Tóm tắt Luận án Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng

Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh ---------------------- nguyễn thị quỳnh trang Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62 46 01 02 Tóm tắt luận án tiến sĩ toán học Nghệ An - 2015 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Nguyễn Quang Huy 2. PGS. TS. Trần Văn Ân Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường vào hồi .... giờ .... ngày .....tháng ..... năm...... Có thể tìm hiểu luận án tại: 1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh 2. Thư Viện Quốc gia Việt Nam 1Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 1.1 Giải tích biến phân là một bộ phận toán học được hình thành và phát triển nhằm trang bị các công cụ để nghiên cứu các bài toán tối ưu và những vấn đề có liên quan. Một mặt, các bài toán tối ưu thường xuyên xuất hiện trong các khoa học ứng dụng. Mặt khác, giải quyết vấn đề dựa vào tối ưu là một phương pháp hiệu quả trong toán học. Điều này làm cho giải tích biến phân trở thành một lĩnh vực đáng quan tâm xét theo cả góc độ lý thuyết lẫn góc độ ứng dụng. Lĩnh vực này hiện đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 1.2 Hệ thống các quy tắc tính toán đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân. Nó là cầu nối giữa những kết quả tổng quát với những ứng dụng cụ thể. Theo B. S. Mordukhovich, "bất kỳ cấu trúc hay tính chất nào được đưa ra là có tiềm năng sử dụng chỉ khi nó có các quy tắc tính toán thỏa đáng". Chính vì vậy, ngay khi giới thiệu các cấu trúc vi phân suy rộng người ta đã chú trọng đến việc thiết lập quy tắc tính toán cho chúng. Hệ thống các quy tắc tính toán bậc nhất của vi phân suy rộng trong giải tích biến phân về cơ bản đã đầy đủ. Hiện nay, phát triển quy tắc tính toán bậc hai đang là một chủ đề nghiên cứu có tính thời sự trong giải tích biến phân. Cùng với việc tìm kiếm quy tắc tính toán mới, sử dụng các quy tắc tính toán đã được thiết lập để khảo sát các tính chất của ánh xạ, hàm số hoặc tập hợp cũng là một vấn đề rất được quan tâm. 1.3 Tính đơn điệu và tính Lipschitz là những tính chất cơ bản trong giải tích biến phân và ứng dụng. Mặc dù các tính chất này đã được nghiên cứu mạnh mẽ trong những thập kỷ qua, một số vấn đề thú vị liên quan đến chúng, chẳng hạn như, đặc trưng đối đạo hàm của ánh xạ đơn điệu, đặc trưng dưới vi phân bậc hai của hàm lồi, tính ổn định kiểu Lipschitz (Lipschitz-like) của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu,..., đến nay mới chỉ được giải quyết thỏa đáng cho một số trường hợp dưới những giả thiết nhất định. Các trường hợp còn lại vẫn đang cần được khảo sát thêm. Sự phát triển gần đây của giải tích biến phân, đặc biệt là hệ thống các quy tắc tính toán, đưa đến cho chúng ta hy vọng có thể đạt được những bước tiến mới theo hướng nghiên cứu này. Với các lý do như thế, chúng tôi chọn đề tài là "Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng". 22. Mục đích nghiên cứu Luận án này nghiên cứu một số khía cạnh ứng dụng của các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân với các mục đích như sau: - Tìmmối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, các quy tắc tổng và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; - Trả lời câu hỏi "Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet có đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không?" - Làm rõ khả năng của đối đạo hàm trong việc nhận biết tính đơn điệu của các ánh xạ liên tục và khả năng của dưới vi phân bậc hai trong việc nhận biết tính lồi của các hàm số khả vi liên tục; - Khảo sát tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu. 3. Đối tượng nghiên cứu Các quy tắc tính toán, định lý giá trị trung bình xấp xỉ, tính đơn điệu của ánh xạ, tính lồi của hàm số, tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện. 4. Phạm vi nghiên cứu Mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, các quy tắc tổng dạng đẳng thức và điều kiện tối ưu dạng Karush- Kuhn-Tucker; tính hiệu lực của định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet; các điều kiện theo đối đạo hàm để một ánh xạ liên tục là đơn điệu và các điều kiện theo dưới vi phân bậc hai để một hàm số khả vi liên tục là lồi; các điều kiện cần và điều kiện đủ để bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu là ổn định kiểu Lipschitz. 5. Phương pháp nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kỹ thuật của giải tích hàm, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu,... 6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả về hệ thống các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng. Vì nhiều bài toán thực tế dẫn đến mô hình bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện, nên kết quả về tính ổn định được thiết lập trong luận án này có thể hữu ích cho việc phân tích những bài toán đó. 37. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Năm 1963, để khảo sát các bài toán tối ưu lồi không khả vi, R. T. Rockafellar đã giới thiệu khái niệm dưới vi phân cho các hàm lồi. Lúc đầu ông gọi nó là vi phân của hàm lồi, nhưng về sau đổi thành dưới vi phân của hàm lồi. Đây là khái niệm dưới vi phân đầu tiên trong giải tích biến phân. Những nghiên cứu về vi phân suy rộng của hàm lồi và các vấn đề liên quan ở đầu thập niên 1960 dẫn đến sự ra đời của Giải tích lồi. Từ đó đến nay, lĩnh vực này tiếp tục được phát triển và đã trở thành một bộ phận quan trọng của giải tích biến phân. Năm 1973, F. H. Clarke đã đưa ra khái niệm đạo hàm theo hướng Clarke và dưới vi phân Clarke của hàm Lipschitz địa phương. Những khái niệm này sau đó đã được mở rộng cho các hàm số bất kỳ, không cần Lipschitz địa phương. Bên cạnh các quy tắc tính toán dạng bao hàm thức, F. H. Clarke cũng đã thiết lập một hệ thống quy tắc tính toán dạng đẳng thức cho lớp hàm chính quy Clarke. Lý thuyết vi phân suy rộng Clarke có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của giải tích không trơn, đặc biệt trong nửa cuối thập niên 1970 và trong thập niên 1980. Các kết quả cơ bản của lý thuyết vi phân suy rộng này đã được trình bày trong cuốn sách chuyên khảo "Optimization and Nonsmooth Analysis" của F. H. Clarke (1983). Năm 1976, để nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho một bài toán điều khiển tối ưu, B. S. Mordukhovich đã giới thiệu khái niệm nón pháp tuyến và dưới vi phân qua giới hạn. Năm 1980, B. S. Mordukhovich đưa ra khái niệm đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, dưới tên gọi là ánh xạ liên hợp (adjoint mapping). Thuật ngữ "đối đạo hàm" được sử dụng lần đầu tiên vào năm 1984 bởi A. D. Ioffe. Dưới vi phân bậc hai được B. S. Mordukhovich đưa ra năm 1992. Đây là những khái niệm cơ bản của lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich. Các quy tắc tính toán quan trọng của lý thuyết vi phân suy rộng này, bao gồm quy tắc tổng (sum rule), quy tắc chuỗi (chain rule), quy tắc giao (intersection rule), đã được nghiên cứu trong nhiều công trình, chẳng hạn, các công trình của A. D. Ioffe (1984, 2000), B. S. Mordukhovich (1994), B. S. Mordukhovich và N. M. Nam (2005), B. S. Mordukhovich và Y. Shao (1996), B. S. Mordukhovich và J. V. Outrata (2001). Lý thuyết vi phân suy rộngMordukhovich đã được trình bày trong cuốn sách chuyên khảo 2 tập "Variational Analysis and Generalized Differentiation" của B. S. Mordukhovich (2006). Ngoài những khái niệm vi phân suy rộng kể trên, còn có nhiều khái niệm vi phân suy rộng khác đã được giới thiệu nhằm mục đích nghiên cứu các bài toán 4tối ưu và các vấn đề liên quan, chẳng hạn như các loại đạo hàm theo hướng, đạo hàm của ánh xạ đa trị do J.-P. Aubin đề xuất, dưới vi phân xấp xỉ của A. D. Ioffe. Trong luận án này, chúng tôi giới hạn việc nghiên cứu trong khuôn khổ lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich. Chương 1 bắt đầu bằng việc nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản cần dùng trong luận án này. Dựa trên ý tưởng "sử dụng quy tắc chuỗi để chứng minh quy tắc tổng" của R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets (1998), Mục 1.2 cho thấy một số quy tắc tổng đã biết là những hệ quả trực tiếp của các công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh dạng đẳng thức do B. S. Mordukhovich và B. Wang thiết lập năm 2004. Trong Mục 1.3, chúng tôi thu được một kết quả về mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker (Định lý 1.3.4). Kết quả này mở rộng kết quả tương ứng của F. J. Gould và J. W. Tolle (1971) từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach bất kỳ. Công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh và quy tắc tổng dạng đẳng thức trong Chương 1 được sử dụng để nghiên cứu một số vấn đề trong những chương tiếp theo. Các định lý giá trị trung bình là những kết quả quan trọng trong giải tích biến phân. G. Lebourg (1975) là người đầu tiên đưa ra định lý giá trị trung bình cho hàm Lipschitz không trơn. Năm 1988, D. Zagrodny đã cho thấy định lý giá trị trung bình Lebourg không đúng cho hàm liên tục và vì vậy ông đã giới thiệu định lý giá trị trung bình xấp xỉ. Định lý giá trị trung bình xấp xỉ sau đó tiếp tục được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học khác như P. D. Loewen (1994), L. Thibault (1995), J. -P. Penot (1997),... Năm 1996, B. S. Mordukhovich và Y. Shao đã thiết lập định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet trong không gian Asplund, đó là không gian Banach mà mỗi không gian con đóng khả ly có đối ngẫu khả ly. Định lý giá trị trung bình xấp xỉ của B. S. Mordukhovich và Y. Shao là một công cụ để nghiên cứu vấn đề nhận biết các tính chất của hàm số qua dưới vi phân. Trong phép chứng minh một số kết quả theo hướng này, chẳng hạn định lý đặc trưng dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương và định lý đặc trưng dưới gradient của hàm đơn điệu theo nón, ngoại trừ việc sử dụng định lý giá trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet, các lập luận khác vẫn đúng trong không gian Banach tùy ý. Vì vậy, câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet có đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không? Trong Chương 2, chúng tôi chứng minh được lớp không gian Asplund là lớp không gian Banach rộng nhất mà định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet đúng trong mỗi không gian thuộc nó. 5Khái niệm ánh xạ đơn điệu cực đại xuất hiện từ đầu thập niên 1960. Dưới vi phân của các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới và phép chiếu trực giao lên tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert là những ví dụ về ánh xạ đơn điệu cực đại. Đối với ánh xạ đơn trị liên tục, tính đơn điệu và đơn điệu cực đại là trùng nhau. Tính đơn điệu cực đại của ánh xạ đã được sử dụng để nghiên cứu một số khía cạnh quan trọng của các bài toán tối ưu và cân bằng, chẳng hạn như, sự tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm và sự hội tụ của các phương pháp số. Theo kết quả cổ điển về đặc trưng tính đơn điệu, một ánh xạ đơn trị khả vi là đơn điệu nếu và chỉ nếu đạo hàm của nó là nửa xác định dương tại mọi điểm. Năm 1962, sử dụng đạo hàm theo hướng, G. J. Minty đã thiết lập một điều kiện đủ để một ánh xạ đơn trị không trơn là đơn điệu. H. Jiang và L. Qi (1995), D. T. Luc và S. Schaible (1996) đã cho thấy rằng một ánh xạ đơn trị Lipschitz địa phương trong không gian hữu hạn chiều là đơn điệu nếu và chỉ nếu mọi ma trận Jacobi suy rộng Clarke của nó là nửa xác định dương. Sau đó, thay các ma trận Jacobi suy rộng Clarke bằng các ma trận Jacobi xấp xỉ, V. Jeyakumar và các cộng sự (1998) đã thu được một điều kiện đủ để một ánh xạ đơn trị liên tục là đơn điệu. R. A. Poliquin và R. T. Rockafellar (1998) đã chứng minh được rằng đối đạo hàm của một ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại trong không gian hữu hạn chiều có tính nửa xác định dương. N. H. Chieu và N. Q. Huy (2012), B. S. Mordukhovich và T. T. A. Nghia (2013) đã mở rộng kết quả của này cho trường hợp không gian Hilbert. Gần đây, N. H. Chieu và các cộng sự (2015) đã thu được một số đặc trưng đối đạo hàm cho tính đơn điệu cực đại cho lớp ánh xạ đa trị hypo-đơn điệu (hypomonotone). Trong Chương 2, sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet, các quy tắc tổng dạng đẳng thức và định lý Weierstrass về sự tồn tại nghiệm tối ưu, chúng tôi đã thiết lập một điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ đơn trị liên tục f xác định trên không gian Asplund X là đơn điệu (Định lý 2.3.5). Điều kiện đủ của chúng tôi là điều kiện đủ cho tính đơn điệu theo đối đạo hàm đầu tiên trong giải tích biến phân. Hơn thế, nó cũng là một điều kiện cần nếu f là Lipschitz địa phương hoặc X là Hilbert. Chúng tôi cũng thu được một số điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ là đơn điệu trên một tập con của X (Định lý 2.3.17). Bằng cách áp dụng các kết quả trên cho ánh xạ đạo hàm, chúng tôi thu được một số điều kiện cần và điều kiện đủ theo dưới vi phân bậc hai để một hàm số khả vi liên tục là lồi (Định lý 2.3.21). Kết quả này cải tiến kết quả của N. H. Chieu và N. Q. Huy (2011). Tính chất kiểu Lipschitz (Lipschitz-like) của các ánh xạ đa trị được giới thiệu bởi J.-P. Aubin (1984) dưới tên gọi là tính giả Lipschitz (pseudo-Lipschitz). A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar gọi nó là tính chất Aubin, trong khi 6B. S. Mordukhovich gọi nó là tính chất kiểu Lipschitz. Năm 1993, B. S. Mor- dukhovich đã thiết lập một đặc trưng đối đạo hàm cho tính chất kiểu Lipschitz của ánh xạ đa trị, nó được gọi là tiêu chuẩn Mordukhovich. Năm 1996, sử dụng tiêu chuẩn Mordukhovich, A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar đã thu được một đặc trưng của tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện không bị nhiễu trong không gian hữu hạn chiều. Năm 2010, R. Henrion và các cộng sự đã mở rộng kết quả này lên không gian Banach phản xạ. Đối với bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu, tính ổn định Lipschitz đã được nghiên cứu bởi N. D. Yen (1995) cho trường hợp bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và S. Lu và S. M. Robinson (2008) cho trường hợp bất đẳng thức affine. Năm 2009, trong không gian hữu hạn chiều, N. D. Yen và J.-C. Yao đã thu được một số điều kiện đủ để bài toán là ổn định kiểu Lipschitz. Trong không gian hữu hạn chiều, gần đây, N. T. Qui đã giới thiệu một số cải tiến của những kết quả của N. D. Yen và J.-C. Yao. Một kết quả khác rất đáng chú ý theo hướng nghiên cứu này là kết quả của N. M. Nam (2010), ở đó tác giả lần đầu tiên đặc trưng được tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Tuy nhiên, đặc trưng này chỉ được thiết lập tại những điểm mà các véctơ hoạt xác định miền ràng buộc là độc lập tuyến tính. Tại những điểm còn lại, thâm chí người ta còn không biết liệu bài toán có thể ổn định kiểu Lipschitz được hay không. Kết quả chính trong Chương 3 là như sau: tại những điểm mà véctơ hoạt xác định miền ràng buộc là phụ thuộc tuyến tính dương, chúng tôi chứng minh được bài toán không ổn định kiểu Lipschitz, còn tại những điểm mà véctơ hoạt xác định miền ràng buộc là độc lập tuyến tính dương nhưng phụ thuộc tuyến tính, chúng tôi chỉ ra các ví dụ cho thấy bài toán vẫn có thể ổn định kiểu Lipschitz, đồng thời giới thiệu một điều kiện cần cho tính ổn định kiểu Lipschitz. Ngoài ra, trong Chương 3 của luận án chúng tôi cũng đã thu được các ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu. 7.2. Cấu trúc luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án và Danh sách tài liệu tham khảo, nội dung của luận án gồm ba chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và các kết quả liên quan đến nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi. Mục 1.1 được dành để nhắc lại các khái niệm cơ bản của giải tích biến phân cần dùng trong luận án này. Mục 1.2 cho thấy một số qui tắc tổng dạng đẳng thức là những hệ quả của các công thức tính chính xác nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh 7xạ khả vi. Mục 1.3 được dành để thiết lập một kết quả về mối quan hệ giữa công thức tính chính xác nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh và điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker. Chương 2 nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet, tính đơn điệu của các ánh xạ và tính lồi của các hàm số. Mục 2.1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị của chương này. Mục 2.2 đưa ra một đặc trưng của không gian Asplund theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet. Sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet và các quy tắc tổng, Mục 2.3 thiết lập một số kết quả về khả năng nhận biết tính đơn điệu của ánh xạ qua đối đạo hàm và nhận biết tính lồi của hàm số qua dưới vi phân bậc hai. Chương 3 nghiên cứu tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Mục 3.1 được dành để phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Mục 3.2 được dành để thiết lập các ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm của bài toán này. Mục 3.3 thu được các kết quả về tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Chương 1 Nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi Chương này được dành để khảo sát mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, quy tắc tổng dạng đẳng thức và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker. Kết quả chính là Định lý 1.3.4, nó là một mở rộng của kết quả tương ứng của F. J. Gould và J. W. Tolle (1971) từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach. 1.1. Các khái niệm cơ bản Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu đã được biết trong giải tích biến phân. Nếu không giải thích gì thêm, X và Y là các không gian Banach trên trường số thực, có các không gian đối ngẫu tôpô tương ứng là X∗ và Y ∗. Với (x∗, x) ∈ X∗ ì X , đặt 〈x∗, x〉 := x∗(x). Tôpô sinh bởi chuẩn được ký hiệu là τ‖ã‖, còn tôpô yếu∗ của không gian X∗ sẽ được ký hiệu σ ( X∗, X ) . Chuẩn trên không gian tích là ‖(x, y)‖ := ‖x‖+ ‖y‖ với mọi (x, y) ∈ X ì Y. 81.1.1 Định nghĩa. Cho Ω là tập con khác rỗng của X. (i) Với mỗi ε ≥ 0, tập hợp các ε-pháp tuyến của Ω tại x¯ ∈ Ω, ký hiệu N̂ε(x¯; Ω), là tập con của X ∗ được xác định bởi N̂ε(x¯; Ω) := { x∗ ∈ X∗ ∣∣∣ lim sup x Ω−→x¯ 〈x∗, x− x¯〉 ‖x− x¯‖ ≤ ε } , ở đây x Ω−→ x¯ có nghĩa là x→ x¯ với x ∈ Ω. Nếu x¯ 6∈ Ω, thì đặt N̂ε(x¯; Ω) := ∅. Khi ε = 0, tập hợp N̂(x¯; Ω) := N̂0(x¯; Ω) là một nón và nó được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x¯. (ii) Nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x¯ ∈ Ω, ký hiệu N(x¯; Ω), là tập con của X∗ được xác định bởi N(x¯; Ω) := Lim sup x→ x¯ ε↓0 N̂ε(x; Ω), ở đây “ Lim sup ” là giới hạn trên Painlevé-Kuratowski theo dãy, nghĩa là x∗ ∈ N(x¯; Ω) khi và chỉ khi tồn tại εk ↓ 0, xk → x¯, và x∗k ∈ N̂εk(xk; Ω) sao cho x∗k w∗−→ x∗. Ký hiệu x∗k w ∗−→ x∗ có nghĩa là x∗k → x∗ theo σ ( X∗, X ) . Qui ước N(x¯; Ω) := ∅ nếu x¯ 6∈ Ω. 1.1.2 Định nghĩa. Cho U là một tập con mở của X, f : U → Y và x¯ ∈ U. (i) Ta gọi f là khả vi chặt tại x¯ nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục ∇f(x¯) : X → Y sao cho lim x,u→x¯ x 6=u f(x)− f(u)− 〈∇f(x¯), x− u〉 ‖x− u‖ = 0. (0.1) Trong trường hợp này, ∇f(x¯) được gọi là đạo hàm chặt của f tại x¯. (ii) Nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục ∇f(x¯) : X → Y sao cho (0.1) đúng với u = x¯, thì f được gọi là khả vi tại x¯ và ánh xạ ∇f(x¯) : X → Y được gọi là đạo hàm của f tại x¯. (iii) Ta nói f là khả vi liên tục tại x¯ nếu tồn tại δ > 0 sao cho f khả vi tại mọi x ∈ Bδ(x¯) và ánh xạ ∇f : Bδ(x¯)→ L(X;Y ), x 7→ ∇f(x) là liên tục tại x¯, ở đây Bδ(x¯) là hình cầu đóng tâm x¯ bán kính δ và L(X;Y ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y. (iv) Ta nói f khả vi (tương ứng, khả vi chặt, khả vi liên tục) trên U nếu nó khả vi (tương ứng, khả vi chặt, khả vi liên tục) tại mọi điểm thuộc U. Với mỗi x ∈ X , ánh xạ ϕx : X∗ → R, x∗ 7→ ϕx(x∗) := 〈x∗, x〉 là một phiếm hàm