Tóm tắt Luận án Phân tích dao động của cơ cấu phẳng có khâu đàn hồi sử dụng tọa độ suy rộng dư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ .***. Nguyễn Sỹ Nam PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CƠ CẤU PHẲNG CÓ KHÂU ĐÀN HỒI SỬ DỤNG TỌA ĐỘ SUY RỘNG DƯ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội – 2018 Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TSKH Nguyễn Văn Khang Người hướng dẫn khoa học 2: PGS. TS Lê Ngọc Chấn Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi giờ ’, ngày tháng năm 201 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam 1 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của luận án Để tiết kiệm vật liệu, giảm quán tính cho máy và tăng tốc độ làm việc, các khâu của cơ cấu máy có thể thiết kế thanh mảnh hơn, cơ cấu nhỏ gọn hơn. Tuy nhiên, rung động thường xuất hiện khi cơ cấu chuyển động, đặc biệt ở tốc độ cao, khi tăng và giảm tốc do độ cứng vững của các khâu thanh mảnh không đủ lớn. Những rung động này làm giảm độ chính xác đối với các cơ cấu yêu cầu chính xác cao, làm chậm trễ các hoạt động nối tiếp nhau của cơ cấu do rung động vẫn tồn tại trong một khoảng thời gian nhất định, nó còn làm tăng đáng kể phản lực khớp động. Do đó, tính đàn hồi của các khâu cần được quan tâm khi nghiên cứu động lực học cơ cấu máy. Mục tiêu nghiên cứu của luận án Luận án sẽ tập trung nghiên cứu các ứng xử động lực học của cơ cấu phẳng có một hoặc vài khâu đàn hồi như tính toán sự biến dạng đàn hồi của các khâu, đánh giá sự ảnh hưởng của biến dạng tác động ngược trở lại đến chuyển động của cơ cấu trong quá trình làm việc. Qua đó sẽ tìm cách điều khiển làm giảm thiểu tác động tiêu cực do dao động của các khâu đàn hồi gây ra, đồng thời hạn chế các dao động đàn hồi này. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận án sẽ tập trung vào nghiên cứu các cơ cấu đàn hồi phẳng và thực hiện tính toán mô phỏng số, khảo sát đáp ứng một số mô hình cơ cấu phẳng cụ thể như cơ cấu bốn khâu bản lề, cơ cấu sáu khâu bản lề. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp giải tích để thiết lập các phương trình vi phân chuyển động cho các cơ cấu, tuyến tính hóa các phương trình vi phân chuyển động, kết hợp với tính toán mô phỏng số trên các phần mềm như Matlab, Maple để tính toán mô phỏng các quá trình động lực học của cơ hệ. Nội dung nghiên cứu chính của luận án + Nghiên cứu việc thiết lập phương trình chuyển động của một số cơ cấu có khâu đàn hồi. 2 + Phân tích động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi khi không có lực điều khiển và khi có lực điều khiển bổ sung. + Tuyến tính hóa phương trình động lực học và phân tích dao động của cơ cấu có khâu đàn hồi ở chế độ làm việc bình ổn. Bố cục của luận án Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 4 chương nội dung. + Chương 1: Giới thiệu tổng quan về cơ cấu máy và robot có khâu đàn hồi + Chương 2: Trình bày việc thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho một số cơ cấu có một hoặc vài khâu đàn hồi + Chương 3: Chương này nghiên cứu bài toán điều khiển cơ cấu có khâu đàn hồi bằng cách bổ sung thêm lực điều khiển ở các khâu dẫn, nhằm hạn chế ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu. Tính toán mô phỏng số bài toán động lực học thuận cơ cấu có khâu đàn hồi khi chưa có lực điều khiển bổ sung và khi có lực điều khiển bổ sung. + Chương 4: Đề xuất phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng, áp dụng cho trường hợp các cơ cấu có khâu dẫn quay đều. Từ đó sử dụng phương pháp Newmark để tính toán dao động bình ổn này. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1. Cơ cấu có khâu đàn hồi Tùy thuộc vào kích thước, các đặc trưng chịu lực cũng như yêu cầu kỹ thuật mà từng khâu của cơ cấu có thể được xem là khâu rắn tuyệt đối hay khâu đàn hồi. Cũng theo đó mà cơ cấu khảo sát có thể được xem là không có hoặc có một, hai hay nhiều khâu đàn hồi. Ví dụ như trong Trong Hình 1.2 là sơ đồ cơ cấu 6 khâu, khâu dẫn 1, tấm 3 và khâu bị dẫn 5 có thể xem là vật rắn, còn thanh truyền 2 và 4 thường dài và mảnh hơn nên có thể xem là vật rắn đàn hồi. Như vậy cơ cấu này được xem xét có 2 khâu đàn hồi là phù hợp. Trong Hình 1.3 là tay máy hai bậc tự do, trong tay máy thì độ chính xác vị trí của điểm tác động cuối là quan trọng, các khâu coi như vật đàn hồi. Còn trong Hình 1.5 là sơ đồ của robot song song 3 bậc tự do, trong đó các chân của robot thường là thanh mảnh nhưng yêu cầu chính xác rất cao, vì vậy việc xem xét các chân robot như là khâu đàn hồi cũng là cần thiết. 3 1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới Động lực học hệ nhiều vật đàn hồi là lĩnh vực khoa học thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Để nghiên cứu về vấn đề này, các nhà khoa học thường bắt đầu bằng việc xây dựng các mô hình toán học, kết quả là thu được các phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu. Các mô hình toán học thu được sẽ phục vụ cho việc mô phỏng số khảo sát các đáp ứng của hệ, thiết kế điều khiển và làm cơ sở cho bài toán thiết kế tối ưu của cơ cấu. Các nghiên cứu về xây dựng mô hình toán học. Các nghiên cứu chủ yếu sử dụng 3 phương pháp để xây dựng mô hình toán học [86] là: a) Phương pháp hệ quy chiếu động (the floating frame of reference formulation): Trong phương pháp này, dịch chuyển lớn của hệ cũng như biến dạng của các vật đàn hồi được xác định thông qua hai bộ tọa độ, bộ thứ nhất là các tọa độ xác định vị trí và hướng của hệ tọa độ tương đối gắn với mỗi vật đàn hồi, bộ thứ 2 là các tọa độ đàn hồi xác định biến dạng Hình 1.3. Tay máy hai bậc tự do Hình 1.5. Robot song song 3 bậc tự do có các chân là khâu đàn hồi O1 A B y x0 O2 C D O3 Hình 1.2. Sơ đồ động học cơ cấu 6 khâu 1 2 3 4 5 0 0 0 4 tương đối của vật đàn hồi trong hệ tọa độ gắn với vật. Với hai bộ tọa độ trên, sử dụng các phương pháp của động lực học vật rắn như các nguyên lý công khả dĩ trong động lực học, phương trình Newton–Euler, các phương trình Lagrange, sẽ thu được các phương trình vi phân chuyển động của các vật biến dạng chịu dịch chuyển lớn. Khi cho biến dạng bằng 0, phương pháp này sẽ dẫn đến phương trình vi phân chuyển động của hệ các vật rắn. Các tọa độ đàn hồi có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các phương pháp như: phương pháp các mode thành phần (component modes), phương pháp phần tử hữu hạn hoặc kỹ thuật nhận dạng bằng thực nghiệm (experimental identification techniques). Phương pháp hệ quy chiếu động được sử dụng rộng rãi, cho độ chính xác cao. b) Phương pháp phân đoạn hữu hạn (finite segment method): Trong phương pháp phân đoạn hữu hạn, vật rắn biến dạng được giả định bao gồm là các phân đoạn rắn liên kết với nhau bằng lò xo và/hoặc bộ giảm chấn. c) Lý thuyết tuyến tính của động lực học đàn hồi (linear theory of elastodynamics): Ý tưởng của phương pháp này là coi hệ đàn hồi là hệ các vật rắn, áp dụng các phương pháp tính toán và các chương trình tính để giải ra lực quán tính và các phản lực liên kết. Sau đó đưa lực quán tính và phản lực liên kết vào bài toán đàn hồi tuyến tính để giải ra biến dạng của các vật đàn hồi thuộc hệ. Cuối cùng cộng dồn biến dạng đàn hồi nhỏ trên chuyển động lớn của vật. Từ các phương pháp để thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động kể trên thì phương pháp hệ quy chiếu động có nhiều ưu điểm hơn cả, do đó luận án hướng tới sử dụng phương pháp này để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho các cơ cấu. Hơn nữa, các nghiên cứu trước đây thường thiết lập phương trình vi phân chuyển động này dạng ma trận không tường minh, do đó luận án sẽ hướng tới việc thiết lập các phương trình dạng giải tích tường minh. Một số nghiên cứu về ổn định và điều khiển: Khi sự biến dạng ảnh hưởng đến chuyển động của hệ thì vấn đề được đặt ra là nghiên cứu điều khiển các hệ đó sao cho sự ảnh hưởng của biến dạng lên cơ cấu là bé nhất hoặc giảm thiểu được dao động đàn hồi đó. Trong vấn đề này các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào các đối tượng là robot, tay máy, mà các cơ cấu máy còn ít được quan tâm. Về điều khiển cơ cấu đàn hồi, mặc dù có rất 5 nhiều nghiên cứu về phân tích động lực học cơ cấu đàn hồi, tuy nhiên các nghiên cứu về điều khiển vẫn còn ít được quan tâm. Hầu hết các công trình nghiên cứu liên quan đến điều khiển rung động của các cơ cấu đàn hồi là sử dụng một bộ phát động đặt trực tiếp trên khâu đàn hồi. Tác động của lực điều khiển và mômen điều khiển lên chuyển động tổng thể của cơ cấu không được xét đến. Ngoài ra, việc thực hiện các bộ điều khiển như vậy yêu cầu các thiết kế rất phức tạp và tốn kém. Trong nghiên cứu của Karkoub và Yigit [47], các tác giả đưa ra ý tưởng thay vì điều khiển dao động bằng bộ phát động đặt trực tiếp lên khâu đàn hồi, các tác giả thực hiện điều khiển dao động thông qua chuyển động của khâu dẫn. Trong nghiên cứu các tác giả đã tiến hành điều khiển cơ cấu bốn khâu bản lề với thanh truyền đàn hồi chịu uốn. Một mômen điều khiển được đặt lên khâu dẫn để hạn chế ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi. Để kiểm chứng hiệu quả của bộ điều khiển, các tác giả đã mô phỏng điều khiển cơ cấu ở vị trí cân bằng khi cho thanh truyền một biến dạng uốn ban đầu, kết quả là biến dạng bị triệt tiêu, cơ cấu vẫn cân bằng. Với việc điều khiển rung động thông qua khâu dẫn đã làm cho việc điều khiển trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên cũng cần các nghiên cứu đầy đủ hơn về vấn đề này. Một số nghiên cứu về tuyến tính hóa các phương trình chuyển động: Các phương trình vi phân chuyển động của hệ nhiều vật đàn hồi thường là hệ phương trình phi tuyến phức tạp. Một cách hiệu quả để giải hệ phương trình này là sử dụng phương pháp số [5, 23], tuy nhiên cũng khá phức tạp và mất nhiều thời gian cho các lời giải. Khi đó để đơn giản trong tính toán, các phương trình vi phân chuyển động được đưa về dạng tuyến tính. Đối với hệ có cấu trúc mạch vòng thì đây là vấn đề phức tạp. Các phương pháp tuyến tính hóa trước đây là khá khó áp dụng tính toán cho các cơ cấu có khâu đàn hồi. Do đó luận án cũng đặt ra vấn đề là nghiên cứu đưa ra phương pháp tuyến tính hóa phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu có cấu trúc mạch vòng theo hướng đơn giản, thuận tiện khi áp dụng tính toán số. 1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước Ở trong nước việc nghiên cứu động lực học của cơ cấu có khâu đàn hồi còn rất ít các nghiên cứu. Một số nghiên cứu của giáo sư Nguyễn Văn 6 Khang và các cộng sự [7,8,10, 73-77] về động lực học cơ cấu có khâu đàn hồi đã được thực hiện tại trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 1.4. Xác định vấn đề nghiên cứu Vấn đề thứ nhất: Áp dụng phương pháp tổng quát thiết lập phương trình vi phân động lực học chuyển động cho cơ cấu phẳng, trong đó các khâu đàn hồi được rời rạc hóa bằng một số phương pháp như phương pháp Ritz – Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Vấn đề thứ hai: Tính toán động lực học, tính toán biến dạng của các khâu đàn hồi, đánh giá sự ảnh hưởng của khâu đàn hồi đến chuyển động của cơ cấu. Sử dụng phương pháp điều khiển để hạn chế sự ảnh hưởng đó, đồng thời dập tắt các dao động đàn hồi. Vấn đề thứ ba: Các cơ cấu máy thường làm việc ở chế độ bình ổn, khi đó sự biến dạng sẽ gây ra các dao động nhỏ quanh chuyển động bình ổn đó. Luận án sẽ nghiên cứu, đưa ra phương pháp tuyến tính hóa chuyển động của cơ cấu cơ quanh chuyển động bình ổn, áp dụng phương pháp Newmark để tính toán dao động tuần hoàn ở chế độ bình ổn, từ đó phân tích động lực học trong một số trường hợp. CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU VẬT ĐÀN HỒI 2.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi Các khâu đàn hồi trong cơ cấu là hệ liên tục đặc trưng bởi vô số bậc tự do. Các thanh truyền đàn hồi này thường được rời rạc hóa thành hữu hạn bậc tự do bằng các phương pháp, phổ biến nhất là phương pháp Ritz – Galerkin và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite Element Method). 2.1.1. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp Ritz – Galerkin Trong trường hợp dầm hai đầu bản lề, chuyển vị uốn ngang tương đối w(x,t) trong hệ tọa độ Axy gắn với thanh, có trục Ax dọc theo AB sẽ được biểu diễn dưới dạng: 1 ( , ) ( ) ( ) N i i i w x t X x q t = = ∑ (2.1) 7 trong đó ( )iX x là hàm phụ thuộc vào điều kiện biên của dầm; qi(t) là các tọa độ đàn hồi. Theo phương pháp Ritz – Galerkin trong trường hợp dầm là hai đầu bản lề thì ( )iX x có dạng [4]: sini iX x L π =     (2.2) Tương tự xét thanh hai đầu bản lề, hệ trục tọa độ gắn với thanh như Hình 2.2, chuyển vị dọc trục của thanh trong hệ tọa độ tương đối được biểu diễn: 1 ( , ) ( ) ( ) N i i i u x t Y x q t = = ∑ (2.3) Ta tìm được hàm dạng [4]: 2 1( ) sin 2i i xY x l π− =     (2.4) 2.1.2. Rời rạc hóa khâu đàn hồi bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Trong phương pháp này khâu đàn hồi được chia thành một số hữu hạn các phần tử. Phần tử dầm thứ i, trong mặt phẳng sẽ có 3 bậc tự do mỗi đầu nút bao gồm chuyển vị dọc, chuyển vị ngang và góc xoay. a) Trường hợp sử dụng một phần tử để rời rạc hóa. Xét khâu AB với giả thiết thanh thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, khâu AB được coi như dầm Euler – Bernoulli. Hệ tọa độ động Axy gắn với khâu AB, trục Ax dọc theo AB. + Chuyển vị ngang của thanh có dạng [50]: 2 2 3 3 5 5 6 6( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )w x t X x q t X x q t X x q t X x q t= + + + (2.5) Từ điều kiện biên ta có các hàm dạng Hermite thỏa mãn: x L w x y A B Hình 2.1. Dầm hai đầu bản lề x y x u A B Hình 2.2. Dầm hai đầu bản lề chịu kéo A x B L q1 q2 q3 q5 Hình 2.3. Các bậc tự do của phần tử dầm q4 q6 8 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 5 62 3 2 ( ) 1 3 2 ; ( ) 2 ( ) 3 2 ; ( ) x x x xX x X x x L L L L x x x xX x X x LL L L    = − + = − +        = − = − + (2.6) + Chuyển vị dọc của thanh: 1 1 4 4( , ) ( ) ( ) ( ) ( )u x t X x q t X x q t= + (2.7) Từ điều kiện biên ta có hàm dạng Hermite thỏa mãn: 1 41 ; x xX X L L = − = (2.8) b) Trường hợp sử dụng nhiều phần tử để rời rạc hóa Chia khâu đàn hồi AB thành N phần tử đều nhau, chiều dài mỗi phần tử là l=L/N. Xét phần tử thứ i, có nút đầu là i, nút cuối là (i+1). Khi biến dạng, chuyển vị 2 nút của phần tử i là 1 2 3, ,i i iq q q tại nút đầu; 4 5 6, ,i i iq q q tại nút cuối. Như vậy tổng số tọa độ suy rộng xác định biến dạng của dầm AB khi chia dầm thành N phần tử là 3(N+1). 2.2. Thiết lập phương trình chuyển động của hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng bằng phương trình Lagrange dạng nhân tử Xét cơ hệ cấu trúc mạch vòng, hôlônôm xác định bởi m tọa độ suy rộng dư s1, s2,, sm. Giả sử hệ chịu r liên kết hôlônôm, phương trình liên kết : 1 2( , ,..., , ) ( 1,2,..., )j mf s s s t j r= (2.9) Ta có phương trình Lagrange dạng nhân tử viết cho hệ hôlônôm [5]: 1 ( 1,2,..., ) r i k i ik k k k fd T T Q k m dt s s s s λ =   ∂∂ ∂ ∂Π − = − + − = ∂ ∂ ∂ ∂  ∑  (2.10) 2.3. Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu bốn khâu bản lề với thanh truyền đàn hồi Cơ cấu bốn khâu bản lề như Hình 2.5, trong đó AB là khâu đàn hồi, OA và BC giả thiết là khâu rắn. OA= l1, AB =l2, BC = l3, OC = l0. mômen τ dẫn động chuyển động. Giả thiết: AB là thanh O A B φ1 y0 x0 φ2 φ3 C x y w x Hình 2.5. Sơ đồ cơ cấu bốn khâu bản lề M* M u τ 9 thẳng, đồng chất, thiết diện không đổi, trục của thanh trùng với trục trung hòa khi chưa biến dạng, cơ cấu nằm trong mặt phẳng ngang. 2.3.1. Biểu thức động năng, thế năng và phương trình liên kết a) Hệ tọa độ và phương trình liên kết. Hệ trục tọa độ động Axy, với Ax gắn với khâu đàn hồi AB. Các góc quay của các khâu φ1, φ2, φ3. Ta có phương trình liên kết: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 3 3 0 2 1 1 2 2 3 3 cos cos cos 0 sin sin sin 0 B B f l l u l l f l l u l ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + + − − = = + + − = (2.11) b) Động năng của hệ: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 3 1 1 2 0 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 l O C u wT I I l w x u t t u wl l x u l t t u wl w w x u dx t t ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  ∂ ∂   = + + + + + + +    ∂ ∂    ∂ ∂ − − + + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ + − − + + ∂ ∂  ∫            c) Thế năng biến dạng: 2 2 22 2 2 0 0 1 1 2 2 l lu wEA dx EI dx x x  ∂ ∂ Π = +   ∂ ∂    ∫ ∫ (2.13) Các hệ số: µ là phân bố khối lượng trên đơn vị chiều dài, E là mô đun đàn hồi, I là mômen quán tính, A là diện tích mặt cắt ngang. 2.3.2. Phương trình vi phân chuyển động của cơ cấu khi thanh truyền đàn hồi được rời rạc hóa bằng phương pháp Ritz – Galerkin Sử dụng phương pháp khai triển Ritz – Galerkin, dao động uốn và dao động dọc có dạng: 1 1 ( , ) ( ) ( ) N i i i w x t X x q t = = ∑ 2 1 ( , ) ( ) ( ) N k k k u x t Y x p t = = ∑ (2.14) Thay các biến dạng vào biểu thức động năng (2.12) và thế năng (2.13). Sau đó thay vào phương trình Lagrange (2.10) thu được các phương trình viết cho các tọa độ các khâu φ1, φ2, φ3 và các tọa độ đàn hồi qi, pk: *) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ1 (2.12) 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos( ) cos 2 sin sin cos sin 2 cos sin 2 N O k k k N N N i i k k i i i k i N k k k k l lI l l l H p l C q l H p l C q l l l H p l H µ µ ϕ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ µ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ = = = = = + + − + − + − − − + − + − + − + − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑          ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 sin cos sin cos N k k N N i i i i i i p l C q l C q l lµ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ λ τ = = = + − − − = − + ∑ ∑ ∑  (2.15) *) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ2 , ta có: ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos cos sin 2 2 3 2 N N k k i i k i N N N N N N N N ij i j k k kl k l ik i k i i i j k k l i k i N N ik i k i k l H p C q l l m q q F p b p p n q p D q n q p ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ µ ϕ µϕ µ µ µ µ = = = = = = = = = = = =   − + − + − +       + + + − +      + + ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑∑      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 21 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 sin sin cos 2 sin . cos . N N N N N ij i j k k kl k l i j k k l N N k k i i k i B B m q q F p b p p l l l H p l C q l u l u ϕ µϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ µ ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ λ = = = = = = =   + +    − − − − + − = + − + ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑        (2.16) *) Phương trình viết cho tọa độ suy rộng φ3: ( ) ( )3 3 3 1 3 3 2sin cos 0CI l lϕ ϕ λ ϕ λ+ − = (2.17) *) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng qi (i = 1,2,..., N1): ( ) ( ) 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 cos sin 2 0 N N i i ik k ij j k j N N N i ik k ij j ij j k j j l C D n p m q l C n p m q EI k q µ ϕ ϕ ϕ µ µ ϕ µ µ ϕ ϕ ϕ µϕ µϕ = = = = =   − + + +    − − + − + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑       (2.18) *) Phương trình viết cho các tọa độ suy rộng pk (k = 1,2,...N2): ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 sin cos 2 cos sin 0 N N k ik i kl l k i l N N N ik i k kl l kl l k i l l l H n q b p l H n q F b p EA g p µ ϕ ϕ ϕ µϕ µ µ ϕ ϕ ϕ µϕ µ ϕ λ ϕ λ ϕ α = = = = = − − − + − −   − − + + + + =    ∑ ∑ ∑ ∑ ∑      (2.19) 11 Ta có hệ N1 + N2 +3 phương trình vi phân chuyển động từ (2.15)