỊ SINH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – Năm 2015 3 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ 1 MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 2 CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM.................................................................................. 4 1.1. Định nghĩa nguyên hàm................................................................................... 4 1.2. Các tính chất của nguyên hàm ........................................................................ 4 1.3. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số ............................................ 5 1.4. Một số phương pháp tính nguyên hàm ........................................................... 5 1.4.1. Phương pháp ghép vi phân thích hợp ....................................................... 5 1.4.2. Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ .................................................... 6 1.4.3. Nguyên hàm theo từng phần ................................................................... 13 1.4.4. Nguyên hàm hàm số có căn thức............................................................. 16 1.4.5. Nguyên hàm hàm lượng giác................................................................... 22 1.5. Bài tập tự luyện .............................................................................................. 34 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG ..................................... 35 2.1. Định nghĩa tích phân xác định ...................................................................... 35 2.2. Điều kiện khả tích .......................................................................................... 35 2.3. Tính chất của tích phân xác định .................................................................. 35 2.4. Công thức Newton – Leipnitz ........................................................................ 36 2.5. Ứng dụng. ....................................................................................................... 36 2.5.1. Tính tích phân xác định theo Newton – Leipnitz. .................................. 36 2.5.2. Tính diện tích hình phẳng ....................................................................... 39 2.5.3. Tính thể tích khối tròn xoay .................................................................... 50 2.5.4. Tính độ dài đường cong phẳng ............................................................... 55 2.6. Bài tập tự luyện. ............................................................................................. 58 CHƯƠNG 3. CÁC BÀI TOÁN KHÁC. ................................................................. 60 3.1. Tìm giới hạn bằng tích phân. ........................................................................ 60 3.1.1. Đặt vấn đề. ............................................................................................... 60 3.1.2. Một số ví dụ minh họa. ............................................................................ 60 4 3.2. Bất đẳng thức tích phân. ............................................................................... 63 3.2.1. Đánh giá theo hàm số và cận tích phân. ................................................. 63 3.2.2. Bất đẳng thức cổ điển tích phân và ứng dụng. ....................................... 66 3.2.3. Định lý về giá trị trung bình. ................................................................... 74 3.2.4. Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức. ................................... 76 3.2.5. Tìm cực trị bằng phương pháp tích phân............................................... 80 3.3. Tính tổng. ....................................................................................................... 84 3.3.1. Lý thuyết .................................................................................................. 84 3.3.2. Một số ví dụ minh họa. ............................................................................ 85 3.4. Bài tập tự luyện. ............................................................................................. 88 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 91 1 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến các thầy cô giáo công tác tại khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua để tôi có nền tảng kiến thức thực hiện luận văn này. Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn tôi là PGS. TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội, ban giám hiệu trường THPT Phan Huy Chú – Đống Đa – Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa để tôi có thời gian học tập tốt nhất và hoàn thành khóa học của mình. Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015 Học viên Ngô Thị Sinh 2 MỞ ĐẦU Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về " hình và số.". Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói rằng không có toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có phân môn: Giải tích toán học còn gọi đơn giản là Giải tích. Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân... Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Phần lớn người học rất lúng túng và gặp khó khăn khi học Giải tích nói chung và Nguyên hàm, Tích phân, những bài toán thực tế cần dùng đến Tích phân nói riêng. Tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về tìm giới hạn, chứng minh bất đẳng thức, hay tính tổng Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học - Cao đẳng của các năm luôn xuất hiện những bài toán liên quan đến tích phân. Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định và các ứng dụng của nó tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân và ứng dụng” cho luận văn của mình , cụ thể luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Nguyên hàm Trong chương nhắc đến khái niệm và các tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp và một số phương pháp tính nguyên hàm làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2. Chương 2: Tích phân xác định và ứng dụng Ở chương này nêu định nghĩa tích phân xác định, điều kiện khả tích và các tính chất của tích phân xác định trong đó có tính chất quan trọng đó là sử dụng công thức Newton – Leipnitz để tính tích phân xác định sau khi tìm được nguyên hàm. Đặc biệt trong chương 2 thể hiện những ứng dụng của tích phân trong 3 việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và tính thể tích của vật tròn xoay khi quay một hình phẳng xung quanh trục Ox, Oy. Chương 3: Các bài toán khác Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức. Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề cũng như những bài toán liên quan đến việc tính Tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo để luận văn có giá trị khoa học cao hơn. Em xin chân thành cảm ơn! 4 CHƯƠNG 1. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa nguyên hàm a. Giả sử hàm  y f x liên tục trên khoảng  a;b . Khi đó hàm số  y F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số  y f x khi và chỉ khi      ' , ;F x f x x a b   . b. Nếu  y F x là một nguyên hàm của hàm số  y f x thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số  y f x là tập   ,I F x c c R   và tập này còn được ký hiệu là:    I f x dx F x c   . 1.2. Các tính chất của nguyên hàm a. Nếu  y f x là hàm số có nguyên hàm thì          ' ; f x dx f x d f x dx f x dx   b. Nếu  F x có đạo hàm thì     d F x F x c  . c. Phép cộng Nếu  f x và  g x có nguyên hàm thì        f x dx g x dx f x g x dx       . d. Phép trừ Nếu  f x và  g x có nguyên hàm thì        f x dx g x dx f x g x dx       . e. Phép nhân với một hẳng số khác 0     , 0kf x dx k f x dx k    . f. Công thức đổi biến số Cho  y f u và  u g x .Nếu    f x dx F x c  thì         'f g x g x dx f u du F u c    . 5 1.3. Bảng công thức nguyên hàm của một số hàm số 0 ;dx C dx x c     2 2 1 arctan 0 dx x c a a x a a         1 1 , 1 1 ax b ax b dx c a             2 2 1 ln 2 dx a x c a x a a x      1 1 lndx ax b c ax b a         1 cos sinax b dx ax b c a     1ax b ax be dx e c a        1 sin cosax b dx ax b c a      1 ln ax b ax bm dx m c a m        1 tan ln cosax b dx ax b c a         ln ln b ax b dx x ax b x c a                 1 cot ln sinax b dx ax b c a       2 2 arcsin 0 dx x c a aa x         2 1 1 cot sin dx ax b c ax b a      2 2 ln dx x x a c a x          2 1 1 tan cos dx ax b c ax b a     1.4. Một số phương pháp tính nguyên hàm 1.4.1. Phương pháp ghép vi phân thích hợp a. Phương pháp Sử dụng biến đổi     ' .f x dx d f x Ví dụ:  adx d ax b  ;    21 2 2 ax b dx d ax bx c     sin . cosx dx d x  ;  cos . sinx dx d x . b. Một số ví dụ Ví dụ 1.1.1. ([1])  2 31 1 ln 2 3 2 3 2 2 3 2 d xdx I x c x x          . Ví dụ 1.1.2. ([1])    2 2 2 2 3 52 3 ln 3 5 3 5 3 5 d x xx dx I x x c x x x x              . 6 Ví dụ 1.1.3. ([1])   4 3 3 cossin .cos cos cos 4 x I x xdx xd x c       . Ví dụ 1.1.4. ([1])   5 4 4 sincos .sin sin sin 5 x I x xdx xd x c     . Ví dụ 1.1.5.  cos cos 2sin sin . sin . sin .x xI e x x dx e x dx x dx       cos cos 1 cos 2 1 1 . cos . sin 2 2 2 4 x xxe d x dx e x x c           . Ví dụ 1.1.6. 2 tan 2 ln tan sin 22sin .cos 2 tan .cos tan 2 2 2 2 2 x d dx dx dx x I c x x x x xx               . Ví dụ 1.1.7. cos sin 2sin .cos 2 2 4 2 4 dx dx dx I x xx x                              2 tan 2 4 ln tan 2 4 2 tan .cos tan 2 4 2 4 2 4 x d dx x c x x x                                            . Ví dụ 1.1.8.     3 2 4 2 2 1 tan 1 tan tan tan cos cos cos 3 dx dx x I x d x x c x x x          . 1.4.2. Nguyên hàm các hàm phân thức hữu tỉ a. Các định nghĩa  Phân thức hữu tỉ là biểu thức dạng     P x Q x với    ,P x Q x là các đa thức với các hệ số thực.  Phân thức thực sự là phân thức hữu tỉ     P x Q x với    deg degP x Q x . 7  Phân thức đơn giản là 1 trong 4 dạng phân thức sau:      22 2; ; ; 4 0;k k A A Bx C Bx C p q k N x a x px qx a x px q             .  Định lý tổng quát về phân tích đa thức Mọi đa thức   0Q x  với hệ số thực đều có duy nhất một cách phân tích thành các nhân tử (không tính theo thứ tự sắp xếp các nhân tử) gồm các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai có biệt thức 0  , tức là ta có          11 2 21 1 1... ... sk m mn n k s sQ x A x a x a x p x q x p x q       trong đó: 10; ,..., kA a a là các nghiệm thực phân biệt của  Q x ; ,qi ip là các số thực thỏa mãn  2 1 14 0; deg ... 2 ...i i i k sp q Q n n m m          . b. Phương pháp tính  Nguyên hàm các hàm phân thức cơ bản: + ln dx I x a c x a      +  2 2 1 arctan 0 dx x I c a x a a a      +       1 1 1 1 k k dx I c k x a k x a          +      22 2 2 2 2 4 0 B Bp x p C Bx C I dx dx p q x px q x px q                     2 2 2 2 2 2 2 + 2 2 = ln + 2 2 1 = ln + arctan +c 2 2 d x px qB Bp dx C x px q x px q B Bp dx x px q C x m n B Bp x m x px q C n n                                  +    2 m m Bx C I dx x px q      với 2 2 4 0 m N p q      8                2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 = 22 1 m m m m m m B Bp x p C d x px qB Bp dx I dx C x px q x px q x px q B Bp dx C m x px q x px q                                       Đặt    22 2 22 2 = 4 2 4 m m m m p d x dx dt J x px q t ap q p x                        Với 24 ; a= 2 2 q pp t x    , ta sẽ tính  2 2 m m dt J t a    theo 2 cách sau đây: Cách 1 ( Phương pháp lượng giác) Đặt     2 2 2 2 2 1 2 2 1costan cos cos 1 tan m m m m ad ad t a dt J d aa                     Đến đây ta tính tiếp theo kĩ thuật tích phân hàm lượng giác. Cách 2 ( Phương pháp tích phân từng phần)         2 2 2 2 12 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m m m m m dt t a t dt t dt J dt a a at a t a t a t a                12 2 1 1 m mJ J J a a   với   2 2 2 m t dt J t a    Đặt u t du dt   và           2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 . 2 2 1 m m m tdt v t a d t a mt a t a             Vậy thay vào ta có    11 22 2 2 1 1 2 3 . . 2 22 1 m mm m J J a ma m t a       .  Nguyên hàm hàm phân thức     P x Q x với    deg degP x Q x và          11 2 21 1 1... ... sk m mn n k s sQ x A x a x a x p x q x p x q       thì 9             1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 111 11 2 22 2 1 1 1 1 ... ... ... ... ... ... k k s n kn k n n k k m m s s s ms ms m m s s s s AAP x AA Q x x a x ax a x a B x C B x C B x CB x C x p x q x p x qx p x q x p x q                                                    c. Một số ví dụ Ví dụ 1.2.1. ([4]) 2 3 2 2 5 3 2 x x I dx x x x      Ta có     1 2Q x x x x   Giả sử     2 3 2 2 5 3 , 2 1 2 P x x x A B C x Q x x x x x x x                    22 5 3 1 2 2 1 , *x x A x x Bx x Cx x x           Cách 1 ( Phương pháp hệ số bất định)      2 2* 2 5 3 2 2 ,x x A B C x A B C x A x           2 3 3 / 2 2 5 2 2 5 / 2 A A A B C B A B C C                     Do đó     3 2 5 3 5 ln 2 ln 1 ln 2 2 1 2 2 2 2 I dx dx dx x x x c x x x              Cách 2 ( Phương pháp gán các giá trị đặc biệt) Thay 0x  vào  * suy ra: 2 3 3 / 2A A   Thay 1x  vào  * suy ra: 3 6 2B B     Thay 2x   vào  * suy ra: 6 15 5 / 2C C       3 2 5 3 5 ln 2 ln 1 ln 2 . 2 1 2 2 2 2 I dx dx dx x x x c x x x              Ví dụ 1.2.2. ([4]) Tính 3 4 2 2 5 4 x I dx x x     10 Ta có       1 1 2 2Q x x x x x         3 4 2 2 , 5 4 1 2 1 2 P x x A B C D x Q x x x x x x x                           3 2 2 2 22 4 1 1 2 4 1 D 1 2 , *x A x x B x x C x x x x x               Thay 1x  vào  * suy ra: 6 3 1/ 2A A     Thay 2x  vào  * suy ra: 12 10 5 / 6B B   Thay 1x   vào  * suy ra: 6 1 1/ 6C C   Thay 2x   vào  * suy ra: 12 6 1/ 2D D     1 5 1 1 1 5 ln 1 ln 2 2 1 6 2 6 1 2 2 2 6 1 1 ln 1 ln 2 . 6 2 dx dx dx dx I x x x x x x x x c                         Ví dụ 1.2.3. ([4]) Tính 2 3 3 3 3 3 2 x x I dx x x      Ta có       23 3 2 1 2Q x x x x x      Giả sử       2 23 3 3 3 , 3 2 1 21 P x x x A B C x Q x x x x xx                     2 22 1 2 1 3 3 3 , *A x B x x C x x x x           Thay 1x  vào  * suy ra: 3 9 3A A   Thay 2x   vào  * suy ra: 9 9 1C C   Thay 0x  vào  * suy ra: 3 2 2 2A B C B       2 23 3 3 3 3 3 2 2ln 1 ln 2 . 3 2 1 2 11 x x dx dx dx I dx x x c x x x x xx                        Ví dụ 1.2.4. ([4]) Tính   2 2 4 4 4 3 x I dx x x      11 Ta có           2 2 22 4 4 , 1 31 34 3 P x x A B C D x Q x x xx xx x                    3 24 4 7 5 15 6 7 2 9 9 3 , x A C x A B C D x A B C D x A B C D x                    3 3 7 5 0 2 15 6 7 2 4 3 9 9 3 4 4 A C A A B C D B A B C D C A B C D D                                     2 2 22 4 4 3 2 3 4 1 31 34 3 x I dx dx x xx xx x                   2 4 3ln 1 3ln 3 . 1 3 x x c x x          Ví dụ 1.2.5. ([4]) Tính  2 4 2 1 1 x I dx x x     Ta có     4 2 2 21 1 1Q x x x x x x x        Giả sử     2 4 2 2 2 1 , 1 1 1 P x x Ax B Cx D x Q x x x x x x x                   2 2 21 1 1 ,x Ax B x x Cx D x x x                2 3 21 ,x A C x A B C D x A B C D x B D x                0 0 0 1 1/ 2 1 0 0 2 1 1 A C A C A C A B C D C D A B C D D B B D B D B D                                       2 4 2 2 2 2 22 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 12 2 = arctan arctan 2 3 3 31 3 1 3 2 2 2 2 x I dx dx x x x x x x d x d x x x c x x                                                                       12 Ví dụ 1.2.6. ([4]) Tính   2 2 2 2 18 6 13 x I dx x x      Giả sử         2 2 2 22 2 2 18 , 6 136 13 6 13 P x x Bx C Dx C x Q x x xx x x x                   2 22 18 6 13 , *x Bx C Dx E x x x              2 3 22 18 6 13 6 x 13 ,x Dx D E x B D E C E x            0 12 6 2 8 13 6 0 0 13 18 2 D B D E C B D E D C E E                                            2 2 2 22 2 2 2 222 1 22 2 18 12 8 2 6 136 13 6 13 2 6 =6 28 2 3 46 13 3 4 6 3 = 28 arctan 3 6 13 2 x dx x dx dx I x xx x x x x dx dx dx xx x x x c M c t x x x                                       Xét     2 22 2 43 4 dx dt M tx           . Đặt  2 22 2 2 4 2 tan ; 4 4 tan 1 cos cos d t dt t                 322 2 4 2 1 1 1 1 c