Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số nâng cao 10 - Thpt

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Lê Thị Thanh Phương TĂNG CƢỜNG VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN VÀO DẠY MÔN TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO 10 - THPT Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học môn toán Mã Số:60.14.10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC UY Thái Nguyên, năm 2008 2 Lời cảm ơn Với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới T.S Nguyễn Ngọc Uy - người thầy đã tận tâm, nhiệt tình chỉ bảo, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài. Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn PPDH toán và các thầy cô giáo trong Khoa Toán Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành công trình nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp ở Trường THPT Lương Ngọc Quyến đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008. Tác giả Lê Thị Thanh Phương 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 2 CHƢƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Trang 5 1.1 Tính thực tiễn và phổ dụng của toán học Trang 5 1.1.1 Tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học Trang 5 1.1.2 Vai trò của toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học khác Trang 6 1.1.3 Lý luận và thực tiễn trong dạy học toán tại trường THPT Trang 11 1.2 Tính thực tiễn trong nội dung toán học phổ thông Trang 16 1.2.1 Mối liên hệ giữa thực tiễn và toán học Trang 16 1.2.2 Tình hình ứng dụng của toán học trong nhà trường phổ thông Trang 17 1.2.3 Tăng cường và làm rõ mạch toán ứng dụng và thực hành trong dạy học môn toán. Trang 20 1.3 Các định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán Trang 22 1.3.1 Tóm tắt các định hướng đổi mới PPDH hiện nay Trang 22 1.3.2 Phân tích một số định hướng có liên quan đến đề tài Trang 22 1.3.3 Định hướng đổi mới PPDH nhằm vận dụng kiến thức vào thực tiễn thông qua khai thác các bài toán có ứng dụng trong thực tế làm cho toán học gần với đời sống xã hội. Trang 23 Kết luận chung Trang 26 Chƣơng II TĂNG CƢỜNG VẬN DỤNG NHỮNG TRI THỨC ĐÃ HỌC TRONG CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP 10 VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN Trang 27 2.1 Phương pháp chung để giải các bài toán có nội dung thực tiễn Trang 28 2.2 Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học một số chương đại số 10 nâng cao – THPT Trang 30 2.2.1 Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Trang 30 2.2.2 Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Trang 42 2.2.3 Chương 3: Phương trình và hệ phương trình – Chương 4: Bất đẳng thức và bất phương trình Trang 50 2.2.4 Chương 5: Thống kê Trang 82 Kết luận chung Trang 89 CHƢƠNG III THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM Trang 90 3.1 Mục đích, nhiệm vụ thực nghiệm Trang 90 3.2 Phương pháp thực nghiệm Trang 90 3.3 Nội dung và tiến trình thực nghiệm Trang 90 Kết luận chung Trang 110 Tài liệu tham khảo Trang112 4 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Uneco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình (Learning to knovv, Learning to do, Learning to live together and learning to be). Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên. Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi phải có con người lao động có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực. Chính vì lẽ đó sự nghiệp giáo dục – đào tạo trong thời kì đổi mới hiện nay phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho HS tiềm năng trí tuệ, tự duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh trí thức, năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng được với thực tế cuộc sống. Để đáp với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục 5 tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường THPT phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống. Nội dung chương trình toán lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí chuyển tiếp và hoàn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội dung thực tiễn vào dạy học. Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học nội dung môn toán Đại số nâng cao 10 -THPT. 1. Mục đích nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu của luận văn là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn toán 10 -THPT. -Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể hiện về mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, các bài toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở THPT. Qua đó thấy được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”. - Biết vận dụng thực tế cuộc sống vào trong dạy học toán. 6 - Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, những nghiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: a/ Nghiên cứu về tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học. b/ Toán học liên hê với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong nội dung chương trình toán 10 THPT. c/Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 10 và vấn đề tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy. d/ Đề xuất biện pháp thiết kế, tổ chức dạy học, tiến hành trong giờ học đối với môn toán ở trường THPT,tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu. Sử dụng các phuơng pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau: a/Nghiên cứu lý luận. b/ Điều tra quan sát thực tiễn . c/ Thực nghiệm sư phạm. II.Cấu trúc luận văn 1) Phần mở đầu. 2) Chương 1: Cở sở lí luận và thực tiễn. 3) Chương 2. Tăng cường vận dụng các kiến thức của đại số nâng cao 10 vào giải một số bài toán thực tiễn. 4) Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 5) Kết luận. 6) Tài liệu tham khảo 7 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tính thực tiễn và phổ dụng của toán học 1 .1.1. Tính thực tiễn và tính ứng dụng của toán học. Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường phải xây dựng số phấn tử của tập hợp. Nếu số phần tử không nhiều thì ta có thể đếm trực tiếp số phần tử của nó bằng cách liệt kê, tuy nhiên nếu số phần tử của một tập hợp là rất lớn thì cách đếm trực tiếp là không khả thi hoặc phải tính toán xem khả năng này có sảy ra hay không? Ngoài ra cần phải biết tách những vật đã được đếm ra khỏi những vật khác, phân biệt chúng với nhau loại ra tất cả các tính chất khác của vật và phải biết thành lập sự tương ứng một giữa nhiều phần tử của các nhóm đồ vật khác nhau. Nhưng những khả năng này không phải do bẩm sinh và không phải tự nó thấm vào nhận thức của con người, nó là sản phẩm của sự phát triển trong hàng thế kỉ của tư duy con người, xuất phát từ hoạt động thực tiễn của họ. Ăng-ghen đã chỉ ra rằng những khái niệm toán học ban đầu – Khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học được con người trừu tượng hoá từ trong thế giới hiện thực do những nhu cầu thực tiễn của con người, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con người, do tư duy thuần tuý. Những ngón tay, ngón chân, những hón đá nhỏ, nhờ đó người ta học đếm, những đối tượng có hình dạng khác nhau mà người ta so sánh, những mảnh đất trên đó người ta đo diện tích… đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con người hoàn thiện được khái niệm về số tự nhiên, về đại lượng, về hình học. Con người đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lượng, hình dạng, thể tích, diện tích của 8 chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp nhiều nhất và nhiều lần trong hoạt động thực tiễn của họ. Khái niệm số tự nhiên đã được nhiều dân tộc phát triển trong thời gian hàng ngàn năm cùng với những nhu cầu trong cuộc sống hàng ngày. Những nhu cầu đó đã đề ra nhiều đòi hỏi ngày càng cao đối với kỹ thuật khoa học nhất là kỹ thuật tính toán. Khái niệm số là kết quả trừu tượng hoá một số tính chất của các nhóm đối tượng và vì vậy mà ngược lại nó có thể sử dụng được để làm công cụ tính toán. Khái niệm về hình học và khái niệm về đại lượng đã được hình thành và phát triển trong hoạt động lao động của con người. Thực tế cho thấy, sau khi phát sinh, lý thuyết của toán học có ảnh hưởng trực tiếp hay gián tiếp đến sự phát triển của các lực lượng sản xuất, đến các khoa học khác và tiết học nếu như có những điều kiện xã hội hưởng ứng. Ăng-ghen đã viết: “Cũng như mọi ngành khác của tư duy, những qui luật trừu xuất từ thế giới hiện thực đến một mức độ phát triển nào đó sẽ tách khỏi thế giới hiện thực, đối lập với nó như là một cái gì độc lập, như là những qui luật từ ngoài đưa đến mà thế giới bắt buộc phải phù hợp. Điều đó đã xảy ra với xã hội và nhà nước, cũng như với toán học thuần tuý; toán học thuần tuý được áp dụng vào thế giới mặc dầu rằng nó bắt nguồn từ chính thế giới ấy và chỉ là biểu thị một bộ phận của những hình thức liên hệ của thế giới”. Tóm lại tính thực tiễn của toán học thể hiện qua ứng dụng của toán học và thực tiễn đời sống. Điều này không những chỉ để nâng cao kiến thức của học sinh mà còn nhằm thực hiện nguyên lý giáo dục học đi đôi với hành, lý thuyết gắn liền với thực tiễn nhà trường gắn liền với xã hội. 1.1.2. Vai trò của toán học trong nhiều lĩnh vực của khoa học khác Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống.. Điều đó nói lên vai trò toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, văn học… 9 Những thành tựu to lớn trong thời đại của chúng ta ngày nay như năng lượng điện tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện tử… đều gắn liền với sự phát triển của những ngành toán học như đại số tổ hợp, xác xuất thông kê, hàm số phức, giải tích hàm hình học ơ-clít, hình học aphin… Cơ học và vật lý học không thể phát triển đựoc nếu không có toán học. Những điều đáng chú ý nhất trong giai đoạn cách mạng kỹ thuật mới là bên cạnh những ứng dụng của toán học vào kỹ thuật và sản xuất thông qua vật lý và cơ học thì những ứng dụng thông qua điều kiện học tăng lên không ngừng và ngày càng quan trọng. Ví dụ: Khi thực hiện bắn tên lửa lên không gian vũ trụ, để tên lửa có thể đạt được vận tốc rất lớn, cần có hai điều kiện phải tính toán. Một là khối lượng và vận tốc của tên lửa khi phụt ra cần phải lớn, hai là cần chọn tỉ lệ thích hợp giữa khối lượng của vỏ tên lửa và khối lượng nhiên liệu chứa trong nó. Từ đó người ta đã tìm ra giải pháp chế tạo tên lửa nhiều tầng. Khi nhiên liệu của tầng một đã cháy hết thì tầng một tự tách ra và bốc cháy trong khí quyển. Tầng hai bắt đầu hoạt động và tên lửa tiếp tục tăng tốc từ vận tốc đã đạt được trước đó. Do khối lượng toàn bộ tên lửa đã giảm đáng kể, nên vận tốc sẽ tăng nhanh. Quá trình lặp lại; khi nhiên liệu tầng hai cháy hết tầng này lại tự tách ra và tầng ba bắt đầu hoạt động … Nhận thấy tên lửa đảm nhiệm được nhiều vai trò to lớn cho sự phát triển của các ngành khoa học như vận chuyển các phương tiện khác nhau vào vũ trụ , phóng trạm thăm dò lên các hành tinh khác trong hệ mặt trời, đưa con người vào trong vũ trụ nghiên cứu khoa học phục vụ cho đời sống,… Trong hoá học và sinh học trước đây chỉ thỉnh thoảng có dùng đến toán , nhưng chỉ dùng đến toán học cổ điển như giải tích, phương trình vi phân, thống kê. Hiện nay đã có những bộ phận hoá học và sinh học đã sử dụng những nội dung hiện đại của toán học như tôpô học, thông tin học, máy tính điện tử… bằng những phương pháp toán học người ta có thể dự đoán ngày càng chính xác hơn các tính chất của nhiều hợp chất hoá học, hoặc có thể tính được công thức của 10 hợp chất có một số đặc tính định trước. Những bí mật của sự sống, những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, cơ cấu hoạt động của thần kinh và những vấn đề sinh lý sinh vật, việc tính toán sinh con theo ý muốn… đã và đang được nghiên cứu bằng những phương tiện toán học tinh vi, hiện đại. Một lĩnh vực không thể không nhắc đến trong cuộc sống đã chịu sự xâm nhập của phương pháp toán học và điều khiển học là Y học - Ngành khoa học có lịch sử rất lâu đời và cũng tích luỹ được nhiều kinh nghiệm phong phú. Trải qua hàng nghìn năm, y học đã biết đến hàng triệu căn bệnh khác nhau và có những phương pháp chữa trị bệnh khác nhau và cũng có rất nhiều trong sách ghi lại tỉ mỉ căn bệnh và thay đổi trạng thái cơ thể của người bệnh. Nhưng những tài liệu đó vẫn chưa được khai thác hết, bằng chứng là không thiếu những trường hợp thầy thuốc đoán nhầm bệnh vì phuơng pháp chuẩn đoán chưa hoàn hảo hoặc bó tay trước các bệnh nan y trước đây như suy thận, bệnh tim. Thời nay nhờ có các trang thiết bị máy móc hiện đại và phương pháp tính toán, việc sử dụng các phương pháp thống kê toán học và máy tính điện tử có thể giúp con người khai thác triệt để các kinh nghiệm và chuẩn đoán bệnh một cách chính xác và hiệu quả hơn. Y học đã thành công rất nhiều trong các lĩnh vực như ghép thận, ghép tim, ghép gan… Một số lĩnh vực khác thể hiện vai trò của toán học đã đưa lại nhiều kết quả đáng kể là kinh tế học. Đó là những ứng dụng hàng ngày thông qua vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất. Ai cũng biết rằng không phải chỉ cần có kỹ thuật cao, máy móc hiện đại là sản xuất tốt mà trọng tâm của vấn đề là phải biết tổ chức và quản lí sản xuất một cách khoa học để phát huy được đầy đủ hiệu quả của kỹ thuật và máy móc ấy. Đứng trước một vấn đề tổ chức sản xuất người ta có thể đưa ra rất nhiều phương án giải quyết khác nhau và đương nhiên bao giờ cũng chọn phượng án tốt nhất. Bài toán về “sự lựa chọn” ấy đã đựoc một số nhà khoa học chú ý nghiên cứu tỉ mỉ, chi tiết. Kết quả là đã ra đời một môn khoa học về các vấn đề đó gọi là vận trù học. 11 Thực tế cho thấy vận trù học và các phương pháp toán học nói chung có tác dụng rất lớn đối với sản xuất đồng thời có thể áp dụng trong hầu hết các lĩnh vực kinh tế: công nghiệp, nông nghiệp, giao thông vận tải… Trong công nghiệp đưa vào lý thuyết chương trình tuyến tính để đặt kế hoạch sản xuất hợp lý nhằm tập trung thiết bị, tiết kiệm thời gian, giảm nguyên liệu… Ví Dụ1: Hai cần cẩu lớn bốc rỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm năm cần cẩu bé (công suất bé hơn ) cùng làm việc. Cả bảy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một mình thì bao lâu xong việc. Biết rằng nếu cả bảy cần cẩu cùng làm việc từ đầu thì trong 4giờ xong việc. Giải; Gọi thời gian nếu chỉ có một cần cẩu lớn làm xong việc là x (giờ) ,x>o; Gọi thời gian một cần cẩu bé làm một mình đến khi xong việc là y (giờ). Theo đầu bài hai cần cẩu lớn làm trong 6 giờ, còn năm cần cẩu bé làm trong 3 gìơ thì xong việc. Do đó ta có phương trình 1 1512 yx (1) Nếu bảy cần cẩu cũng làm từ đầu thì trong 4 giờ xong việc. Do đó ta lại có phương trình 4 152 yx (2) Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được (x;y) =(24;30). Trả lời. Một cần cẩu lớn làm một mình trong 24 giờ thì xong công việc. Một cần cầu bé làm một mình trong 30 giờ thì xong việc. Trong nông nghiệp có thể áp dụng chương trình tuyến tính để cải tiến các kế hoạch trồng trọt, chăn nuôi nhằm tận dụng năng xuất các loại đất, năng xuất nâng cao mức thu hoạch… Ví dụ 2: Trên một cánh đồng cáy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ . Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1 ha là 12 bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là một tấn. Giải: Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), x>0 Gọi năng xuất trên 1 ha của lúa giống cũ là y (tấn),y>o Ta có hệ phương 134 4604060 xy yx Giải hệ phương trình trên ta có x=5; y=4. Trả lời. Năng suất 1 ha lúa giống mới là 5 tấn. Năng suất 1 ha lúa giống cũ là 4 tấn. Trong giao thông vận tải dùng chương trình tuyến tính để chọn phương án vận chuyển tiết kiệm nhất, giảm bớt các quãng đường chạy không, chọn phương án hợp lí để giảm bớt thời gian quay vòng… Ví Dụ 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B trong một thời gian nhất định. Nếu chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B chậm mất 2 1 giờ. Nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc đầu. Gợi ý: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x>0)và thời gian dự định là t giờ (t>0). Như vậy thời gian đi lúc ban đầu là 45 x ,lúc sau là 60 x . Do đó thời gian lúc đầu là t + 2 1 , còn lúc sau là t - 4 3 . Từ đó ta lập hệ phương trình để giải. Tóm lại toán học có vai trò to lớn với sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật khác, là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Còn một đặc điểm rất quan trọng của tình hình khoa học hiện nay là: song song với việc phân hoá theo chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học lại. Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng “toán học hoá” có nghĩa là ngày càng được sử dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học. 13 Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các khoa học với nhau thúc đẩy cùng phát triển. Ngày nay các phương pháp toán học không phải là chỉ được sử dụng trong vật lý và cơ học mà đã trở thành những phương pháp chung cho toàn bộ khoa học khác. Không phải chỉ có các nhà vật lý, cơ học và các kỹ sư mới cần đến toán mà còn có cả các nhà sinh vật học, các thầy thuố