Luận văn Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập

Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập VỀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  1 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập MỤC LỤC Lời cảm ơn Một số kí hiệu Tổng quan vấn đề Chương I HỆ VI PHÂN TẬP §1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Tập affine, tập lồi 1.1.2 Giới hạn của dãy tập 1.1.3 Không gian mêtríc Hausdorff §1.2 Đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập 1.2.1 Đạo hàm Hukuhara của ánh xạ tập 1.2.2 Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập §1.3 Hệ vi phân tập 1.3.1 Định nghĩa hệ vi phân tập 1.3.2 Định lý về so sánh nghiệm Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG HỆ VI PHÂN TẬP §2.1 Bài toán điều khiển tập 2.1.1 Bài toán điều khiển tập 2.1.2 Ổn định nghiệm §2.2 Phân loại điều khiển tập 2.2.1 Phân loại các bài toán điều khiển tập 2.2.2 Một vài dạng toán điều khiển tập tối ưu 2.2.3 Hệ vi phân tập mờ Chương III. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP §3.1 Hệ vi phân tập có điều khiển 3.1.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển 3.1.2 Xấp xỉ nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển 3.1.3 Sự sai lệch nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển §3.2 Điều khiển ngược đối với hệ vi phân tập 3.2.1 Bài toán điều khiển ngược 3.2.2 Điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn 3.2.3 Điều khiển ngược với bài toán nghiệm bị chặn Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 03 04 05 06 06 08 08 12 12 13 15 15 15 19 19 20 24 24 25 26 29 29 33 36 37 37 37 46 54 55  2 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học cao học và viết luận văn tốt nghiệp, tác giả đã nhận được nhiều điều kiện thuận lợi của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Đồng Tháp, lãnh đạo và các đồng nghiệp của Trường THPT Hồng Ngự I, sự giúp đỡ quý báu của Trường Đại Học Cần Thơ, tất cả các thầy cô đang trực tiếp giảng dạy tại Khoa Toán của Trường Đại Học Cần Thơ và Khoa Toán – Tin của Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh. Tác giả còn nhận được sự động viên, chia sẻ và giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp, bạn bè và người thân. Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sĩ toán học, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH PHƯ về chuyên môn, người thầy luôn nhiệt tình và tận tâm chỉ bảo, truyền đạt cho tác giả nhiều kiến thức và cung cấp nhiều tài liệu. Thầy đã chỉ dẫn cho tác giả trình bày những kiến thức thu được qua học tập và nghiên cứu một cách có hệ thống trong luận văn này. Luận văn này còn được các Giáo sư phản biện, các thầy đã đọc và cho những ý kiến đóng góp quý báu. Tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người về sự giúp đỡ và động viên quý giá này. TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2009 Tác giả Nguyễn Duy Trương Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  3 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập MỘT SỐ KÝ HIỆU 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  R - Tập hợp các số thực R n - Không gian Euclide thực n – chiều n n d H (A,B) - Khoảng cách từ tập A đến tập B D(A,B) - Khoảng cách giữa hai tập không rỗng A và B DH X,t 0 - Đạo hàm Hukuhara của X tại t0 t t0 A - Chuẩn của tập A ( ) - Kết thúc chứng minh. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  4 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập TỔNG QUAN VẤN ĐỀ Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học có nhiều ứng dụng trong kinh tế và kĩ thuật. Có nhiều loại bài toán điều khiển như điều khiển được hoàn toàn, điều khiển tối ưu và ổn định hóa điều khiển tối ưu. Gần nửa thế kỉ qua, lý thuyết điều khiển toán học không ngừng được phát triển vì nó có nhiều ứng dụng. Tồn tại hai xu hướng giải bài toán tối ưu: điều kiện cần và điều kiện đủ. Nguyên lý cực đại Pontriagin trở thành công cụ rất tốt đối với các hệ vi phân. Gần đây, việc nghiên cứu phương trình vi phân tập trong không gian mêtric đã được nhiều sự quan tâm chú ý. Một số kết quả chính theo hướng này đạt được do giáo sư V. Lakshmikantham và các tác giả khác xem trong [6]-[13]. Luận văn này chọn đề tài: “Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập”. Trên cơ sở khảo sát lý thuyết các nguyên lý về điều khiển ngược trong hệ vi phân tập, tác giả đưa ra một số bài toán ngược cùng với các ứng dụng của chúng. Nội dung luận văn này được chia ra làm 3 chương: Chương I HỆ VI PHÂN TẬP Giới thiệu một số khái niệm cơ bản về tập, dãy tập, giới hạn của dãy tập, mêtríc Hausdorff, đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập, đưa ra khái niệm hệ vi phân tập, các định lý về so sánh nghiệm,…. Chương II BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TRONG HỆ VI PHÂN TẬP Giới thiệu những khái niệm về bài toán điều khiển, bài toán điều khiển được, điều khiển trong hệ vi phân tập, điều khiển tối ưu hệ vi phân, ổn định nghiệm, hệ vi phân tập mờ,.… Trong chương này, những vấn đề cơ bản đã trình bày một cách cô đọng nhưng đầy đủ. Chương III BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN NGƯỢC TRONG HỆ VI PHÂN TẬP Đây là nội dung chính của luận văn. Giới thiệu một số khái niệm về hệ vi phân tập có điều khiển như: sự tồn tại nghiệm, xấp xỉ nghiệm, sự sai lệch nghiệm của hệ vi phân tập có điều khiển. Từ đó đưa ra một số ứng dụng của điều khiển ngược vào một số bài toán có liên quan như: điều khiển ngược với bài toán điều khiển được hoàn toàn, điều khiển ngược với bài toán nghiệm bị chặn. Cuối cùng là phần kết luận. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  5 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Chương I HỆ VI PHÂN TẬP Nội dung của chương này là nhắc lại một số khái niệm cơ bản có liên quan trực tiếp đến việc giới thiệu định nghĩa đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập, cuối cùng tác giả dựa vào các khái niệm đó để xây dựng khái niệm hệ vi phân tập (xem trong [16 – 20]). § 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Để định nghĩa được hệ vi phân tập, ta cần nắm được một số khái niệm cơ bản về tập affine, tập lồi, giới hạn của dãy tập, không gian mêtríc Hausdorff.... 1.1.1 Tập affine, tập lồi 1.1.1.1 Tập affine Trong không gian R n , đường thẳng đi qua hai điểm x, y∈ R n là họ các điểm: (1− ) x y x ( y− x) ;∈ R. n (1− ) x y∈ M . Tập M a được gọi là chuyển dịch affine (tịnh tiến affine) của tập M trên vectơ a∈ R n :  M ax a x∈ M , a∈ R n . Tập affine M được gọi là song song affine với tập affine L⇔ M L a , hay M là tịnh tiến affine của L trên vectơ a∈ R n . Định lí 1.1.1 Tập rỗng∅ và không gian R n là các tập affine. Định lí 1.1.2 Các không gian con của R n đều là các tập affine qua gốc tọa độ. Chứng minh: Thật vậy, mỗi không gian con của R n đều chứa gốc tọa độ 0, đồng thời đóng đối với phép cộng và phép nhân hai ngôi, nên ta có:  x (1− )0 x∈ M ,∀x∈ M , y = 0∈ R n , nên y∈ R n . Ngoài ra: 1 1 2 2 ⎛ 1⎞⎛ 1⎞  ⎝ 2⎠⎝ 2⎠  ( ) Định lí 1.1.3 Mỗi tập affine khác rỗng song song với một không gian con tuyến tính duy nhất, đó là không gian: L M− Mx− y x∈ M , y∈ M . Ví dụ 1.1.1 Tập affine rỗng được quy ước có dim∅ = -1 Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  6 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập Một điểm được quy ước có dimM = 0 Một đường trong R n có dimM = 1 Một mặt trong R n có dimM = 2 Một siêu phẳng trong R n có dimM = n -1. Chúng ta biết siêu phẳng và các tập affine đều có thể nhận được từ các hệ phương trình đại số tuyến tính, các hàm tuyến tính,… chúng ta có định lí sau: 1.1.1.2 Tập lồi Tập C trong R n được gọi là lồi nếu với mọi điểm x, y∈ C và số thực , 0≤≤ 1 thỏa mãn:  (1− ) x y∈ C. Chú ý: Nếu tập affine chứa nguyên đường thẳng thì tập lồi chỉ chứa một đoạn của đường thẳng nối hai điểm x và y . Tổng vectơ1x12 x2 ...m xm được gọi là tổ hợp lồi của x1, x2 ,..., xm nếu≥ 0 và m i1  i  1 . Cho tập S là lồi, khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa S được gọi là bao lồi của S và kí hiệu là convS . Như vậy, bao lồi convS là tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa tập S. Bao lồi của hữu hạn các điểm trong không gian R n được gọi là đa diện lồi. Định lí 1.1.4 Giao hữu hạn của các tập lồi trong R n là một tập lồi. Định lí được chứng minh là dễ dàng bằng quy nạp. Hệ quả 1.1.4 Cho bi∈ R n ,i∈ R với i∈ I tập các chỉ số, khi đó tập: Cx∈ R n x, bi≤i ,∀i∈ I . là một tập lồi.  n   là không gian con đóng (cũng có thể là rỗng hoặc toàn bộ R n ). Các không gian con i∈I Định lí 1.1.5 Tập con trong R n là lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất cả các tổ hợp lồi các phần tử của nó. Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử C là một tập con lồi trong R n , chúng ta cần chỉ ra rằng C chứa tổ hợp lồi các phần tử x1, x2 ,..., xm∈ C. Thật vậy, đối với hai phần tử ta luôn có: x, y∈ C thì y− x∈ C và (1− ) x y x ( y− x)∈ C Bằng quy nạp cho m phần tử x1, x2 ,..., xm ta cũng có1x12 x2 ...m xm∈ C. Điều kiện đủ: Giả sử tập C⊂ R n chứa các tổ hợp lồi, chúng ta cần chứng minh C là tập lồi. Thật vậy, đặt: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  7 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập y1x12 x2 ...m xm 1−i ' x (1−1 ) y1x∈ C . Hay C là tập lồi. ( ) 1.1.2 Giới hạn của dãy tập Giả sử X là không gian mêtric, K n⊂ X , n =1,2,. . . là dãy tập con của X. 1.1.2.1 Giới hạn trên của dãy tập Giới hạn trên của dãy tập Kn là tập: lim sup Kn : x∈ X : lim→∞inf d x, Kn 0 n→∞ lim sup Kn chính là tập mọi điểm tụ của các dãy xn∈ Kn bất kỳ có thể lập được; lim sup Kn còn được định nghĩa là tập mọi điểm tụ của các dãy “ xấp xỉ ” , tức là các dãy {xn} thỏa: ∀ 0,∃N ( ) :∀n N ( ), xn∈ B(Kn , )ôû ñaây B Kn ,x : d x, Kn; lim sup K n ∩ ∪Kn ∩ ∩ ∪ B(K n , ). 0 N0 n≥ N 1.1.2.2 Giới hạn dưới của dãy tập Giới hạn dưới của dãy tập Kn là tập: lim inf Kn : x∈ X : lim d(x, Kn ) 0 . lim inf Kn chính là tập các giới hạn của mọi dãy xn∈ K n . 0 N0 n≥ N Chú ý: Nếu lim→∞inf Kn lim sup K n , ta nói tập này là giới hạn của dãy Kn và kí n→∞ hiệu là lim K n . 1.1.3 Không gian metric Hausdorff Cho x∈ R n , A∈ R n , A≠∅ . Khoảng cách từ x tới A được định nghĩa như sau: d x, A inf x− a , a∈ A Đặt:  S Ax∈ R n : d x, A; S Ax∈ R n : d x, A≤. Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  8 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập n Với mọi 0 , A∈ R n , A≠∅ . Cho A, B là hai tập con khác rỗng của R n . Ta định nghĩa khoảng cách từ A tới B là:  Tương đương với:  d H B, A supdb, A : b∈ A. d H B, A inf 0 : B⊆ A S1n. Ta có một số tính chất: (a) d H B, A≥ 0 với d H B, A = 0⇔ B⊆ A ; (b) d H B, A≤ d H B, C d HC, A ; (c) d H B, A≠ d H A, B ; Với A, B, C khác rỗng con R n . Bây giờ, ta định nghĩa khoảng cách giữa hai tập con không rỗng A, B là: D A, B maxd H A, B , d H B, A . Ta cũng có một số tính chất: (a) D B, A≥ 0 với D B, A = 0⇔ A B ; (b) D B, A≤ D B, C DC, A ; (c) D B, A D A, B ; Với A, B, C khác rỗng con R n . Định lí 1.1.8 Nếu A, B∈ KC ( R n ) và C∈ K (R n ) thì D A C , B C D A, B. Chứng minh: Ta cần chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.8 Cho A, B∈ KC (R n ) , C∈ K (R n ) và A C⊆ B C thì A⊆ B . Chứng minh bổ đề: Cho a∈ A bất kì. Ta cần chỉ ra rằng a∈ B . Cho bất kì c1∈ C , ta có a c1∈ B C , điều đó có nghĩa là tồn tại b1∈ B và c2∈ C sao cho a c1 b1 c2 . Một cách tương tự, tồn tại b2∈ B và c3∈ C sao cho a c2 b2 c3 . Lặp lại quá trình trên và lấy tổng của n đẳng thức ta được: n n n1 i1 i1 i2 tương đương với: n  c i1 thì: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  9 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập a  1 n cn1 c n Đặt: xn  1 n cn1 c n −→ 0 . n n Do đó xn hội tụ về a. Vì B compact do đó a∈ B . Bổ đề được chứng minh. ( ) Bây giờ ta chứng minh định lí 1.1.8. Cho≥ 0 và S là hình cầu đơn vị đóng trong không gian. Ta xét các bao hàm: (1) A S⊃ B; (2) B S⊃ A; (3) A C S⊃ B C; (4) B C S⊃ A C. Đặt: d1 D A, B và d1 D A C, B C .Thì d1 là infimum của những số dương thỏa (1) và (2). Tương tự, d2 là infimum của những số dương thỏa (3) và (4). Vì (1) và (2) suy ra (3) và (4) bằng cách cộng thêm C nên d1≥ d 2 và (3) và (4) bằng cách xóa C suy ra (1) và (2) nên d1≤ d 2 .Vậy d1 d 2 . Định lí 1.1.9 Nếu A, B∈ K (R n ) thì D(coA, coB)≤ D( A, B) Nếu A, A’, B, B’∈ KC (R n ) thì: D(tA, tB) tD( A, B) với mọi t≥ 0; D( A A ', B B ')≤ D( A, B) D( A ', B ') ( ) (1) (2) (3) hơn nữa: trong đó: và: D( A− A ', B− B ')≤ D( A, B) D( A ', B ') A− A ', B− B ' là tồn tại, và với max , D( A, B)≤ D( A, B)− D( A, ) D( B, ) D( A, B)≤ D( A− B, ) nếu A− B là tồn tại. (4) (5) (6) Chứng minh: Chứng minh (1), (2) là hiển nhiên, bây giờ ta chứng minh (3). Với mọi a∈ A và u∈ A ' . Do B và B’ là compact nên tồn tại b(a)∈ B và v(u)∈ B ' sao cho: inf a− b a− b(a) ; inf u− v u− v(u) . b∈B v∈B ' Ta lại có: Do đó: a u− b(a)− v(u)≤ a− b(a) u− v(u) sup inf a u− b− v≤ supinf a− b supinf u− v a∈A,u∈A ' b∈B ,v∈B ' a∈A b∈B u∈A ' v∈B ' Từ đó suy ra (3). Chứng minh (4), ta thấy: D( A− A ', B− B ')≤ D( A− A ' A ' B ', B− B ' B ' A ') Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  10 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập = D( A B ', B A ')≤ D( A, B) D( A ', B ') Chứng minh (5), cho−≥ 0 , thì: D( A, B)≤ D( A, B)− D( A, ), và nếu−≤ 0 , thì: D( A, B)≤ D( A, B)− D(B, ), từ đó suy ra (5). Chứng minh (6) suy ra từ (4). Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01 ( ) 11 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập §1.2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN HUKUHARA CỦA ÁNH XẠ TẬP Tiếp theo, trong không gian này ta sẽ xét tính liên tục, đạo hàm và tích phân Hukuhara của ánh xạ tập có liên quan trực tiếp đến khái niệm hệ vi phân tập. 1.2.1 Đạo hàm Hukuhara của ánh xạ tập Định nghĩa 1.2.1 Cho I là một khoảng trong tập R và một tập ánh xạ X : I→ KC ( R n ) . X được gọi là có đạo hàm Hukuhara tại t0∈ I nếu tồn tại DH X (t0 )∈ KC (R n ) sao cho giới hạn: và  t→0 t→0 X (t0t )− X (t0 ) t X (t0 )− X (t0−t ) t  (1) (2) tồn tại và bằng DH X (t0 ). Trong định nghĩa trên (2) không thể thay thế bởi giới hạn: X (t0t )− X (t0 ) t→0t Bởi vì X (t0 )− X (t0−t ) tồn tại không kéo theo X (t0t )− X (t0 ) là tồn tại. Định lí 1.2.3 Nếu tập ánh xạ X : I→ KC ( R n ) có đạo hàm Hukuhara trên I thì hàm thực t→ diam( X (t )) , t∈ I là không giảm trên I. Chứng minh: Nếu X là có đạo hàm Hukuhara tại t0∈ I , thì có (t0 ) 0 sao cho X (t0t )− X (t0 ) và X (t0 )− X (t0−t ) là xác định với 0t (t0 ) . Bởi vì A− B , A, B∈ K C (R n ) là xác định khi và chỉ khi B⊂ A , do đó A− B tồn tại khi và chỉ khi diam( A)≥ diam( B). Cho là cố định với t1 t2 . Thì với mỗi∈t1, t2 có một  ( ) 0 sao cho diam( X (s))≤ diam( X ( )) với s∈− ( ), , và diam( X (s))≥ diam( X ( )) với s∈ , ( ) . Ta có họ: I :∈t1, t2, I (− ( ), ( ) là một phủ mở củat1, t2 . Chọn một phủ con hữu hạn I r1 ,..., I rN với i i1 thì diam( X (t1 ))≤ diam( X ( 1 )) và diam( X ( N ))≤ diam( X (t2 )) . Không mất tính tổng quát giả sử I r ∩ I r1≠∅ , i 1,..., N− 1. Do đó với mỗi i 1,..., N− 1, tồn tại si∈ I r ∩ I r1 với i si i1 và từ Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  12 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập đây: diam( X ( i ))≤ diam( X (si ))≤ diam( X ( i1 )) . Do đó, ta có: diam( X (t1 ))≤ diam( X (t2 )) . ( ) Chú ý: Sự tồn tại của giới hạn trong (1) và (2) không là không sử dụng trong chứng minh định lí trên. Thực vậy, thay cho việc sử dụng giả thiết X (t ) ta có thể sử dụng giả thiết với mỗi t∈ I hiệu X (tt )− X (t ) và X (t )− X (t−t ) là tồn tại với t 0 đủ nhỏ. Ví dụ 1.2.5 Cho X (t ) (2 sin t )S1n ( S1n là quả cầu đóng đơn vị trong R n ). X không có đạo hàm Hukuhara trên (0, 2 ). Bởi vì diam( X (t )) 2(2 sin t ) không giảm trên (0,2 ). Ví dụ 1.2.6 Nếu X (t )t, 2t , 0 t 1 , thì DH (t )1, 2 , 0 t 1 và X (t1 )⊄ X (t2 ) , X (t2 )⊄ X (t1 ) với bất kì t1, t2 , 0 t1 t2 1 . Định lí 1.2.4 Ánh xạ X là ánh xạ hằng khi và chỉ khi DH X 0 xác định trên T. Chứng minh: Nếu X là ánh xạ hằng hiển nhiên DH X 0 , ngược lại giả sử ta có DH X 0 . Cố định t0∈ (0,1) , nếu t t0 ta có: D X (t ), X (t0 ) D X (t )− X (t0 ), suy ra: Tương tự, nếu t t0 ta có:  t→t0 t→t0  D X (t ), X (t0 ) t− t0 D X (t ), X (t0 ) t− t0 và do đó: lim . t→t0 Cố định t1∈ (0,1) , từ bất đẳng thức: D X (t1 ), X (t )− D X (t1 ), X (t0 )≤ D X (t ), X (t0 ) Chia 2 vế cho t− t0 . Thì hàm giá trị thực: t→ D X (t1 ), X (t ) là hằng số. Mà tại t1 hàm đạt giá tri không. Do đó X (t ) 0 . ( ) 1.2.3 Tích phân Hukuhara của ánh xạ tập Do K C ( R n ) là không gian metric nửa tuyến tính nên có thể xem như một nón được nhúng vào không gian Banach tương ứng ta sẽ có những kết quả tương tự tích phân Bochner. Ta thấy nếu: Luận văn Thạc Sĩ - Ngành Giải Tích – Mã ngành: 60 46 01  13 Về bài toán điều khiển ngược trong hệ vi phân tập t F (t ) X 0∫(s)ds , X 0∈ K C ( R n ) t0 ở đây : I→ K C (R n ) là khả tích theo nghĩa Bochner, thì DH F (t ) tồn tại và DH F (t )(t ) trên I. Từ đó ta có tích phân Hukuhara của hàm F là: t t 1 0⎣ 0⎦ Cho bất kì tập compact con R . Ta có một số tính chất của tích phân Hukuhara: Cho F , G :t0 ,T→ KC (R n ) là khả tích Bochner: (i) t2 t1 t2 t0 t0 t1  F (s)ds F (s)ds  0  ≤ t1≤ t2≤ T ; t t  F (s)ds t0 t0 t t t F (s)ds, G(s)ds⎥≤ ⎢ t0 t0⎥ t0