Luận văn Về iđêan nguyên tố liên kết và tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm ðăng Minh VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Lời Cảm Ơn Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 19 của Trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh. Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường THPT Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tôi công tác và tất cả các bạn cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt. Phạm Đăng Minh i Mở Đầu Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là R−môđun. Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương thứ i, H iI(M) của M là hữu hạn. Nếu R là vành địa phương chính quy chứa trong một trường thì H iI(R) là hữu hạn với i ≥ 0. Điều này đã được chứng minh bởi các nhà toán học Huneke và Sharp (với i > 0) sau đó Lyubeznik chứng minh với i = 0. Cho đến ngày nay vấn đề này vẫn còn nhiều điều chưa được biết, chẳn hạng như tập các iđêan nguyên tố liên kết của H iI(R) có là hữu hạn sinh với bất kỳ vành Noether tùy ý và với bất kỳ iđêan của nó hay không. Trong trường hợp R là vành Noether không địa phương thì Singh đã chỉ ra một ví dụ với một iđêan I nào đó thì H3I (R) không là hữu hạn sinh. Khi đi nghiên cứu các vấn đề trên Hartshorne, Huneke và Koh đã đưa ra định nghĩa tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương. Một R−môđun N được gọi là I − cofinite nếu Supp(M) ⊆ V (I) và ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với bất kì i ≥ 0, ở đây V (I) được hiểu là tập các iđêan nguyên tố chứa I. Từ đây cũng thu được một kết quả quan trọng: Nếu R là vành chính quy địa phương đầy đủ M là R−môđun hữu hạn sinh thì ii iii H iI(M) là I − cofinite nếu như dimR/I ≤ 1, gần đây T. Marley, K-I. Kawasiki, K-I. Yoshida, S. Yassemi, Trần Tuấn Nam,... tiếp tục nghiên cứu và cho ra những kết quả đẹp. Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái niệm và một số kết quả về vành và môđun, iđêan nguyên tố liên kết và giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa phương, đồng điều Koszul. Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương. Đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm hiểu các tính chất của môđun Cofinite và các điều kiện để một môđun là môđun Cofinite. Môđun Cofinite được Harshorne định nghĩa trong [31] như sau: Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là R−môđun, M được gọi là I−cofinite nếu Supp(M) ⊂ V (I) và ExtiR(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i. D. Delfino đã thiết lập sự thay đổi vành chính cho tính cofinite ([5],Proposition 2) Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một B−môđun M là IB−cofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ khi M là A−môđun I−cofinite (tương ứng với iđêan I). Sử dụng định lý trên, D. Delfino tổng quát hóa kết quả trước đó của Harshorne ([5], Theorem 1). Cụ thể: Vành R là Neother địa phương, I là iđêan nguyên tố của R sao cho iv dimR/I = 1 thì H iI(M) là I-cofinite với mọi i và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M . Trong mục này chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn để một môđun là môđun cofinite, cũng như các điều kiện tương đương: Mệnh đề 2.1.9 Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M) ⊂ V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là I−cofinite thì M là I−cofinite. Mệnh đề 2.1.15 Cho (R,m) là vành địa phương với iđêan tối đại m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính. Cho A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Thì ExtiR(A,H j I (M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. Mệnh đề 2.1.16 NếuM là môđun I−cofinite thìM có chiều Goldie hữu hạn. Mệnh đề 2.1.12 cho chúng ta các điều kiện tương đương của môđun cofinite. Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm AF -môđun và FA- môđun. Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin. R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh. Từ định nghĩa trên cùng với bổ đề 2.2.2 chúng tôi chứng minh được định lý 2.2.3, qua đó chúng ta đã đưa ra được tính hữu hạn của tập ExtiR(K,H j I (M)) bởi định lý 2.2.5 Định lí 2.2.5 v(i). NếuM vàK là FAmôđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thìExtiR(K,HjI (M)) là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. (ii). NếuM vàK làAF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thìExtiR(K,HjI (M)) là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0. Trong phần tiếp theo chúng tôi tìm hiểu về Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương. Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho chúng ta điều kiện để HsI (M) là I- cofinite. Về mối liên hệ giữa môđun FA và tính cofinite chúng tôi phát biểu và chứng minh mệnh đề 2.3.10 như sau Mệnh đề 2.3.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R, s là số nguyên dương sao cho H iI(M) là FA với mọi i < s. Khi đó H iI(M) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I,H s I (M)) là hữu hạn sinh. Tiếp đó ta có mối liện hệ giữa môđun cofinite và tính hữu hạn của tập HomR(R/I,H s I (M)) được phát biểu trong định lý 2.3.11. Định lí 2.3.11 Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho ExtiR(R/I,M) là R- môđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu hạn. Nếu H iI(M) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I,H s I (M)) là hữu hạn. Tiếp đó chúng ta có mệnh đề 2.3.12 như sau: Giả sửM là R-môđun sao cho Ext1R(R/I,M) và Ext 2 R(R/I,ΓI(M)) là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I,H 1 I (M)) là hữu hạn. Từ đây chúng ta có hệ quả 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn củaAssR(H s I (M)) Hệ quả 2.3.14 Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyên vi không âm sao cho H iI(M) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó AssR(H s I (M)) là tập hữu hạn. Khi xem xét (R,m) là vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15, định lý 2.3.16, các hệ quả 2.3.17, 2.3.18 chúng ta có định lý 2.3.19 như sau Định lí 2.3.19 Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu dưới đây đúng q(I,M) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM} Cuối cùng và cũng là nội dung chính của luận văn chúng tôi tiếp tục tìm hiểu các điều kiện để AssR(H s I (M)) là tập hữu hạn. Trong phần này chúng tôi xuất phát từ bổ đề 2.4.1 chỉ ra được rằng tập {x ∈ R|Mx là Rx− môđun hữu hạn sinh} là một iđêan của R, tiếp đó chúng ta có bổ đề 2.4.6 được phát biểu như sau Bổ đề 2.4.6 Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một vành Cohen−Macaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Đặt n = dimM và r = dimM/IM . Giả sử rằng (i). M là đẳng chiều và (ii). M thỏa điều kiện Serre′s Sl với l ≤ n− r − 1. Thì H iI(M) là hữu hạn sinh với i < l + 1. Từ các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 và nhận xét 2.4.3 chúng ta có định lý sau 2.4.12 được phát biểu như sau Định lí 2.4.12 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I,M) và vii giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng: (i). dimM ≤ 3; (ii). dimR = 4 và R là miền nguyên chính; (iii). R là vành thương của vành Cohen−Macaulay, dimM/IM ≤ 2 và hoặc là dimM ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre′s Sn−3; (iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dimR/I ≤ 3 và M thỏa Sd−3 ở đây d = dimR = dimM . thì dimR/D ≤ 1. Từ định lý trên khi đi xem xét (R,m) là vành địa phương chúng ta có định lý 2.4.15 được phát biểu như sau Định lí 2.4.15 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây được thỏa mãn: (i). dimM ≤ 3; (ii). dimR = 4 và m− adic đầy đủ của R là một UFD; (iii). R là vành thương của vành Cohen −Macaulay, dimR/I ≤ 2 và hoặc dimM ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Sn−3; (iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dimR/I ≤ 3 và M thỏa điều kiện Sd−3 trong đó d = dimR = dimM . Lúc đó với mọi R−môđun hữu hạn sinh N sao cho SuppRN ⊆ V (I). Tập AssRExt i R(N,H j I (M)) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt AssRH i I(M) là tập hữu hạn với mọi i. viii Các kết quả tiếp theo chỉ cho chúng ta thấy tính không hữu hạn sinh của tập HomR(R/I,H d−1 I (R)). Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Tiến sĩ Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Do thời gian và khả năng còn hạn chế, bản thân vừa giảng dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi xin ghi nhận và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2011. Phạm Đăng Minh Mục lục Mở Đầu ii 1 Kiến Thức Chuẩn Bị 1 1.1 Các khái niệm về vành và môđun . . . . . . . . . . . 1 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . 12 1.5 Đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương 19 2.1 Môđun Cofinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 FA and AF môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Tính cofinite của môđun đối đồng điều địa phương . 40 2.4 Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương . . . . . . . . . . 51 ix xKết Luận 68 Tài Liệu Tham Khảo 69 Chương 1 Kiến Thức Chuẩn Bị 1.1 Các khái niệm về vành và môđun Định nghĩa 1.1.1. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số nguyên m ≥ 1 sao cho am = 0 ∈ R. Bổ đề 1.1.2. Giả sử S là tập con nhân của R và S không chứa 0. Khi đó trong R tồn tại một iđêan tối đại trong tập các iđêan không giao với S, và mọi iđêan như thế đều nguyên tố. Mệnh đề 1.1.3. Phần tử a ∈ R là phần tử lũy linh nếu và chỉ nếu a nằm trong mọi iđêan nguyên tố của vành R. Định nghĩa 1.1.4. Cho R là vành giao hoán và I là một iđêan của R. Radical của I, kí hiệu là √ I hoặc radR(I), tập các phần tử a ∈ R sao cho am ∈ I với m là số nguyên dương nào đó. Radical radR(I) của iđêan I là một iđêan, như vậy chúng ta có thể viết √ I = {a ∈ R|am ∈ I,m ∈ N∗} 1 2Hệ quả 1.1.5. Phần tử a ∈ R nằm trong radR(I) khi và chỉ khi nó nằm trong mọi iđêan nguyên tố chứa I. Định nghĩa 1.1.6. Cho R-môđun M và x ∈ M khi đó linh hóa tử của x trong R được kí hiệu là annR(x) và được xác định annR(x) = {a ∈ R|ax = 0} Định nghĩa 1.1.7. Cho R-môđun M khi đó linh hóa tử của M trong R được kí hiệu là annR(M) và được xác định annR(M) = {a ∈ R|ax = 0,∀x ∈M} Để ý rằng annR(x) và annR(M) là các iđêan của R. Mệnh đề 1.1.8. Cho R-môđun M và annR(x) là linh hóa tử của phần tử x ∈M . Khi đó ta có đẳng cấu R/(annR(x)) ∼= Rx Bổ đề 1.1.9. Giả sử x ∈M và annR(x) là linh hóa tử của nó. p là một iđêan nguyên tố. Khi đó (Rx)p 6= 0 khi và chỉ khi annR(x) ⊆ p. Giả sử a ∈ R và M là R-môđun nào đó, đồng cấu x 7→ ax, x ∈M gọi là đồng cấu chính liên kết với a và còn được ký hiệu là aM . Định nghĩa 1.1.10. Đồng cấu aM được gọi là lũy linh địa phương nếu với mỗi x ∈M tồn tại số nguyên n(x) ≥ 1 sao cho an(x)x = 0. Mệnh đề 1.1.11. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì đồng cấu aM là lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu aM là lũy linh. 3Mệnh đề 1.1.12. Giả sử M là R-môđun và a ∈ R. Khi đó aM là lũy linh địa phương nếu và chỉ nếu a nằm trong mọi iđêan nguyên tố p mà Mp 6= 0. Định nghĩa 1.1.13. Giả sử M là một R-môđun. Môđun con Q của M được gọi là nguyên sơ nếu Q 6= M và a ∈ R bất kỳ đồng cấu aM/Q hoặc là đơn cấu hoặc lũy linh. Nhận xét: Cho R là vành và p là một iđêan của R. Khi đó p là nguyên sơ nếu và chỉ nếu a, b ∈ R sao cho ab ∈ p mà a 6∈ p thì bn ∈ p với n ≥ 1, n ∈ Z nào đó. Mệnh đề 1.1.14. Giả sử Q là môđun con nguyên sơ của M và p là iđêan gồm tất cả các a ∈ R sao cho aM/Q lũy linh. Khi đó p là iđêan nguyên tố. Mệnh đề 1.1.15. Giả sử M là R-môđun và Q1, Q2, ..., Qr là các môđun con p-nguyên sơ đối với cùng một iđêan nguyên tố p. Khi đó môđun con Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qr cũng là p-nguyên sơ. Định nghĩa 1.1.16. Sự phân tích N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qr trong đó Qi là các môđun con nguyên sơ của M được gọi là sự phân tích tối giản nếu N không thể biểu diễn dưới dạng giao của một họ con thực sự các môđun con nguyên sơ {Q1, Q2, ..., Qr} và Qi là pi-nguyên sơ trong đó pi 6= pj với i 6= j. Định lí 1.1.17. Giả sử N là môđun của M và có hai sự phân tích nguyên sơ tối giản N = Q1 ∩Q2 ∩ ... ∩Qr = Q′1 ∩Q′2 ∩ ... ∩Q′s 4Khi đó r = s. Tập các iđêan nguyên tố tương ứng với Q1, Q2, ..., Qr và Q′1, Q ′ 2, ..., Q ′ r là như nhau. Nếu {p1, p2, ..., pm} là tập các iđêan nguyên tố cô lập tương ứng với các sự phân tích đó thì Qi = Q ′ i với mọi i = 1, 2, ...,m; hay nói khác đi, các môđun nguyên sơ thuộc vào các iđêan nguyên tố cô lập được xác định duy nhất. Định lí 1.1.18. Mọi môđun con N của R-môđun Noether M đều có sự phân tích nguyên sơ. 1.2 Iđêan nguyên tố liên kết và giá Định nghĩa 1.2.1. Cho M là một R-môđun. Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan liên kết với M nếu tồn tại một phần tử x ∈M mà annR(x) = p. Để ý p 6= R nên x 6= 0. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass(M); Giá của môđun M kí hiệu là Supp(M) = {p ∈ Spec(R)|Mp 6= 0}. Đặt V (I) = {p ∈ Spec(R)|I ⊂ p} Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì Supp(M) = V (ann(M)) Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp(R/I) = V (I) Mệnh đề 1.2.2. Giả sử M là R-môđun khác 0 và p là phần tử tối đại trong tập các iđêan linh hóa các phần tử 0 6= x ∈ M . Khi đó p là một iđêan nguyên tố. 5Hệ quả 1.2.3. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun khác 0, thì tồn tại một iđêan nguyên tố liên kết với M . Hệ quả 1.2.4. Nếu R là vành Noether và M là R-môđun Noether khác 0. Khi đó tồn tại chuỗi các môđun con 0 = Mr ⊂Mr−1 ⊂ ... ⊂M2 ⊂M1 = M sao cho mỗi môđun thương Mi/Mi+1 đẳng cấu với R/pi, trong đó pi là một iđêan nguyên tố nào đó của R. Mệnh đề 1.2.5. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun khác 0 (i). Phần tử tối đại của F = {ann(x)|x ∈ M} là iđêan nguyên tố liên kết của M . Hay Ass(M) 6= ∅. (ii). Tập các ước của không củaM là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M . Mệnh đề 1.2.6. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh, N là một R−môđun bất kì. Khi đó Ass(HomR(M,N)) = Ass(N) ∩ Supp(M) Mệnh đề 1.2.7. Cho R là một vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi đó Supp(M) ⊂ V (I) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho IkM = 0. Mệnh đề 1.2.8. Cho M,N là các R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó Supp(M ⊗R N) = Supp(M) ∩ Supp(N) 6Hệ quả 1.2.9. Cho M là R−môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan bất kì của R, khi đó Supp(M/IM) = V (I) ∩ V (ann(M)) = V (I + ann(M)) Mệnh đề 1.2.10. Cho M,N,P là các R−môđun. Nếu ta có dãy khớp 0 −→M −→ N −→ P −→ 0 thì ta có các kết quả sau: (i). Ass(N) ⊂ Ass(M) ∪ Ass(P ); (ii). Supp(N) = Supp(M) ∪ Supp(P ) Mệnh đề 1.2.11. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: (i). Ass(M) là tập hữu hạn. (ii). Ass(M) ⊂ Supp(M). (iii). Phần tử tối tiểu của Ass(M) và Supp(M) giống nhau. Định nghĩa 1.2.12. Cho R là vành giao hoán, S là một tập con nhân của R và M là một R - môđun. Trên tập M ×S ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau: Với mọi (m, s) , (m′, s′) ∈M × S: (m, s) ∼ (m′, s′)⇐⇒ ∃t ∈ S : (ms′ −m′s)t = 0 Dễ thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S. Kí hiệu tập thương M × S/∼ là S−1M và lớp tương đương của (m, s) 7là m/s. Tập S−1M có cấu trúc môđun trên vành S−1R với phép toán sau: m s + m′ s′ = s′m+ sm′ ss′ , r s m′ s′ ′ = rm′ ss′ thì S−1M là S−1R - môđun được gọi là môđun các thương của M đối với S. Đặc biệt, nếu p là một iđêan nguyên tố của R, S = R\p thì môđun S−1M thường được kí hiệu là Mp. Mệnh đề 1.2.13. Cho R là vành giao hoán và M là một R - môđun hữu hạn sinh. Khi đó: (i). SuppR(M) = {p ∈ spec(R) : (0 : M) ⊆ p} = V (annR(M)). (ii). Với S là tập con nhân của R thì SuppS−1R ( S−1M ) = SuppR(M) ∩ Spec(S−1R) (iii). Với I là iđêan của R, ta có: SuppR(M) ⊂ V (I)⇐⇒ ∃ k ∈ N ∗ : IkM = 0 (iv). Nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì SuppR(R/I) = V (I) (v). Với I là iđêan của R thì SuppR(M/IM) = V (I) ∩ V (ann(M)) = V (I + ann(M)) Mệnh đề 1.2.14. Giả sử rằng R là vành Noether và a ∈ R. M là R-môđun. Khi đó đồng cấu aM là đơn cấu khi và chỉ khi a không nằm trong một iđêan nguyên tố nào liên kết với M . 8Mệnh đề 1.2.15. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun và a ∈ R. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i). aM lũy linh địa phương; (ii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố liên kết với M ; (iii). a nằm trong mỗi iđêan nguyên tố p mà Mp 6= 0. Hệ quả 1.2.16. Giả sử R là vành Noether và M là R-môđun. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương: (i). Tồn tại chỉ một iđêan nguyên tố liên kết với M ; (ii). M 6= 0 và với mọi a ∈ R, đồng cấu aM hoặc là đơn cấu hoặc là lũy linh địa phương. Khi thỏa các điều kiện đó, tập các phần tử a ∈ R sao cho aM lũy linh địa phương trùng với iđêan nguyên tố liên kết với M . Mệnh đề 1.2.17. Giả sử M là R-môđun và N là môđun con của M . Khi đó (i). Mọi iđêan nguyên tố liên kết với N cũng liên kết với M . (ii). Một iđêan nguyên tố bất kỳ liên kết với M cũng liên kết hoặc với N hoặc M/N . Định lí 1.2.18. Giả sử R và M đều là Noether. Môđun con Q của M là nguyên sơ khi và chỉ khi có đúng một iđêan nguyên tố p liên kết với M/Q. Trong trường hợp đó p tương ứng với Q, tức là Q là p-nguyên sơ. 9Định lí 1.2.19. Giả sử R và M đều là Noether. Các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M đúng là các iđêan nguyên tố tương ứng với các môđun nguyên sơ trong sự phân tích nguyên sơ tối giản của 0 trong M . Đặc biệt tập các iđêan nguyên tố liên kết với môđun M là hữu hạn. 1.3 Số chiều - Chiều cao - Độ sâu Một dãy các môđun con của môđun M là dãy (Mi)0≤i≤n các môđun con của M thỏa M = M0 ⊃M1 ⊃ ... ⊃Mn = 0. Chiều dài của dãy là n. Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa. Điều này tương đương với việc nói rằng các môđun thương Mi/Mi+1 là đơn. Độ dài của chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi và được kí hiệu là l(M) và gọi là độ dài của môđun M . Mệnh đề 1.3.1. Cho R là vành Noether, M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều kiện dưới đây là tương đương (i). l(M) <∞ (ii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Ass(M) đều là iđêan tối đại của R (iii). Mọi iđêan nguyên tố p ∈ Supp(M) đều là iđêan tối đại của R. Hệ quả 1.3.2. Cho R là vành Noether, M là một R−môđun hữu hạn sinh, N là R−môđun bất kì. Nếu l(N) <∞ thì l(HomR(M,N)) < ∞. Do đó nếu N là R−môđun Artin thì HomR(M,N) cũng là R−môđun Artin. 10 Mệnh đề 1.3.3. Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n. Khi đó mọi dãy con của M đề