Luận văn Tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------------- Lê Phước Toàn TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------------- Lê Phước Toàn TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LÔØI CAÛM ÔN Tröôùc heát qua luaän vaên naøy em xin baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán PGS.TS. Nguyeãn Bích Huy, ngöôøi thaày ñaõ taän tình höôùng daãn vaø giuùp em tích luõy nhöõng kieán thöùc boå ích ñeå hoaøn thaønh luaän vaên. Trong suoát quaù trình hoïc taäp, em ñaõ nhaän ñöôïc nhöõng kieán thöùc quyù baùu töø caùc thaày coâ trong khoa Toaùn -Tin tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm Tp. HCM vaø tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, cuõng qua luaän vaên naøy em xin ñöôïc ñoàng kính göûi ñeán caùc thaày coâ loøng tri aân thaønh kính nhaát. Cuoái cuøng, em xin chaân thaønh caûm ôn caùc thaày coâ laøm vieäc taïi phoøng KHCN-SÑH ñaõ giuùp em raát nhieàu trong quaù trình hoïc taäp vaø khi thöïc hieän luaän vaên naøy. ***************** Leâ Phöôùc Toaøn MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào nữa đầu thế kỷ XX, lý thuyết các không gian trừu tượng: không gian metric, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tôpô và tuyến tính tôpô đã được hình thành. Tiếp đó, lý thuyết toán tử tuyến tính xuất hiện và đã tìm ngay được những ứng dụng quan trọng trong: Phương trình vi phân thường, Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình tích phân, Vật lý lý thuyết và cả trong một số lĩnh vực kỹ thuật. Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ nhưng năm 1950 và được hoàn thiện cho tới ngày nay. Tính chất phổ được nghiên cứu cho nhiều lớp toán tử tuyến tính dương bằng các phương pháp khác nhau, bởi các nhà toán học từ nhiều nước. Việc tập hợp các kết quả này lại và trình bày chúng theo một hệ thống hoàn chỉnh là việc làm cần thiết. 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nhằm sử dụng quan hệ thứ tự và tính chất phổ của các toán tử tuyến tính dương để nghiên cứu sự tồn tại giá trị riêng  tương ứng với vectơ riêng x0 của bài toán tổng quát sau: “Cho C là một tập hợp con của một không gian. E,u là một toán tử tuyến tính dương từ C vào X với những điều kiện nào trên C,X và u để có thể khẳng định sự tồn tại của một vectơ riêng x0 tương ứng với giá trị riêng  sao cho u x0 =  x0”. Luận văn này chủ yếu là trình bày những ứng dụng trên không gian vectơ tôpô được sắp thứ tự để nghiên cứu về tính chất phổ của các toán tử tuyến tính dương, compắc, toán tử u0- bị chặn, toán tử tuyến tính không phân tích được. Chúng ta giả sử rằng đã biết các vấn đề cơ bản nhất về đại số của các toán tử trên một không gian Banach; Chương I liệt kê một số chi tiết những gì cần trong việc trình bày tiếp theo. Chương II được dành cho sự bắt tay vào nghiên cứu vấn đề phổ của toán tử tuyến tính dương. Chương III dành cho nghiên cứu về phổ của toán tử u0 – bị chặn. Cuối cùng chương IV dành riêng cho vấn đề phổ của toán tử tuyến tính không phân tích được. Chương 1: PHỔ CỦA ÁNH XẠ - KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 1.1 Các tính chất cơ bản của giải thức Giả sử (E,.) là một không gian Banach phức và ký hiệu L(E) là đại số Banach những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E với chuẩn thông thường u u=sup{u(x): x 1}.Nếu u L(E) thì phổ  (u) là phần bù trong C của tập mở lớn nhất  (u) mà trong đó ( e-u)-1 tồn tại và là hàm giải tích địa phương. Ở đây và trong các phần tiếp theo e là ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất của L(E). Cho    (u), chúng ta đặt ( e-u)-1 = R( );R( ) gọi là giải thức,  (u) gọi là tập giải thức của u. Giả sử rằng E {0} khi đó  (u) là tập con Compact không rỗng của C bán kính r(u) của đường tròn nhỏ nhất tâm O trong C chứa  (u) được gọi là bán kính phổ của u; tập { C:| |= r(u)}, được gọi là đường tròn phổ của u. Hơn nữa, nếu    (u) và    (u) thì có phương trình giải thức: R( )-R( )= - ( - )R( ).R( ) (1). Ở đây chúng ta ký hiệu hợp u0v của u,v  L (E) bằng uv. Theo định lý về ánh xạ ngược của Banach, phổ  (u) có thể định nghĩa là tập hợp của những C để  e-u không là song ánh. Từ xem xét này chúng ta có kết quả như sau: Định lý: Giả sử u  L (E) với E là một không gian Banach phức và giả sử rằng { n:nN} là một dãy con trong  (u) hội tụ tới  C, thì   (u), khi và chỉ khi limn R( n) = +  . Chứng minh (=>) Giả sử  n n   và   (u) khi đó  e – u không khả nghịch trong L (E). Suy ra nlim R( )n    . ( )Để chứng minh điều kiện cần ta giả sử rằng tồn tại một dãy con { n} của dãy { n} sao cho {R( n):nN} là bị chặn, do (1) ở trên ta có: với m > n. R( n)- R( m) = - ( n-  m) R( n) R( m) m,n N. Suy ra n mlim R( ) R( ) 0n     do lim nn    . Từ đó suy ra {R( n):n N } là dãy Cauchy trong L (E) và do đó hội tụ tới  nào đó ,   L (E) . Điều đó nghĩa là n nlim R( )( e - u) ( e - u) = en      . và tương tự ta có ( e-u)  =e , suy ra (e-u) khả nghịch trong L (E) Do đó :   (u) điều này mâu thuẩn. Vậy nlim R( )n    . Tập hợp con của  (u) nơi mà trong đó( e-u) không là đơn ánh được gọi là phổ điểm (u) của u .Một phần tử 0 (u) được gọi là một giá trị riêng của u, không gian hạch (hạt nhân) của (0e - u) gọi là không gian riêng tương ứng ký hiệu N(0). Số chiều của N(0) được gọi là số bội (hình học) của0 và các phần tử khác không của N(0) gọi là vectơ riêng của u tương ứng với giá trị riêng 0 , mỗi vectơ riêng x này là 1 nghiệm của phương trình ux = 0x. Phổ điểm của u bao gồm tất cả các cực của giải thức R. Giả sử 0 là một cực của R và R() = k n    ak( - 0 )k (a-n  0) (2). là khai triển Laurent của R ở lân cận của 0. Số nguyên n (n  1) là bậc của cực 0, tổng riêng phần của (2) kéo dài từ k = - n tới k = -1 gọi là phần chính của khai triển; a-n gọi là hệ số đầu tiên, và a-1 gọi là thặng dư của R tại  = 0 . Nhân (2) với ( e-u) = (0 e-u)+ ( - 0) e và so sánh các hệ số trong đồng nhất thức nhận được (theo định lý duy nhất cho các hàm giải tích), chúng ta có được: a-n (0 e-u)= (0 e-u) a-n = 0 và a-n = a-1(u-0 e)n-1. hiển nhiên hệ số ak giao hoán với u. Những mối quan hệ này cho ta thấy rằng 0 thuộc  (u); cụ thể hơn, hệ số a-1 là 1 phép chiếu của E lên trên không gian hạch của (0 e-u)n không gian này chứa N(0). Ngoài ra cho chúng ta nhớ lại rằng nếu u Compact thì giải thức R là 1 hàm chỉnh hình trên hình cầu Riemann bị đâm thủng tại 0 (một cách xác định tổng quát, R()=0) vì vậy nếu u compact thì  (u) là một tập hợp đếm được với 0 có thể là điểm tụ duy nhất, và mỗi một số khác không  (u) là một giá trị riêng của u có số bội hữu hạn. Cuối cùng, nếu u L (E) và ||  r (u) giải thức của u được cho bởi R() = 0n     -(n+1) un (3). (uo=e); (3) là khai triển của R tại  và được gọi là chuỗi C-Newmann. Theo tiêu chuẩn Cauchy cho sự hội tụ của các chuỗi luỹ thừa ta suy ra: r (u) = lim sup un 1/n một cách chính xác hơn r(u) = limnun 1/n Trong trường hợp r (u) = 0, u được gọi là lũy linh tôpô của đại số Banach L (E); hiển nhiên u là một lũy linh tôpô nếu và chỉ nếu  (u) ={0} hoặc tương đương, nếu và chỉ nếu giải thức R (với R()=0) là một hàm số nguyên của  -1. Nếu E là một không gian Banach trên và u  L (E), phổ thực  R(u) được xác định như tập hợp con của R nơi mà trong đó ( e-u) không là song ánh; một cách tương tự, chúng ta có thể xác định giải thức thực của u như là hàm số  ( e-u)-1 với miền xác định R\ R(u) (có thể xảy ra R(u) là trống như ví dụ một phép quay quanh gốc của mặt phẳng Euclidean R2 ). Chúng ta sẽ xét quá trình phức hóa không gian Banach thực như sau: Giả sử (E,.) là một không gian Banach trên R. Sự phức hóa E1 của E là một không gian định chuẩn đầy đủ trên C. Nếu chúng ta muốn có một chuẩn trên E1 sao cho phép nhúng của E và trong E1 là một phép đẳng cự ta định nghĩa: 1 0 2 x + iy = ( os )x + (sin )ysup c       Mọi uL (E) có một sự mở rộng phức duy nhất u  L (E1) được xác định bởi u (x+iy) = u(x) + iu(y) với mọi x,yE. Trong trường hợp E là một không gian Banach thực và u L (E) chúng ta xác định phổ, giải thức, bán kính phổ của u là những đối tượng tương ứng cho u như đã xác định ở trên. Thỉnh thoảng để thuận tiện ta đồng nhất u với sự mở rộng phức của nó u . Dễ dàng nhận thấy rằng với u L (E), chúng ta có R(u) = (u) và với   \R(u) giải thức thực của u là sự thu hẹp của giải thức của u trên E (được xem như là một không gian con thực của E1) và bán kính phổ r (u) là số thực nhỏ nhất   0 sao cho với | |  ,   chuỗi (3) hội tụ trong L (E). 1.2 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 1.2.1 Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.2.1.1 1) Tập K trong không gian Banach thực X gọi là nón nếu i) K là tập đóng ii) K + K  K,  K  K,    0 iii) K  (-K) = { } 2) Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi x  y  y – x  K Mỗi xK\ { } gọi là dương. Mệnh đề 1.2.1.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón Khi đó: 1) x  y  x+ z  y+ z ;  x   y  z  X,   0 2) (xn  yn (n  N*), lim xn = x, lim yn = y)  x  y 3) Nếu { xn } là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x ( n  N*) Chứng minh 2) Suy từ tính chất đóng của K 3) Cho m  trong bất đẳng thức xn  xn+m 1.2.2 Nón chuẩn Định nghĩa 1.2.2.1: nón K gọi là nón chuẩn nếu:  N > 0 : x y    x  N y. Mệnh đề 1.2.2.2: Giả sử “” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn khi đó 1) Nếu u  v thì đoạn := {xX: u  xv } bị chặn theo chuẩn 2) Nếu xn  yn  zn (n N*) và lim xn =a, lim zn =a thì lim yn =a 3) Nếu { xn } đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim xn =a, Chứng minh 1)  x    x-u  v-u  x-u  N u-v  x  u + N u-v 2)   yn - xn  zn - xn  yn - xn  N zn - xn 3) Coi { xn } tăng và nlim x = akk Vì xn  x kn (n cố định, k đủ lớn) nên xn  a  n  N* Cho 0  , chọn k0 để k 0 nx -a /N thì ta có:  n > n 0k  a- xn  a- xn 0k  a- xn  N a- xn 0k <  Chương 2: TÍNH CHẤT PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 2.1 Toán tử tuyến tính dương Cho không gian Banach X có thứ tự sinh bởi nón K. Một ánh xạ tuyến tính A:XX được gọi là dương nếu  x > ( )A x   hay A (K) K Nếu A là tuyến tính dương thì nó cũng có tính đơn điệu x  y A(x)  A(y). 2.2 Định lý Pringsheim’s Giả sử E là một không gian Banach được sắp thứ tự trên C sao cho nón dương C là chuẩn yếu. Nếu an C (n=0;1;.) và nếu 0  anzn có bán kính hội tụ 1, thì hàm giải tích biểu diễn bởi chuỗi luỹ thừa có kỳ dị tại z=1. Ngoài ra, nếu điểm kỳ dị là cực điểm thì nó có cấp lớn nhất trên |z|=1. Chứng minh Cho f là hàm (với giá trị trong E) được cho bởi f(z) = 0  anzn khi |z|<1và giả sử bán kính hội tụ của chuỗi là 1. Cho x’ là dạng tuyến tính thực liên tục trên E ; r x’ là bán kính hội tụ của chuỗi 0  tn trong đó t là số thực, là  1. Hơn nữa ta có inf { r x’ : x’D} = 1, trong đó D là tập hợp của tất cả những dạng tuyến tính thực liên tục trên E, không âm trên C. Thật vậy nếu chúng ta có inf { r x’ : x’D} =  >1 thì chuỗi 0  antn sẽ hội tụ trong E với mọi t: - < t <  . Do tính chất “chuẩn” của C kéo theo E0 = D-D, trong đó E0 là không gian thực nền tảng của E. Vì vậy zf(z) sẽ có sự mở rộng chỉnh hình lên đĩa mở |z|< điều này là mâu thuẫn. Giả sử p, 0<p<1 là cố định, cho x’D và xác định bk= ( )nk n k    pn-k an với k=0,1 Do cho p< t <1 nên ta có 0  tn = 0  ((t-p)+p)n = = + (t-p)+ p + (t-p)2+ 2 (t-p)p+p2. = + p+p2++[+2p +3p2+...](t-p)+ [+3p+.](t-p)2+ [+.] (t-p)3 +. = + (t-p) + (t-p)2+ . = 0n    (t-p)n tất cả các số hạng trong 3 chuỗi 0  tn = 0  ((t-p)+p)n = 0  (t-p)n là không âm, ta suy ra chuỗi 0  (t-p)n có bán kính hội tụ r x’ -p và do đó chuỗi 0  bn(t-p)n có bán kính hội tụ 1-p. Bằng một sự kết luận tương tự lý thuyết hàm giải tích,điều này dẫn đến rằng z=1 là điểm kỳ dị của f. Bây giờ giả sử rằng điểm kỳ dị của f tại z=1 là một cực có cấp k. Nếu  =expi là số phức bất kỳ có môđum là 1, và nếu z = t ,0<t<1, chúng ta có p 1 lim (| z |) | z - | 0 t f   với mọi p>k ; Do C là một nón chuẩn yếu, điều này suy ra, với bất kỳ p>k thì (1-t)p 0  (tn cos n )an, (1-t)p 0  (tn sin n )an hội tụ đến 0 đối với tôpô  (E,E’) khi t1. Vì vậy nếu  là một cực của f bậc m, ta suy ra m k và định lý được chứng minh. 2.3. Một số tính chất phổ của toán tử tuyến tính dương Định lý 2.3.1: Giả sử E là một không gian Banach phức có thứ tự khác {0} với nón dương C sao cho C là chuẩn và E=C-C. Với bất kỳ sự đồng cấu dương u của E, bán kính phổ r (u) là một phần tử của  (u). Chứng minh Do C là chuẩn và E=C-C nên tự đồng cấu dương u của E là liên tục. Nón H của những tự đồng cấu dương của E là chuẩn trong L (E) với tôpô chuẩn của L (E). Nếu r (u)>0 xét hàm z f(z) =R(r(u)/z). Theo công thức (3) chương 1 ta có f(z)= 0  (r (u)/z)-(n+1)un== 0  (z/ r (u))(n+1)un; f có điểm kỳ dị tại z=1 và r (u) là 1 cực của giải thức (giả thiết định lý) nên áp dụng định lý 2.2 với z f(z) ta được điều phải chứng minh. Nếu r (u) = 0 thì u là một luỹ linh tôpô,  (u)={0} và sự khẳng định là đúng. Định lý 2.3.2: Giả sử E là một (B)- không gian phức có thứ tự thoả mãn giả thiết của định lý 2.3.1 và u là một tự đồng cấu dương của E. Nếu   (u) thì R( ) là dương nếu và chỉ nếu  là thực và  > r (u). Chứng minh ( ) Rõ ràng rằng  > r (u) là đủ để R( )= 0n     -(n+1)un  0 (với thứ tự chính tắc của L(E)) do công thức (3) của chương 1. ( ) Giả sử R( )  0 với   (u) (cần chứng minh là số thực và  > r (u). Chọn một x0 >0 và xác định một cách đệ quy xn = R( ) xn-1 (n ) . Mỗi một xn thoả mãn quan hệ sau.  xn= R( )xn-1 = 0n    1( )n nnu x  = 0 1 0 ( )nu x   + 1n    1( )n nnu x  = xn-1 + 0n    1 1( )n nnu x   Hay  xn = xn-1 + u(xn ) (n ) (*) Hiển nhiên xnC với mọi n và hơn nữa xn >0 (nếu xn =0 với một n N dẫn đến x0 =0). Hơn nữa bằng phép quy nạp theo n từ (*) cho thấy  nxn  C và  n-1 xn C với mọi n N và do:  n xn =  ( n-1 xn)=  u( n-1 xn)+ n-1 xn-1   n-1 xn-1 Nên  n xn  n-1 xn-1  x0 (n N) Do đó  0 và chúng ta có thể giả định rằng | |= 1 vì nếu R( ) là dương tại  0 thì giải thức của | -1| u là dương tại | -1| . Giả sử  =expi , 0   0. Rõ ràng n   (mod 2 ) cho tất cả các số nguyên dương n, vì nếu không thì C sẽ không là một nón thực sự. Do đó tồn tại một số nguyên nhỏ nhất n0 > 0 sao cho tam giác với các đỉnh 1, expi (n0- 1) , expi n0 trong mặt phẳng phức có 0 nằm trong phần trong của nó. Xét không gian con thực duy nhất M của E có số chiều là 2 mà chứa những điểm 0nx , 0 01n nx  và 0 0n nx .Ta suy ra MC chứa 0 như một điểm trong, điều này mâu thuẫn với thực tế rằng C là một nón chính tắc, vì vậy  = 0 và do đó  > 0. Tới thời điểm này của phần chứng minh chúng ta mới sử dụng C như là một nón chính tắc  {0} . Giả sử rằng C là chuẩn và E=C-C, như trên, ta suy ra nón dương HL(E) là chuẩn. Nếu đúng là R( ) 0 với một  ,0<  r (u) thì theo phương trình giải thức (chương 1, công thức (1)) ta có: Với  > r (u) thì  > >0 suy ra R( )-R( ) 0 nên R( )R( ) 0 và do đó; do tính chuẩn của H , ta có { R( ): >r (u)} là một họ bị chặn trong L(E). Điều này rõ ràng mâu thuẫn với trên và do đó ta suy ra > r (u). Chú ý: chứng minh ở trên cho thấy rằng mỗi khi E là một không gian Banach có thứ tự với nón dương C  {0} và u là một toán tử dương (tự đồng cấu liên tục) của E thì R( )0 kéo theo  >0. Định lý 2.3.3: Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón dương toàn phần C và giả sử rằng u là một tự đồng cấu dương liên tục của E mà giải thức của u có một cực trên đường tròn phổ | |= r (u). Khi đó r (u)  (u) và nếu r (u) là một cực của giải thức thì nó có bậc lớn nhất trên đường tròn phổ. Chứng minh Do C là nón thực sự, đóng, toàn phần trong E, nón đối ngẫu của nó C’ có những tính chất tương tự đối với  (E’,E) và do đó G =C’-C’ là một không gian con trù mật của đối ngẫu yếu E’ . Nếu F ký hiệu cho không gian (E,  (E,G)) thì C là một nón chuẩn trong F. Ký hiệu bởi E1,F1 là sự phức hóa của E,F tương ứng. Chúng ta xét E1 là có thứ tự với nón dương C thì thứ tự chính tắc của L(E1) được xác định bởi nón dương. H = { L (E1):  (C) C}. Hơn nữa chúng ta sẽ đồng nhất u L (E) với sự mở rộng phức hóa của nó tới E1. Giả sử ta ký hiệu bởi L (E1,F1) là không gian của những ánh xạ tuyến tính liên tục từ E1 vào trong F1 với tôpô của sự hội tụ đơn trên C. Tồn tại một phép nhúng tự nhiên  của L(E1) vào trong L (E1,F1) là liên tục; để cho ký hiệu được đơn giản, chúng ta ký hiệu những ảnh của các phần từ và các tập hợp con của L(E1) qua  bởi chỉ số 0. Đầu tiên chúng ta chú ý rằng từ tính chuẩn của C trên F1, ảnh H 0 của nón H là chuẩn trong L (E1,F1). Bây giờ cho  ,| |= r (u) là một cực có bậc k (k1) của giải thức  R( ) của u và giả sử a  L(E1) là hệ số đầu tiên của phần chính tại  =  , đầu tiên có a = lim  ( - ) k R( ), do đó cũng có a0 = lim  ( - )kR0( ); Giả sử rằng r (u)  (u); thì   R( ) và ánh xạ   R0( ) sẽ giải tích tại  = r (u). Do các hệ số của khai triển R0( ) = 0n     -(n+1) u0n của R0 tại vô cùng là những phần tử của nón chuẩn H0. Định lý 2.2 suy ra rằng R0 có một sự mở rộng, với những giá trị trong sự bổ sung của L  (E1,F1) thành một ánh xạ giải tích trên | |>  trong đó: 0 <  < r (u). Trong trường hợp đặc biệt {R0( ):| |>r (u)} là một họ bị chặn trong L  (E1,F1). Hiển nhiên, điều này suy ra a0=0 và do đó a=0, điều này là mâu thuẫn. Vì vậy r (u)  (u). Để chứng minh khẳng định cuối cùng chúng ta chú ý rằng bất kỳ cực nào của   R( ) trên | |= r (u) là một cực cùng bậc của R0; Vì vậy khẳng định này được suy từ định lý Pringsheim’s (2.2) định lý được chứng minh. Hệ quả 2.3.4 (Krein-Rutman): Giả sử E là một không gian Banach thực có thứ tự với nón dương toàn phần C và giả sử u là một tự đồng cấu dương, compact của E. Nếu u có bán kính phổ r (u)>0 thì r (u) là một cực của giải thức có bậc lớn nhất trên đường tròn phổ, với một vectơ riêng trong C. Kết qủa tương tự cũng đúng cho liên hợp u’ trong E’. Chứng minh Do u là compact nên 0 (u) do đó chỉ những điểm kỳ dị khác 0 của tập giải là các cực và có ít nhất một điểm kỳ dị trên | |= r (u) (Thật vậy: giả sử u không có điểm kỳ dị trên | |= r (u) khi đó giải thức R( ) xác định   , | |= r (u) suy ra r (u)  (u) hay r (u) (u)  r (u) không là bán kính phổ). Do đó  = r (u) là một cực với bậc k(k1) nào đó của tập giải và chúng ta có P= ( ) lim r u ( - r (u)) k R( ) là hệ số đầu tiên của phần chính tương ứng. Từ R( )0 (với thứ tự chính tắc của L (E)) mỗi khi  > r (u) suy ra P 0, do nón dương của L (E) là đóng.Từ C là nón dương toàn phần trong E, tồn tại yC sao cho P(y)>0;Cho yC thoả P(y) 0. Từ đẳng thức (r (u)e-u)P= ( ) lim r u ( - r (u)) k ( e-u)R( ) = ( ) lim r u ( - r (u)) k = 0 Ta kết luận được r (u)P(y) = u(P(y))từ đó suy ra P(y) là một vectơ riêng trong C tương ứng với r (u). Cuối cùng, nếu u’ là liên hợp của u trong đối ngẫu mạnh E’, chúng ta có  (u)= (u’) và  R( )’ là giải thức của u’. Đặc biệt  R( )’ có một cực tại  = r (u’) = r (u) và chúng ta có sự khẳng định cho u’ bởi sự tương tự trong phần chứng m