Luận văn Về các đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH --------------------------------- TRƯƠNG HUY HOÀNG VỀ CÁC ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC ĐA THỨC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số : 60. 46. 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 2 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin gởi lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS-TS Bùi Tường Trí, người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn các Thầy: TS Trần Huyên, PGS-TS Mỵ Vinh Quang, PGS- TS Bùi Xuân Hải đã trang bị cho tôi những kiến thức vô cùng quí báo trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn các Thầy Cô khoa Toán – Tin của Trường ĐHSP đã cung cấp cho tôi những tài liệu cần thiết, cảm ơn các Thầy Cô của phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học, các bạn bè, đồng nghiệp đã chân tình động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và trong quá trình thực hiện luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh – năm 2007 Học viên Cao học khóa 15 Trương Huy Hoàng 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU HỆ THỐNG KÍ HIỆU Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT 1.1. Tóm tắt những kiến thức cơ sở.........1 1.2. Một số đại số đặc biệt ...8 1.2.1. Đại số nửa nguyên thủy ....8 1.2.2. Đại số nguyên thủy ....8 1.2.3. Đại số nguyên tố .....12 1.2.4. Đại số nửa nguyên tố ....14 1.2.5. Đại số thỏa mãn đồng nhất thức .....18 Chương 2: CÁC PI – ĐẠI SỐ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT THỨC ĐA THỨC 2.1. Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự..26 2.2. Các kết quả của Posner ...39 2.3. Ví dụ ....41 KẾT LUẬN.43 TÀI LIỆU THAM KHẢO.44 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài: Posner – Rowen đã chứng minh rằng, một PI – đại số nguyên tố trên một trường có thể nhúng vào một đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nó như là thứ tự phải và trái trong đại số. Amitsur đã khái quát điều này cho những đại số trên vành, ông đã sử dụng định lí Goldie để làm cơ sở cho những kết quả của mình. Rowen là người có công không nhỏ trong việc làm sáng tỏ vấn đề trên. Ông đã chỉ ra một hình ảnh rõ nét về vành thương, trong đó tâm của vành thương là trường các thương của tâm của vành nguyên tố. Vấn đề trên đã thu hút rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới, trong đó có Small, Martindale Và tất cả đều sử dụng đa thức của Formanek. Mặc dù còn hạn chế nhiều về chuyên môn nên khà năng bao quát kiến thức chưa đủ lớn nhưng khi nghiên cứu vấn đề trên bản thân tôi cũng chịu một sức hấp dẫn nhất định. Chọn đề này giúp chúng tôi tập làm quen với các phương pháp nghiên cứu Toán học đương đại. Trên hết là nhằm phát triển tư duy của bản thân. 2. Mục đích nghiên cứu: Chúng ta biết rằng, một đại số là nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của các đại số nguyên tố, một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp con của các đại số nguyên thủy (theo Kaplansky, nếu đại số nguyên thủy là PI sẽ trở thành đại số đơn). Câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu kết quả của Posner – Rowen về các PI – đại số có thể mở rộng ra cho lớp các PI – đại số nửa nguyên tố hay không? Nói một cách chính xác hơn, liệu một PI – đại số nửa nguyên tố trên một trường có thể nhúng như thứ tự trái (phải) vào một PI – đại 5 số nửa nguyên thủy hay không? Trong quyển PI – Algebras An Introduction của Nathan Jacobson (tài liệu tham khảo số 3 – tiếng Anh), tác giả nói rằng, có những thí dụ chứng minh rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng ra cho lớp các PI – đại số nửa nguyên tố, tuy nhiên ông không chỉ ra thí dụ cụ thể nào. Mục đích chính của luận văn của chúng tôi là đi xây dựng một thí dụ như vậy. 3. Phương pháp nghiên cứu: Trong luận văn này chúng tôi không trình bày cách xây dựng đa thức của Formanek mà chỉ trình bày các kết quả của Posner và Rowen đối với các PI – đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự . Với lưu ý rằng, để đi đến những kết quả của mình Posner và Rowen cũng sử dụng đa thức của Formanek. Hơn nữa, để hoàn thiện thí dụ mà chúng tôi đưa ra, chúng tôi đã bổ sung và chứng minh mệnh đề 1.2.4 về tính đầy hữu tỉ của một đại số. 4. Cấu trúc luận văn: Luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về lí thuyết các vành không giao hoán và lí thuyết các PI – vành. Chương 2 chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu về đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự, trong đó chúng tôi trình bày rất rõ các kết quả của Posner về các PI – đại số nguyên tố. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thí dụ chứng tỏ rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng cho lớp các PI – đại số nửa nguyên tố. 6 HỆ THỐNG KÍ HIỆU ` : Tập các số tự nhiên _ : Trường số hữu tỉ annAM: Tập những phần tử trong A linh hóa M A(M): { a A Ma = 0,∈ M là A – modun bất khả qui} ( )E M : Tập những tự đồng cấu trên M C(M): Giao hoán tử của A trên M rad(A) hoặc J(A): Radical Jacobson của vành A sgnπ : Dấu của phép thế π lnA: nil radical dưới của A Un(A): upper nil radical của A L(A): Levitzki nil radical của A K{X}: Đại số các đa thức ấn x trên K Degf: Bậc của đa thức f : Bậc của đa thức f theo một biến xi deg ix f ht(f): Chiều cao của đa thức f ij fΔ : Toán tử sai phân của f .: Tâm tập của F trong C FΔ Δ MS : Địa phương hóa của M tại S [ : ]A C : Số chiều của không gian A trên trường C mΔ Tập tất cả các ma trận vuông cấp m trên Δ 7 CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và một số kết quả cơ bản được sử dụng đến trong luận văn. Việc chứng minh các kết quả khá đơn giản nên hầu hết sẽ được tóm tắt hoặc được thông qua. 1.1 TÓM TẮT NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trước tiên, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số kết quả cơ bản, cần thiết để làm cơ sở xây dựng các đại số, như là: đại số nguyên thủy, đại số nửa nguyên thủy, đại số nguyên tố và đại số nửa nguyên tố. Trong phần này, chúng tôi kí hiệu A là vành không giao hoán, M là A – modun thay cho M là A – modun phải. ¾ Định nghĩa 1.1.1: • Nhóm cộng aben M được gọi là modun trên vành A (hay M là A – modun) nếu tồn tại ánh xạ: M A M× → ,( , và )m a ma6 , , ,m n M a b A∀ ∈ ∀ ∈ các điều kiện sau luôn được thỏa mãn: a) m(a + b) = ma + mb, b) (m + n)a = ma + na, c) m(ab) = (ma)b, d) Nếu A có đơn vị thì m1 = m. • A là đại số trên vành giao hoán có đơn vị K khi và chỉ khi A là vành, A là modun trên K, và thì k(ab) = (ka)b = a(kb). ∀ ∈ ∀ ∈, ,a b A k K • Cho M là một A –modun. Khi đó, tập hợp các phần tử của A mà linh hoá toàn bộ M được kí hiệu là annAM = { / 0a A Ma∈ = }. 8 ¾ Định nghĩa 1.1.2: • M được gọi là A – modun trung thành ⇔ (Ma = 0, a ∈A ⇒ a = 0). • M được gọi là A – modun bất khả qui ⇔ MA ≠ 0 và M chỉ có đúng 2 modun con là 0 và chính M. ¾ Mệnh đề 1.1.3: Cho M là một A –modun. Các khẳng định sau đây là tương đương: i) M là A –modun bất khả qui. ii) M = xA, ,0x x M∀ ≠ ∈ . iii) M A/≅ ρ , trong đó ρ là ideal phải tối đại, chính qui trong A. (ρ là ideal phải chính qui trong A sao choa A⇔ ∃ ∈ x A∀ ∈ thì x ax− ∈ρ). Bây giờ, cho M là A – modun bất khả qui. Với a A∈ ta định nghĩa: Ta : M M, → amT ma= .Khi đó Ta là tự đồng cấu nhóm cộng trên M. Đặt { }( ) : /E M M M là tự đồng cấu= ϕ → ϕ , ( ), . Trong E(M) ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau: E M m M∀φ ϕ∈ ∀ ∈ thì ( ) ,m m mφ + ϕ = φ + ϕ . Khi đó E(M) là một vành. ( )m φϕ ( )m= φ ϕ Gọi cái giao hoán tử của A trên M là { }( ) ( )/ ,a aC M E M T T a A= ϕ∈ ϕ = ϕ ∀ ∈ . Khi đó, . Suy ra C(M) là vành con của E(M). Ta có trường hợp đặc biệt sau đây: 1 2 1 2 1 2 ( ) , ( ) . ( C M C M C M ϕ − ϕ ∈⎧∀ϕ ϕ ∈ ⇒ ⎨ϕ ϕ ∈⎩ ) ¾ Bổ đề 1.1.4 :(Bổ đề Schur) Nếu M là A – modun bất khả qui thì C(M) là một thể. Chứng minh: Để chứng minh bổ đề ta chỉ việc chứng minh mọi phần tử trong C(M) 0θ ≠ 9 đều khả nghịch trong C(M). Thật vậy, lấy 0 ( )C M≠ θ∈ )a , đặt W . Suy ra , , mà ( M= θ a A∀ ∈ ( ) ( )a aWa WT M T MT= = θ = a θ MT M W Wθ ⊂ θ = ⇒ M là modun con của M. Vì và M là A – modun bất khả qui nên W M0θ ≠ = θ = . Suy ra θ là toàn cấu từ M M→ Kerθ và là con thực sự của M ( do 0θ ≠ ). Do đó 0Kerθ = . Suy ra là đẳng cấu. Vì vậy là nghịch đảo của θ 1−∃θ θ ( 1 ( )E M−θ ∈ ). Hơn nữa, vì θ có khả nghịch là 1 ( )E M−θ ∈ nên từ đẳng thức a aT Tθ = θ ta suy ra T T , hay . ª 1−θ = 1a a−θ 1−θ ∈ ( )C M ¾ Định nghĩa 1.1.5: • Radical Jacobson của vành A, được kí hiệu là rad(A) hoặc J(A), là tập hợp tất cả những phần tử của A mà linh hóa được mọi A - modun bất khả qui. • Nếu A không có modun bất khả qui nào thì ta qui ước J(A) = A. Khi đó ta nói A là vành radical. Nhận xét: + Nếu đặt A(M) = { a A Ma = 0∈ , M là A – modun bất khả qui} thì theo định nghĩa ta có: ( ) ( ) M bất khả qui J A A − = ∩ M . + Nếu A là vành có đơn vị thì A không thể là vành radical. ¾ Định nghĩa 1.1.6: • Một phần tử a A∈ được gọi là tựa chính qui phải nếu tồn tại a’ A∈ sao cho a + a’ + aa’ = 0. Khi đó a’ được gọi là tựa nghịch đảo phải của a. Tương tự, a’ là tựa nghịch đảo trái của a thì a’ + a + a’a = 0. • Một ideal (một phía hoặc hai phía) của A được gọi là tựa chính qui nếu mọi phần tử của nó đều tựa chính qui. 10 ¾ Bổ đề 1.1.7: • A có đơn vị là 1 thì a là tựa chính qui phải ⇔ 1+ a khả nghịch trong A. • rad(A) = { z / az là tựa chính qui, a A∀ ∈ } = { z / za là tựa chính qui, a A∀ ∈ } ¾ Mệnh đề 1.1.8 : J(A) là ideal phải tối đại tựa chính qui phải duy nhất của A và chứa tất cả các ideal phải tựa chính qui phải của A. Để làm cơ sở cho việc xây dựng vành các đa thức đồng nhất thức, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và một vài kết quả sau đây: ¾ Định nghĩa 1.1.9: • Cho X là vị nhóm tự do sinh bởi một tập đếm được các phần tử x1,x2,. Khi đó X là tập 1, 1 2 ... ri i i x x x của những đơn thức khác nhau, trong đó: + 1 2 ... ri i i x x x = 1 2 ... sj j j x x x 1 1,...i j⇔ = + 1( 1 2 ... ri i i x x x ) = ( 1 2 ... ri i i x x x )1 = 1 2 ... ri i i x x x . + ( 1 2 ... ri i i x x x )( 1 2 ... sj j j x x x ) = 1 2 ... ri i i x x x 1 2 ... sj j j x x x . • Kí hiệu K{X} là đại số của X trên vành giao hoán có đơn vị K, khi đó K{X} được gọi là đại số tự do sinh bởi tập đếm được các phần tử xi, tập các phần tử đếm được này gọi là cơ sở của K{X}. Khi đó X được nhúng vào K{X} và phép nhúng có tính phổ dụng, nghĩa là: với A là một K – đại số bất kì và { }iX K⎯⎯→ X Aánh xạ , từ tập các biến x1, x2, ... vào A thì luôn tồn tại đồng cấu : Xσ → : { }K X Aη → sao cho . iη = σ • Nếu ∈ ∈ 1{ }, { ,..., }mf K X f K x x - đại số con sinh bởi tập con hữu hạn {x1,,xm} với m nào đó thì ta viết f = f(x1,,xm). Aûnh của đa thức này qua : { }K X Aη → 11 biến xi ai ( ) viết là f(a1,,am), gọi là giá trị của f tại (a1,,am). 6 ≤ < ∞1 i ¾ Định nghĩa 1.1.10: Cho đa thức f = f(x1,,xm) ∈ K{X}. Khi đó: • Một đơn thức 1 2 ... ri i i x x x được gọi là có mặt trong f nếu nó có hệ số khác 0 trong biểu diễn của f dưới dạng tổng các đơn thức. • f được gọi là tuyến tính theo xi nếu mọi đơn thức có mặt trong f đều có bậc nhất theo biến xi. Nhận xét: + f là đa tuyến tính thì f có dạng: π π π π π = α∑ 1 1,..., ...m mf x x với và π πα ∈1,..., m K π chạy khắp tất cả các hoán vị của {1, 2, , m}. + f là đa tuyến tính thì: f(x1,,xj-1,xj + xm+1, xj+1,, xm) = f(x1,, xj,, xm) + f(x1,,xj-1, xm+1, xj+1,, xm), f(x1,,xj-1,βxj, xj+1,, xm) = β f(x1,, xj,, xm). • f được gọi là thay phiên nếu f(x1,,xi-1,xi,xi+1,,xj-1,xi, xj+1,, xm) = 0, ∀ <i j . Nhận xét: Cho f là đa tuyến tính và thay phiên. Khi đó: f là đồng nhất thức của A khi và chỉ khi f(ui1,,uim) = 0, với mọi sự lựa chọn uij đôi một khác nhau trong tập các phần tử sinh {uij} của A trên K. • Đa thức chuẩn bậc k là: Sk (x1, , xk) = (1) ( )( ) ... ksgn x xπ π π π∑ , tổng này được chọn trên toàn nhóm đối xứng và có (k!) đơn thức. ¾ Định nghĩa 1.1.11 :( Bậc và chiều cao của đa thức) • Bậc của đơn thức 1 2 ... ,( 0)mnn nax x x a ≠ là n1 + n2 + + nm. 12 • Bậc của f là bậc lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f, kí hiệu là degf. • Bậc theo biến xi của f là bậc của f khi xem nó như là một đa thức theo một biến xi, kí hiệu là deg ix f . • f được gọi là thuần nhất theo xi nếu tất cả các đơn thức của nó có cùng một bậc theo biến xi. f là hoàn toàn thuần nhất nếu nó thuần nhất theo mọi biến xi. • f được gọi là trộn đều theo xi nếu xi có mặt trong mọi đơn thức của nó. f được gọi là trộn đều nếu f được trộn đều theo mọi biến xi có mặt trong f . • Chiều cao của một đơn thức được tính bằng bậc của đơn thức đó trừ đi số các biến xi có mặt trong đơn thức đó. • Chiều cao của đa thức f là chiều cao lớn nhất của các đơn thức có mặt trong f, kí hiệu là ht(f). Khi đó: f đa tuyến tính ⇔ f trộn đều và ht(f) = 0. ¾ Định nghĩa 1.1.12: Cho A là đại số trên K, G là nhóm con cộng của nhóm A. • f∈ K{X} được gọi là G – giá trị 1( ( ,..., ) )i ma A f a a G⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ . • f = f(x1,,xm) ∈ K{X} được gọi là đồng nhất thức đối với A khi và chỉ khi f(a1,,am) = 0, . ia A∀ ∈ Ví dụ: 1) Nếu A là vành giao hoán thì f(x1,x2) =[x1,x2] là một đồng nhất thức của A. 2) * Đại số A được gọi là hầu hết nil, có bậc bị chặn ⇔ A có dạng K.1 + N , trong đó N là nil ideal và có bậc bị chặn, nghĩa là , : nz N n z 0∀ ∈ ∃ ∈ =` * Khi đó, ∀ ∈,x y A , nếu A là hầu hết nil suy ra ∈[ , ]x y N , N có bậc bị chặn sao cho [ A thỏa mãn đồng nhất thức f = [ ,n⇒∃ ∈` , ]nx y 0= ⇒ ]nx y . 13 3) * Nếu 2( ) và tr(a) = 0 thì a 2 là ma trận vô hướng : Thật vậy, lấy a = a M K∈ 2 2 2 0 0 p q p rq a r p p rq ⎛ +⎛ ⎞⇒ = ⎜− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎞⎟⎜ ⎟ - ma trận vô hướng * Với a, b 1 1 2 22 1 1 2 2 ( ), , a b a b M K a b c d c d ⎛ ⎞ ⎛∈ = =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎠ ) , . 1 2 1 2 1 2 1 2 a a b c A ab B c b d d +⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟+⎝ ⎠ 2 1 2 1 2 1 2 1 a a b c C ba D c b d d +⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ Khi đó , với A, B, C, D, X, Y , hay tr[a, b] = 0, . 1 2 2 1 1 2 2 1 b c b c X ab ba Y c b c b −⎛ ⎞− = ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 2, ( )M K∀ ∈ K∈ a b Vậy, ta luôn có tr[a,b] = 0 là ma trận vô hướng. Do đó, với a, b, c tuỳ ý 2, (a b M K∀ ∈ 2( 2[ , ]a b⇒ )M K∈ ta luôn có [a,b]2c = c[a,b]2. Suy ra: f = f(x1,x2,x3) = (x1x2 – x2x1)2x3 – x3(x1x2 – x2x1)2 là một đồng nhất thức đối với M2(K). (đây là đồng nhất thức của Wagner). ¾ Định nghĩa 1.1.13: Cho f = f(x1,,xm) ∈ K{X}. Toán tử sai phân ijfΔ trong K{X} được xác định như sau: Δij f (x1,, xm) = f(x1,, xi-1, xi + xj, xi+1,, xm) - f(x1,, xi-1, xi, xi+1,, xm) - f(x1,, xi-1, xj, xi+1,, xm), với ≤ ≤1 i m . ¾ Định nghĩa 1.1.14: Đa thức f = f(x1,,xm) ∈ K{X} được gọi là đa thức tâm của đại số A nếu f không là đồng nhất thức của A nhưng [f(x1,,xm),xm+1] là đồng nhất thức của A. ¾ Định nghĩa 1.1.15: Đa thức f = f(x1,,xm) ∈ K{X} được gọi là đồng nhất thức thực sự đối với A khi và 14 chỉ khi f là đồng nhất thức của A và tồn tại hệ số của f không linh hoá A. Nhận xét: + Nếu K là một trường thì f là đồng nhất thức thực sự khi và chỉ khi f khác 0. + Đồng nhất thức f có hệ tử 1 thì f là đồng nhất thức thực sự cho mọi đại số. 1.2 MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT 1.2.1 Đại số nửa nguyên thủy: ¾ Định nghĩa 1.2.1.1: Đại số A được gọi là đại số nửa nguyên thủy nếu J(A) = 0. ¾ Mệnh đề 1.2.1.2: Nếu A không có nil ideal khác 0 thì A[λ ] là nửa nguyên thủy ¾ Mệnh đề 1.2.1.3: Nếu A là một đại số thì A/J(A) luôn là đại số nửa nguyên thủy. ¾ Mệnh đề 1.2.1.4: Nếu B là ideal 2 phía của đại số A thì J(B) = J(A) B. ∩ Hệ quả: Mọi ideal 2 phía của đại số nửa nguyên thủy đều nửa nguyên thủy. 1.2.2 Đại số nguyên thủy: ¾ Định nghĩa 1.2.2.1: Đại số A được gọi là nguyên thủy nếu A có một modun bất khả qui trung thành. ¾ Mệnh đề 1.2.2.2: Cho A là một đại số tuỳ ý, M là A – modun bất khả qui. Khi đó, A(M) là ideal 2 15 phía của A và A/A(M) là đại số nguyên thủy. ¾ Mệnh đề 1.2.2.3: Nếu A là đại số nguyên thủy thì J(A) = 0. Do đó, mọi đại số nguyên thủy đều là nửa nguyên thủy. Nhận xét: Vành nguyên thủy có tính giao hoán là một trường. Trong quá trình nghiên cứu để thực hiện luận văn này, chúng tôi cảm nhận được tầm ảnh hưởng của định lí dày đặc đối với việc chứng minh các tính chất của vành các đa thức đồng nhất thức là khá lớn nên dưới đây chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh lại định lí này theo cách mà chúng tôi cho là dễ tiếp nhận nhất. Độc giả có thể tham khảo phép chứng minh định lí này trong các luận văn của những học viên cao học những năm trước đây thuộc ngành Đại số và lí thuyết số của Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh hoặc trong quyển “Noncommutative rings” của I. N. Herstein. Để đi đến định lí này chúng tôi nhắc lại một vài ý sau: + Giả sử R là vành nguyên thủy, M là R – modun bất khả qui trung thành. Đặt Δ = C(M) thì theo bổ đề Shur, Δ là một thể.Khi đó, chúng ta có thể xem M là không gian vectơ phải trên , trong đó, Δ , ,m m Mα ∈ α∈Δ là tác động của phần tử thuộc E(M) lên m. + Họ x1, x2, , xn trong M được gọi là độc lập tuyến tính trên Δ 1, ( 0i i i n x = ⇔ α = ,∑ 0, 1, , )i ii n⇒α = ∀ = α ∈Δ + R được gọi là tác động dày đặc lên M n⇔∀ , ∀ họ x1, x2, , xn trong M độc lập tuyến tính trên và ∀ y1, y2, , yn Δ ∈M, ∃r∈R sao cho xir = yi, 1,i n∀ = . 16 Định lí dày đặc: Cho R là vành nguyên thủy, M là R – modun phải bất khả qui trung thành. Nếu Δ = C(M) thì R là vành dày đặc những phép biến đổi tuyến tính của M trên Δ . Chứng minh: * Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau bằng qui nạp theo n: “ Nếu V là không gian vectơ con của R –modun bất khả qui M, dimV = n hữu hạn thì , sao cho nhưng r ,m M m V∀ ∈ ∉ ∃ ∈r R (0)Vr = 0≠ ”. Thật vậy • dimV = n = 0: Khi đó V = (0).