Luận văn Tìm hiểu bước đầu về động lực phức của các ánh xạ tựa đa thức

6 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thái TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 7 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Thị Thái TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ ĐỘNG LỰC PHỨC CỦA CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Văn Đông về sự hướng dẫn tận tình của thầy. Trong suốt quá trình nghiên cứu, thầy đã kiên nhẫn chỉ bảo, trợ giúp và động viên em rất nhiều. Sự hiểu biết sâu sắc về khoa học cũng như kinh nghiệm của thầy chính là tiền đề giúp em đạt được những thành tựu và kinh nghiệm quý báu. Xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã truyền đạt kiến thức cho em trong suốt thời gian học tập tại trường. Và cuối cùng, lời thân thương nhất xin gửi đến gia đình, nơi đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các hình vẽ MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................... 3 1.1. Ánh xạ giải tích và ánh xạ bảo giác ........................................................ 3 1.2. Ánh xạ tựa bảo giác ................................................................................ 5 1.3. Phép lặp ................................................................................................... 8 1.4. Tập Fatou và tập Julia ............................................................................. 9 1.5. Không gian phủ và phép nâng .............................................................. 10 1.5.1. Không gian phủ ............................................................................... 10 1.5.2. Vài tính chất của phủ ...................................................................... 11 1.5.3. Nhóm cơ bản ................................................................................... 11 1.5.4. Phép nâng ........................................................................................ 13 1.6. Đa tạp và cấu trúc hầu phức .................................................................. 14 1.6.1. Đa tạp .............................................................................................. 14 1.6.2. Cấu trúc hầu phức ........................................................................... 16 1.7. Mặt Riemann ......................................................................................... 16 1.7.1. Khái niệm và phân loại mặt Riemann............................................. 16 1.7.2. Mêtric Riemann và mêtric Poincare (mêtric Hyperbolic) .............. 17 1.8. Định lý ánh xạ đo được Riemann (định lý Ahlfors – Bers) .................. 18 1.9. Ánh xạ mở rộng – Hàm hyperbolic ...................................................... 22 Chương 2. ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC ......................................................... 24 2.1. Định nghĩa và ví dụ về ánh xạ tựa đa thức ........................................... 24 2.2. Tập Julia đầy của ánh xạ tựa đa thức và các loại tương đương giữa các ánh xạ ........................................................................................................... 27 2.3. Định lý Straightenning .......................................................................... 30 2.3.1. Giới thiệu định lý ............................................................................ 30 2.3.2. Chứng minh định lý ........................................................................ 34 Chương 3. KHÔNG GIAN THAM SỐ CỦA HỌ CÁC ÁNH XẠ TỰA ĐA THỨC ............................................................................................................. 45 3.1. Họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức ....................................................... 46 3.1.1. Định nghĩa ....................................................................................... 46 3.1.2. Ánh xạ nhúng tubing ....................................................................... 47 3.1.3. Phân hoạch Mane-Sad-Sullivan (M.S.S) thứ nhất .......................... 47 3.1.4. Phát biểu và chứng minh các định lý chính .................................... 48 3.2. Họ một tham số các ánh xạ bậc hai ...................................................... 56 3.2.1. Ánh xạ chỉnh hình tôpô ................................................................... 56 3.2.2. Tính chỉnh hình tôpô của c ........................................................... 59 3.2.3. Trường hợp M compact trong định lý 4 ...................................... 60 3.2.4. Một số kết quả khác về mối liên hệ giữa M và M ....................... 63 KẾT LUẬN .................................................................................................... 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 70 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1. Ba phần tử ( ), , U U f¢ tạo thành ánh xạ tựa đa thức ................. 24 Hình 2.2. Hạn chế của ánh xạ bậc 3 thành ánh xạ tựa đa thức bậc 2 ......... 25 Hình 2.3. Hạn chế của ( ) cosf z z= p (bên trái) và 3 ( ) oc Q z (bên phải) tạo thành ánh xạ tựa đa thức bậc 2 ................................................... 26 Hình 2.4. Tập Julia đầy của ( ) 20Q z z= có màu trắng (bên trái); Tập Julia đầy của ( )0.6P z- có màu trắng (bên phải) ................................... 31 Hình 2.5. Tập Julia đầy 0.75R- có màu trắng (bên phải); Tập Julia đầy 2 1( ) 1Q z z- = - có màu trắng (bên trái) ...................................... 32 Hình 2.6. Thành phần liên thông lớn nhất trong U¢ tương ứng với tập Julia đầy của ( ) cosf z z= p hạn chế lên U¢ ....................................... 32 Hình 2.7. Tập Julia đầy của 0c Q , với 0 1.76 0.01c i. - + ........................... 33 Hình 2.8. Trái: Hình thỏ Douady hay tập Julia đầy của ( )1 2 1cQ z z c= - có màu trắng, với 1 0.122 0.745c i= - + Phải: Ảnh phóng to của tập Julia đầy của 0c Q quanh điểm tới hạn. Bản sao của tập thỏ Douady là tập Julia đầy của ánh xạ tựa đa thức ứng với 0 3 cQ ..... 33 Hình 3.1. Tập Mandelbrot ........................................................................... 45 Hình 3.2. Minh họa cho hệ quả 3.5 ............................................................. 61 Hình 3.3. Bản sao của tập Mandelbrot trong mặt phẳng tham số của   coszf z  ............................................................................ 63 1 MỞ ĐẦU Tập Mandelbrot là tập các số phức c sao cho dãy { } 0 (0)nc nQ ³ bị chặn, với 2 cQ z c= + . Tập này có quan hệ mật thiết với tập Julia và được đặt tên theo nhà toán học Benoit Mandelbrot. Tập Mandelbrot, sau đó đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học và hình ảnh của nó có sức hấp dẫn không chỉ trong lĩnh vực toán học mà còn trong lĩnh vực nghệ thuật. Được mệnh danh là “dấu vân tay của Chúa”, tập hợp này trở thành một ví dụ tiêu biểu cho cấu trúc phức tạo nên từ những quy tắc đơn giản và nó là một trong những hình fractal nổi tiếng nhất. Việc nghiên cứu địa phương các ánh xạ chỉnh hình lặp trong lân cận của điểm bất động được phát triển mạnh vào cuối thế kỷ 19. Lĩnh vực này sau đó được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới như Pierre Fatou, Gaston Julia, S. Lattes, J.F Ritt, Việc nghiên cứu các phép lặp của hàm đa thức đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu phép lặp các hàm phức tổng quát. Khởi đầu với nghiên cứu của Sullivan, tính khả tích của cấu trúc phức đo được đã mang đến rất nhiều ứng dụng cho động lực phức. Chúng ta có thể gặp những bản sao của tập Mandelbrot trong nhiều hệ động lực giải tích phức. Một trong những kết quả giải thích cho tính phổ dụng của tập Mandelbrot là lý thuyết ánh xạ tựa đa thức và họ tựa Mandelbrot của Douady và Hubbard. Lý thuyết này chỉ ra rằng sự hiểu biết về đa thức không chỉ hấp dẫn mà còn giúp ta hiểu biết lớp rộng hơn nhiều các hàm mà về địa phương tương đương với đa thức. Luận văn “Tìm hiểu bước đầu về động lực phức của các ánh xạ tựa đa thức” nêu ra một số kết quả liên quan đến ánh xạ tựa đa thức như tập Julia và tập Fatou của các ánh xạ tựa đa thức, mối liên hệ của ánh xạ tựa đa thức với đa thức, đặc trưng của họ tựa Mandelbrot và các bản sao đồng phôi của tập 2 Mandelbrot. Công cụ nghiên cứu động lực phức cổ điển được sử dụng bởi Fatou và Julia là mêtric Poincare, bổ đề Schwarz và định lý Montel cho họ chuẩn tắc. Định lý đơn trị hóa và định lý Caratheodory là công cụ chính để nghiên cứu tôpô của tập Julia và tập Fatou. Ngoài ra việc nghiên cứu còn sử dụng phép biến hình tựa bảo giác, phương trình Beltrami và định lý Ahlfors – Bers. Cụ thể, luận văn gồm các phần sau đây: - Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại một số khái niệm và định lý của hệ động lực phức, không gian phủ và ánh xạ tựa bảo giác. - Chương 2: Ánh xạ tựa đa thức. Chương này trình bày về khái niệm ánh xạ tựa đa thức và một số ví dụ minh họa. Ngoài ra, chương này còn giới thiệu tập Julia và tập Fatou của ánh xạ tựa đa thức và mối quan hệ tương đương, liên hợp giữa các ánh xạ. Trọng tâm của chương là định lý Straightening, nói về mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đa thức và các đa thức thực sự. - Chương 3: Không gian tham số của họ các ánh xạ tựa đa thức. Chương này trình bày một số kiến thức về họ giải tích các ánh xạ tựa đa thức bậc 2d ³ . Nội dung chính của chương mô tả sự phụ thuộc liên tục, phụ thuộc giải tích của họ ánh xạ tựa đa thức vào không gian tham số. Chương này cũng nêu ra khái niệm họ tựa Mandelbrot và tính chất của nó. Phần cuối của luận văn tổng kết lại các kết quả chính đã thu được về ánh xạ tựa đa thức và danh mục các tài liệu tham khảo. 3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ giải tích và ánh xạ bảo giác Định nghĩa 1.1.1: Một hàm f được gọi là giải tích thực trên một tập mở D Ì  nếu với mọi ox DÎ ta có thể viết 0 ( ) ( )nn o n f x a x x ¥ = = -å trong đó na Î  và chuỗi hội tụ về ( )f x với x thuộc một lân cận của ox . Định nghĩa hàm giải tích phức (chỉnh hình) được phát biểu tương tự bằng cách thay thế từ “thực” bằng “phức” và “ ” bởi “ ”. Tập hợp các hàm chỉnh hình trên D được ký hiệu là ( )O D . Định nghĩa 1.1.2: Cho M là một đa tạp phức. Một tập con A MÌ được gọi là tập giải tích (phức) của M nếu A là tập đóng và với mọi 0x AÎ tồn tại một lân cận U của 0x và các hàm chỉnh hình 1,..., ng g thuộc ( )O U sao cho { }1: ( ) ... ( ) 0NA U z U g z g zÇ = Î = = = Như vậy một tập giải tích (phức) được định nghĩa một cách địa phương là tập các không điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình. Định lý 1.1.3 Cho D là tập mở khác rỗng trong  . Một hàm khả vi thực :f D ¾¾® là hàm chỉnh hình trong D nếu và chỉ nếu ( ) 0 f c z ¶ = ¶ , c D" Î . Trong trường hợp này, f z ¶ ¶ trùng với f ¢ của f trong D . Định lý 1.1.4 (Nguyên lý phản xạ Schwarz) Giả sử F là một hàm liên tục trên nửa mặt phẳng trên đóng 4 { }: Im 0z zÎ ³ , chỉnh hình trên nửa mặt phẳng trên { }: Im 0z zÎ > , nhận giá trị thực trên trục thực. Khi đó công thức mở rộng ( ) ( )F z F z= cho một thác triển giải tích trên toàn mặt phẳng phức. Lưu ý, nguyên lý này có thể áp dụng với các đĩa đơn vị vì tồn tại đẳng cấu chỉnh hình giữa nửa mặt phẳng trên với đĩa đơn vị. Định nghĩa 1.1.5: Cho G là một miền trong  . Hàm số :f G ¾¾® được gọi là ánh xạ bảo giác tại 0z GÎ nếu nó có các tính chất: a) Bảo toàn góc và bảo toàn hướng tại 0z b) Có 0k > sao cho 0 0 0 ( ) ( ) lim z z f z f z k z z® - = - f được gọi là bảo giác trong G nếu nó bảo giác tại mọi điểm trong G. Định nghĩa 1.1.6: Miền 1G gọi là tương đương bảo giác với miền 2G nếu có một ánh xạ 1:f G ¾¾® chỉnh hình 1 1- và 1 2( )f G G= . Định lý 1.1.7 Nếu f chỉnh hình và f ¢ khác 0 trên G thì f bảo giác trên G. Ngược lại, nếu f bảo giác trên G thì f chỉnh hình và f ¢ khác 0 trên G. Định nghĩa 1.1.8: Cho D là tập mở khác rỗng trong  . Hàm chỉnh hình ( )f O DÎ được gọi là ánh xạ song chỉnh hình từ D lên D¢ nếu : ( )D f D¢= và ánh xạ :f D D¢¾¾® có ánh xạ ngược 1 :f D D- ¢¾¾® là hàm chỉnh hình trong D. Một ánh xạ :f D ¾¾® được gọi là song chỉnh hình địa phương tại c DÎ nếu có một lân cận U của c trong D sao cho ánh xạ hạn chế : ( )Uf U f U¾¾® là ánh xạ song chỉnh hình. Định lý 1.1.9 Cho :f D ¾¾® là một ánh xạ chỉnh hình. Khi đó f là song chỉnh 5 hình địa phương tại c DÎ nếu và chỉ nếu ( ) 0f c¢ ¹ (tức là f bảo giác tại c). Định lý 1.1.10 Cho ( )f O DÎ là hàm khác hằng gần c DÎ . Khi đó có một lân cận U của c trong D, một ánh xạ song chỉnh hình :u U E¾¾® với ( ) 0u c = và một ánh xạ tuyến tính v từ E lên đĩa V với ( )f U V= và (0) ( )v f c= sao cho ánh xạ cảm sinh :Uf U V¾¾® được phân tích như sau: nu z z vU E E V¾¾® ¾¾¾¾® ¾¾® với : ( , )n f c= n Như vậy một ánh xạ chỉnh hình khác hằng về địa phương có thể xem như là ánh xạ , nE E z z¾¾®  gần 0. Mệnh đề 1.1.11  Mọi song ánh chỉnh hình :f  ¾¾® đều là ánh xạ affine, nghĩa là ( )f z az b= + với { } * \ 0 , a bÎ = Î   .  Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng phức mở rộng thì f là hàm hằng.  Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng phức mở rộng ngoại trừ một cực điểm hữu hạn 0z cấp m thì ( ) ( ) 1 1 1 0 00 0 ( ) ...m mm m a a a f z a z zz z z z - - + - -= + + + +-- -  Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trên mặt phẳng phức mở rộng ngoại trừ một cực điểm ¥ thì f là đa thức ( ) 11 1 0..m mm mf z a z a z a z a- +- - + -= + + + + 1.2. Ánh xạ tựa bảo giác Ánh xạ tựa bảo giác được giới thiệu bởi Grötzsch (1928) và được đặt tên bởi Ahlfors (1935), là một đồng phôi giữa các miền phẳng mà đạo hàm cấp một biến các đường tròn nhỏ thành các ellip nhỏ có tâm sai bị chặn. Một cách 6 trực quan, các ánh xạ bảo giác bảo toàn độ lớn và hướng của góc. Một ánh xạ là tựa bảo giác nếu ta kiểm tra được “độ méo mó” của góc bị chặn, ngay cả khi độ lớn các góc này không được bảo toàn. Cho :f D D trong đó D và D′ là hai miền trong  . Giả sử f có đạo hàm cấp một liên tục, nghĩa là 1f CÎ . Ta sử dụng ký hiệu dz dx idy= + , d z dx idy= - và 1 ( ) 2z x y f f if= - , 1 ( ) 2 x yz f f if= + Nếu ( )w f z= ta cũng viết z zdf dw f dz f d z= = + Jacobi fJ của f được cho bởi 22 f z zJ f f= - Như vậy f bảo toàn hướng nếu và chỉ nếu zzf f< . Ta định nghĩa hệ số co dãn fm= m của f bởi z z f f m= m còn được gọi là hệ số Beltrami của f và phương trình zzf f= m là phương trình Beltrami. Nhận xét rằng 1m< nếu f bảo toàn hướng và 0m= nếu và chỉ nếu f bảo giác. Vì f khả vi trong D , ánh xạ tiếp xúc tại zDf biến một elip nhất định trong không gian tiếp xúc tại z DÎ thành một đường tròn trong không gian tiếp xúc tại ( )f z . Như vậy có thể liên kết f với trường elip vô cùng nhỏ trong D bằng cách gán mỗi z DÎ với một elip mà được biến thành một đường tròn bởi ánh xạ tiếp xúc ứng với f . Argument của trục lớn của elip vô cùng bé tương ứng với f tại z là arg( ) 2 2 p m + và tâm sai (eccentricity) là 7 1 1 z z z z f f f f - - m = + m+ Từ các mối liên hệ này, ta liên kết m bất kỳ thỏa 1m< với một trường elip vô cùng bé, nghĩa là, một sự lựa chọn hướng và tâm sai tại mỗi điểm. Khi đó giải phương trình zzf f= m tương đương với việc tìm f có trường elip tương ứng trùng với trường elip liên kết với m. Ta định nghĩa độ co dãn của f tại 0z , ( )oK z , như là thương của độ dài trục lớn trên độ dài trục nhỏ của elip này. Độ co dãn của f tại một điểm z được định nghĩa bởi 1 ( ) ( ) 1 ( ) o o o z K z z + m = - m và 1 sup ( ) 1z D K K z Î + m = = - m được gọi là độ co dãn của f. Nếu j là ánh xạ bảo giác thì ( ) ( )f fz zjm = m '( ) ( ) ( ( )) '( )f f z z z zj j m = m j j Như vậy, sự hợp thành sau của một ánh xạ tựa bảo giác với một ánh xạ bảo giác không làm thay đổi m. Đây chính là điều ta mong đợi vì một ánh xạ như thế không phụ thuộc vào elip nào được biến thành đường tròn. Mặt khác, hợp thành trước một ánh xạ tựa bảo giác với một ánh xạ bảo giác có thể thay đổi hướng nhưng không thay đổi tâm sai của một elip như thế (được biểu diễn như trong phương trình (1) ở trên). (1) 8 Nếu f và g là các đồng cấu tựa bảo giác trơn trên các mặt cầu ¥ có các hệ số Beltrami trùng nhau thì g f= j  với j là một ánh xạ Mobius nào đó. Thật vậy 1g f - biến các đường tròn vô cùng nhỏ thành các đường tròn vô cùng nhỏ, do đó 1g f - ánh xạ bảo giác từ ¥ vào chính nó. Tổng quát, tính khả vi của f có thể được thay thế bởi điều kiện yếu hơn là f thuộc không gian Sobolev  1,2W D các hàm có các đạo hàm suy rộng cấp một thuộc  2L D . Trong trường hợp này, f được gọi là nghiệm yếu của phương trình Beltrami. Khi  bằng 0 hầu khắp nơi, mọi đồng phôi trong  1,2W D mà là nghiệm yếu của phương trình Beltrami là ánh xạ bảo giác. 1.3. Phép lặp Định nghĩa 1.3.1: Phép lặp của ánh xạ f là 2f f f=  ,, 1n nf f f-=  khi 3, n n³ Î  . Cho điểm 0z , dãy { }nz xác định bởi 0 1( ), 1n n z z f z n- ì í = ³î được gọi là quỹ đạo (tiến) của f . 0z gọi là điểm tới hạn của hàm f nếu f không đơn ánh trên mọi lân cận của 0z . Khi đó 0( )f z được gọi là giá trị tới hạn của f . Điểm z gọi là điểm tuần hoàn của ánh xạ f nếu nó là điểm bất động của phép lặp mf nào đó. Với một điểm z như thế có một số nguyên dương n mà 2 1, ( ), ( ),..., ( )nf f f -z z z z (2) khác nhau đôi một nhưng ( )nf z = z . Tập hợp hữu hạn gồm n điểm trong (2) được gọi là vòng tuần hoàn (chu trình) của z và số nguyên n được gọi là chu 9 kì của z . Ta có điểm bất động của f là điểm của chu kì 1. Mệnh đề 1.3.2 Giả sử zÎ  là một điểm bất động của hàm giải tích f . Khi đó z là: a) Điểm bất động hút nếu ( ) 1f ¢ z < b) Điểm bất động đẩy nếu ( ) 1f ¢z > c) Điểm bất động trung hòa (cân bằng) nếu ( ) 1f ¢z = . Một điểm tuần hoàn z với chu kì n được phân loại như điểm bất động của nf . Hơn nữa, do tính liên hợp, ta có thể giả thiết rằng chu trình không chứa ¥ và ta viết: ( )mm fz = z , m = 0, 1, 2 Nếu m n m+z = z , áp dụng n lần quy tắc hàm hợp, ta có: ( ) ( ) 1 1 0 0 ( ( )) ( ) n n n k m m k k k f f f f - - = = ¢ ¢ ¢z = z = zÕ Õ Ở đây, tích thứ hai có được do sự sắp xếp lại tích thứ nhất. Lý luận này cho thấy rằng, đạo hàm( )nf ¢có giá trị như nhau tại mỗi điểm jz của vòng tuần hoàn và vì vậy mỗi điểm jz được phân loại theo cùng một cách như điểm kz bất kì khác trong vòng tuần hoàn. Từ điều này ta có thể đưa ra sự phân loại các vòng tuần hoàn như vòng tuần hoàn đẩy, hút, trung hòa 1.4. Tập Fatou và tập Julia Cho R là hàm hữu tỉ khác hàm hằng. Tập Fatou của R , ký hiệu ( )F R , là tập con mở tối đại của ¥ mà trong đó { }nR liên tục đồng bậc. Tập Julia của R , ký hiệu ( )J R , là phần bù của tập Fatou của R trong ¥ . Từ định 10 nghĩa này ta có: ( )F R mở và ( )J R compact. Cho điểm bất động hút z của R , thành phần của tập Fatou ( )F R chứa z được gọi là đáy địa phương hoặc đáy tức thời của z . Tổng quát hơn, đáy địa phương của vòng tuần hoàn hút { }1 2, ,..., qz z z là hợp của những thành phần phân biệt 1 2, ,..., qF F F của ( )F R . 1.5. Không gian phủ và phép nâng 1.5.1. Không gian phủ Cho X là một không gian tôpô. Không gian phủ của X là không gian T cùng với một toàn ánh liên tục :p T X¾¾® sao cho với mọi x XÎ có một lân cận mở U của x thỏa 1( )p U- là hợp các tập mở phân biệt trong T, mà mỗi tập mở này được ánh x