Luận văn Tính ổn định của phương trình volterra vi tích phân tuyến tính trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ______________________ Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ______________________ Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ HOÀN HOÁ Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Để thực hiện thành công luận văn này tôi xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô thuộc hai trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên đã nhiệt tình giảng dạy cho tôi trong suốt khoá học, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cám ơn PGS. TS Lê Hoàn Hoá đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua, cám ơn các anh chị học viên lớp Giải tích K17 đã động viên giúp đỡ và cho nhiều ý kiến quý báu giúp tôi hoàn thiện luận văn này. Tác giả luận văn Nguyễn Thành Trung MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắc MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 1 Chương 1 : CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ .................... 4 Chương 2 : TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI ............................................................................................ 10 2.1. Định lý 2.1....................................................................................... 10 2.2. Định lý 2.2....................................................................................... 13 Chương 3 : ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN ............................ 19 3.1. Nghiệm -bị chặn.......................................................................... 19 3.2. Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận...................................................... 22 Chương 4 : ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN ............................................. 30 4.1. Áp dụng vào phương trình Volterra tổng quát hơn ........................ 30 4.2. Ví dụ 4.2.......................................................................................... 31 KẾT LUẬN ................................................................................................ 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 36 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Trong luận văn này, chúng tôi kí hiệu -  , XX không gian Banach với chuẩn X . - Với kí hiệu: J  + không gian các hàm liên tục trên J, nhận giá trị trên X. ( ; )C J X + ( ; )BC J X không gian con của gồm các hàm liên tục và bị chặn trên J. Khi đó ( ; )C J X ( ; )BC J X là không gian Banach với chuẩn sup J . - L(X) không gian Banach các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X với chuẩn ánh xạ tuyến tính . - AP( ;X) không gian các hàm :f X hầu tuần hoàn. 1 MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tôi xem xét các phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính:     0 ( )(E) ( ) , , : [0; ), tdu t Au t B t s u s ds t dt         ( )(E ) ( ) , , : ( ; ),tdv t Av t B t s v s ds t dt            0 ( )(P) ( ) , ( ), , tdu t Au t B t s u s ds p t t dt        ( )(P ) ( ) , ( ), ,tdv t Av t B t s v s ds p t t dt      trong đó: - A là phần tử sinh của nửa nhóm compact C0 các ánh xạ tuyến tính bị chặn trên không gian Banach X - B(t,s) ánh xạ tuyến tính bị chặn trên X thoả mãn hầu tuần hoàn theo t đều theo s - Trong trường hợp X là hữu hạn chiều, các tác giả trong [1], [2] đã đánh giá được mối liên hệ giữa tính ổn định của phương trình Volterra vi tích phân và phương trình giới hạn. Trong đó, nổi bật là tính ổn định tiệm cận đều và sự khả tích của ánh xạ giải (resolvent operator), ứng dụng để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm bị chặn của phương trình không thuần nhất. - Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi mở rộng nhiều kết quả trong [1], [2] cho trường hợp X là vô hạn chiều. Nếu theo con đường trong [1], [2] khi X vô hạn chiều, chúng ta sẽ gặp nhiều khó khăn, ví dụ như đánh giá tính khả tích của ánh xạ giải. 2 - Để giải quyết khó khăn trên, chúng tôi đưa ra những tính chất yếu hơn cho ánh xạ giải (định lý 2.1). Thật vậy, khi (E) là phương trình chập, nghĩa là ( , ) ( )B t s B t s  , tính chất yếu cho ta tính khả tích của ánh xạ giải, kết quả là chúng ta có thể đánh giá tính ổn đinh tiệm cận đều của (E) bằng tính khả tích của ánh xạ giải, cũng như bằng tính khả nghịch của ánh xạ đặc trưng (định lý 2.2). Do vậy, định lý 2.2 là sự tổng quát hoá các kết quả cho trường hợp X vô hạn chiều. Cuối cùng, bằng cách sử dụng tiêu chuẩn yếu của ánh xạ giải, chúng tôi đi đến những kết quả như sự tồn tại của nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận của phương trình không thuần nhất với phần tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.4), và các kết quả về phổ Borh của phần hầu tuần hoàn của nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.7). Các kết quả được trình bày trong luận văn này được tham khảo chủ yếu từ các bài báo, các công trình nghiên cứu của Hino, Y. và Murakami. Luận văn được chia làm các chương sau: Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa, các kết quả sơ bộ: mệnh đề và định lý phục vụ cho các chứng minh trong các chương sau. Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI Chương này chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để nghiệm không của (E) là ổn định (định lý 2.1), liên hệ giữa tính ổn định của nghiệm không của (E) và tính khả tích của ánh xạ giải R(t, s) (định lý 2.2) Chương 3: ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN Trong chương này, với giả thiết (E) ổn định tiệm cận đều, chúng tôi đi đến các kết quả như: Tính duy nhất của nghiệm -bị chặn của (định lý (P ) 3 3.1.1), công thức nghiệm -bị chặn của (P ) (định lý 3.1.2). Ngoài ra, khi đưa ra khái niệm hầu tuần hoàn tiệm cận và khái niệm về phổ Borh, chúng tôi đi đến kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm -bị chặn hầu tuần hoà tiệm cận và quan hệ phổ Borh của phần hầu tuần hoàn của nghiệm (định lý 3.2.7) Chương 4: ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN Trong chương này, chúng tôi xét thêm một phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính để thấy rõ các kết quả đã có vẫn áp dụng được vào phương trình này. Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu thêm một ví dụ về phương trình vi tích phân với điều kiện biên Neumann để thấy rỏ tính áp dụng của lý thuyết vừa nêu. 4 Chương 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Equation Chapter 1 Section 1 Xét các phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính:     0 ( )(E) ( ) , , : [0; ), tdu t Au t B t s u s ds t dt         ( )(E ) ( ) , , : ( ; ),tdv t Av t B t s v s ds t dt            0 ( )(P) ( ) , ( ), , tdu t Au t B t s u s ds p t t dt        ( )(P ) ( ) , ( ), ,tdv t Av t B t s v s ds p t t dt      Với A là phần tử sinh của nửa nhóm compact 0C  ( ) 0T t t  các ánh xạ tuyến tính trên không gian Banach X, B(t,s) là ánh xạ tuyến tính liên tục bị chặn, liên tục theo chuẩn ánh xạ với s t     và hầu tuần hoàn. 1.1 Định nghĩa 1.1. B(t, s) được gọi là hầu tuần hoàn biến t đều theo s nếu với mọi 0  và bất kỳ tập compact , tồn tại số dương 0 : ( ;0]J    0( , )l J sao cho mọi khoảng mở độ dài 0( , )l J chứa  thì 0B( , ) ( , ) , ,t t s B t t s t s J           . 1.2 Định nghĩa 1.2. Với bất kỳ  ( , ) [0; ];BC X    và  [ ; );p BC X  tồn tại duy nhất hàm thoả mãn u liên tục trên [:u X  , )  , ( ) ( ), [u 0, ]     và 5 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) , t s u t T t T t s B s u d p s ds t                   (1.1) Hàm u được gọi là nghiệm yếu của (P) theo ( , ) trên [ ; )    và kí hiệu là ( , , , )u p  Tương tự, với bất kỳ  ( , ) (- ; ];BC X     và  [ ; );p BC X  , ) tồn tại duy nhất hàm thoả mãn v liên tục trên [:v X   , ( ) ( ), (v , ]     và ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) , t s v t T t T t s B s v d p s ds t                     . (1.2) Hàm v được gọi là nghiệm yếu của (P ) theo ( , ) trên [ ; )    và kí hiệu là ( , , , )v p  1.3 Định nghĩa 1.3. Nghiệm không của (E) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ 0  , tồn tại ( ) 0   thoả mãn với mọi ( , ) ([0 ), ],BC    X và  [ ; );p BC X  nếu [0, ] ( )    và [ , ) ( )p    thì ( , , , ) Xu t p   với t  , trong đó [0, ] [0; ] sup ( ) X x s       1.4 Định nghĩa 1.4. Nghiệm không của (E ) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ 0  , tồn tại ( ) 0   thoả mãn với mọi ( , ) (( , ], )BC X     và  [ ; );p BC X  nếu ( , ] ( )     và [ , ) ( )p     thì ( , , , ) Xv t p   ) với t  , trong đó [- , ] [ ; ] sup ( ) X s x      6 1.5 Định nghĩa 1.5. Nghiệm không của (E) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu với bất kỳ 0  , tồn tại ( ) 0   thoả mãn với mọi ( , ) ([0, ], )BC    X nếu [0, ] ( )   thì ( , , ,0) Xu t    mọi t  . Hơn nữa, tồn tại 0 0  sao cho mỗi 0   tồn tại ( ) 0l    sao cho 0[0, ]  kéo theo ( , , ,0) Xu t    với t l( )   . 1.6 Định nghĩa 1.6. Nghiệm không của (E ) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu với bất kỳ 0  , tồn tại ( ) 0   thoả mãn với mọi ( , ) (( , ], )BC X     nếu ( , ] ( )   thì ( , , ,0) Xv t    ) mọi t  . Hơn nữa, tồn tại 0 0  sao cho mỗi 0   tồn tại ( )l 0   sao cho 0( , ]   kéo theo ( , , ,0)v t X   với ( )t l   . Bổ sung thêm một số điều kiện của (E) như tính hầu tuần hoàn của B(t, s), , ta có hai điều kiện sau: * 1(H ) sup ( , ) : t t B t s ds M      2(H ) Với mọi 0  ( ) 0S, tồn tại  sao cho ( ) sup ( , ) t S t B t s ds       .  Khi B(t, s) là chập, nghĩa là ( , ) ( )B t s B t s  , điều kiện , tương đương với tính khả tích của B(t), nghĩa là 1(H ) 2(H ) 0 ( )B t dt    . Mệnh đề bên dưới được trích từ [4, Định lí 3.11] xin không nêu lại chứng minh. 7 1.7 Mênh đề 1.7. Bốn mệnh đề sau đôi một tương đương i) Nghiệm không của (E) là ổn định ii) Nghiệm không của (E ) là ổn định iii) Nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều iv) Nghiệm không của (E ) là ổn định tiệm cận đều 1.8 Định nghĩa 1.8 Tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn ( , )R t  trên X sao cho ( , )R t  liên tục mạnh với t  ,  ,R t 0  nếu t  và    , ( ) ( , ) ( , ) ,t s ,R t x T t x T t s B s R xd ds t x X                   (1.3) Rõ ràng R(t, t) = I, ánh xạ đồng nhất. Chúng ta gọi ( , )R t  là ánh xạ giải (resolvent operator) của (E) Bây giờ, với ( ; ), , p BC X x X    đặt ( ) ( , , , )u u x p   trong đó u là nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ), t tdu t Au t B t s u s ds p t dt      (1.4) với ( )u x  1.9 Mệnh đề 1.9 Với mọi ( , )x X   và mọi ([ , ); )p BC X  nghiệm ( , , , )u x p của phương trình không thuần nhất (1.4) thoả ( , , ,u x )p x   được cho bởi công thức 8  , , , ( , ) ( , ) ( ) , tu t x p R t s x R t s p s ds t       (1.5) hay ( , , , ) ( , , ,0) ( , ,0, )u t x p u t x u t p    (1.6) Chứng minh Theo (1.1) ta có ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) , t u t T t x T t B s u s ds p d t                   Vì ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) , t R t x T t x T t B s R s xds d t                    nên ta có ( , ) ( , , ,0),R t s x u t x t   Với t  đặt ( ) ( , ) ( ) t z t R t s p s ds    Do  ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )t tz t T t s p s ds R t r p r T t r p r dr         9 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) t t s T t s B s R r p r d ds dr r r t s s T t s B s R r p r d dr ds r t s T t s B s R r p r dr d ds t s T t s B s z d ds                                                                    nên ta có: 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) t s z t T t s B s z d p s ds           Do vậy ( , ,0, ) ( , ) ( ) , t u t p R t s p s ds t     Vậy: ( , , , ) ( , ) ( , ) ( ) , t u t x p R t x R t s p s ds t        10 Chương 2 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI Equation Chapter 2 Section 1 Cho ( , ) ([0, ]; ) và ( ) : ( , , , )BC X u t u t p       là nghiệm yếu của 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , t t du t Au t B t s u s ds p t dt Au t B t s u s ds p t B t s s ds t                Theo mệnh đề 1.9 thì 0 ( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t u t p R t R t p B s s ds d                   s (2.1) với mọi , ( , )t R t là ánh xạ giải của (E). Tương tự, cho ( , ) (( , ]; ) và v( ) : ( , , , )BC X t u t p        là nghiệm yếu của ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , t t dv t Av t B t s v s ds p t dt Av t B t s v s ds p t B t s s ds t                  Theo mệnh đề 1.9 thì 0 ( , , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t v t p R t R t p B s s ds d                   s (2.2) với mọi , ( , )t R t là ánh xạ giải của (E). 2.1 Định lí 2.1 Nghiệm không của (E ) là ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận đều) nếu và chỉ nếu ánh xạ giải R(t, s) của (E) thoả mãn điều kiện: 11 [ , ] ( , ) ( , ) ( ) : , : sup ( ) ([ , ]; ), 1 t X t R t R t h d t M h C t X h                           (2.3) Từ đây và theo mệnh đề 1.7 điều kiện (2.3) tương đương với tính ổn định tiệm cận đều (tương ứng tính ổn định) của nghiệm không của (E) Chứng minh Trước hết, theo mệnh đề 1.7 thì tính ổn định tiệm cận đều và tính ổn định của nghiệm không của (E hay (E) là đôi một tương đương. ) ( ) Giả sử rằng nghiệm không của  (E ) là ổn định, chúng ta suy ra điều kiện (2.3). Với bất kỳ , 1x X x  đặt , 1[ ( ) 1] , khi ( ) 10 , khi n n s x s ns s n                . Khi đó ,sup ( ) 1n XXs s x      Do vậy , 1( , , ,0 , (1) n X v t t    (do tính ổn định tiệm cận đều của (E ) ) Theo (2.2) ta có , , 1 , 1 ( , ) ( , , ,0 ( , ) ( , ) ( ) 1 ( , ) ( , ) ( ) (1) t n n X X n X t n n X R t x v t R t B t s s dsd R t B t s s dsd                             12 Cho n ta có  1( , ) (1)X R t x  Do vậy 1( , ) (1) R t   Hơn nữa, với mọi [ , ] ([ , ]; ), 1 t h C t X h   , ta có , 1( , , , , (1) n X v t h t     Do đó , , 1( , ) ( ) ( , , , ) ( , , ,0) 2 (1) t n n X X X R t h d v t h v t             Vậy điều kiện (2.3) được thoả mãn. ( ) Ngược lại giả sử rằng  [ , ]( , ) ( , ) ( ) ) , , ( ) ([ , ]; ), 1 t t X R t R t h d M t h C t X h                  Với M là hằng số trong điều kiện (2.3). Giả sử rằng ( , ] [ , ), p     thì (2.2) kéo theo * ( , ] [ , ] ( , ] * ( , , ; ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) . . (2 ) t X X X t v t p R t R t p B s s ds d M M p M M M M                                    với *sup ( , ) : t t B t s ds M      điều này chứng tỏ nghiệm không của (E ) là ổn định. 13 2.2 Định lí 2.2 Cho (E) là phương trình chập với ( , ) ( )B t s B t s  . Khi đó ba mệnh đề sau đôi một tương đương: i) Nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều. ii) Mọi mà 0   thì ánh xạ ( )I A B   khả nghịch trên L(X). iii) Ánh xạ giải của (E) khả tích trên [0, ) Chứng minh [(i) (ii)] Bằng phản chứng, giả sử rằng nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều, và tồn tại 0 0mà 0   nhưng 0 ( )I A B 0   không khả nghịch trên L(X). Lấy ( )s A . Khi đó         11 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) Suy ra ( ) I A B sI A I s I B sI A I K I A B I K sI A                      trong đó    10 0: ( ) ( )K s I B sI A      Rõ ràng K là compact do tính compact của nửa nhóm T(t). Vì 0 ( )I A B 0   không khả nghịch nên ánh xạ I+K không khả nghịch. Từ đây và theo định lí Riesz-Schauder về ánh xạ compact ta suy ra I+K là không đơn ánh. Chọn phần tử khác không mà ( ) 0X I K    đặt   1sI A   . Khi đó 14   0 0 0 0 0 ( ) 0 Hay ( ) t I A B A B t e dt                Định nghĩa ánh xạ với :v  X 0( ) tv t e  . Do 0 0  nên . Hơn nữa, v(t) thảo mãn (E0 ( ;v BC X ) ) vì: 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t sdv t e e A B s e d dt s Av t B s v t s ds                      Do nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều nên nghiệm không của là ổn định tiệm cận đều. Do đó ta có (E ) lim ( ) 0Xt v t  , điều này mâu thuẫn với ( ) 0, 0X Xv t t   nên có ii). [ii) iii)] Trước hết ta chứng minh khẳng định   1( ) ( )R z zI A B z    với những z mà z đủ lớn. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thấy R(t) là bị chặn luỹ thừa, nghĩa là 0 sup ( )t t e R t M   , với M và  là các hằng số dương nào đó. Ta có thể giả sử 0 sup ( )t t e T t    . Ta có khi  1( )T z zI A    z   . Chọn x là phần tử bất kỳ của X. Biến đổi Laplace hai vế của 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 t s R t x T t x T t s B s R xd ds t             ta được 15       1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hay ( ) ( ) khi R z x T z x T z B z R z x zI A x B z R z x zI A B z R z x x z             Theo giả thiết ii) thì  ( )zI A B z  là khả nghịch kéo theo   1( ) ( ) , ,R z x zI A B z x x X z        Do đó ta có   1( ) ( )R z zI A B z    với những z mà z   . Bây giờ chúng ta chứng minh tính khả tích của R trên  . Chọn hằng số 0 0 mà    trong đó  là hằng số nói trong phần chứng minh trên. Định nghĩa . Do nửa nhóm  0 0 0 ( ) ( ) và ( ) ( ) ( ) ( ), 0 t te t T t e D t B t s e s ds e t t       0t( )T t là compact nên theo [5, Định lý 3.2] thì T(t) liên tục với t > 0 và là hàm nhận giá trị trong L(X). Từ đây và bất đẳng thức 0( ) 0 supe( ) ( ) te t T e      X       ta có hàm : ( )e L  khả tích. Do đó hàm : ( )D L X  khả tích. Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi mà 0z z  thì   1( )I D z  khả nghịch trên L(X) và    1 1( ) ( ) ( )e z I D z zI A B z     (2.4) Thật vậy, biến đổi Laplace của cho bởi ( )e z    10( )e z z I A    , từ đây ta có 16      10 0( ) ( )D z B z I z I A      Để ý rằng          0 0 0 ( ) ( ) ( ) zI A B z z I A B z I I D z z I A               Do ánh xạ 0( ) và ( )zI A B z z I A   ( ) :  là song ánh từ D(A) vào X nên ánh xạ I D z X X là song ánh. Từ đây ( )I D z là khả nghịch trên L(X) và      1 10( ) ( ) ( )I D z z I A zI A B z      