Đề tài Căn và đế của module

3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Cấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Abel và không gian véc tơ. Tính linh hoạt và phổ quát của module đ2 mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết module, chúng ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lí thuyết về không gian véc tơ và nhiều lí thuyết toán học khác. Trong lí thuyết module, chúng ta đ2 biết đến module con tối đại và module con đơn, từ đó chúng ta xây dựng đ−ợc khái niệm căn và đế của module. Đây là hai công cụ quan trọng rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết module. Căn và đế của module cùng với những tính chất của nó đ2 trở thành những kiến thức cơ sở đóng vai trò to lớn trong việc nghiên cứu về đồng cấu vành và một số module nh−: Module hữu hạn sinh, module nội xạ, module xạ ảnh,... Từ đó chúng ta có khả năng tìm hiểu sâu hơn một số đặc tr−ng của vành và module. Là sinh viên ngành S− phạm Toán, trên cơ sở đ2 đ−ợc trang bị những kiến thức nền tảng về module và với mong muốn đ−ợc học hỏi, trau dồi thêm vốn kiến thức về toán học nói chung và lí thuyết module nói riêng. Chính vì vậy tôi đ2 lựa chọn đề tài: “ Căn và đế của module ” cho khoá luận tốt nghiệp của mình. Trong đề tài này tôi dự kiến hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về module làm cơ sở lí luận để tìm hiểu căn và đế và từng b−ớc đi sâu nghiên cứu nó. Thêm vào đó tôi còn trình bày hệ thống bài tập áp dụng nhằm hiểu sâu hơn phần lí thuyết. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá một cách khoa học các khái niệm về module, căn và đế của module kèm theo các ví dụ minh hoạ, nghiên cứu tính chất cơ bản của căn và đế, đi sâu nghiên cứu căn và đế của một số lớp vành, module. Ngoài ra, khoá luận còn đ−a ra hệ thống các bài tập nhằm vận dụng và củng cố lí thuyết. 3. Đối t−ợng và phạm vi nghiên cứu Đối t−ợng chính mà khoá luận nghiên cứu là căn và đế của module, trong 4 đó tập trung vào các tính chất của nó. Bên cạnh đó, khoá luận còn trình bày hệ thống các khái niệm bổ trợ có thể coi nh− kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc nghiên cứu các đối t−ợng chính và hệ thống bài tập áp dụng nhằm củng cố lí thuyết. 4. Ph−ơng pháp nghiên cứu + Ph−ơng pháp nghiên cứu lí luận: Tr−ớc hết là đọc các tài liệu liên quan đến đại số hiện đại, module để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối t−ợng chính. Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về định nghĩa, tính chất của căn và đế module qua các tài liệu liên quan. + Ph−ơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hoá kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, đ−a vào các ví dụ minh hoạ chi tiết. 5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc của module mà cụ thể là về căn và đế của module. 6. Bố cục của khoá luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khoá luận gồm ba ch−ơng. Ch−ơng 1: Kiến thức chuẩn bị Ch−ơng này trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về lí thuyết module. Cụ thể là: Đại c−ơng về module: Trong đó bao gồm các nội dung nh− tìm hiểu về module, module con, module th−ơng, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số module th−ờng gặp. Sau đó là trình bày những vấn đề cơ bản của một số cặp module đặc biệt có tính chất đối ngẫu với nhau nh−: Module con cốt yếu, đối cốt yếu; module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin. Ch−ơng 2: Căn và đế của module Đây là ch−ơng chứa đựng nội dung chính của khoá luận. Trong đó tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của căn và đế module. Từng b−ớc đi sâu nghiên cứu căn và đế trên cơ sở nghiên cứu căn của module xạ ảnh, module hữu hạn sinh, đế của module hữu hạn đối sinh, căn của vành… 5 Ch−ơng 3: Bài tập áp dụng Ch−ơng này trình bày hệ thống bài tập cùng lời giải nhằm áp dụng và củng cố lại phần lí thuyết đ2 trình bày ở hai ch−ơng tr−ớc đó. Ngoài ra là một số bài tập đề nghị dành cho ng−ời đọc muốn tìm hiểu thêm về module, căn và đế của module. Trong toàn bộ khoá luận, khái niệm vành luôn đ−ợc giả thiết là vành giao hoán có đơn vị 1 0≠ . 6 Ch−ơng 1. Kiến thức chuẩn bị Ch−ơng này trình bày những khái niệm về module, module con, module th−ơng, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại module th−ờng gặp nh− module đơn, module tối đại, module tự do,... và một số lớp module quan trọng có tính chất đối ngẫu: Module con cốt yếu, đối cốt yếu; module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin. Đây là những kiến thức mở đầu giúp chúng ta tiếp cận và tìm hiểu về căn và đế của module. 1.1. Đại c−ơng về module Trong phần này ta tìm hiểu những kiến thức chung nhất về module, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại module th−ờng gặp. 1.1.1. Module, module con, module th−ơng Định nghĩa 1. Cho R là một vành. M là một nhóm cộng Abel. Trang bị cho M phép nhân ngoài với các phần tử của R: R ì M → M (r, x) ֏ rx thoả m2n các điều kiện : (i) (a + b)x = ax + bx (ii) a(x + y) = ax + ay (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1.x = x Với mọi a, b∈R; x,y∈M. Khi đó M đ−ợc gọi là R- module hay module trên vành R. Ví dụ: (i) Mỗi ideal của vành R là một R- module. (ii) Mỗi vành cũng là một module trên chính nó. (iii) K là một tr−ờng, các K- module chính là các không gian vectơ trên chính nó. (iv) Mỗi nhóm Abel cộng M đ−ợc coi là một ℤ - module với phép nhân ngoài đ−ợc xác định nh− sau: Với mỗi x M∈ và n∈ℤ thì nx = x + x + ... + x (tổng gồm n phần tử x) với n +∈ℤ ; 0x = 0M ; nx = (-n)(-x) nếu n −∈ℤ . Các ví dụ trên chứng tỏ rằng khái niệm module là một khái niệm tổng quát của 7 các khái niệm: Vành, ideal, không gian vectơ và nhóm Abel. Định nghĩa 2. Mỗi tập con không rỗng N của một R- module M đ−ợc gọi là một R- module con của M nếu bản thân N cũng là một R- module với hai phép cộng và nhân trong M thu hẹp vào N. Khi đó M đ−ợc gọi là module mở rộng của N. Ví dụ: (i) Với M là R- module. {0} và M là hai R- module con tầm th−ờng của M. (ii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M là Z - module con của M. (iii) M là R- module. Khi đó với x ∈ M; Tập hợp Rx ={rx | r∈R} là một R- module con của M (module con xyclic sinh bởi x). (iv) R là vành. Vành đa thức R[x, y] là một R- module. Khi đó R[x] là một R- module con của R[x, y]. Mệnh đề 1. Mỗi tập con N của R- module M là một R- module con của M khi và chỉ khi 0M N∈ và ax by N+ ∈ với mọi , ; , .x y N a b R∈ ∈ Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Điều kiện đủ: Vì 1. ( 1).x y x y N− = + − ∈ với mọi ,x y N∈ nên N là một nhóm con của nhóm cộng M. Mặt khác do 0 .0R Max ax N= + ∈ với mọi x N∈ và a R∈ nên N đóng kín với phép nhân ngoài. Bốn tiên đề của module thoả m2n cho N vì N là con của R- module M. Vì vậy N là một R- module con của M. Định nghĩa 3. Cho M là R- module và N là một module con của M. Khi đó N là một nhóm con của nhóm Abel (M, +) nên ta có nhóm th−ơng: M N = { |x x N x M= + ∈ } cùng hai phép toán: +) Phép cộng: 1 2 1 2( ) ( ) ( )x N x N x x N+ + + = + + +) Phép nhân vô h−ớng: R M N M Nì → ( , )r x N rx N+ +֏ Với 1 2, ,; .r R x x x M∈ ∈ Khi đó M N cũng là một R- module và gọi là module th−ơng của module M theo module N. Ví dụ: (i) R là vành, I là một ideal của R. Khi đó R I là R- module và: 8 R I = { x = x + I, x R∀ ∈ } (ii) ∀ n∈ *ℕ ; n n=ℤ ℤ ℤ là −ℤ module. Định nghĩa 4. Cho M là một R- module. Cái triệt của M đ−ợc kí hiệu là Ann(M), là tập tất cả các phần tử a R∈ sao cho ax = 0, x M∀ ∈ . Ví dụ: Với I là một ideal của vành R. Khi đó cái triệt của R- module R I là Ann( R I ) = I. 1.1.2. Đồng cấu module Định nghĩa 5. Cho M, N là các R - module. Một ánh xạ :f M N→ đ−ợc gọi là một đồng cấu R - module hay ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa m2n hai điều kiện: (i) ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (ii) ( ) ( )f ax af x= Với mọi , ; .x y M a R∈ ∈ Nhận xét: (i) f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì t−ơng ứng đồng cấu là: Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. (ii) Nếu }{( ) 0Nf M = thì f đ−ợc gọi là đồng cấu không và kí hiệu là 0. (iii) 1{ | ( ) 0} (0) :Kerf x M f x f −= ∈ = = Hạt nhân hay hạch của .f Im ( ) { | : ( )}f f M y N x M y f x= = ∈ ∃ ∈ = đ−ợc gọi là ảnh của .f Nếu M N= thì f là tự đồng cấu của .M Nếu f là đẳng cấu, khi đó M và N là R - module đẳng cấu viết là .M N≅ Ví dụ: (i) Cho N là R - module con của module .M ánh xạ N M→ : Phép nhúng chính tắc là một đẳng cấu. x x֏ (ii) M N→ là một đồng cấu 0. 0x֏ (iii) Cho N là R - module con của module .M Xét ánh xạ :p M M N→ _ x x֏ 9 p là một toàn cấu chiếu chính tắc và Im ; .p M N Ker p N= = Mệnh đề 2. ánh xạ :f M N→ là một đồng cấu các R - module khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ); , ; , .f ax by af x bf y a b R x y M+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ Chứng minh. (⇒ ) f là đồng cấu. Ta chứng minh ( ) ( ) ( )f ax by af x bf y+ = + Vì f là đồng cấu nên , , ,a b R x y M∀ ∈ ∀ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).f ax by f ax f by af x bf y+ = + = + ( ⇐ ) Ng−ợc lại nếu ( ) ( ) ( ); , ; ,f ax by af x bf y a b R x y M+ = + ∀ ∈ ∀ ∈ thì ( ) (1. 1. ) 1. ( ) 1. ( ) ( ) ( )f x y f x y f x f y f x f y+ = + = + = + ( ) ( 0 ) ( ) 0 ( ) ( ).f ax f ax y af x f y af x= + = + = Vậy f là một đồng cấu. Mệnh đề 3. Nếu các ánh xạ :f M M ′→ và :g M M′ ′′→ là hai đồng cấu các R - module thì ánh xạ tích :gf M M ′′→ cũng là một đồng cấu module. Chứng minh. Ta có ( ) [ ( )] [ ( ) ( )]gf ax by g f ax by g af x bf y+ = + = + [ ( )] [ ( )]ag f x bg f y= + ( ) ( ) , ; ,agf x bgf y a b R x y M= + ∀ ∈ ∀ ∈ Do đó gf là một đồng cấu module. Nhận xét: Cho :f M N→ là R - đồng cấu module. Khi đó ta có: (i) f là đồng cấu 0 khi và chỉ khi .Ker f M= (ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im .f N= (iii) ( ) ( ) ; (0 ) (0 )M Nf x f x x M f f− = − ∀ ∈ = . (iv) Nếu U là module con của M; V là module con của N thì 1( )f V− là module con của M. Đặc biệt Kerf là module con của M, ( )f U là module con của N. Định nghĩa 6. Cho M và N là các R - module. Kí hiệu ( , )RHom M N là tập gồm tất cả các R - đồng cấu từ M vào N. Với , ( , )Rf g Hom M N∀ ∈ và ,a b R∀ ∈ ta có: ( )( ) ( ) ( ) .af bg x af x bg x x M+ = + ∀ ∈ Khi đó: ( )( ) [ ]( ) [ ]( )af bg cx dy c af bg x d af bg y+ + = + + + , ; , .x y M c d R∀ ∈ ∀ ∈ Do đó ( , ).Raf bg Hom M N+ ∈ 10 Tập ( , )RHom M N với các phép toán xác định nh− trên trở thành một R - module và gọi là module các đồng cấu từ M đến N. Định lí 1 (Định lí đồng cấu module). Cho :f M N→ là một đồng cấu các R - module và :p M M Kerf→ là một toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất một đơn cấu _ :f M Kerf N→ _ ( )x f x֏ Sao cho biểu đồ sau giao hoán: Tức là _ .f p f= Chứng minh. Tr−ớc hết ta chứng minh f là ánh xạ. Thật vậy, có _ x M Kerf∈ nên _ .x x Kerf x M= + ∀ ∈ Giả sử x x′∈ khi đó .x x′ = Suy ra x x Kerf′− ∈ hay ( ) 0f x x′− = . Do đó ( ) ( ) 0f x f x′ − = (vì f là đồng cấu) hay ( ) ( ').f x f x= Vậy từ 'x x= ta có ( ') ( ).f x f x= Do đó f là ánh xạ. Ta có f là một đồng cấu vì: )( ( ) ( ) ( ) ( )f ax by f ax by f ax by af x bf y+ = + = + = + = ( ) ( ); , , , .a f x b f y x y M a b R+ ∀ ∈ ∀ ∈ Mặt khác x Ker f∀ ∈ nên ( ) 0 ( ) .f x f x x M= = ∀ ∈ Vậy .f p f= Hệ quả 1. Cho :f M N→ là một đồng cấu các R- module. Khi đó ta có Im .M Kerf f≅ Và nếu f là toàn cấu thì .M Kerf N≅ Chứng minh. Thật vậy với :f M Kerf N→ ( ) ( )x f x f x=֏ là đơn cấu thì Im .M Kerf f≅ Mặt khác Im Imf f= nên Im .M Kerf f≅ Nếu f là toàn cấu thì Im .f N= Do đó .M Kerf N≅ Hệ quả 2. Cho P là module con của N; N là module con của M. Khi đó ta có: ( ) ( ).M N M P N P≅ M K erf f M N f p 11 Chứng minh. Xét đồng cấu :f M P M N→ x P x N+ +֏ Với mọi .x M∈ Dễ thấy f là toàn cấu nên .Im f M N= Ta có: | ( ) 0 .{ } { | ( ) 0, } { | | }x f xKerf x P f x x M x P x N x M N P== = + = ∈ = + ∈ ∈ = Vậy .{ | | }Kerf x P x M x N N P= + ∈ ∈ = Do đó áp dụng Hệ quả 1 ta có: ( ) ( )M P N P M N≅ Hệ quả 3. Nếu M và N là hai module con của cùng một module thì ta có: .( ) ( )M N N M M N+ ≅ ∩ Chứng minh. Xét đồng cấu : ( )f M M N N→ + ( )x f x x x N= = +֏ Ta sẽ chỉ ra f là toàn cấu. Thật vậy với mỗi ( )z z N M N N= + ∈ + ta có z x y= + với , .x M y N∈ ∈ Do đó z z N x y N x N= + = + + = + vì y N∈ suy ra ( ) .f x z= Vậy với mỗi ( )z M N N∈ + luôn tồn tại x M∈ để ( )f x z= nên f là một toàn cấu. Từ đó suy ra .Im ( )f M N N= + Mà { | ( ) 0} { | }Kerf x M f x x x M x N= ∈ = = = ∈ ∈ M N= ∩ Do đó áp dụng Hệ quả 1 có .( ) ( )M M N M N N≅ +∩ 1.1.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp các module Định nghĩa 7. Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử ( ) IMα α∈ là một họ các R- module chỉ số hóa bởi I. Khi đó ta xây dựng hai khái niệm: (i) Tích trực tiếp: Kí hiệu M = I Mα α∈ ∏ là tích Descartes của ( ) IMα α∈ . Ta xây dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của R với phần tử của M: a) ( ) ( ) ( )I I Ix y x yα α α α α α α∈ ∈ ∈+ = + b) ( ) ( )I Ia x axα α α α∈ ∈= Với mọi ,( ) ; ( ) .I Ia R x M y Mα α α α∈ ∈∈ ∈ ∈ Với hai phép toán này M là một R- module. R- module M xây dựng nh− trên đ−ợc gọi là tích trực tiếp của họ các R- module 12 ( ) IMα α∈ . Ta có I Mα α∈ ∏ = { ( ) | I x x Mα α αα∈ ∈ }. Nếu M N Iα α= ∀ ∈ thì ta kí hiệu I Mα α∈ ∏ bởi .IN (ii) Tổng trực tiếp: Trong M = I Mα α∈ ∏ ta lấy tập con I Mα α∈ ⊕ bao gồm tất cả các phần tử của M với các thành phần bằng 0 hầu hết chỉ trừ mội số hữu hạn thành phần có thể khác 0. Tức {( ) | ; 0II M x x M xα α α α α αα ∈∈⊕ = ∈ = trừ một số hữu hạn}. Khi đó I Mα α∈ ⊕ cũng là R- module và là module con của I Mα α∈ ∏ . I Mα α∈ ⊕ đ−ợc gọi là tổng trực tiếp của họ các R- module ( ) IMα α∈ . Nếu Mα = N Iα∀ ∈ thì ta kí hiệu I Mαα∈⊕ bởi ( ) . IN Nhận xét: (i) Nếu họ các R- module ( ) IMα α∈ chỉ gồm một số hữu hạn các module thì ta có: I Mα α∈ ∏ = I Mα α∈ ⊕ (ii) Nếu coi vành R là R- module thì tích trực tiếp của nR- module R kí hiệu là .nR Định nghĩa 8 (Tổng trực tiếp trong). Cho { } INα α∈ là một họ tùy ý các module con của R- module M. Khi đó nếu [ ] I N Nα β α β≠ ∈ ∑∩ ={0} I α∀ ∈ thì I Nα α∈ ∑ đ−ợc gọi là tổng trực tiếp trong của họ các module con đ2 cho. Kí hiệu là N I αα∈ ⊕ ; N I αα∈ ⊕ ={ | ; 0 I x x M xα α α α α∈ ∈ =∑ hầu hết trừ một số hữu hạn}. Một module con N của M đ−ợc gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại một module con F của M để M = N ⊕ F. Ví dụ: R là vành. Khi đó vành đa thức R[x, y] là một R- module nhận R[x] và yR[x, y] làm các R- module con của nó và ta có R[x, y] = R[x] ⊕ yR[x, y]; R[x] và yR[x, y] là các hạng tử trực tiếp của R[x, y]. Nhận xét: N là tổng trực tiếp trong của họ { } INα α∈ khi và khi mỗi phần tử x của có thể biểu diễn một cách duy nhất d−ới dạng sau: 13 1 2 ... ; ; ; 1 . n i i i x x x x x N I i nα α α α α α= + + + ∈ ∈ ≤ ≤ Định nghĩa 9. Đơn cấu : A Bϕ → của các R- module đ−ợc gọi là chẻ ra nếu Imϕ là hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu : B Cβ → đ−ợc gọi là chẻ ra nếu Kerβ là hạng tử trực tiếp của B. Mệnh đề 4. 1) Đồng cấu module : A Bα → là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : B Aβ → sao cho Aidβα = . Khi đó B = Imϕ Kerβ⊕ . 2) Đồng cấu : B Cβ → là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu : C Bγ → sao cho Cidβγ = . Khi đó B Kerβ= ⊕ Imγ . Chứng minh. 1) Giả sử : A Bα → là đơn cấu chẻ ra. Khi đó 1ImB Bα= + . Do mỗi phần tử b B∈ ta viết đ−ợc duy nhất d−ới dạng 1( ) ;a bα + 1 1;a A b B∈ ∈ ; Do α là đẳng cấu giữa A và Imα nên t−ơng ứng: : B Aβ → 1( )a b aα + ֏ là một đồng cấu và ta có Aidβα = . Ng−ợc lại, giả sử tồn tại đồng cấu : B Aβ → sao cho Aidβα = . Khi đó α là đơn cấu. Lấy b B∈ . Ta có ( ( )) 0b bβ αβ− = nghĩa là 1( )b b b Kerαβ β− = ∈ . Do đó ta có: Im .B Kerα β= + Ta sẽ chứng minh Im 0.Kerα β =∩ Thật vậy lấy Im a Kerα β∈ ∩ suy ra tồn tại x A∈ sao cho ( )x aα = và 0 ( ) ( ( ))a x xβ β α= = = . Suy ra 0a = . Vậy Im B Kerα β= ⊕ . 2) Nếu : B Cβ → là toàn cấu chẻ ra thì 1B Kerf B= ⊕ . Khi đó 11 1| : .B B Cβ β= ≅ Gọi 1: B Bà → là phép nhúng chính tắc ta đ−ợc 1 : C Bγ àβ −= → thoả m2n Cidβγ = . Ng−ợc lại, nếu tồn tại đồng cấu : C Bγ → sao cho Cidβγ = thì γ là đơn cấu và β là toàn cấu. áp dụng phần 1) ta đ−ợc ImB Kerβ γ= ⊕ nghĩa là β là toàn cấu chẻ ra. Mệnh đề 5. Cho R- module M và N là một module con của nó. Khi đó nếu N là một hạng tử trực tiếp của M thì M ≅ N ⊕ .M N Chứng minh. N là một hạng tử trực tiếp của M do đó theo định nghĩa tồn tại một 14 module con F của M sao cho M = N ⊕F. Ta chỉ cần chứng minh F ≅ .M N Xét phép chiếu chính tắc p: M → M N Gọi |Fp : F → M N là thu hẹp của p lên F. Ta chứng minh |Fp là một đẳng cấu R- module. Thật vậy vì Ker p = N nên ta có Ker |Fp = N∩F = {0} do đó |Fp là một đơn cấu. Mặt khác với mỗi x = x + N ∈ M N ta viết x = y + z với y ∈F; z ∈N thì ta có: x = x + N = y + z + N = y + N vì z ∈ N do đó x = |Fp (y). Vậy |Fp cũng là một toàn cấu do đó nó là một đẳng cấu. Suy ra M ≅ N ⊕ .M N Ta đ2 biết tổng trực tiếp 0 A B M M A B A B    + = = ⊕ ⇔ =∩ Mở rộng khái niệm này ta có các khái niệm sau: Định nghĩa 10. Cho A là module con của R- module M . 1) Module con *A của M đ−ợc gọi là phần bù cộng tính đối với A trong M nếu: (i) * ;A A M+ = (ii) *A là module con tối tiểu có tính chất * .A A M+ = 2) Module con A′của M đ−ợc gọi là phần bù theo giao (hay ∩ - bù) nếu: (i) 0;A A′ =∩ (ii) A′ là module con tối đại có tính chất 0.A A′ =∩ Mệnh đề 6. Giả sử ,A B là hai module con của .M Khi đó M A B= ⊕ khi và chỉ khi B đồng thời là phần bù cộng tính và phần bù theo giao của A trong .M Chứng minh. (⇐ ) Suy ra từ định nghĩa. (⇒ ) Giả sử M A B= ⊕ và C là module con của B thỏa m2n .A C M+ = Khi đó theo Luật modular ta có: ( ) ( )A B C A C B M B B+ = + = =∩ ∩ ∩ mà 0A B =∩ nên .C B= Do đó B là phần bù cộng tính đối với A trong .M Bây giờ nếu B E⊂ và 0A E =∩ với E là module con của M thì theo Luật modular ta có: ( ) ( )A E B A B E M E+ = + =∩ ∩ ∩ Mà 0A E =∩ nên .B E= Vậy B là ∩ - bù của A trong .M Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu những cặp module đặc biệt có tính chất đối ngẫu với nhau. 15 1.1.4. một số loại module th−ờng gặp Định nghĩa 11. Cho I là một tập khác rỗng và { } INα α∈ là một họ tuỳ ý các module con của một R- module M. Khi đó kí hiệu I Nα α∈ ∑ ={ I xα α∈ ∑ | xα Nα∈ , Iα ∈ } là tổng hữu hạn các phần tử của I Nα α∈ ∪ . I Nα α∈ ∑ đ−ợc gọi là tổng của họ { } INα α∈ các module con của M. Nhận xét: Giả sử { } INα α∈ là họ tuỳ ý các module con của một R- module. Khi đó ta có các kết quả sau: (i) I Nα α∈ ∩ và I Nα α∈ ∑ là các R- module con của M. (ii) Nếu họ { } INα α∈ lồng nhau thì I Nα α∈ ∪ cũng là một module con của M. Định nghĩa 12. Giả sử S là một tập con của một R- module M. Khi đó giao của tất cả các module con chứa S của M cũng là một module con của M và đ−ợc gọi là module con của M sinh bởi S. Kí hiệu: là module con của M bé nhất (theo quan hệ bao hàm) chứa S. S đ−ợc gọi là một tập sinh hay hệ sinh của module . Nếu = M thì ta nói S là một hệ sinh của M hay M đ−ợc sinh bởi S. Nếu S không chứa thực sự một hệ sinh của M thì S đ−ợc gọi là hệ sinh cực tiểu của M. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M đ−ợc gọi là một module hữu hạn sinh. Nếu M có hệ sinh chỉ gồm một phần tử thì M đ−ợc gọi là một module đơn sinh. Nhận xét: (i) Nếu S = ∅ thì = {0}. Do đó khi nói module sinh bởi tập S thì ta luôn coi S .≠ ∅ (ii) S ≠ ∅ và S ⊂ M là R- module. Khi đó tổng: 1 n i i i a x = ∑ với 1,..., ;n ix x S a R∈ ∈ và 1 i n≤ ≤ đ−ợc gọi là một tổ hợp tuyến tính các phần tử của S. 16 Ví dụ: (i) Với S = {x}; M = = = Rx ={ | }rx r R∈ là module đơn sinh. (ii) ℤ - module ℚ các số hữu tỷ không có hệ sinh hữu hạn. Thật vậy, giả sử X = { 1 2, ,..., na a a } là một hệ sinh hữu hạn của ℚ . Khi đó