Luận văn Xấp xỉ biến đổi laplace ngược và công thức cầu phương nội suy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM LÊ DUY THỨC Chuyên Ngành : Toán Giải Tích Mã Số : 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CAM Thành Phố Hồ Chí Minh – Năm 2006 LỜI MỞ ĐẦU Phép biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật. Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được nhiều nhà Toán học quan tâm khảo cứu và đến nay có rất nhiều phương pháp được đưa ra. Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số phương pháp tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông qua công thức cầu phương nội suy. Trong đó chúng tôi đã chứng minh sự hội tụ của các công thức nội suy, và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ thu được, cũng như minh hoạ việc giải số trên máy tính thông qua một ví dụ cụ thể. Luận văn được chia làm 4 chương như sau : Chương 1 : Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho việc tính toán tích phân Mellin. Chương 2 : Khảo sát một số phương pháp tính tích phân Mellin bằng công thức cầu phương nội suy. Sau đó là các định lý về sự hội tụ của quá trình nội suy và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ. Chương 3 : Đưa ra công thức cầu phương nội suy với độ chính xác cao nhất. Chương 4 : Xây dựng công thức tính toán cho công thức cầu phương nội suy với hệ số cân bằng. Cuối cùng là một ví dụ về giải số trên máy tính. LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Cam, người Thầy đã dạy dỗ, dìu dắt tôi từ những năm đầu đại học. Xin chân thành cảm ơn PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, TS Nguyễn Thành Long, những người Thầy đã quan tâm, giúp đỡ và truyền đạt cho tôi những kiến thức nền tảng trong thời gian học đại học và cao học. Xin cảm ơn các Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho những nhận xét quý báu, các Thầy- Cô đã truyền đạt kiến thức trong các học phần. Cảm ơn BGH Trường PTTH Mạc Đĩnh Chi TPHCM, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên để tôi hoàn thành khoá học. Cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã hỗ trợ, giúp đỡ nhiều mặt. Xin cảm ơn bạn Thúy Trang, University of Western Australia, đã động viên và cung cấp nhiều tài liệu bổ ích trong quá trình làm luận văn. MỤC LỤC Lời mở đầu Hình 4.1 79 Hình 4.2 80 Hình 4.3 81 CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY 2.1. Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy 13 2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều. 16 2.3 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Không Cách Đều 17 2.4. Phương Pháp Nội Suy Sử Dụng Chuỗi Taylor Chặt cụt 23 2.5 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Công Thức (2.3.7) 24 2.6 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Của (2.1.6) 31 CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP SỐ CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC CAO NHẤT 3.1. Lý thuyết về công thức cầu phương. 34 3.2 Các Đa Thức Trực Giao Liên Hệ Với Công Thức Cầu Phương 43 3.3. Phương Pháp Tính Các Hệ Số Và Các Điểm Của Công Thức Cầu Phương 64 CHƯƠNG 4 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ CÂN BẰNG 4.1. Xây Dựng Công Thức Tính Toán 72 4.2. Một Ví Dụ Về Lời Giải Số 76 Kết luận Tài liệu tham khảo 1 CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa Cho ( )f t với , 0t ≥ ( )f t khả tích trên mọi đoạn [a,b], (0 )a b≤ < với số phức p i= σ + τ , ta định nghĩa 0 ( ) ( )ptF p e f t dt +∞ −= ∫ (1) F(p) được gọi là biến đổi Laplace của ( )f t . 1.2 Định lý Nếu F(p) xác định tại 0 0 0p i= σ + τ thì F(p) xác định tại mọi p i= σ + τ thoả . 0 0Re( )p p− = σ − σ 0≥ Chứng minh Đặt 0 0 ( ) ( ) ( 0) t p ut f u e du t−ϕ = ≥∫ Vì xác định nên 00 0 ( ) ( )p tF p e f t dt +∞ −= ∫ lim ( )t t→∞ϕ tồn tại. Suy ra tồn tại hằng số Q sao cho: ( ) , 0t Q tϕ ≤ ∀ ≥ . Xét 0 0Re( )p p− = σ − σ ≥ c (với c >0), và a>0, b>0 Ta có : 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) a b a b p p tpt a a a ba bp p t p p t a a f t e dt e d t e t p p e t d + + − −− ++− − − − = ϕ ϕ − − ϕ ∫ ∫ ∫ t (tích phân từng phần) 0 0 0 0 0 0 ( )( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 ( 0 ( ). ( ). ( ) . . . . . 2 ( a b p p a b p p a p p t a a b p p a b p p a t a a b c a b ca ct a a bct ca ca a ca ca c a a b e a e p p e t dt Q e Q e Q p p e dt Q e Qe Q p p e dt eQ e Q e Q p p c QQe p p e e c +− − + − − − − +− − + − − − σ−σ +− + − − +−− − − − − ≤ ϕ + − ϕ + − ϕ ≤ + + − ≤ + + − ≤ + + − − ≤ + − − ∫ ∫ ∫ ) 0 0 ) 2 . (2 ). b ca ca ca QQe p p e c p p Q e c + − − − ≤ + − −≤ + < ε (khi a đủ lớn) Vậy theo điều kiện Cauchy thì 0 ( )pte f t dt +∞ −∫ hội tụ nên F(p) xác định tại p với 0Re Rep p≥ . 3 1.3 Định lý Cho F(p) xác định tại 0 0 0p i= σ + τ thì F(p) là hàm chính quy trên nửa mặt phẳng Rep> 0σ Chứng minh Xét p i= σ + τ 0σ với . Lấy miền D đóng và bị chặn bất kỳ chứa trong nửa mặt phẳng Rep > , và 0σ > σ p D∈ . Khi đó Tồn tại c >0, M >0, thỏa : 0 0 Re( ) 2 , p p c p p M p D − ≥⎧⎨ − ≤ ∀ ∈⎩ Xét dãy 0 ( ) ( ) , , 1,2,3... n pt nF p e f t dt p D n −= ∈ =∫ Ta có Fn là hàm giải tích trong D vì: ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 1 ( )lim lim n p h t ptn n h h F p h F p e e f h h − + − → → + − = −∫ ( )t dt ( ) 0 0 ( )lim p h t ptn h e e f t dt h − + − → −= ∫ 0 0 1( )lim htn pt h ee f t t d ht −− → −= ∫ t t 0 ( ) n pte f t td−= −∫ Với m, n > 0, m < n ta có : 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n m n pt pt pt n m m F p F p e f t dt e f t dt e f t dt− − −− = − =∫ ∫ ∫ Theo chứng minh của định lý trong mục 1.2 ta có: 4 ( ) (2 ) n pt cm m Me f t dt Q e c − −≤ +∫ ( ) ( ) ,n mF p F p p D− < ε ∀ ∈ , khi m đủ lớn. Vậy Fn(p) hội tụ đều về F(p) và Fn(p) giải tích, do đó giải tích trên D. Hay F(p) chính quy trên nửa mặt phẳng . ( )F p 0Re p > σ 1.4 Nhận xét Đặt { 0 / (pt )E R e f t d ∞ −= σ∈ ∫ t hội tụ } (P i= σ + τ ) Và inf Eγ = + Nếu : ( )E F pγ = +∞ =∅⇒ không xác định tại mọi p + Nếu : ( )E R F pγ = −∞ = ⇒ xác định với mọi p + Nếu :Rγ∈ - Vớiσ < thì F(p) không xác định γ - Vớiσ > thì F(p) xác định và F(p) là hàm chính qui γ 1.5 Định nghĩa f(t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa: 1) f(t) xác định với , f(t) = 0 với t R∀ ∈ 0t∀ < 2) ( )f t khả tích trên mọi đoạn hữu hạn. 3) xác định tại ít nhất một p nào đó. 0 ( ) ( )ptF p e f t dt +∞ −= ∫ Lúc đó ta gọi F(p) là hàm ảnh trong biến đổi Laplace của f. 5 1.6 Định lý Cho M 0,≥ Rα∈ sao cho : ( ) , 0tf t Me t−α≤ ∀ ≥ ø, thì ta có : γ ≤ α ( định nghĩa trong 1.4) γ Chứng minh Đặt Re p = σ và giả sửσ > thì: α 0 0 ( ) ( ) .pt te f t dt f t e d ∞ ∞− −=∫ ∫ tσ 0 . .t tM e e dt ∞ α −σ≤ ∫ ( ) 0 tM e dt ∞ α−σ≤ <∫ ∞ ( )F p⇒ xác định với Re p = σ > α Vậy . γ ≤ α 1.7 Định lý Cho F(p) xác định tại 0 0 0p i= σ + τ thì lim ( ) 0p F p→∞ = ( trong nửa mặt phẳng ) 0Re p ≥ σ Chứng minh Vì F(p) xác định tại 0p nên F(p) cũng xác định tại p có . Xét A>0, ta có : 0Re p ≥ σ 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) A pt pt pt A F p e f t dt e f t dt e f t dt M M +∞ +∞− − −= = + ≡∫ ∫ ∫ + 6 với 0 0 0 0( ) ( )2 ( ) ( ). ( ) . p t p p t p t tpt A A A M e f t dt e f t e dt e f t e dt +∞ +∞ +∞− − − σ −−= = ≤∫ ∫ ∫ σ 0 ( )p t A e f t d +∞ −≤ ∫ t (vì 0( ) 1te σ −σ ≤ ). Vì xác định nên với A đủ lớn thì 0(F p ) 2M < ε . Ta có ( )f t khả tích trên đoạn [0,A] nên tồn tại hàm g(t) khả vi liên tục thỏa : 0 0 ( ) ( ) A tf t g t e dt−σ− <∫ ε 4 Do đó 1 3 0 0 0 ( ) [ ( ) ( )] ( ) A A A pt pt ptM e f t dt e f t g t dt e g t dt M M− − −= = − + ≡∫ ∫ ∫ + Trong đó 03 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) A A ttM e f t g t dt e f t g t dt−σ−σ≤ − ≤ −∫ ∫ < ε 4 0 00 0 1 1( ) ( ) '( ) 1 1 1 = (0) ( ). '( ) p AA A pt pt pt A pA pt M e g t dt g t e e g t d p p g g A e e g t dt p p − − − − − = = − + − + ∫ ∫ ∫ t suy ra 0 04 0 1 (0) ( ). '( ) A A tM g g A e e g t dt p −σ −σ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 1 .L p ≤ (L phụ thuộc A) với Lp > ε thì 4M < ε và do đó ( ) 3F p < ε . Vậy lim ( ) 0p F p→∞ = . 7 1.8 Định nghĩa Cho hàm số g(t) xác định trên R ta gọi g được biểu diễn bởi tích phân Fourier nếu với mọi t ta có : [ ]1 1( 0) ( 0) ( ) 2 2 i t i xg t g t e g t e dxd ∞ ∞τ − τ −∞ −∞ + + − = π ∫ ∫ τ (2) Phương trình (2) được gọi là công thức Fourier 1.9 Định lý Cho hàm gốc f(t) sao cho ( ) ( ). ctg t f t e−= (vớic R∈ ) thỏa mãn : i) 0 ( )g t dt ∞ ∫ hội tụ ii) 1( ) ( ) 2 i t i xg t e g x e dxd ∞ ∞τ − τ −∞ −∞ = τπ ∫ ∫ iii) [ ]1( ) ( 0) ( 0) 2 f t f t f t= + + − Thì 1( ) ( ). 2 c i pt c i f t F p e i + ∞ − ∞ = π ∫ dp (công thức Mellin) Chứng minh Cho f(t) là một hàm gốc và c R∈ thoả ( ). ctf t e− khả tích tuyệt đối trên [ )0,∞ . Đặt g(t)= ( ). ctf t e− . Giả sử g(t) thoả (2) và để đơn giản cách ghi, ta viết : [ ]1( ) ( 0) ( 0) 2 g t g t g t= + + − Công thức (2) trở thành : 8 1( ) ( ) 2 i t i xg t e g x e dxd ∞ ∞τ − τ −∞ −∞ = τπ ∫ ∫ Suy ra ( ) 0 1( ) ( ) 2 i c t i xf t e g x e dxd ∞ ∞τ+ − τ −∞ = τπ ∫ ∫ (3) Với xác định tại 0 ( ) ( ) ptF p f t e dt ∞ −= ∫ p c i= + τ thì do 0 0 ( ) ( ) .pt ctf t e dt f t ∞ ∞ =∫ e dt− −∫ nên ( ). ctf t e− khả tích tuyệt đối trên đường thẳng (với−∞ ) c i+ τ < τ < ∞ Ta có : ( ) 0 ( ) ( ) ( ). c i tF p F c i f t e dt ∞ − + τ= + τ = ∫ Và (3) cho ta : ( ) ( ) 1( ) ( ) 2 i c t c i tf t e f x e dxd ∞ ∞τ+ − + τ −∞ −∞ = τπ ∫ ∫ = ( ) 1 . ( ) 2 i c te F c i d ∞ τ+ −∞ + τ τπ ∫ Trên đường thẳng p = thì dpc i+ τ id= τ , nên ta lại có : 1( ) ( ). 2 c i pt c i f t F p e i dp + ∞ − ∞ = π ∫ (4) Công thức (4) được gọi là công thức Mellin. 1.10 Định lý 9 Xét phương trình (*) 0 . ( ) ( )pte f t dt F p ∞ − =∫ Trong đó F(p) cho trước còn f(t) là hàm gốc phải tìm, thì đây là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Chứng minh Với F(p) không phải hàm giải tích thì (*) vô ngiệm. Bây giờ ta xét f(t) ứng với hàm ảnh F(p) và f1(t) ứng với hàm ảnh F1(p) sao cho: 2 1 2 1( ), 0 ( ) 1( ), n f t t nf t f t t n ⎧ + ≤ ≤⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩ thì 1 1( , )d f f f f n= − ≥ (chọn n khá lớn) Trong khi: 2 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ( )) . n pt ptF p F p e f t f t dt n e dt ∞ − −− = − =∫ ∫ 2 1 1 0 1( ) ( ) . 0 n ptF p F p n e dt M n −⇒ − ≤ ≤ →∫ (với M= [ ]0,1 sup pt t e− ∈ và ta xét 0, 0p t> ≥ ) Vậy đây là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard. 1.11 Định lý 10 Cho F(p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re p > α và thỏa : i) lim ( ) 0 p F p →∞ = trong nửa mặt phẳng Re p c≥ > α (hội tụ đều) ii) hội tụ tuyệt đối ( ) c i c i F p dp + ∞ − ∞ ∫ Thì F(P) là hàm ảnh của 1( ) ( ). 2 c i pt c i f t F p e i dp + ∞ − − ∞ = π ∫ (tức là f(t) nhận F(p) là biến đổi Laplace: 0 ( ) ( )ptF p e f t dt ∞ −= ∫ ) Chứng minh Lấy p0 thoả Rep0 > c. Ta có : 1( ) ( ). 2 c i pt c i f t F p e i dp + ∞ − ∞ = π ∫ nên 0 0 0 0 1( ) ( ( ) ) 2 c i p t p t pt c i e f t dt e e F p dp dt i ∞ ∞ + ∞− − − ∞ = π∫ ∫ ∫ (5) Với , p c iy dp idy= + = ( )pt ce F p dp e ∞ + −∞ ∫ ∫ thì : ( ) ( ) ( )iy t ct iyt c i F c iy idy ie e F c iy dy − ∞ −∞ = + = +∫ c i+ ∞ ∞ Ta có : ( ) ( )iyte F c iy dy F c iy dy ∞ ∞ −∞ −∞ + ≤ +∫ ∫ (6) 11 vì hội tụ tuyệt đối nên( ) c i c i F p dp + ∞ − ∞ ∫ ( )F c iy dy ∞ −∞ +∫ hội tụ và do đó hội tụ đều đối với t, do đó (5) cho ta: (iyte F c iy+ )dy −∞ ∫ ∞ 0 0( ) 00 0 1 1 ( )( ) 2 2 c i c i p P t c i c i F pF p dp e dt dt i i p p ∞ + ∞ ∞ + ∞− − − ∞ − ∞ = = −π π −∫ ∫ ∫ ∫( )p te f t dt (7) Xét cung ' : ( ,Re ) :RC p R p c= > trên cung này thì max ( ) ( ) 0F P R= α → khi R→∞ nên : ' '0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 R RC C F p R Rdp dp R α α≤ ≤ R p p p p p π− − −∫ ∫ → khiR→∞ Ta có với là đường cong kín tạo bởi đường thẳng RC ∼ [ ] ', Rc iR c iR C− + ∪ thì ' 0 0 0 0 ( ) dp p p−∫ ( ) ( )2 ( Rc iR C F p F p F piF p dp dp p p p p+ = +− −∫ ∫) RC π = ∼ (vì F(p) là hàm giải tích) ChoR→∞ thì ' 0 ( ) 0 RC F p dp p p →−∫ nên ta được: 0 0 ( )2 ( ) lim c iR R c iR F piF p dp p p + →∞ − π = −∫ 12 0 0 0 0 1 ( )( ) lim ( ) 2 c iR p t R c iR F pF p dp e f t dt i p p + ∞ − →∞ − ⇒ = − =π −∫ ∫ Ta đã chứng minh được rằng 0 ( ) ( )ptF p e f t dt ∞ −= ∫ với p thỏa Rep > c. 13 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY 2.1. Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy Ta xét phương pháp tính tích phân Mellin : 1( ) ( ) 2 c i pt c i f t e F i p dp + ∞ − ∞ = π ∫ (2.1.1) bằng cách thay hàm F(p) bởi một hàm khác nội suy F(p) từ một số điểm. Ta biết rằng : lim ( ) 0 p F p→∞ = . (khi cho Re p→∞ ) nên có thể giả sử F(p) được biểu diễn dưới dạng: 1( ) ( ) ( )s F p p p a = ϕ− , (s > 0), trong đó hàm ( )pϕ là chính quy trên nửa mặt phẳng Re p > α và bị chặn trên nửa mặt phẳng , tham số a phải thỏa mãn điều kiện . Re ( )c >p c≥ α c Rea ≤ α Nhờ phép đổi trục tọa độ ta có thể lấy 0a = ≤ α < . Vì vậy có thể giả sử F(p) có dạng: 1( ) ( )sF p pp = ϕ (2.1.2) trong đó ( )pϕ là chính quy trên Re p > α và liên tục trên nửa mặt phẳng Re p ≥ α . Thay (2.1.2) vào (2.1.1) ta có : 14 1( ) ( ) 2 c i pt s c i f t e p i p dp + ∞ − − ∞ = ϕπ ∫ (2.1.3) Ta chọn hệ ( )v pω thỏa điều kiện sau : Với ( )pϕ được xác định ở trên, với và c > α 0ε > thì có một tổ hợp tuyến tính sao cho trong miền 0 ( )va pω( ) n n v S p = = ∑ v Re p c≥ thì : 0 ( ) ( ) n v v v p a p = ϕ − ω <∑ ε . Ta xét trường hợp ( )v pω = vp− (v=0,1,), và nội suy hàm ( )pϕ bởi những đa thức theo 1 p . Lấy các điểm 0 1, ,..., np p p nằm trong nửa mặt phẳng Re p > α , ta thiết lập đa thức 1 nP p ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ nội suy hàm ( )pϕ : 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) n n n k k n k p P r p l p r p p= ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ = + = ϕ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ p (2.1.4) Trong đó : 1 1 1 k k k k pl p p ⎛ ⎞ω ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠=⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ω ⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.1.5) Với : 1 1 1 1k k p p p p ⎛ ⎞ω⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠ω =⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎝ ⎠ và 1 1 1n i i 1 p p p= ⎛ ⎞⎛ ⎞ω = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∏ 15 Thay (2.1.4) vào tích phân (2.1.3) ta có công thức sau: 0 1 1( ) ( ) ( ) 2 c i n pt s k k n kc i f t e p l p r p dp+ 0 ( ) ( ) n k k ki p + ∞ − =− ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎣ ⎦∑∫ n = A t p R= ϕ +∑ (2.1.6) trong đó : 1 1( ) 2 1 ( ) 2 c i pt s k k c i c i pt s n n c i A t e p l i p R e p r p dp i + ∞ − − ∞ + ∞ − − ∞ ⎫⎛ ⎞= dp⎪⎜ ⎟π ⎝ ⎠ ⎪⎬⎪= ⎪π ⎭ ∫ ∫ (2.1.7) Ở phần sau ta sẽ chứng minh (khi ) nên có thể bỏ đi phần dư 0nR → n→∞ nR ở (2.1.6) để có công thức tính xấp xỉ hàm gốc từ hàm ảnh : 0 1 1( ) ( ) ( ) 2 c i n pt s k k n kc i f t e p l p r p dp+ ⎥ 0 ( ) ( ) n k k ki p + ∞ − =− ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= ϕ⎢ ⎜ ⎟π ⎝ ⎠⎣ ⎦∑∫ A t p=≈ ϕ∑ (2.1.8) Bây giờ ta tính hệ số ( )kA t . Khai triển đa thức 1 kl p ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ theo lũy thừa của 1 p : 1 2 0 2 0 1 ... n j nkk k j k k kn j aa a l a a p p p p p− = ⎛ ⎞ = + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ Ta có : 0 1( ) 2 j c i n pt s j k k jc i A t e p a p i + ∞ − − =− ∞ = π ∑∫ dp 0 1 2j c in pt s j k j c i a e p dp + i ∞ − − = − ∞π∑ ∫= 1 0 1 2j c in p s j s j k j c i a e p t i dp + ∞ − − + − = − ∞ = π∑ ∫ (do đổi biến p =pt) 16 = 1 0 ( ) j s jn k j a t s j + − = Γ +∑ (2.1.9) (vì 1 1 2 ( c i p u c i e x dp i u + ∞ − ∞ =π Γ∫ ) ) Sử dụng (2.1.9) ta tính toán dễ dàng các hệ số ( )kA t k với bất kì những giá trị của t. Các giá trị của phụ thuộc vào việc chọn jka p . 2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều. Ta xét trường hợp các kp cách đều nhau trên nửa đường thẳng thực [ , : )α ∞ ( 1)kp k h= α + + ( 0, 0,1,..., )h k n> = Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1h = . Sử dụng phép đổi biến 'p p h= α + thì các điểm kp trở thành các số nguyên: ' 1kp k= + ( 0,1,...,k n)= . Trong trường hợp này, thay (2.1.9) vào (2.1.8) ta có : 1 0 0 0 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) j s jn n n k k k k j a t f t A t k k s j + − = = = ⎧ ⎫⎪ ⎪≈ ϕ + = ϕ⎨ ⎬Γ +⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ ∑ ∑ + (2.2.1) Và 1 kl p ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ được tính như sau: 17 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 1 1 1 2 1 1 k p p k p k p nl p k k k k k k n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎝ ⎠ − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ + + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ 1 ⎞⎟+ ⎠ ( 1) ( 1)...( )( 2)...( 1) ( 1)...2.1( 1)( 2)...( ) n n k p p k p k p n k k k np + − − − − − −= − − − − ( 1) ( 1) ( 1)( 2)...( 1) !( )! ( 1) n k n n k p p p n k n k p p k −− + − − −= − − − − (2.2.2) 2.3 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Không Cách Đều 2.3.1 Phương Pháp Mục này ta xét các mốc nội suy không cách đều với mong muốn thu được độ chính xác cao hơn. Theo mục 2.1 ta đã giả sử hàm ảnh F(p) được biểu diễn ở dạng: 1( ) ( ) ( )s F p p p a = ϕ− Và tích phân (2.1.1) trở thành: 1 (( ) 2 ( ) c i pt s c i p)f t e i p a dp + ∞ − ∞ ϕ= π −∫ (2.3.1) Để biến đổi nửa đường thẳng [ , )α ∞ , trong đó những mốc nội suy đã được chọn, thành khoảng hữu hạn ta dùng phép đổi biến: 18 ( 2 ) 1 A Ap x x+ − α= − (2.3.2) Với A là số thực nhỏ hơn α . Phép đổi biến trên biến nửa trục [ , )α ∞ thành đoạn [-1,1]. Đường thẳng Re p = α biến thành đường tròn đơn vị 1x = và nửa mặt phẳng Re p ≥ α biến thành hình tròn đơn vị 1x ≤ . Điểm A biến thành tâm x = 0 của đường tròn đơn vị. Đường thẳng lấy tích phân Re p c= trong tích phân (2.3.1) trở thành đường tròn nằm trong đường tròn đơn vị và tiếp xúc nhau tại điểm x = 1. Bán kính của đường tròn này sẽ phụ thuộc vào c. Khi c tiến về α thì bán kính này tiến về 1. Trái lại, nếu c tăng, thì nó sẽ giảm và có thể trở thành nhỏ tùy ý. Hàm ( )pϕ trở thành : ( 2 )( ) ( ) 1 A A xp x x + − α⎛ ⎞ϕ = ϕ = Φ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (2.3.3) Vì ( )pϕ là chính quy trên nửa mặt phẳng Re p > α , nên ( )xΦ chính quy trên hình tròn 1x < . Sử dụng các giá trị của hàm ( )xΦ tại những điểm ( 0,1,2,..., )kx k n= , ta thiết lập đa thức nội suy : 0 ( ) ( ) ( ) n k k k x L x x = Φ ≈ Φ∑ = 0 1 1 0 0 1 1 ( )...( )( )...( ) ( ) ( )...( )( )...( ) n k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x x x x x x x x − + = − + − − − − Φ− − − −∑ (2.3.4) Từ (2.3.2) ta có 2 p Ax p A −= + − α nên 0 ( ) ( ) ( ) n k k kp l p p = ϕ ≈ ϕ∑ (2.3.5) 19 trong đó ( 2 ) 1 k k k A A xp x + − α= − 0 2 2( ) ( ) 2 2 i n i k k k ii i k k i p Ap A p A p Al p L x p A p A p A p A =≠ −− −+ − α + − α= = − −−+ − α + − α ∏ Vì 2 2 i i p Ap A p A p A −− −+ − α + − α = 2( )( ) ( 2 )( 2 i i A p p p A p A ) −α − +