Tóm tắt Luận án Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh là một trong những vấn đề quan trọng của hình học phức. Sự phát triển của lý thuyết Nevanlinna đã mang lại những công cụ mạnh mẽ và đẹp đẽ trong nghiên cứu vấn đề này. Cho đến nay, hướng nghiên cứu về vấn đề này đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Đặc biệt, năm 1975, H. Fujimoto đã chứng minh rằng nếu hai ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính f và g từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược (tính cả bội) của 3n+ 2 siêu phẳng thì chúng trùng nhau. Năm 1983, L. Smiley chỉ ra rằng nếu hai ánh xạ phân hình f và g có chung ảnh ngược không kể bội của 3n+2 siêu phẳng, giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai và hai ánh xạ này trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này thì f = g. Các kết quả trên có thể xem là những kết quả đầu tiên và đẹp đẽ nhất trong việc mở rộng “Định lý 4 điểm và 5 điểm” của R. Nevanlinna. Trong những năm gần đây, G. Dethloff, T. V. Tấn, Đ. Đ. Thái, S. Đ. Quang, Z. Chen, Q. Yan và nhiều tác giả khác đã nhận được những kết quả sâu sắc hơn về tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Tuy nhiên, vấn đề trên hầu như chỉ có thể được xem xét trong trường hợp “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai ”. Đây là một điều kiện không được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong các chứng minh của các tác giả trên. Do vậy, việc tổng quát điều kiện trên hoặc đưa ra một điều kiện yếu hơn trong việc nghiên cứu vấn đề này là một câu hỏi mở. Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau như G. Dethloff, S. Đ. Quang và T. V. Tấn, Z. H. Wang và Z. H. Tu và một số tác giả khác. Tuy nhiên, những tác giả này chỉ xem xét vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với các ánh xạ không suy biến tuyến tính. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Liệu có hay không một định lý về vấn đề hữu hạn khi ánh xạ f có thể suy biến? 1 2Đồng thời, trong những năm qua, bằng việc áp dụng Định lý cơ bản thứ hai trong lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình, như S. Đ. Quang và T.V. Tấn, Z. H. Tu và P. Li. Các tiêu chuẩn này cho phép kiểm tra được tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình trên một miền trong Cm vào không gian xạ ảnh Pn(C) dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất 2n + 1 siêu phẳng di động. Dựa vào mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính thác triển được qua một tập giải tích có đối chiều 1, T. V. Tấn và N. T. T. Hằng, Z. H. Tu và nhiều tác giả khác đã sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ chỉnh hình. Tuy nhiên, trong đó các tác giả đều yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần ít nhất là 2n + 1 và các kỹ thuật mà họ sử dụng không thể áp dụng cho trường hợp số siêu phẳng ít hơn. Nguyên do là phần bù của hợp một số siêu mặt trong giao một số siêu mặt trong trường hợp đó không còn tính hyperbolic nữa. Chúng tôi đặt vấn đề sẽ nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ như trên, nhưng với số siêu phẳng ít hơn. Để làm được điều này, chúng tôi sử dụng một phương pháp hoàn toàn khác, đó là sử dụng mối liên hệ giữa độ tăng của hàm đặc trưng của đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng với tính kì dị bỏ được tại tâm của đĩa. Do vậy, chúng tôi sẽ đi tìm cách thiết lập được các Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không gian xạ ảnh để nghiên cứu sự thác triển của các đường cong như vậy. Thông qua các kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính thác triển của ánh xạ phân hình từ một miền bất kỳ qua một tập giải tích có đối chiều 1. Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu sắc hơn các tính chất của ánh xạ phân hình vào Pn(C) dưới điều kiện về ảnh ngược của một họ các siêu phẳng cho các trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng có đối chiều ít nhất là 2 hoặc thay điều kiện ánh xạ không suy biến tuyến tính bởi ánh xạ có thể suy biến với bài toán duy nhất và hữu hạn; 2) Xét trường hợp số siêu phẳng di động ít hơn 2n + 1 đối với bài toán về sự thác triển của ánh xạ phân hình. 2. Tính cấp thiết của đề tài Các tác giả trước đây đều chứng minh định lý duy nhất hay hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với điều kiện “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”. Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu bằng 2n + 1 là điều kiện then chốt trong chứng minh của các tác giả trước về vấn đề thác triển của ánh xạ phân hình. Đây là một điều kiện hạn chế. Do đó, việc đưa ra định lý duy nhất 3và hữu hạn với điều kiện tổng quát về số chiều của giao nghịch ảnh và tìm cách chứng minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n+1 là hết sức cần thiết. 3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) đối với các trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng di động và có bội bị chặn. Ngoài ra, luận án còn chứng minh định lý thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính bội đối với các siêu phẳng cố định hoặc siêu phẳng di động và vấn đề thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng. Mục đích của luận án là chứng minh các định lý hữu hạn, duy nhất và sự thác triển của ánh xạ phân hình với các điều kiện tổng quát, yếu hơn các nghiên cứu trước đó về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Luận án góp phần làm phát triển và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và hữu hạn của ánh xạ phân hình đối với họ các siêu phẳng cố định và siêu phẳng di động, cũng như đưa ra các kết quả mới về tính thác triển của ánh xạ phân hình qua tập giải tích mỏng. Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này. 6. Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu và phần phụ lục, luận án gồm bốn chương được viết theo tư tưởng kế thừa. Chương 1 là phần Tổng quan - phân tích đánh giá các công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến luận án. Ba chương còn lại của luận án được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng. Chương I: Tổng quan. Chương II: Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định. Chương III: Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động. Chương IV: Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh. 4CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN I. Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định. Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau: Cố định một hệ tọa độ thuần nhất (ω0 : · · · : ωn) trong không gian xạ ảnh phức Pn(C). Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với biểu diễn rút gọn f = (f0 : · · · : fn) và cho H là siêu phẳng trong Pn(C) xác định bởi phương trình a0ω0 + · · ·+ anωn = 0. Đặt (f,H) := a0f0 + · · · + anfn. Ta định nghĩa hàm ν(f,H) trên Cm với giá trị không âm như sau: ν(f,H)(z) =  0 nếu (f,H)(z) 6= 0,k nếu z là không điểm bội k của (f,H). Cho {Hi} q i=1 là q siêu phẳng trong P n(C), q > n + 1. Ta nói rằng họ {Hi} q i=1 ở vị trí tổng quát nếu ⋂n i=0Hji = ∅, với mọi họ chỉ số 1 6 j0 < · · · < jn 6 q. Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n. Giả sử f là ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính và {Hi} q i=1 (q > n+ 1) là q siêu phẳng ở vị trí tổng quát thỏa mãn dim d+1⋂ j=1 f−1(Hij ) 6 m− 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q. Với f thỏa mãn điều kiện trên và với mỗi số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, {Hj} q j=1, d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn(C) sao cho: a) min{ν(g,Hj), k} = min{ν(f,Hj), k}, với mọi 1 6 j 6 q. b) g(z) = f(z) trên ⋃q j=1{z ∈ C m : ν(f,Hj)(z) > 0}. Vậy chúng ta có thể thấy được các bao hàm thức sau: G(f, {Hj} q j=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj} q j=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj} q j=1, 3, k) ⊂ · · · . Bài toán về vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) đó là đi tìm điều kiện của q và k sao cho tập G ( f, {Hj} q j=1, d, k) chỉ chứa duy nhất ánh xạ f (định lý duy nhất), hoặc theo nghĩa rộng hơn là nghiên cứu lực lượng của tập hợp G ( f, {Hj} q j=1, d, k) và tìm ra các mối quan hệ giữa các ánh xạ trong tập hợp này. Có hai đối tượng chính được quan tâm trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất đó là số lượng các siêu phẳng tham gia q và giá trị trị chặn bội k. Các con số này càng nhỏ thì kết quả càng có giá trị và ý nghĩa. 5Năm 1983, L. Smiley [Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp. Math., 25, 149-154] đã chứng minh được rằng: Định lý A. Nếu q ≥ 3n+ 2 thì ♯ G ( f, {Hj} q j=1, 1, 1) = 1. Năm 1998, Fujimoto [Uniqueness problem with truncated multiplicities in value distribution theory, Nagoya Math. J., 152, 131-152] đã mở rộng và chứng minh các mệnh đề về hàm phụ trợ Cartan cho các hàm chỉnh hình cho trường hợp nhiều chiều. Thông qua việc đánh giá hàm đếm của các hàm phụ trợ Cartan này, ông đã chứng minh được định lý duy nhất sau: Định lý B. Nếu q = 3n+ 1, thì ♯ G ( f, {Hj} q j=1, 1, 2) ≤ 2. Năm 2006, bằng việc cải tiến các hàm phụ trợ Cartan và đưa ra phương pháp mới để đánh giá hàm đếm của chúng, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat. J. Math., 17, 1223-1257] đã chứng minh được các kết quả sau: Định lý C. 1. Nếu n ≥ 2, thì ♯ G ( f, {Hj} 3n+1 j=1 , 1, 1) = 1, 2. Nếu n ≥ 4, thì ♯ G ( f, {Hj} 3n−1 j=1 , 1, 2) ≤ 2. Kỹ thuật của Thái - Quang đã mở đầu cho nhiều nghiên cứu về vấn đề này trong các năm sau đó. Một trong những định lý duy nhất tốt nhất hiện nay được Z. H. Chen và Q. M. Yan [Uniqueness theorem of meromorphic mappings into Pn(C) sharing 2n + 3 hyperplanes regardless of multiplicities, Internat. J. Math., 20, 717-726] chứng minh vào năm 2009 như sau: Định lý D. Nếu q ≥ 2n+ 3, thì ♯ G ( f, {Hj} q j=1, 1, 1) = 1. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng: các tính toán chi tiết trong chứng minh của Chen và Yan là vô cùng phức tạp. Nếu sử dụng cách làm đó thì rất khó để chúng ta có thể cải thiện thêm cho Định lý D. Đồng thời, trong tất cả các kết quả về vấn đề duy nhất nêu trên của các ánh xạ phân hình vào Pn(C) với bội bị chặn thì bắt buộc đều phải có điều kiện dimf−1(Hi ∩Hj) 6 m− 2 , với mọi 1 ≤ i < j ≤ q . Nói cách khác, các tác giả trên chỉ xét được trường hợp tốt nhất khi d = 1. Đây là một điều kiện không được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong chứng minh của các tác giả trên. Đến năm 2011, S. Đ. Quang [Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes, Ann. Pol. Math, 102(3) , 255-270] đã chứng minh lại và cải thiện kết quả của Chen - Yan bằng một phương pháp khác đơn giản hơn rất nhiều. Cụ thể, tác giả đã đưa ra một hàm khác thay cho việc sử dụng hàm phụ trợ Cartan, điều đó đã giúp cho tất cả các đánh giá về hàm đếm và hàm đặc trưng trở lên đơn giản và ngắn gọn. Lấy ý tưởng từ chứng minh của Quang, chúng tôi đặt vấn đề đầu tiên được nghiên 6cứu trong luận án đó là chỉ ra định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) trong trường hợp số d tùy ý. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. Định lý 1. Nếu q = (n+ 1)d+ n+ 2 thì ♯ G(f, {Hj}qj=1, d, 1) = 1. Theo một cách đặt vấn đề khác, năm 2008, B. K. Trình, S. Đ. Quang và T. V. Tấn [A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of identity, Kodai Math. J., 31, 404-413] quan tâm đến trường hợp các hàm phân hình chỉ trùng nhau trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng và họ đã đưa ra một định lý duy nhất với tập đồng nhất của hai ánh xạ phân hình f và g trong điều kiện (b) nhỏ hơn. Tiếp tục ý tưởng trên của chúng tôi, chúng tôi đã mở rộng các kết quả của ba tác giả trên như sau. Định lý 2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn(C). Cho số nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) và cho {Hj} q j=1 (q = 2nd+ n + 2) là các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong Pn(C) sao cho dim d+1⋂ j=1 f−1(Hij) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ n + 1). Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và (a) min{ν(f,Hj), n} = min{ν(g,Hj), n}, (n + 2 ≤ j ≤ q) (b) f = g trên ⋃n+1 j=1 ( f−1(Hj) ∩ g −1(Hj) ) . Khi đó, f = g. Trong đó, Rf là trường các hàm phân hình “nhỏ” (so với f) trên Cm. II. Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động. Năm 1991, W. Stoll -M. Ru và M. Shirosaki đã chứng minh được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp các mục tiêu di động với hàm đếm không được chặn bội. Định lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội có lẽ được đưa ra đầu tiên bởi M. Ru cho trường hợp một biến phức và các đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính vào năm 2000 (kết quả này sau đó được Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005). Đến năm 2004 thì M. Ru và J. Wang đã đưa ra định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho trường hợp ánh xạ có thể suy biến tuyến tính. Sau đó năm 2008, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang đã cải tiến kết quả của Ru-Wang bằng cách đưa ra đánh giá tốt hơn cho hàm đặc trưng. Năm 2016, S. Đ. Quang đã tổng quát và cải tiến tất cả các kết quả trước đó về định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho mục tiêu di động. Áp dụng các kết quả này, có nhiều tác giả đã quan tâm và nghiên cứu về vấn đề duy nhất và 7hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với các siêu phẳng di động một cách mạnh mẽ. Trước hết, chúng tôi điểm lại một số kết quả tốt nhất cho đến nay cho hướng nghiên cứu này. Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C). Cho k, d (1 ≤ d ≤ n) là các số nguyên dương và cho {aj} q j=1 là các siêu phẳng di động “chậm” (so với f) ở vị trí tổng quát trong Pn(C) thỏa mãn dim( d+1⋂ j=1 Zero(f, aij ) ) ≤ m− 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q) . Ở đây, ta hiểu một siêu phẳng di động là một ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn(C)∗, và siêu phẳng a được nói là di động chậm so với ánh xạ f nếu || Ta(r) = o(Tf(r)) khi r −→ +∞. Gọi R({ai} q i=1) là trường con nhỏ nhất của trường các hàm phân hình trên C m chứa C và tất cả aij ail , với ail 6≡ 0. Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1). Ta kí hiệu F(f, {ai} q i=1, d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình g : C m → Pn(C) không suy biến tuyến tính trên R({ai} q i=1), thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) min (ν(f,ai), k) = min (ν(g,ai), k) (1 ≤ i ≤ q), (ii) f(z) = g(z) trên ⋃q i=1 zero(f, ai). Năm 2002, Z.H. Tu [Uniqueness problem of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Tohoku Math. J., 54, 567-579] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý E. Nếu q = 3n + 2, thì ♯ F(f, {ai}qi=1, 1,∞) = 1. Năm 2005, bằng việc thiết lập được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội n, các tác giả Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets, Internat. J. Math., 16, 903-939] đã chứng minh được định lý duy nhất sau: Định lý F. Nếu n > 2, q > (3n + 1)(n+ 2) 2 thì ♯ F(f, {ai} q i=1, 1, 2) ≤ 2. Độc lập với các tác giả trên, năm 2006 Z. Chen và M. Ru [A uniqueness theorem for moving targets with truncated multiplicities, Houston Journal of Mathematics, 32, 589-601] đã chứng minh được kết quả sau: Định lý G. Nếu q > 2n(n+ 2), thì ♯ F(f, {ai}qi=1, 1, 2) ≤ 2. Gần đây, năm 2008, T. V. Tấn và B. K. Trình [A uniqueness theorem for mero- morphic mappings without counting multiplicities, Analysis, Munich, 28, 383-399] đã 8chứng minh được rằng. Định lý H. Cho n, q là các số nguyên dương và n ≥ 2. Giả sử tồn tại số nguyên dương t < n sao cho 2q + t− 2 n(n+ 2) > 3 + 3(t+ 3) q − 3n ( 3n 2(n− t) − q − 1 (n− t)(n + 2) ) . Khi đó, ♯F(f, {ai} q i=1, 1, 1) ≤ 2. Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các định lý (E-H) ở trên, các tác giả luôn luôn giả sử điều kiện dim{z ∈ Cm : (f, ai)(z) = (f, aj)(z) = 0} ≤ m−2 (1 ≤ i < j ≤ q), tức là d = 1 (**) thỏa mãn và điều kiện này đóng vai trò thiết yếu trong các chứng minh của họ. Do vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra ở đây là: Liệu có hay không định lý về vấn đề duy nhất và hữu hạn khi điều kiện (**) được bỏ đi hoặc được thay thế bằng điều kiện khác tổng quát hơn? Vấn đề thứ hai trong luận án là trả lời câu hỏi trên. Cụ thể, chúng tôi tổng quát các định lý E-H tới trường hợp bội bị chặn bởi 1 (tức là không đếm bội), điều kiện d = 1 được thay thế bởi điều kiện d > 1. Chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau. Định lý 3. Nếu n ≥ 2, q ≥ (3n2 + 5n+ 3)d 2 thì ♯F(f, {ai} q i=1, d, 1) ≤ 2. Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau. Từ đó mở ra một hướng tiếp cận vấn đề duy nhất mới so với trước đây. Điển hình, chúng ta có thể kể đến các kết quả của G. Dethloff , S.Đ. Quang và T.V. Tấn vào năm 2010, T.B. Cao và H.X. Yi vào năm 2011, hay của Z. Wang và Z.H. Tu vào năm 2013. Kết hợp ý tưởng trên của chúng tôi về việc tổng quát điều kiện (**) và cách đặt vấn đề của các tác giả trên, chúng tôi sẽ đưa ra các định lý kiểu hữu hạn cho các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng khác nhau. Hơn nữa, trong một số kết quả của chúng tôi, các nghịch ảnh với bội lớn hơn một hằng số nào đó có thể không cần được xét đến. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh ba định lý sau: Định lý 4. Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là ba ánh xạ phân hình phân biệt. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t). Giả sử f 1 không suy biến tuyến tính trên R{ati} và (a) dim ( ⋂d+1 j=1 Zero(f 1, a1ij )) ≤ m− 2 , ∀1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q, (b) Zero(f t, ati) = Zero(f 1, a1i ) , (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), (c) (f t, a˜tv) (f t, a˜tj) = (f 1, a˜1v) (f 1, a˜1j ) trên ⋃q i=1 Zero(f 1, a1i ), với 1 ≤ v, j ≤ q. 9Nếu q ≥ (3n2 + 5n+ 3)d 2 thì tồn tại hai chỉ số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} và ma trận L ∈ GL(n+ 1,R{aki }) sao cho L(f t) = f l và L(a˜ti) = a˜ l i, với mọi i = 1, . . . , q. Định lý 5. Cho f 1, f 2 : Cm → Pn(C) là hai ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2) là hai họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t) và dim {z ∈ Cm : ν(f t,ati),≤ki.ν(f t,atj),≤kj > 0} ≤ m− 2 (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2). Giả sử: (a) min{ν(f2,a˜2i ),≤ki(z), 1} = min{ν(f1,a˜1i ),≤ki(z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ C m, (b) (f 1, a˜1i ) (f 2, a˜2i ) = (f 1, a˜1j) (f 2, a˜2j) trên ⋃q v=1 v 6=i,j Supp {z ∈ Cm : ν(f1,a1v),≤kv(z)}, với 1 ≤ i < j ≤ q. Nếu q > 3n2+n+2 và ∑q i=1 1 ki + 1 < ( 2q 3n(n+ 1) − 2q q + 2n− 2 ) thì tồn tại n+1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để (f 1, a˜1i1) (f 2, a˜2i1) = · · · = (f 1, a˜1in+1) (f 2, a˜2in+1) . Định lý 6. Cho f 1, f 2, f 3 : Cm → Pn(C) là ba ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati} q i=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn(C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t) và dim {z ∈ Cm : ν(f t,ati),≤ki.ν(f t,atj),≤kj > 0} ≤ m− 2 (1 ≤ i &l