Luận văn Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________ Đặng Minh Hải CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin chân thành biết ơn TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức về Didactic toán, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã đóng góp những ý kiến định hướng cho đề tài. Xin cảm ơn các anh chị cùng khóa đã quan tâm, giúp đỡ tôi. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt là vợ tôi, người đã luôn động viên tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả Đặng Minh Hải DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên GKNC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hiện hành GKNC11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GKNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hiện hành GKCB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản hiện hành GKCB11 : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GKCB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản hiện hành GVNC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hiện hành GVNC11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 nâng cao hiện hành GVNC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hiện hành GVCB10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản hiện hành GVCB11 : Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 cơ bản hiện hành GVCB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 cơ bản hiện hành SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong chương trình toán ở trường phổ thông, các tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số được huy động để giải quyết kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12). Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu các loại hàm số sau: hàm bậc nhất y=ax+b, hàm bậc hai y=ax2+bx+c, hàm đa thức bậc 3 y=ax3+bx2+cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương y=ax4+bx2+c, hàm phân thức ax b y cx d    (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức 2ax bx c y a' x b'     (a≠0, a’≠0)1. Có thể thấy rõ một đặc trưng chung là các hàm số này đồng thời liên tục và khả vi trên các khoảng đơn điệu của nó. Với tư cách đối tượng2, các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi đã được nghiên cứu ở các lớp 10, 11. Điều này khiến chúng tôi tự hỏi rằng: mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm được thể hiện như thế nào? Có chênh lệch gì so với các mối liên hệ của chúng ở cấp độ tri thức khoa học? Khi chúng tôi học giải tích ở bậc đại học, các giảng viên luôn nhấn mạnh mối liên hệ liên tục- khả vi, đặc biệt là tính chất “một hàm số liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó”. Các minh họa bằng đồ thị theo sau các chứng minh chặt chẽ trên các phản ví dụ đã giúp chúng tôi hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, chúng tôi có thể dễ dàng xây dựng các phản ví dụ kiểu này. Như vậy, đồ thị là công cụ hữu hiệu trong việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi. Ở phổ thông, điều này có được tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có được tính đến như một công cụ cho phép làm rõ các mối liên hệ giữa ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số không ? Từ những vấn đề trên, chúng tôi thấy việc nghiên cứu “Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học Toán phổ thông” là cần thiết. 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học với các khái niệm : Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế và mối quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức. Đây là công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Bên cạnh đó, lý thuyết tình huống với các khái niệm: tình huống dạy học, biến didactic, môi trường được sử dụng nhằm xây dựng các tình huống thực nghiệm. Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sẽ được sử dụng nhằm một mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái 1 Chỉ đề cập trong SGK nâng cao. 2 Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học ở trường phổ thông, ta hiểu một khái niệm hoạt động dưới dạng Đối tượng khi nó là đối tượng được nghiên cứu (được nghiên cứu, được khai thác các tính chất,)” [19, tr.56] niệm này giúp giải thích các ứng xử của học sinh liên quan đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trong phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, từ các câu hỏi ban đầu, chúng tôi phát biểu các câu hỏi nghiên cứu như sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Q3: Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh? 3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, bám sát những câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi giới hạn vấn đề nghiên cứu của mình trên các mối liên hệ giữa ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi của hàm số. Mục đích của luận văn là đi tìm một số yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đã đặt ra ở trên. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau: -Nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học về các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số bằng cách phân tích một số giáo trình đại học tiêu biểu. Nghiên cứu này trả lời câu hỏi Q1 và dùng làm tham chiếu khi phân tích các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số ở phổ thông. -Nghiên cứu mối quan hệ thể chế trên các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2. Để thực hiện nghiên cứu này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và SGK hiện hành trên cơ sở tham chiếu những kết quả đạt được từ nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức toán học. Kết thúc phần này, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu liên quan đến quan niệm của học sinh dưới ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế và đặt ra câu hỏi nghiên cứu mới. -Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của HS. Nghiên cứu này nhằm trả lời một phần câu hỏi Q3 và câu hỏi được đặt ra liên quan đến đồ thị. 4. Tổ chức của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương và kết luận chung. Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn. Chương 1 là phần trình bày nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích một số giáo trình đại học. Trong chương 2, chúng tôi trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số. Trên cơ sở đó, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu và đặt câu hỏi mới. Chương 3 là phần nghiên cứu thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu và tìm kiếm các yếu tố trả lời cho câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 2. Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động của đồ thị lên mối quan hệ cá nhân của học sinh Phần kết luận, chúng tôi tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn. Chương 1 MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương là tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : Ở cấp độ tri thức khoa học, có thể có những mối liên hệ nào giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số? Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi chọn nghiên cứu các giáo trình :  [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích một biến số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục.  [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất bản Giáo dục. [21] là giáo trình toán được dùng phổ biến trong các trường đại học ở Việt Nam. [22] là cuốn sách được xuất bản trong khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao tại Việt Nam, với sự trợ giúp của bộ phận Văn hóa và Hợp tác của Đại Sứ quán Pháp tại nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam. Đây là hai tài liệu tham khảo chính. Ngoài ra, ở một số nội dung, để làm rõ vấn đề chúng tôi cũng tham khảo thêm :  [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp.  [23]-Richard F. Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf).  [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol. 20, No. 4 (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of America.  [25]-Discontinuous and monotone Functions (www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html) Như vậy, chúng tôi chỉ giới hạn nghiên cứu các mối liên hệ có thể có giữa 3 đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số trong các giáo trình đã chọn. Trước hết, chúng tôi điểm qua các khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số nhằm tìm hiểu xem các mối liên hệ giữa chúng có được thể hiện trong các định nghĩa không ? Sau đó, chúng tôi xem xét các mối liên hệ được thể hiện trong các định lí, tính chất liên quan đến ba đối tượng này. 1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi 1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu [21] đưa vào định nghĩa như sau: “ NếuJ IR3, hàm số f:I→R được gọi là tăng trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Tăng nghiêm ngặt trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Giảm trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Giảm nghiêm ngặt trên J nếu 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x J x x f x f x    Hàm số tăng hay giảm trên J được gọi là đơn điệu trên J.” [21, tr.46] Định nghĩa hàm đơn điệu trong [22]: “ Cho ( )X R và Xf R 4 1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi : 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) , ( , , ( ) ( ) )x x X x x X x x f x f x      5)Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc f giảm. 6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt. ” 5 [22, tr.103] Nhận xét : Theo cách trình bày của [21] và [22], khái niệm hàm số đơn điệu được xét trên một tập con bất kì khác rỗng của R. Cả [21] và [22] đều phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt”. [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để chỉ hàm tăng hay giảm còn trong trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thì không có một thuật ngữ chung. [22] thì nêu rõ “Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc 3 Trong [21] kí hiệu A B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B hay A là tập con của B, AB nghĩa là mọi phần tử của A đều thuôc B, và B có ít nhất một phần tử không thuôc A hay A là tập con thực sự của B. 4 P(R) là tập các tập con của R, RX là tập các hàm số từ X vào R. 5 f là hàm số từ X vào R. f giảm.” và “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc f giảm nghiêm ngặt.”. Từ đây về sau, trong luận văn này, khi nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, khi nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt. 1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục  Liên tục tại một điểm “ Cho f(x) là một hàm số xác định trên (a,b); nói rằng f(x) liên tục tại ( , )ox a b nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x   ” [21, tr.89] “Cho f: I →K, a I . Ta nói f liên tục tại a khi và chỉ khi: 0, 0, , ( ( ) ( ) )x I x a f x f a              .” 6 [22, tr.120] Nhận xét: [21] và [22] định nghĩa khái niệm liên tục tại một điểm theo hai cách khác nhau. [21] thông qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ ,  ), [22] định nghĩa trực tiếp bằng ngôn ngữ ,  (định nghĩa của Weierstrass). Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa ra định lý: “Cho :f I K , a I . Để f liên tục tại a thì điều kiện cần và đủ là f có giới hạn là f(a) tại điểm a.”[22, tr.120], khẳng định sự tương đương của hai định nghĩa trên. Tiếp theo định nghĩa về sự liên tục của hàm tại một điểm, [21] và [22] đều đưa ra định nghĩa về điểm gián đoạn và phân loại chúng: “Hàm số f(x) không liên tục tại điểm ox được gọi là gián đoạn tại điểm ấy. Giả sử hàm f xác định trên đoạn [a,b], [ , ]ox a b là một điểm gián đoạn của f . Ta nói ox là điểm gián đoạn bỏ qua được nếu ( 0) ( 0)o of x f x   7; ox là điểm gián đoạn loại một nếu ( 0) , ( 0)o of x R f x R    nhưng ( 0) ( 0)o of x f x   , hiệu ( 0) ( 0)o of x f x   được gọi là bước nhảy của f tại ox ; ox được gọi là điểm gián đoạn loại hai nếu nó không thuộc hai loại trên.” [21, tr.90] “Ta nói f gián đoạn tại a khi và chỉ khi f không liên tục tại a. [] Gián đoạn loại 1 Ta nói f có điểm gián đoạn loại 1 tại a khi và chỉ khi: f không liên tục tại a, f có giới hạn trái tại a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải tại a (nếu f xác định bên phải a). 6 I là một trong chín loại khoảng của R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞). K là  hoặc R. Trong luận văn này, ta hiểu K là R. 7 ( 0) lim ( ) o o x x f x f x    , ( 0) lim ( ) o o x x f x f x    Nếu f không liên tục tại a và không có điểm gián đoạn loại 1 tại a, thì ta nói f có điểm gián đoạn loại 2 tại a” [22, tr.120-121] Nhận xét: Cách định nghĩa điểm gián đoạn của [21] và [22] là giống nhau. Về cách phân loại, điểm gián đoạn bỏ qua được và điểm gián đoạn loại 1 của [21] tương đương với điểm gián đoạn loại 1 của [22].  Liên tục trên khoảng “Nói rằng hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a,b) nếu f(x) liên tục tại mọi ( , )x a b .” [21, tr.91] “Cho :f I K . Ta nói f liên tục trên I khi và chỉ khi f liên tục tại mọi điểm của I.” [22, tr.121] 1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi “ Cho a I , If K . Ta nói f khả vi tại a khi và chỉ khi 0 ( ) ( ) lim h f a h f a h   tồn tại và hữu hạn; giới hạn này được kí hiệu là f’(a) và được gọi là đạo hàm của f tại a.” [22, tr.139] “Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) nói rằng hàm số f(x) khả vi tại điểm ( , )c a b nếu tồn tại giới hạn ( ) ( ) lim , x c f x f c A x c x c     Số A; giới hạn của tỉ số ( ) ( ) , f x f c x c x c    , khi x c được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) lấy tại điểm x=c; và kí hiệu f’(c).” [21, tr.119] Nhận xét: Hai cách định nghĩa về hình thức là khác nhau, nhưng thực chất là một. [21] nêu rõ điều này qua nhận xét sau: “Nếu đặt x c x   thì biểu thức định nghĩa trở thành 0 ( ) ( ) lim : '( ) x f c x f c f c x       ” [21, tr.119] Sau khi trình bày định nghĩa đạo hàm tại một điểm, cả [21] và [22] đều phân tích rõ ý nghĩa hình học của đạo hàm. “Đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị của f(x) số tại điểm đó; và một hàm số khả vi tại một điểm x=c có nghĩa là tại điểm x=c, đồ thị của f(x) có một tiếp tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120] “[] tính khả vi của f được diễn giải hình học bởi sự tồn tại của tiếp tuyến không song song với (yy’) tại điểm A có tọa độ (a,f(a)) trên đường cong Cf biểu diễn f. Tiếp tuyến này có hệ số góc là f’(a)”. Như vậy, về mặt hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không có tiếp tuyến tại điểm đó. 1.1.4 Kết luận Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định nghĩa một cách độc lập nhau. Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các định nghĩa của chúng. 1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm số khả vi 1.2.1 Đơn điệu-Liên tục Chúng tôi bắt đầu bằng định lý 3.10 trong [21] “ Điều kiện ắt có và đủ để một hàm số xác định, liên tục trên một khoảng (a,b) là một đơn ánh là hàm số đơn điệu ngặt trên khoảng đó.” [21, tr.103] Nhận xét : Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh trong [21], chúng tôi thấy rằng, nó vẫn đúng cho khoảng I bất kì. Do đó, ta có thể phát biểu lại định lý trên như sau : “ cho hàm số f liên tục trên khoảng I. Khi đó, f đơn điệu ngặt trên I khi và chỉ khi nó đơn ánh trên khoảng đó ”. Định lý trên đề cập đến mối liên hệ giữa tính đơn điệu ngặt và sự đơn ánh của một hàm liên tục trên một khoảng I nào đó. Dễ dàng nhận thấy, một hàm đơn điệu ngặt trên I thì đơn ánh trên I, nhưng nếu nó đơn ánh trên I thì chưa chắc đã đơn điệu trên khoảng đó. Điều này được nêu rõ trong [22] : “ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đều là đơn ánh ; nhưng điều ngược lại không đúng như ở ví dụ sau : , 1 à 1 1 , 1 1 , 1           R R x x v x x x x [22, tr.103] Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại chỉ đúng nếu có thêm điều kiện hàm liên tục trên I. Nhìn theo một góc độ khác, có thể nói một hàm liên tục trên khoảng I phải thỏa mãn thêm điều kiện đơn ánh trên khoảng đó thì đơn điệu ngặt trên I. Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục của một hàm đơn điệu. Tuy nhiên, ta biết rằng có những hàm đơn điệu trên một khoảng I nhưng không liên tục trên I, xét ví dụ sau: O x 2 1 1 2 4 y Ví dụ : :[0,2] , [0,1) 2 , [1, 2]      f R x x x x x Rõ ràng, f đơn điệu tăng trên [0,2] nhưng bị gián đoạn tại x=1 nên không liên tục trên [0,2]. Ta thấy đồ thị của nó là một đường đi lên từ trái sang phải nhưng không liên nét trên [0 ;2]. Như vậy, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể bị gián đoạn trên I. Nhưng tập các điểm gián đoạn và loại của điểm gián đoạn của một hàm đơn điệu trên khoảng I lại khá “ đặc biệt ”:  Một hàm đơn điệu trên I thì các điểm gián đoạn nếu có của nó chỉ có thể là điểm gián đoạn loại 1.  Một hàm đơn điệu trên I thì tập các điểm gián đoạn của nó nhiều nhất đếm được ” (tham khảo [25]) Từ đó ta thấy rằng, một hàm đơn điệu trên I vẫn có thể không liên tục trên khoảng đó, điểm gián đoạn nếu có chỉ có thể có các điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó là đếm được. Ta đặt ra câu hỏi: một hàm số đơn điệu trên I cần thỏa mãn thêm điều kiện gì để liên tục trên I ? Xét định lí sau: “Nếu tập các giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy khi x biến thiên trong khoảng I thuộc khoảng J và lấp đầy khoảng đó thì hàm f(x) liên tục trong khoảng I.”(*) [6, tr.94] Nhận xét: Như vậy, một hàm đơn điệu trên một khoảng I sẽ liên tục trên I nếu ảnh của I qua nó là một khoảng nào đó của R. Theo một hệ quả trong [6]: “ nếu hàm f xác định và liên tục trên khoảng X bất kì (đóng hay không, hữu hạn hay vô hạn) thì các giá trị mà hàm nhận cũng sẽ lấp đầy một khoảng nào đó”([6, tr.104]), ta thấy rằng một hàm liên tục trên khoảng I thì ảnh của khoảng I qua nó là một khoảng, tuy nhiên điều ngược lại không đúng, xét ví dụ sau: “ 1 ( ) sin ( 0), (0) 0f x x f x    ” [6