Luận văn Về H – không gian và đại số hopf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Hạnh Tường Vy Trang phụ bìa VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Hạnh Tường Vy Mục lục VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF Chuyên ngành : Hình Học và Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................... 4 1.1. Đồng luân ............................................................................................... 4 1.2. Tế bào ..................................................................................................... 5 1.3. CW – phức ............................................................................................. 5 1.4. Số siêu phức (Quaternion) ..................................................................... 6 1.5. Octornion ............................................................................................... 7 1.6. K – đại số ............................................................................................. 10 1.7. Đối đại số ............................................................................................. 11 1.8. Song đại số ........................................................................................... 11 1.9. Đại số phân bậc .................................................................................... 12 1.10. Tích tenxơ .......................................................................................... 13 Chương 2. H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN ................ 14 2.1. H – không gian ..................................................................................... 14 2.2. Đối H – không gian .............................................................................. 23 Chương 3. ĐẠI SỐ HOPF ........................................................................... 28 3.1. Đại số đối đồng điều của một H – không gian là đại số Hopf ............. 28 3.2. Cấu trúc tích trên đồng điều của H – không gian ................................ 40 3.3. Đại số Hopf đối ngẫu ........................................................................... 43 KẾT LUẬN ................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 50 Danh mục các ký hiệu x : chuẩn Euclide của x . nB : quả cầu n chiều với { : 1}n nB x x= ∈ ≤ . ( )int nB : hình cầu n chiều với ( )int { : 1}n nB x x= ∈ < . x : số chiều (bậc) của x . n i       : số các tổ hợp chập i của n phần tử. . : tích cup trong đối đồng điều.  : đồng luân. ≈ : đẳng cấu. ⊗ : tích tenxơ. 1 LỜI MỞ ĐẦU Tôpô đại số là một ngành của toán học hiện đại, nó sử dụng các công cụ đại số trừu tượng để giải quyết các vấn đề về tôpô. Tôpô đại số thật sự được quan tâm đến bắt đầu từ những năm 1930 khi đối đồng điều Čech phát triển. Đại số Hopf xuất hiện một cách tự nhiên trong tôpô đại số. Sau công việc tiên phong của Connes và Kreimer, đại số Hopf đã trở thành công cụ gây xáo trộn lý thuyết trường lượng tử. Khái niệm đại số Hopf xuất hiện dần dần từ công việc của các nhà tôpô trong những năm 1940 nhằm giải quyết các vấn đề với đối đồng điều của các nhóm Lie compact và không gian thuần nhất của chúng. Trong toán học, đại số Hopf (tên viết tắt của Heinz Hopf ) là một cấu trúc mà đồng thời vừa là một đại số vừa là một đối đại số, với cấu trúc phù hợp làm nó trở thành một song đại số. Đại số Hopf có nhiều vai trò quan trọng trong lý thuyết biểu diễn cũng như lý thuyết phạm trù. Đặc biệt, có hai vai trò quan trọng trong lĩnh vực tôpô. Thứ nhất là các dạng ô vuông Steenrod tạo thành từ một đại số Hopf và cấu trúc của chúng là một trong những khía cạnh quan trọng nhất trong lý thuyết đồng điều. Thứ hai ứng dụng ở việc giải thích biểu đồ của các tiên đề để tìm ra các ứng dụng tôpô, như là công trình năm 1989 của Hennings về các bất biến của xích và 3 – đa tạp thu được từ đại số Hopf, hay gần hơn là công trình năm 1991 của Kuperberg về đại số Hopf đối hợp và các bất biến 3 – đa tạp Trong tôpô đại số, những vấn đề liên quan đến đại số Hopf bắt đầu được chú ý đến nhờ vào công trình của H. Hopf có liên quan đến tính chất tôpô của nhóm Lie. Điển hình là kết quả: “ Nếu G là nhóm Lie liên thông, thì đối đồng điều của G với hệ số thuộc trường K chính là một đại số Hopf ”. 2 Trong một bài báo năm 1941, H. Hopf đã xét đến một trạng thái tổng quát hơn cả nhóm tôpô. Ông định nghĩa một H – không gian ( hay còn gọi là không gian Hopf) là một không gian tôpô X cùng với phép toán 2 ngôi liên tục : X X Xµ × → và một điểm p X∈ sao cho cả hai hàm số từ X X→ xác định bởi ( ),x p xµ và ( ),x x pµ đều đồng luân với ánh xạ đồng nhất, với điểm p cố định. Mỗi nhóm tôpô là một H – không gian. Tuy nhiên, trong trường hợp chung, so với một nhóm tôpô, H – không gian có thể thiếu tính kết hợp và nghịch đảo. Cấu trúc nhân của một H – không gian tạo nên cấu trúc trên nhóm đồng điều và đối đồng điều của nó. Ta còn xác định được tích Pontryagin trên nhóm đồng điều của một H – không gian. Từ đây nảy sinh ra một vấn đề: “Với cấu trúc bao quát hơn cả nhóm tôpô (hiển nhiên bao gồm cả các nhóm Lie) là H – không gian, thì liệu cấu trúc đối đồng điều của nó có còn là một đại số Hopf nữa hay không ?’’ Điều này thu hút nhiều sự quan tâm đặc biệt từ các nhà toán học vì nhiều không gian quan trọng trong tôpô đại số hóa ra lại là các H – không gian. Như đã trình bày ở trên, với mong muốn khai thác những mối liên hệ giữa H – không gian và đại số Hopf nhằm chuẩn bị một nền tảng tốt cho những hướng nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực tôpô đại số, nên chúng tôi chọn tên đề tài của mình là “VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF ”. Nội dung trong luận văn được trình bày thành ba chương chính. Trong đó: Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày những khái niệm cần thiết. Những kiến thức đưa ra trong chương hầu như rất đơn giản đủ giúp chúng ta hiểu được các vấn đề ở phần sau. 3 Chương 2. H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN Chương này xây dựng những khái niệm và tính chất cơ bản nhất về H – không gian và đối ngẫu của nó là đối H – không gian. Chương 3. ĐẠI SỐ HOPF Chương này chủ yếu trình bày những mối liên hệ giữa H – không gian và đại số Hopf thông qua các ví dụ thật cụ thể. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn. Trong quá trình học tập và làm luận văn thầy luôn tận tình hướng dẫn và dẫn dắt tôi tiếp cận những hướng mới của toán học hiện đại. Sự động viên và hướng dẫn của thầy không những giúp tôi trong việc hoàn thành luận văn mà còn giúp tôi có thêm những cách nhìn nhận mới trong các vấn đề của xã hội. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn các giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học và Tôpô khóa 23 đã giúp đỡ tôi nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, ban lãnh đạo và các chuyên viên phòng Sau Đại Học đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này. 4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương này chủ yếu nhắc lại cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau. 1.1. Đồng luân 1.1.1. Định nghĩa Một phép đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f và g từ một không gian tôpô X đến một không gian tôpô Y được định nghĩa là một ánh xạ liên tục [ ]: 0;1H X Y× → sao cho nếu x X∈ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ,0 ,1 H x f x H x g x =  = . Ánh xạ f và g được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một phép đồng luân H như định nghĩa trên. 1.1.2. Tính chất Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập hợp của tất cả các ánh xạ liên tục từ X đến Y . Quan hệ đồng luân này là tương hợp với sự hợp thành ánh xạ theo nghĩa sau: “ Nếu 1 1 2 2, : ; , :f g X Y f g Y Z→ → là đồng luân thì hợp thành 2 1 2 1, :f f g g X Z→  cũng là đồng luân’’. 1.1.3. Định nghĩa Cho hai không gian ,X Y , ta nói rằng chúng là tương đương đồng luân (hoặc là cùng dạng đồng luân) nếu: “tồn tại hai ánh xạ liên tục : , :f X Y g Y X→ → sao cho g f là đồng luân với ánh xạ đồng nhất Xid và f g là đồng luân với ánh xạ đồng nhất Yid ’’ . 5 Cụ thể là X và Y là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục :f X Y→ và :g Y X→ và các phép đồng luân [ ]: 0;1 ,H X X× → [ ]: 0;1G Y Y× → sao cho: ( ) ( ) ( ),0 ; ,1 ,H x x H x g f x x X= = ∀ ∈ và ( ) ( ) ( ),0 ; ,1 ,G y y G y f g y y Y= = ∀ ∈ . Hai không gian tôpô đồng phôi thì tương đương đồng luân, nhưng ngược lại thì không đúng. Không gian tương đương đồng luân đến một điểm được gọi là “ co rút được”. 1.2. Tế bào Định nghĩa: Trong không gian n , quả cầu đóng n chiều được kí hiệu là { : 1}n nB x x= ∈ ≤ , trong đó x kí hiệu cho chuẩn Euclide của x . Một không gian được tạo thành bởi ảnh của nB qua một phép đồng phôi nào đó được gọi là một n - tế bào. Trong n , ta có [ ] 1 0,1 n n n i i B I = ≈ =∏ nên trong nhiều tài liệu các tác giả còn định nghĩa một n - tế bào là không gian đồng phôi với nI . 1.3. CW – phức Định nghĩa: Một cặp ( ),X ε bao gồm một không gian Hausdorff X và một phân hoạch tế bào ε của X được gọi là một CW – phức nếu thỏa ba điều kiện sau đây: 1. Với mỗi n - tế bào e ε∈ , có một ánh xạ : ne B Xφ → hạn chế thành một đồng cấu ( ) ( )int| : intn n e B B eφ → và biến 1nS − vào 1nX − . 2. Với bất kì n - tế bào e ε∈ thì bao đóng e chỉ là giao hữu hạn của các tế bào khác trong ε . 3. Một tập con A X⊆ là đóng nếu A e là đóng trong X với mỗi e ε∈ . 6 1.4. Số siêu phức (Quaternion) 1.4.1. Định nghĩa Như là một tập hợp, các số siêu phức H tương đương như 4 . H có ba toán tử : cộng, nhân vô hướng, và nhân siêu phức: • Tổng của hai phần tử của H được định nghĩa như tổng các phần tử trong 4  . • Tương tự, tích của một phần tử của H với một số thực được định nghĩa là giống như tích bởi một vô hướng trong 4 . • Để xác định tích của hai phần tử trong H đòi hỏi một sự lựa chọn cơ sở cho 4 . Các phần tử của cơ sở này ký hiệu là 1, , ,i j k . Mọi phần tử của H có thể được viết một cách duy nhất như một sự biểu diễn tuyến tính của các phần tử cơ sở này, ví dụ như a1 , , , ,bi cj dk a b c d+ + + ∀ ∈ . Phần tử cơ sở 1 sẽ là phần tử đơn vị của H, có nghĩa là nhân với 1 thì không có gì thay đổi, và vì lý do này, các phần tử của H thường được viết a , , , ,bi cj dk a b c d+ + + ∀ ∈ , bỏ đi phần tử cơ sở 1. Nếu a , , , ,bi cj dk a b c d+ + + ∀ ∈ là một siêu phức bất kì, thì a được gọi là phần vô hướng và bi cj dk+ + là phần vectơ. Tất cả các số siêu phức có thể được xem như là một vectơ trong một không gian vectơ bốn chiều. Số có dạng 0 0 0 ,a i j k a+ + + ∈ , được gọi là thực. Số có dạng 0 , , ,bi cj dk b c d+ + + ∈ và ít nhất ,b c hoặc d khác 0, được gọi là ảo thuần túy. Liên hợp của một số siêu phức tương tự liên hợp của số phức. Gọi q a bi cj dk= + + + là một số siêu phức. Các liên hợp của q là số siêu phức *q a bi cj dk= − − − . Nếu p và q là các số siêu phức thì ( )* * *pq q p= . 7 1.4.2. Tính chất Phép nhân các phần tử cơ sở • Các đơn vị: 2 2 2 1i j k ijk= = = = − ,trong đó: , ,i j k là các phần tử cơ sở của H. • Ngoài ra: , , , kj , , . ij k ji k jk i i ki j ik j = = − = = − = = − 1.4.3. Tính chất Tích Hamilton: Cho 2 phần tử 1 1 1 1a bi c j d k+ + + và 2 2 2 2a b i c j d k+ + + , tích ( )( )1 1 1 1 2 2 2 2a abi c j d k b i c j d k+ + + + + + được gọi là tích Hamilton và được xác định như là tích các phần tử cơ sở với luật phân phối: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a a . bi c j d k b i c j d k a a bb c c d d a b b a c d d c i a c b d c a d b j a d b c c b d a k + + + + + + = − − − + + + − + − + + + + − + 1.4.4. Tính chất Tính chất kết hợp nhưng không giao hoán của phép nhân Không giống phép nhân của số thực hoặc số phức, phép nhân số siêu phức là kết hợp nhưng không giao hoán. 1.5. Octornion 1.5.1. Định nghĩa Các octonion (O) có thể được coi như bộ 8 các số thực trong 8 . Mỗi octonion là một tổ hợp tuyến tính thực của các octornion đơn vị 0 1 2 3 4 5 6 7{ , , , , , , , }e e e e e e e e , trong đó 0e là vô hướng hoặc phần tử thực, nó có thể được xem như số thực 1. Mỗi octonion x có thể được viết dưới dạng 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7x x e x e x e x e x e x e x e x e= + + + + + + + với hệ số thực { }ix . 8 • Tổng của hai phần tử của O được định nghĩa như tổng các phần tử trong 8  . • Phép nhân phức tạp hơn. Nhân là phân phối trên phép cộng, vì vậy tích của hai octornion bất kì được xác định bằng cách lấy tổng các tích của tất cả các số hạng. Các tích của mỗi số hạng có thể được đưa ra bởi phép nhân các hệ số và tích các octornion đơn vị với luật như sau: × 0e 1e 2e 3e 4e 5e 6e 7e 0e 0e 1e 2e 3e 4e 5e 6e 7e 1e 1e 0e− 3e 2e− 5e 4e− 7e− 6e 2e 2e 3e− 0e− 1e 6e 7e 4e− 5e− 3e 3e 2e 1e− 0e− 7e 6e− 5e 4e− 4e 4e 5e− 6e− 7e− 0e− 1e 2e 3e 5e 5e 4e 7e− 6e 1e− 0e− 3e− 2e 6e 6e 7e 4e 5e− 2e− 3e 0e− 1e− 7e 7e 6e− 5e 4e 3e− 2e− 1e 0e− Một cách có hệ thống hơn ta có thể định nghĩa của octonion thông qua xây dựng của Cayley - Dickson. Cũng như số siêu phức có thể được định nghĩa là các cặp số phức, các octonion có thể được định nghĩa là cặp số siêu phức. Các tích của hai cặp siêu phức ( ),a b và ( ),c d được xác định bởi 9 ( )( ) ( )* *, , ,a b c d ac d b da bc= − + trong đó *z là liên hợp của các siêu phức z . Định nghĩa này tương đương với định nghĩa đưa ra ở trên khi tám octonion đơn vị được xác định bởi các cặp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0 , ,0 , ,0 , ,0 , 0,1 , 0, , 0, , 0,i j k i j k . 1.5.2. Định nghĩa Liên hợp của một octonion 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7x x e x e x e x e x e x e x e x e= + + + + + + + được cho bởi * 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7x x e x e x e x e x e x e x e x e= − − − − − − − . Nếu ,x y là các octornion thì ( )* * *xy y x= . Trong đó: • Phần thực của x được cho bởi * 0 0.2 x x x e+ = • Phần ảo là * 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7.2 x x x e x e x e x e x e x e x e− = + + + + + + Tích của một octonion với liên hợp của nó, * *. .x x x x= luôn luôn là một số thực không âm: * 2 2 2 2 2 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7x x x x x x x x x x= + + + + + + + . Chuẩn của một octonion được định nghĩa như sau *.x x x= . Chuẩn này phù hợp với chuẩn Ơclit trên 8 . Sự tồn tại của một chuẩn trên O suy ra sự tồn tại của ảnh ngược cho mỗi phần tử khác không của O. Nghịch đảo của 0x ≠ được cho bởi * 1 2 xx x − = . Rõ ràng nghịch đảo này thỏa 1 1. 1x x x x− −= = . 1.5.3. Tính chất Phép nhân Octonion là : • Không giao hoán : i j j i j ie e e e e e= − ≠ nếu , 0i j ≠ hoặc .i j≠ • Cũng không kết hợp : ( ) ( ) ( )i j k i j k i j ke e e e e e e e e= − ≠ nếu , ,i j k là phân biệt, khác không hoặc nếu i j ke e e≠ ± . 10 Vì tính không kết hợp, octonion không có ma trận biểu diễn, không giống như số siêu phức. 1.6. K – đại số Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết vành, một đại số trên một vành giao hoán là sự khái quát từ khái niệm của một đại số trên một trường, trong đó trường cơ sở được thay thế bằng vành giao hoán . Định nghĩa: được gọi là một - đại số nếu nó là một không gian vectơ với hai ánh xạ tuyến tính và thỏa hai điều kiện sau đây: 1. Sơ đồ sau giao hoán: 2. Các ánh xạ và là các phép nhân vô hướng thì sơ đồ sau giao hoán: Theo định nghĩa này sơ đồ thứ nhất nói lên rằng - đại số là kết hợp, và sơ đồ thứ hai chỉ ra sự tồn tại của đơn vị trong . 11 1.7. Đối đại số Định nghĩa: được gọi là một - đối đại số nếu nó là một không gian vectơ với hai ánh xạ tuyến tính (đối tích) và (đối đơn vị ) với và thỏa hai điều kiện sau đây: 1. Sơ đồ sau giao hoán: 2. Với các ánh xạ , và , thì sơ đồ sau giao hoán: 1.8. Song đại số Định nghĩa: một song đại số là một không gian vectơ trong đó là một đại số và là một đối đại số và thỏa cả hai điều kiện sau: 1. là đồng cấu đại số. 2. là đối đồng cấu đại số. 12 1.9. Đại số phân bậc 1.9.1. Định nghĩa Vành R được gọi là phân bậc nếu i iR R∈= ⊕  xét như nhóm cộng và , ,i j i jR R R i j+⊆ ∀ ∈ . Hơn nữa nếu 0, 0iR i= ∀ < , thì R được gọi là vành phân bậc dương. Vành A bất kì ( không phân bậc ) có thể được cung cấp một sự phân bậc bằng cách cho 0A A= và 0, 0iA i= ∀ > . Điều này được gọi là phân bậc tầm thường trên A . 1.9.2. Định nghĩa Một đại số A trên một trường K được gọi là phân bậc nếu nó có thể được viết như một tổng trực tiếp 0 kk A A ∞ = = ⊕ của các không gian vectơ trên K sao cho phép nhân trong K thỏa mãn s r s rA A A +⊆ . Phần tử của thừa số nA bất kì trong sự phân tích được gọi là phần tử thuần nhất có bậc n . 1.9.3. Định nghĩa Một đại số A trên vành R được gọi là đại số phân bậc nếu nó được phân bậc như một vành. 1.9.4. Ví dụ • Vành đa thức: phần tử thuần nhất của bậc n chính xác là đa thức thuần nhất của bậc n . • Đại số tenxơ *T V của không gian vectơ V : phần tử thuần nhất của bậc n chính xác là tenxơ có hạng n , .nT V • Đại số ngoài *VΛ và đại số đối xứng *S V đều là đại số phân bậc. • Vành đối đồng điều *H trong lý thuyết đối đồng điều là tổng trực tiếp của nH nên cũng phân bậc . 13 1.10. Tích tenxơ 1.10.1. Định nghĩa Cho các nhóm aben A và B , tích tenxơ A B⊗ được định nghĩa là nhóm aben với phần tử sinh a b⊗ và các hệ thức sau (trong đó , ' , , 'a a A b b B∈ ∈ ) : ( ) ( )' ' ; ' 'a a b a b a b a b b a b a b+ ⊗ = ⊗ + ⊗ ⊗ + = ⊗ + ⊗ . Vì vậy phần tử 0 của A B⊗ là 0 0 0 0b a⊗ = ⊗ = ⊗ và ( ) ( )a b a b a b− ⊗ = − ⊗ = ⊗ − . 1.10.2. Tính chất 1. A B B A⊗ ≈ ⊗ . 2. ( ) ( ).i i i iA B A B⊕ ⊗ ≈⊕ ⊗ 3. ( ) ( ).A B C A B C⊗ ⊗ ≈ ⊗ ⊗ 4. .A A⊗ ≈ 5. / .n A A nA⊗ ≈ 6. Một cặp các đồng cấu : ', : 'f A A g B B→ → cảm sinh một đồng cấu ( )( ) ( ) ( ) : ' ' . f g A B A B a b f g a b f a g b ⊗ ⊗ → ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ = ⊗ 7. Một ánh xạ song tuyến tính : A B Cϕ × → cảm sinh một đồng cấu A B C⊗ → biến a b⊗ thành ( ), .a bϕ 14 Chương 2. H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN Chương 2 của luận văn dành cho việc trình bày các khái niệm và những ví dụ cụ thể về H – không gian. 2.1. H – không gian 2.1.1. Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là một H – không gian ( hay còn gọi là không gian Hopf ) nếu tồn tại một phép toán 2 ngôi liên tục : X X Xµ × → và một điểm p X∈ sao cho cả hai hàm số : ( ) ( ) 1 2 : , , : , , j X X x x p j X X x p x µ µ µ µ → →   đều đồng luân với ánh xạ đồng nhất, với điểm p cố định. Trong đó hai ánh xạ 1 2,j j được xác định như sau : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 : , , , : , , , j X X X x j x x p x X j X X X x j x p x x X → × = ∀ ∈ → × = ∀ ∈   Nghĩa là: thỏa 1 2j id jµ µ  . p đôi khi được gọi là phần tử đơn vị, mặc dù không cần đến phần tử đơn vị theo ý nghĩa thông thường. Đôi khi H – không gian còn được biết đến với một định nghĩa khác với điều kiện nghiêm ngặt hơn trong định nghĩa 2.1.1 : 15 “ Một CW phức X có điểm cơ sở p X∈ là một 0 − tế bào, nếu có một ánh xạ : X X Xµ × → sao cho các ánh xạ đi từ X X→ biến ( ),x x pµ và ( ),x p xµ là đồng luân với ánh xạ đồng nhất thì X là một H – không gian’’. 2.1.2. Định nghĩa Một không gian ( ),X µ được gọi là H – không gian đồng luân kết hợp nếu X là một H – không