Tóm tắt Luận án Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 Mục lục 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 4 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. . . . . 6 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. . . 6 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. . . . . . . . . . 7 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 9 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. . . . . . . . . . 9 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach. . . . . . 10 3 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 11 3.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.2 Bậc tôpô tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. . . . . . . . 13 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. . . . . . . . . . . 14 3.2.2 Khoảng giá trị tham số cho phương trình có nghiệm: . . . . . . . . . . . 14 3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng. . . 17 1 MỞ ĐẦU Lí thuyết về các không gian Banach có thứ tự và các phương trình trong chúng được hình thành từ những năm 1940 trong các công trình của M.G.Krein và M.A.Rutman, được phát triển mạnh mẽ và đạt được những kết quả sâu sắc trong giai đoạn 1950–1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii và các học trò, của E.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn,.... Lý thuyết này tiếp tục hoàn thiện cho đến tận hôm nay với những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; các phương trình xuất phát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển, Tối ưu hoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học,...). Trong thời gian tới, Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự có lẽ sẽ đi theo hai hướng: một mặt tiếp tục phát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong không gian thứ tự, mặt khác, tìm ứng dụng vào giải quyết các bài toán của các lĩnh vực khác mà ban đầu có thể không liên quan đến các phương trình trong không gian thứ tự. Luận án của chúng tôi sẽ trình bày các nghiên cứu theo hai hướng nêu trên. Cụ thể, theo hướng thứ nhất chúng tôi nghiên cứu các phương trình xạ đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự; ở hướng thứ hai chúng tôi sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự. I. Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu các phương trình. Không gian với metric nón hoặc chuẩn nón (cũng còn gọi là không gian K-metric, không gian K-chuẩn) là một mở rộng tự nhiên của các không gian metric, định chuẩn thông thường khi metric hoặc chuẩn nhận giá trị trong nón dương của một không gian có thứ tự. Chúng được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 và được ứng dụng trong Giải tích số, Phương trình vi phân, Lí thuyết điểm bất động,... trong các công trình của Kantorovich, Collatz, P.Zabreiko và nhà toán học khác. Ta có thể thấy sự hữu ích của việc sử dụng không gian với chuẩn nón qua ví dụ sau. Giả sử ta có không gian định chuẩn thông thường (X; q) và ta muốn tìm điểm bất động của ánh xạ T : X ! X. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được không gian Banach (E; k:k) với thứ tự sinh bởi nón K  E; ánh xạ tuyến tính dương liên tục Q : E ! E và chuẩn nón p : X ! K sao cho q (x) = kp (x)k và p (T (x) T (y))  Q [p (x y)] , x; y 2 X: (1) Từ (1) ta suy ra 9k > 0 : q (T (x) T (y))  kq (x y) , x; y 2 X (2) Nếu chỉ làm việc trong (X; q) với tính chất (2) thì ta có được ít thông tin hơn khi làm việc với (1) vì từ (1) ta có thể sử dụng các tính chất của ánh xạ tuyến tính dương đã được tìm ra trong Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự. Gần đây, các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với nón metric sôi động trở lại. Tuy nhiên, các kết quả ở giai đoạn sau này không sâu và không có những ứng dụng mới so với các nghiên cứu ở những giai đoạn trước. Ngoài ra các nghiên cứu về điểm bất động trong không gian với metric nón ở giai đoạn trước và gần đây cũng chỉ tập trung vào Nguyên lí Cacciopoli-Banach và các mở rộng của nó. Trong chương 1 của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả về định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho ánh xạ T + S trong không gian với chuẩn nón. Các kết quả này được chúng tôi ứng dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm trên [0;1) cho một bài toán Cauchy trên thang các không gian Banach với kì dị yếu. Độ đo phi compact với giá trị trong nón được định nghĩa và có các tính chất tương tự như độ đo phi compact với giá trị trong R. Nó được sử dụng, tuy chưa nhiều, để chứng minh sự tồn 2 tại nghiệm của các phương trình. Mối liên hệ giữa độ đo phi compact và phương trình trong không gian có thứ tự được thể qua ví dụ sau đây. Giả sử ta có không gian Banach X và ánh xạ f : X ! X, ' là độ đo phi compact xác định trên một họ M các tập con của X và nhận giá trị trong nón K của không gian có thứ tự E. Giả sử tồn tại ánh xạ tăng A : K ! K sao cho '[f (Y )]  A [' (Y )] ; 8Y 2M mà ta muốn chứng minh f là cô đặc theo độ đo '. Nếu có Y 2 M thoả mãn ' [f (Y )]  ' (Y ) thì ta có ' (Y )  A [' (Y )]. Như vậy phần tử ' (Y ) 2 K là một nghiệm dưới của phương trình u = A (u) và ta có thể sử dụng các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng A để chứng minh ' (Y ) = 0. Trong chương 2 của luận án chúng tôi đã đưa ra một số điều kiện để ánh xạ là cô đặc theo một độ đo phi compact với giá trị trong nón và áp dụng vào một phương trình vi phân có chậm dạng x0 (t) = f [t; x (t) ; x (h (t))] ; 0  h (t)  t1=: Các kết quả chính đạt được trong chương 1 và chương 2 đã được nhận đăng trong tạp chí Fixed Point Theory, số 2(2016). II. Phương trình đa trị chứa tham số trong không gian có thứ tự. Nghiên cứu về phương trình với ánh xạ đơn trị chứa tham số dạng x = A (; x) trong không gian có thứ tự đã thu được các kết quả sâu sắc, bắt đầu từ định lý Krein-Rutman về giá trị riêng, vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương mạnh, tiếp theo là các nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm của phương trình trong các bài báo của Krasnoselskii, Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann,... Krasnoselskii sử dụng bậc tôpô kết hợp với giả thiết về chặn dưới đơn điệu đã chứng minh rằng tập nghiệm S1 = fx j 9 : x = A (; x)g là liên tục theo nghĩa trên biên của mọi tập mở, bị chặn chứa  đều có điểm của S1. Dancer, Rabinowitz, Nussbaum, Amann đã sử dụng bậc tôpô kết hợp với một định lý về tách các tập compact liên thông để chứng minh sự tồn tại thành phần liên thông không bị chặn trong tập S2 = f(; x) j x 6= , x = A (; x)g. Một cách tự nhiên, chúng ta xét bao hàm thức x 2 A (; x) và muốn thiết lập các kết quả về tồn tại nghiệm và cấu trúc tập nghiệm của nó. Chương 3 luận án chúng tôi giới thiệu các kết quả về một số lớp phương trình đa trị trong không gian có thứ tự. Chúng tôi chứng minh tính liên tục theo nghĩa Krasnoselskii của tập nghiệm của phương trình có chặn dưới đơn điệu; nhận được kết qủa về tồn tại khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm. Các kết quả này được chúng tôi áp dụng để nghiên cứu bài toán dạng điều khiển và bài toán giá trị riêng của ánh xạ đa trị tăng, thuần nhất dương. Đối với một số lớp ánh xạ đặc biệt chúng tôi chứng minh được một số tính chất mà Krein-Rutman đã thiết lập cho ánh xạ tuyến tính dương mạnh như tính bội đơn, sự duy nhất. 3 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về không gian thứ tự sinh bởi nón, các tôpô và khái niệm đầy đủ trên không gian với K-chuẩn được sử dụng. Trong Mục 1.2, Mục 1.3 chúng tôi chứng minh định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii cho tổng hai toán tử trên không gian với K-chuẩn trong các trường hợp. K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach (Định lý 1.1), K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn (Định lý 1.3), hoặc bởi họ lân cận của  (Định lý 1.5). Tiếp theo, ở mục 1.4 chúng tôi trình bày ứng dụng kết quả trên để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho hai lớp bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach, bài toán không nhiễu và bài toán nhiễu. 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. Cho (E; ) là không gian tôpô tuyến tính thực, với là tôpô tương thích với cấu trúc đại số trên E. Tập K  E gọi là nón trên E nếu: (i) K là tập lồi, đóng, khác rỗng; (ii) K  K cho tất cả   0; (iii) K \ (K) = fg. Trong E với nón K quan hệ thứ tự là: x  y , yx 2 K: Khi đó ta gọi bộ ba (E;K; ) là không gian có thứ tự. Định nghĩa 1.4 Cho (E;K; ) là không gian với thứ tự sinh bởi nón K và X là không gian tuyến tính thực. Một ánh xạ p : X ! E được gọi là K-chuẩn trên X nếu (i) p (x)  E 8x 2 X và p (x) = E nếu và chỉ nếu x = X , ở đây E, X lần lượt là phần tử không của E và X, (ii) p (x) = jj p (x) 8 2 R, 8x 2 X, (iii) p (x+ y)  p (x) + p (y) 8x; y 2 X. Nếu p là K-chuẩn trên X thì cặp (X; p) sẽ gọi là không gian K-chuẩn. Không gian này nếu được xét với tôpô  thì được ký hiệu bởi (X; p; ). 4 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Ba- nach. Cho (E;K; k:k) là không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn. Chúng ta sử dụng hai tôpô được định nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.5 1) Ta định nghĩa lim n!1 xn = x nếu và chỉ nếu lim n!1 p (xn x) =  trong E và chúng ta gọi một tập con A của X là tập đóng nếu A = ? hoặc A có tính chất: Với dãy bất kỳ fxng  A mà lim n!1 xn = x thì x 2 A. Ta có thể thấy rằng,  1 =  G  X : XnG đóng là một tôpô trên X: 2) Ta gọi  2 là tôpô trên X được xác định bởi họ các nửa chuẩn ff  p : f 2 Kg. Định nghĩa 1.6 Cho (E;K; k:k) là một không gian Banach thứ tự và (X; p) là không gian K-chuẩn. Giả sử  là một tôpô trên X 1) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Weierstrass nếu với mọi dãy bất kỳ fxng  X mà chuỗi 1P n=1 p (xn+1 xn) hội tụ trong E thì dãy fxng hội tụ trong (X; p; ). 2) Ta nói rằng (X; p; ) là đầy đủ theo Kantorovich nếu một dãy bất kỳ fxng thoả p (xk xl)  an với mọi k; l  n, fang  K, lim n!1 an = E (1.1) thì fxng hội tụ trong (X; p; ). Chú ý rằng dãy fang trong (1.1) phụ thuộc vào fxng : Định lý 1.1 Cho (E;K; k:k) là không gian Banach thứ tự, (X; p; ) là không gian K-chuẩn đầy đủ theo Weierstrass với  =  1 hoặc  =  2. Giả sử rằng C là một tập lồi, đóng trong (X; p; ) và S,T : C ! X là các toán tử thoả mãn các điều kiện sau (i) T (x) + S (y) 2 C 8x; y 2 C; (ii) S là liên tục và S (C) là tập compact đối với tôpô  ; (iii) tồn tại toán tử tuyến tính dương, liên tục Q : E ! E với bán kính phổ r (Q) < 1 sao cho: p (T (x) T (y))  Q [p (x y)] với mọi x; y 2 C: Khi đó toán tử T + S có điểm bất động trong các trường hợp sau: (C1)  =  1, K là nón chuẩn. (C2)  =  2. 5 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. Cho (E;K; ) là không gian lồi địa phương Hausdorff với thứ tự bởi nón K; tôpô xác định bởi họ các nửa chuẩn có tính chất   x  y ) ' (x)  ' (y) 8' 2 : (1.2) Không gian (X; p; ) với K-chuẩn p nhận giá trị trong E, tôpô  sinh bởi sự hội tụ của lưới theo nghĩa fxg ! x khi và chỉ khi p (x x) ! E. Định lý 1.3 Cho không gian có thứ tự (E;K; ) với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn ; đầy đủ theo dãy và (X; p; ) là không gian với p là K-chuẩn và tôpô  được xác định tương ứng. Giả sử (X; p; ) đầy đủ theo Weierstrass, C là tập lồi, đóng trong X và các ánh xạ T; S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau (1) T liên tục đều trên C, S liên tục, T (C)+C  C, S (C)  C và S (C) là compact tương đối. (2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N thoả các tính chất (2a) Chuỗi P1 n=1Qn () hội tụ trong E, 8 2 K; (2b) Với mỗi ' 2 và mỗi số " > 0 thì tồn tại  > 0 và số r 2 N để cho (8x; y 2 C, 'p (x y) <  + " ) ' [Qrp (x y)] < " ) (2c) Với mỗi z 2 C thì p (T nz (x) T nz (y))  Qn [p (x y)] 8n 2 N, x; y 2 C: Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C: 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. Định nghĩa 1.8 Cho (E;K; ) là không gian tuyến tính tôpô với tôpô và thứ tự sinh bởi nón K: 1) Một tập con M của E gọi là chuẩn tắc nếu như  2 K;  2M thoả    thì  2M: 2) Ta nói không gian lồi địa phương có thứ tự (E;K; ) có tính chất chuẩn tắc nếu nó có cơ sở lân cận của gốc là họ  gồm các tập lồi, cân đối, chuẩn tắc và nếu V , W thuộc  thì V \K +W \K cũng là tập chuẩn tắc. Định nghĩa 1.9 Cho (E;K; ) là không gian lồi địa phương có thứ tự và có cơ sở lân cận của gốc gồm các tập lồi, cân đối, chuẩn tắc. Giả sử X là một không gian tuyến tính bất kỳ và p : X ! K là một K-chuẩn trên X như đã trình bày ở Định nghĩa 1.4. Với mỗi x 2 X ta định nghĩa họ x =  x+ p1 (W ) : W 2  ; x =  V 2 X : 9W 2  và x+ p1 (W )  V 6 Ta ký hiệu  là tôpô (duy nhất) trên X nhận họ x làm hệ lân cận tại x và do đó nhận họ x là một cơ sở lân cận tại x 2 X. Định lý 1.5 Giả sử (E;K; ) là không gian lồi địa phương có thứ tự, đầy đủ theo dãy, có tính chất chuẩn tắc và không gian (X; p; ) được xây dựng ở Định nghĩa 1.9 là đầy đủ theo Weierstrass (hoặc Kantorovich). C là tập lồi, đóng trong X và các ánh xạ T , S : C ! X thoả mãn các điều kiện sau đây (1) Tz (x) = T (x) + z 2 C cho mọi x 2 C; (2) Tồn tại dãy các ánh xạ dương, liên tục fQn : E ! Egn2N có các tính chất (2a)  2 K thì 1P n=1 Qn () hội tụ, (2b) V 2  thì tồn tại W 2  và r 2 N để cho Qr (W + V )  V , (2c) Với z 2 C thì p (T nz (x) T nz (y))  Qn  p (x y) với mọi n 2 N và x; y 2 C; (3) S liên tục, S (C)  C và S (C) là compact tương đối. Khi đó ánh xạ T + S có điểm bất động trong C: 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. Trong mục này chúng tôi áp dụng các định lý trừu tượng nhận được trong các mục 1.2, 1.3 để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy trong thang các không gian Banach. Cho f(Fs; k:ks) : s 2 (0; 1]g là họ các không gian Banach có tính chất Fr  Fs; kxks  kxkr 8x 2 Fr nếu 0 < s < r  1: Đặt F = \s2(0;1)Fs. Giả sử  R; x0 2 F1, f; g :  F ! F là các ánh xạ thoả mãn điều kiện f; g :  (F; k:kr) ! Fs liên tục 8 0 < s < r  1: Xét bài toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] + g [t; x (t)] ; t 2 ; x (0) = x0 (1.3) Chúng tôi xét hai trường hợp: Trường hợp g (t; x) = , ta có bài toán không nhiễu. Trường hợp g (t; x) 6= ; ta gọi là bài toán có nhiễu. 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. Xét bài toán Cauchy x0 (t) = f [t; x (t)] ; t 2 := [0;M ] ; x (0) = x0 2 F1 (1.4) trong đó hàm f :  F ! F thoả mãn (A1) Với 0 < s < r  1 thì f là liên tục từ  (F; k:kr) vào Fs và( kf (t; u) f (t; v)ks  Ckuvkrrs 8u; v 2 Fr; t 2 ; kf (t; )ks  Brs ; 7 trong đó B;C không phụ thuộc vào r; s; u; v; t: Ta ký hiệu 4 = f(t; s) : 0 0 là số đủ nhỏ và E là không gian các hàm u (t; s) thoả mãn hàm t 7! u (t; s) liên tục trên [0; a (1 s)) 8s 2 (0; 1) và kuk := sup n ju (t; s)j : h a(1s) t 1 i : (t; s) 2 4 o <1: Ta có E là không gian Banach, trong E ta xét thứ tự sinh bởi nón K gồm các hàm không âm. Đặt X là tập hợp các hàm x 2 \ 0<s<1 {([0; a(1 s)); Fs) sao cho q (x) = sup (t;s)24 kx (t)ks : h a(1s) t 1 i <1 Trên X ta xét K-chuẩn p : X ! K cho bởi p (x) (t; s) = kx (t)ks. Khi đó ta có q (x) = kp (x)k ; x 2 X. Định lý 1.6 Giả sử ánh xạ f thoả mãn điều kiện (A1). Khi đó với a đủ nhỏ thì Bài toán (1.4) có duy nhất nghiệm x 2 {([0; a(1 s)); Fs) 8s 2 (0; 1). Hơn nữa, ánh xạ (I T )1 là liên tục trên (X; q), trong đó Tx (t) := R t 0 f ( ; x ()) d : 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu. Xét bài toán Cauchy (1.3) với = [0;1): Giả sử f tác động từ Fs ! Fs và thoả điều kiện Lipschitz thông thường, chúng tôi xây dựng không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong một không gian lồi địa phương và chứng minh bài toán có nghiệm trên [0;1). Cụ thể hơn, chọn (E;K; ) là không gian các dãy số với tôpô xác định bởi họ nửa chuẩn f'n : E ! Rgn=1;2;:::, 'n (x) = x(n) và thứ tự sinh bởi nón K gồm tất cả các dãy số không âm. Gọi X là tập tất cả các ánh xạ x từ [0;1) vào F sao cho với mỗi s 2 (0; 1) thì x : [0;1) ! (Fs; k:ks) là liên tục. Chọn fsngn=1;2;:::  (0; 1) là dãy số thoả s1 < s2 < ::: < sn < ::: và limn!1 sn = 1. Trang bị trên X một Kchuẩn p : X ! K được định nghĩa bởi: p (x) =  sup t2 n kx (t)ksn  n=1;2;::: ; n = [0; n]. Sử dụng Định lý 1.3 chúng tôi nhận được Định lý 1.7 về sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.3) khi mà ánh xạ f; g : [0;1) F ! F thoả mãn các điều kiện sau (A1): Với mỗi s 2 (0; 1), f là (k:ks k:ks)-liên tục và tồn tại số ks > 0 để với x; y 2 F ta có kf (t; x) f (t; y)ks  ks kx yks , (1.5) (A2): Với mỗi (r; s) 2 4 thì g là (r s)-compact theo nghĩa: g là (k:kr k:ks)-liên tục và tập g (I  F ) là compact tương đối trong (Fs; k:ks) với mỗi đoạn I  [0;1), ở đây 4 = f(r; s) 2 (0; 1) (0; 1) : r > sg. Định lý 1.7 Giả sử f , g thoả các điều kiện (A1-A2) thì phương trình (1.3) có nghiệm. 8 Chương 2 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN Trong chương này chúng tôi sử dụng độ đo phi compact với giá trị trong nón để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình. Trong nghiên cứu tính chất cô đặc của ánh xạ theo độ đo phi compact với giá trị trong không gian có thứ tự có thể sử dụng các định lý điểm bất động của ánh xạ tăng trong không gian này. Nhờ đó chúng tôi chứng minh được ánh xạ là cô đặc và do đó có điểm bất động. Áp dụng kết quả này chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm của một bài toán Cauchy có chậm. 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. Định nghĩa 2.1 Cho không gian Banach X và tập sắp thứ tự bộ phận (Q;) và họ M  2X có tính chất: nếu 2M thì co ( ) 2M: Ánh xạ ' :M ! Q được gọi là một độ đo phi compact trên M nếu ' (co ) = ' ( ) cho tất cả các tập 2M: 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. Định nghĩa 2.2 Cho (E;K; k:k) là một không gian Banach có thứ tự, X là một không gian Banach và ' :M  2X ! K là một độ đo phi co