Bài thảo luận Tài chính doanh nghiệp chương 23: định giá quyền chọn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP. HỒ CHÍ MINH KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC ­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­-­- TÀI CHÍNH DOANH NGHIỆP CHƯƠNG 23: ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN GVHD : PGS-TS Nguyễn Thị Liên Hoa Lớp : Ngân hàng Đêm 2 - K18 Nhóm 8 : Trần Thị Hợi Lương Thị Quỳnh Nga Đặng Thị Mỹ Ngân Lê Thụy Minh Phương Nguyễn Hoàng Oanh Nguyễn Thị Phương Thủy Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2010 1 MỤC LỤC ­-­-­-­-­-­- CHƯƠNG 23 : ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN .................................... 3 1. ĐIỀU GÌ ẤN ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN ................................................... 3 2. MỘT MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN .............................................. 7 2.1 Tại sao dòng chiết khấu lại không áp dụng cho quyền chọn.................................. 9 2.2 Định giá quyền chọn mua ............................................................................................ 9 2.2.1 Định giá quyền chọn mua bằng phương pháp xây dựng các tương đương quyền chọn từ cổ phần thường và nợ vay.................................................................... 9 2.2.2 Định giá trên quan điểm không rủi ro. ............................................................. 10 2.3 Định giá quyền chọn bán cổ phần của Intel. ........................................................... 12 2.3.1 Định giá quyền chọn bán cổ phần Intel bằng phương pháp xây dựng các tương đương quyền chọn từ cổ phần thường và nợ vay. ........................................ 12 2.3.2 Định giá quyền chọn bán bằng phương pháp không quan tâm đến rủi ro. 12 2.4 Tương quan giữa giá mua và giá bán : .................................................................... 13 3. Công thức Black Scholes ........................................................................ 13 2 CHƯƠNG 23 : ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 1. ĐIỀU GÌ ẤN ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Nếu giá cổ phần vào ngày đáo hạn quyền chọn < giá thực hiện thì quyền chọn mua không được thực hiện. Nếu giá cổ phần vào ngày đáo hạn quyền chọn > giá thực hiện thì giá trị của quyền chọn mua = giá cổ phần – giá thực hiện. Sơ đồ vị thế của Bachelier: Giá trị của quyền chọn mua Gi ới hạn trên: Giá trị của quyền chọn mua bằng với giá cổ phần B Giới hạn dưới: Giá trị của quyền chọn mua bằng thành C quả nếu thực hiện ngay lập tức A Giá thực hiện Giá cổ phần HHììnnhh 2233..99 ­- Đường ngắt quãng: Giá trị của quyền chọn mua trước ngày đáo hạn (tùy thuộc vào giá cổ phần). ­- Đường đậm thứ nhất (giới hạn dưới): Giá trị của quyền chọn mua khi thực hiện ngay bây giờ. ­- Đường đậm thứ hai (giới hạn trên): giá cổ phần. Giá trị của quyền chọn mua cổ phần trước ngày đáo hạn luôn cao hơn giá trị quyền chọn mua thực hiện ngay bây giờ và luôn thấp hơn hoặc bằng giá cổ phần. Ví dụ trước đây về quyền chọn mua cổ phần Intel với giá 85$: + Nếu quyền chọn mua được định giá 5$ và giá cổ phần là 100$, nhà đầu tư sẽ bán cổ phần với giá 100$ và mua quyền chọn với giá 5$, sau đó thực hiện quyền mua 3 với thêm 85$. Như vậy, nhà đầu tư sẽ thu được lợi nhuận là 10$. Khi đó, mức cầu về quyền chọn sẽ đẩy giá quyền chọn tăng ít nhất đến đường giới hạn dưới trong hình. + Giới hạn trên của giá quyền chọn là giá cổ phần. Vào ngày đáo hạn: ­- Nếu giá cổ phần > giá thực hiện: giá trị quyền chọn = giá cổ phần – giá thực hiện. ­- Nếu giá cổ phần  giá thực hiện: quyền chọn không có giá trị, nhưng nhà đầu tư vẫn sở hữu chứng khoán. Thành quả Thành quả Thành quả thêm do nắm giữ cổ phần quyền chọn cổ phần thay vì quyền chọn Quyền chọn được thực hiện (S>85$) S S­-85 85 Quyền chọn đáo hạn không được S 0 S thực hiện (S 85$) Với S là giá cổ phần vào ngày đáo hạn quyền chọn. 85$ là giá thực hiện quyền chọn. ­- Nếu giá cổ phần = quyền chọn, nhà đầu tư sẽ bán quyền chọn và mua cổ phần. Khi đó, giá trị quyền chọn nằm trên một đường cong ngắt quãng trong vùng đậm, bắt đầu từ điểm 0 (giới hạn trên và dưới gặp nhau) và tăng dần, sau đó song song với giới hạn dưới. Điều này cho thấy: Giá trị của quyền chọn tăng khi giá cổ phần tăng, nếu giá thực hiện không đổi. Xét 3 điểm A, B, C trên hình: ­- Điểm A: Khi cổ phần không có giá trị, quyền chọn cũng không có giá trị. Giá cổ phần = 0 nghĩa là cổ phần không có bất kỳ giá trị tương lai nào, khi đó, quyền chọn sẽ đáo hạn mà không được thực hiện vì hiện nay và tương lai nó không có giá trị. ­- Điểm B: Khi giá cổ phần trở nên lớn, giá trị quyền chọn tiếp cận mức giá cổ phần – hiện giá của giá thực hiện. Nếu giá cổ phần càng cao thì xác suất quyền chọn sẽ được thực hiện càng cao. Nếu giá cổ phần đủ cao thì việc thực hiện quyền chọn là chắc chắn, khi đó, xác suất để giá cổ phần sụt thấp hơn giá thực hiện trước khi quyền chọn đáo hạn trở nên rất nhỏ. Khi nhà đầu tư sở hữu một quyền chọn sẽ được đổi lấy một cổ phần chứng khoán, nghĩa là thực tế nhà đầu tư này đã sở hữu chứng khoán đó nhưng chưa chi trả tiền mua cổ phần ngay lúc này mà sẽ chi trả khi việc thực hiện quyền chọn chính thức xảy ra. Như vậy, mua một quyền chọn mua tương đương với mua cổ phần đó, nhưng được tài trợ phần tiền mua bằng nợ vay. Số tiền vay đó = hiện giá của giá thực hiện. Khi đó, giá trị quyền chọn mua = giá cổ phần – hiện giá của giá thực hiện. Việc trả chậm tiền này đặc biệt có giá trị khi lãi suất cao và kỳ hạn quyền chọn dài. Do đó, giá trị của một quyền chọn gia tăng theo cả lãi suất lẫn thời gian của kỳ hạn. 4 ­- Điểm C: Giá quyền chọn luôn luôn cao hơn giá trị tối thiểu của nó (trừ khi giá cổ phần bằng 0 – điểm A). Tại điểm C, giá cổ phần đúng = giá thực hiện, quyền chọn không có giá trị khi thực hiện ngay. Giả sử quyền chọn đáo hạn sau 3 tháng nữa, khi đó, giá cổ phần sẽ cao hoặc thấp hơn giá thực hiện. Tình huống Thành quả = Giá cổ phần – giá thực hiện (quyền chọn Giá cổ phần tăng (XS 50%) được thực hiện) Giá cổ phần giảm (XS 50%) = 0 (quyền chọn đáo hạn và không có giá trị) Nếu có một xác suất dương cho một thành quả  0 thì quyền chọn có giá trị. Giá quyền chọn tại C sẽ cao hơn giới hạn dưới của quyền chọn tại C (=0). Miễn là còn thời gian trước khi quyền chọn đáo hạn thì giá quyền chọn sẽ cao hơn các giá trị giới hạn dưới của nó. Mức độ chênh lệch giữa giá trị thực tế của quyền chọn và giá trị giới hạn dưới (mức độ chênh lệch giữa đường cong ngắt quãng và giới hạn dưới trên hình): Mức độ chênh lệch này phụ thuộc vào khả năng dao động lớn trong giá cổ phần. Đối với cổ phần có giá không có khả năng thay đổi nhiều hơn 1% hay 2% sẽ không có giá trị quyền chọn cao. Đối với cổ phần có giá dao động ở mức phân nửa hoặc gấp đôi sẽ có giá trị quyền chọn rất cao. Xét giá trị các quyền chọn mua đối với cổ phần doanh nghiệp X và Y (hình 23.10): Thành quả của quyền chọn mua cổ phần DN X Phân phối XS của giá tương lai của CP DN X Thành quả của quyền chọn đ/v CP của DN X Giá thực hiện Giá cổ phần DN X Hình 23.10 (a) 5 Thành quả của quyền chọn mua cổ phần DN Y Phân phối XS của giá tương lai của CP DN Y Thành quả của quyền chọn đ/v CP của DN Y Giá thực hiện Giá cổ phần DN Y Hình 23.10 (b) Giá cổ phần hiện tại = giá thực hiện, vì vậy có 50% khả năng giá cổ phần giảm (quyền chọn không có giá trị) và 50% khả năng giá cổ phần tăng. Tuy nhiên, giá cổ phần DN Y biến động hơn, do đó thành quả cho quyền chọn mua cổ phần Y sẽ lớn hơn, có nhiều tiềm năng hướng lên hơn DN X. Hình 23.10 (a) và (b) minh họa giá cổ phần Y vào ngày đáo hạn quyền chọn khó dự đoán hơn X. Nếu giá cổ phần của X và Y tăng (xác suất 50%) thì giá của Y có khả năng tăng nhiều hơn X  thành quả từ quyền chọn mua Y lớn hơn X. Vì vậy, quyền chọn mua Y có giá trị cao hơn quyền chọn mua X. Giá trị của quyền chọn mua cổ phần của DN X và DN Y Giới hạn trên Y X Giới hạn dưới Giá thực hiện Giá cổ phần Hình 23.11 6 Đường cong mô tả giá trị của quyền chọn mua cổ phần Y cao hơn quyền chọn mua cổ phần X vì quyền chọn mua cổ phần Y đáng giá hơn (Cổ phần Y biến động nhiều hơn). Bảng 23.2 Giá trị của một quyền chọn tùy thuộc vào các yếu tố: 1. Gia tăng trong các biến số: Nếu có một gia tăng trong: Thay đổi trong giá quyền chọn mua là: ­- Giá cổ phần (S) Dương ­- Giá thực hiện (EX) Âm ­- Lãi suất (rf) Dương ­- Thời gian cho đến khi đáo hạn Dương ­- Sự thay đổi của giá cổ phần Dương 2. Các đặc tính khác: a/ Giới hạn trên: Giá quyền chọn luôn thấp hơn giá cổ phần b/ Giới hạn dưới: Giá quyền chọn không bao giờ sụt thấp hơn thành quả của việc thực hiện ngay lập tức (S ­- EX hoặc 0, chọn kết quả nào lớn hơn). c/ Nếu cổ phần không có giá trị thì quyền chọn cũng không có giá trị. d/ Khi giá cổ phần trở nên rất lớn thì giá quyền chọn tiếp cận giá cổ phần – hiện giá của giá thực hiện. Giá cổ phiếu và giá thực hiện Nếu một quyền chọn mua được thực hiện ở một thời điểm trong tương lai thì khoản lợi nhuận thu được sẽ bằng khoảng lớn hơn của giá cổ phiếu so với giá thực hiện. Do đó nếu giá cổ phiếu tăng thì giá của quyền chọn mua sẽ tăng và nếu giá thực hiện tăng thì giá của quyền chọn mua sẽ giảm. Với một quyền chọn bán, lợi nhuận thu về nếu quyền chọn được thực hiện sẽ bằng khoảng lớn hơn của giá thực hiện so với giá cổ phiếu. Như thế giá quyền chọn bán sẽ tăng nếu như giá thực hiện tăng và giảm nếu như giá cổ phiếu tăng. Thời gian đến lúc đáo hạn Yếu tố này có tác động rõ ràng hơn đến quyền chọn kiểu Mỹ (cả mua và bán), nếu như thời gian còn lại cho đến lúc đáo hạn càng dài thì giá của quyền chọn sẽ càng cao. Xét với hai quyền chọn giống nhau về cá yếu tố khác ngoại trừ thời gian cho đến ngày đáo hạn. Người sở hữu quyền chọn có thời gian dài hơn rõ ràng có nhiều thời gian để lựa chọn thực hiện quyền hơn người sở hữu quyền chọn ngắn hơn. Với quyền chọn kiểu Châu Âu, thời gian đến ngày đáo hạn không thực sự có ảnh hưởng đến giá quyền chọn do cả 2 quyền nói trên đều chỉ có thể thực hiện ở thời cùng một thời điểm là ngày đáo hạn. Thậm chí trong nhiều trường hợp quyền chọn ngắn hơn có thể có giá cao hơn, chẳng hạn như hai quyền chọn mua có chung mọi đặc tính, một quyền sẽ đáo hạn trong 1 tháng nữa, quyền còn lại đáo hạn trong 2 tháng. 7 Nếu cổ phiếu có trả cổ tức và thời điểm thanh toán là 6 tuần nữa, thì do tác động của việc trả cổ tức, quyền chọn đáo hạn trong 1 tháng hơn sẽ có giá cao hơn. Độ bất ổn Định nghĩa chính xác về độ bất ổn sẽ được giới thiệu trong phần mô hình Black­-Scholes, ở đây có thể hiểu đơn giản nhất độ bất ổn là một thước đo mức độ không chắc chắn của bản thân nhà đầu tư vào biến động trong tương lai của giá cổ phiếu. Độ bất ổn càng cao thì khả năng giá cổ phiếu có thể lên rất cao hoặc xuống rất thấp cũng tăng cao. Người sở hữu cổ phiếu có thể coi hai xu hướng này “triệt tiêu” lẫn nhau và không quá lo lắng. Tuy nhiên người sở hữu quyền mua hay quyền bán thì không như vậy. Người sở hữu quyền mua sẽ có lợi nếu như giá cổ phiếu tăng lên nhưng họ chỉ phải chịu rủi ro có giới hạn nếu giá giảm, mức lỗ cao nhất họ phải chịu chính bằng giá của quyền mua. Với người sở hữu quyền bán, họ sẽ có lợi nếu như giá của cổ phiếu giảm mạnh và họ chỉ phải chịu rủi ro có giới hạn nếu giá tăng, lỗ cao nhất phải chịu cũng chính là giá của quyền mua. Vì lý do này, giá của quyền chọn mua và quyền chọn bán sẽ tăng cao nếu như độ bất ổn của cổ phiếu tăng. Lãi suất phi rủi ro Tác động của lãi suất phi rủi ro đến giá của quyền chọn cổ phiếu không thực sự rõ ràng như những trường hợp trước. Khi lãi suất phi rủi ro trong nền kinh tế tăng tỉ lệ tăng trưởng kỳ vọng với giá cổ phiếu cũng sẽ có xu hướng tăng. Đồng thời giá trị hiện tại của các dòng tiền mà nhà đầu tư kỳ vọng sẽ nhận được trong tương lai sẽ giảm. Hai tác động này đều có xu hướng làm giảm giá của quyền chọn bán. Do đó giá quyền chọn bán có xu thế giảm khi lãi suất phi rủi ro trên thị trường tăng. Với quyền chọn mua, tác động đầu tiên có xu thế làm tăng giá quyền nhưng tác động thứ hai lại có xu thế làm giảm giá quyền. Tuy nhiên tác động thứ nhất luôn lấn át tác động thứ 2 do đó khi lãi suất phi rủi ro tăng thì giá quyền chọn bán cũng tăng. Cần nhấn mạnh lại những tác động kể trên chỉ được nghiên cứu trong tình huống các yếu tố khác không đổi, điều này là không có thực đặc biệt khi một nhân tố quan trọng trong nền kinh tế là lãi suất phi rủi ro thay đổi. Thực tế cho thấy giá cổ phiếu có xu thế biến động ngược chiều với biến động của lãi lãi suất phi rủi ro. Tác động cộng gộp của lãi suất và giá có thể mang đến những kết quả rất khác. Cổ tức Cổ tức làm cho giá cổ phiếu giảm xuống trong ngày giao dịch không hưởng quyền. Đây là thông tin “xấu” với giá của quyền chọn mua và là thông tin “tốt” với giá của quyền chọn bán. Như thế giá của quyền chọn mua có tương quan ngược chiều và giá quyền chọn mua có tương quan cùng chiều với những dự báo về quy mô trả cổ tức. 8 2. MỘT MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN Bây giờ chúng tôi muốn thay thế các phát biểu định tính trong bảng 23.2 bằng một mô hình định giá quyền chọn chính xác ­- một công thức mà chúng ta có thể điền các con số vào và có được câu trả lời xác định. Việc tìm kiếm công thức này diễn ra nhiều năm trước khi Fischer Blak và Myron Scholes cuối cùng đã tìm thấy nó. Trước khi trình bày những gì họ tìm thấy, chúng tôi cần nói một vài câu để giải thích tại sao cuộc tìm kiếm lại khó khăn như vậy. 2.1 Tại sao dòng chiết khấu lại không áp dụng cho quyền chọn Tiến trình đánh giá tiêu chuẩn của chúng ta: (1) Dự báo dòng tiền dự kiến và (2) chiết khấu nó với chi phí cơ hội của vốn, không áp dụng được các quyền chọn. Bước đầu tiên rắc rối nhưng khả thi. Nhưng tìm chi phí cơ hội của vốn thì không thể được, vì rủi ro của một quyền chọn thay đổi mỗi lần giá cổ phiếu biến động và chúng ta biết rằng nó sẽ biến động theo một bước ngẫu nhiên trong suốt đời của một quyền chọn. Khi bạn mua một quyền chọn mua, bạn đang nắm giữ một vị thế trong cổ phần nhưng bỏ ra ít tiền hơn khi bạn mua cổ phần trực tiếp. Như vậy một quyền chọn luôn luôn rủi ro hơn cổ phần cơ sở. Nó có một Beta cao hơn và một độ lệch chuẩn của lợi nhuận cao hơn. M ức rủi ro của một quyền chọn tuỳ thuộc vào giá cổ phần so với giá thực hiện. M ột quyền chọn cao giá ITM (giá cổ phần cao hơn giá thực hiện) thì an toàn hơn một quyền chọn giảm giá OTM (giá cổ phần thấp hơn giá thực hiện). Như vậy, một gia tăng trong giá cổ phần nâng cao giá quyền chọn và giảm thiểu rủi ro của nó. Khi giá cổ phần sụt, giá quyền chọn sụt và rủi ro của nó tăng. Đó là lý do tại sao tỷ suất sinh lợi dự kiến mà các nhà đầu tư yêu cầu đối với một quyền chọn thay đổi từng ngày, hay từng giờ, mỗi lần giá cổ phần biến động. Chúng tôi lập lại quy luật chung: Giá cổ phần càng cao so với giá thực hiện, các quyền chọn càng an toàn, dù quyền chọn luôn luôn rủi ro hơn cổ phần. Rủi ro của quyền chọn thay đổi mỗi lần giá cổ phần thay đổi. 2.2 Định giá quyền chọn mua 2.2.1 Định giá quyền chọn mua bằng phương pháp xây dựng các tương đương quyền chọn từ cổ phần thường và nợ vay. Chúng tôi sẽ trình bày về phương pháp này qua một thí dụ bằng số đơn giản sau: trong tháng 7/1998 bạn đã có thể mua các quyền chọn sáu tháng đối với cổ phần Intel với giá thực hiện là 85$. Giá cổ phần của Intel vào lúc đó cũng là 85$, vì vậy các quyền chọn là ngang giá ATM. Lãi suất là 2,5%/6 tháng hay 5%/năm. Chúng tôi giả dụ là cổ phần Intel trong sáu tháng chỉ có thể xảy ra hai khả năng: giá cổ phần hoặc sẽ sụt 20% còn 68$ hoặc sẽ tăng 25% lên 106.25$. 9 Nếu giá cổ phần sụt xuống 68$, giá quyền chọn mua sẽ không còn giá trị, nhưng nếu giá tăng lên 106.25$ quyền chọn sẽ có trị giá bằng 106.25­-85=21.25$. Vì vậy các thành quả có thể có của quyền chọn là: Giá cổ phần = 68$ Giá cổ phần = 106.25$ M ột quyền chọn mua 0$ 21.25$ Bây giờ ta so sánh các thành quả này với thành quả mà bạn sẽ nhận nếu mua 5/9 của cổ phần và vay ngân hàng 36,86$: Giá cổ phần = 68$ Giá cổ phần = 106.25$ 5/9 của một cổ phần 37,78$ 59,03$ Trả nợ vay + lãi ­-37,78$ ­-37.78 $ Tổng thành quả 0$ 21,25$ Lưu ý rằng thành quả của đầu tư có vay nợ vào cổ phần tương tự như thành quả của quyền chọn mua. Vì vậy, cả hai đầu tư phải có cùng giá trị: Giá trị quyền chọn mua = Giá trị của 5/9 cổ phần – 36,86$ nợ ngân hàng = (85 x 5/9) – 36,86 = 10,36 Như vậy bạn đã xác định được giá của quyền chọn. Để định giá quyền chọn Intel, chúng ta đã vay tiền và đã mua cổ phần theo cách mà chúng ta đã tái tạo được đúng thành quả của một quyền chọn mua. Số cổ phần cần để tái tạo một quyền chọn mua thường được gọi là tỷ số phòng ngừa hay Delta quyền chọn. Trong thí dụ về Intel của chúng tôi, một quyền chọn mua được tái tạo bằng một vị thế có kết hợp đi vay trong 5/9 của một cổ phần. Vì vậy, tỷ số phòng ngừa là 5/9 hay 0,56. Với Delta quyền chọn được tính bằng công thức sau: Chênh lệch của giá quyền chọn có thể có 21,25  0 5 Detal quyền chọn =   Chênh lệch của giá cổ phần có thể có 106,25  68 9 Bạn không những biết cách định giá một quyền chọn đơn giản mà còn có thể tái tạo một đầu tư vào quyền chọn bằng một đầu tư có kết hợp đi vay tài sản cơ sở. Như vậy, nếu bạn không thể mua hay bán một quyền chọn đối với một tài sản, bạn có thể tạo một quyền chọn “làm tại nhà” bằng một chiến lược tái tạo ­- tức là, bạn mua hay bán các cổ phần Delta và vay hay cho các số còn lại. 2.2.2 Định giá trên quan điểm không rủi ro Lưu ý tại sao quyền chọn mua Intel được bán với giá 10,36$. Nếu giá quyền chọn cao hơn 10,36$, bạn có thể tạo được một mức lợi nhuận nào đó bằng cách mua 5/9 cổ phần, bán một quyền chọn mua và vay 36,86$. Tương tự, nếu giá quyền chọn 10 thấp hơn 10,36$, bạn cũng có thể tạo được cùng một mức lợi nhuận bằng cách bán 5/9 cổ phần, mua một quyền chọn mua và cho vay số còn lại. Nếu có một cỗ máy in tiền, mọi người sẽ đổ xô đến để tận dụng nó. Vì vậy, khi chúng tôi nói rằng giá quyền chọn sẽ bằng 10,35$ hay sẽ có một cỗ máy in tiền, chúng tôi không cần phải biết gì đến thái độ của nhà đầu tư đối với rủi ro. Giá không thể tùy thuộc vào việc các nhà đầu tư ghét rủi ro hay bất cần rủi ro. Điều này đưa đến một cách khác để định giá quyền chọn. Chúng ta có thể giả vờ rằng các nhà đầu tư không quan tâm đến rủi ro, tính giá trị tương lai dự kiến của quyền chọn trong một thế giới như vậy và chiết khấu nó trở lại với lãi xuất phi rủi ro để có được giá trị hiện hành. Ta thử xem phương pháp này có cho cùng một câu trả lời hay không. Nếu các nhà đầu tư không quan tâm đến rủi ro, lợi nhuận dự kiến từ cổ phần phải bằng với lãi suất: Lợi nhuận dự kiến từ cổ phần Intel = 2,5% mỗi 6 tháng. Chúng ta có thể biết rằng cổ phần Intel có thể tăng 25% lên 106,25$ hoặc giảm 20% xuống 68$. Vì vậy, chúng ta có thể tính xác suất của một tăng giá trong thế giới mà mọi người không quan tâm đến rủi ro về giả định của chúng ta: Lợi nhuận dự kiến = [Xác suất tăng giá x 25] + [(l – xác suất tăng giá)x (­-20)] = 2,5% Do đó: Xác suất tăng giá = 0, 0 hay 50%. Lưu ý rằng đây không phải là xác suất thực là cổ phần Intel sẽ tăng giá. Vì các nhà đầu tư không thích rủi ro, hầu như chắc chắn là họ sẽ đòi hỏi một lợi nhuận dự kiến cao hơn lãi suất từ cổ phần Intel. Vì vậy xác suất thực sẽ cao hơn 0,5. Chúng ta biết rằng nếu giá cổ phần tăng, quyền chọn mua sẽ có trị giá 21,25$; Nếu giá sụt, quyền chọn mua sẽ không còn giá trị. Vì vậy, các nhà đầu tư không quan tâm đến rủi ro, giá trị dự kiến của quyền chọn mua là: [Xác suất tăng giá x 21,25] + [(1­- xác suất tăng giá) x 0] = (0,5 x 21,25) + (0,5 x 0) = 10,625$ . Và giá trị hiện tại của quyền chọn mua là: Giá trị tương lai dự kiến =10,625 =10,36 1 + lãi suất 1,205 Như vậy, chúng ta có hai cách để tính giá trị của một quyền chọn:  Tìm một kết hợp giữa cổ phần và nợ vay để tái tạo