Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên

Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 2 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh LỜI MỞ ĐẦU Xác Suất Thống Kê là lĩnh vực Toán học ứng dụng, nó đòi hỏi một cơ sở toán học sâu sắc. Ngày nay các mô hình Xác Suất đã thực sự được ứng dụng rộng rãi trong Khoa Học Tự Nhiên cũng như Khoa Học Xã Hội. Trong luận văn này, nghiên cứu về khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên. Về mặt lý thuyết chúng có nhiều tính chất thú vị liên hệ với các quá trình ngẫu nhiên khác. Về mặt ứng dụng chúng trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác nhau như toán học, vật lý, sinh học, cơ học, khoa học trái đất, kinh tế Luận văn này gồm 3 chương : Chương 1 : “MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN “ Trong chương này nghiên cứu và nhắc lại kiến thức cơ bản cần cho luận văn này, cần đọc kỹ các khái niệm và nắm vững các kết quả như được mở đầu bằng việc giới thiệu không gian Hilbert gồm các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với vô hướng là hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên, dùng phép chiếu trực giao để xây dựng phép xấp xỉ tuyến tính và lập phương trình dự đoán, tiếp theo nêu khái niệm kỳ vọng có điều kiện và chứng tỏ rằng kỳ vọng có điều kiện là dự đoán tốt nhất. Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên cũng được nghiên cứu trong chương này. Ngoài ra còn nghiên cứu quá trình Wiener và tích phân Ito là hai khái niệm quan trọng khi nghiên cứu về quá trình ngẫu nhiên. Đây là những khái niệm cơ bản và là cơ sở để nghiên cứu những vấn đề tiếp theo. Chương 2 : “ ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE “ Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 3 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Chương này nghiên cứu các định nghĩa, các tính chất và bổ đề của đa thức Hermite và tính chất của khai triển Fourier – Hermite. Một vài bổ đề ứng dụng được chứng minh trong chương này là công cụ chính để ta sử dụng tiếp cho chương sau. Chương 3 : “ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE ” Chương này mở rộng đa thức Hermite của chương 2 đó là nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Bắt đầu khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Sau đó mở rộng khái niệm là xác định hàm Hermite chuẩn suy rộng, sử dụng chúng để thu được tập trực chuẩn đầy đủ trong ( )2L R và ( )2 nL R . Cuối cùng nghiên cứu và nêu được một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 4 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn . 1 Lời nói đầu . 2 Mục lục ... 4 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 7 §1.1 Không gian 2 ( , , )L F PΩ .. 7 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 7 1.1.2 Định nghĩa 7 1.1.3 Định nghĩa .... 8 1.1.4 Tính chất 9 1.1.5 Định lý (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) 9 1.1.6 Tính chất của phép chiếu ... 12 1.1.7 Phép xấp xỉ tuyến tính trong L2 12 1.1.8 Phương trình dự đoán . 13 1.1.9 Kỳ vọng có điều kiện và dự đoán tốt nhất trong L2 14 §1.2 Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên .16 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên biểu diễn dưới dạng tổng các hàm ngẫu nhiên cơ bản 16 1.2.2 Khai triển chính tắc quá trình ngẫu nhiên 18 1.2.3 Đưa quá trình ngẫu nhiên về dạng chính tắc 20 1.2.4 Mốt số khai triển chính tắc đặc biệt 22 §1.3 Cơ sở trực giao và trực chuẩn trong không gian Hilbert 25 Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 5 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh 1.3.1 Định nghĩa (Trực giao và trực chuẩn) 25 1.3.2 Định nghĩa ( Cơ sở ) 25 1.3.3 Định nghĩa ( Cơ sở trực giao và trực chuẩn ) 26 1.3.4 Định nghĩa ( Phép chiếu trực giao ) 26 §1.4 Quá trình Wiener 27 1.4.1 Định nghĩa ( Quá trình Wiener ) 27 1.4.2 Các tính chất quá trình Wiener và độ đo 27 1.4.3 Quá trình Wiener n - chiều 37 §1.5 Tích phân Ito 39 1.5.1 Định nghĩa .. 39 1.5.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Ito 40 1.5.3 Tích phân Ito nhiều chiều 43 1.5.4 Vi phân ngẫu nhiên của hàm hợp, công thức Ito ......... 44 CHƯƠNG 2 ĐA THỨC HERMITE VÀ KHAI TRIỂN FOURIER – HERMITE §2.1 Đa thức Hermite ..48 2.1.1 Định nghĩa ..48 2.1.2 Liên hệ giữa đa thức trực giao và đa thức Hermite 49 2.1.3 Đạo hàm của đa thức Hermite 50 2.1.4 Các bổ đề của đa thức Hermite 53 §2.2 Khai triển Fourier – Hermite của hàm biến ngẫu nhiên Gauss 57 2.2.1 Khai triển Fourier – Hermite 57 2.2.2 Tính chất 58 CHƯƠNG 3 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE 60 §3.1 Khái niệm về quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite 60 3.1.1 Định nghĩa ..60 Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 6 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh 3.1.2 Các ví dụ 60 §3.2 Tập trực chuẩn đầy đủ trong ( )2L R và ( )2 nL R ... 62 3.2.1 Định nghĩa 62 3.2.2 Các tính chất 62 3.2.3 Định nghĩa . 64 3.2.4 Tính chất 65 §3.3 Một số đặc tính của vi phân ngẫu nhiên 66 3.3.1 Định nghĩa ..66 3.3.2 Định lý 67 3.3.3 Bổ đề 67 3.3.4 Hệ quả 69 3.3.5 Các tính chất của quá trình dạng Hermite 70 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO.. 75 Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 7 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN §1.1 KHÔNG GIAN 2 ( , , )L F PΩ Phần này giới thiệu không gian các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích L2( , ,F PΩ ) 1.1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà giá trị của nó phụ thuộc vào kết quả của thí nghiệm . Ta định nghĩa chính xác biến ngẫu nhiên là : Xét phép thử ngẫu nhiên với tập Ω và σ - đại số F các biến cố Biến ngẫu nhiên là ánh xạ ( ): ,X RΩ→ = −∞ +∞ sao cho: ( )( ) ( ){ }\ F,X x X x x Rτ τ τ≤ = ∈Ω ≤ ∈ ∀ ∈ hoặc : ( ) ( ){ }1 \ ,X B X B Fτ τ− = ∈Ω ∈ ∈ B∀ ∈ B với B là tập các tập Borel trong R . Ta chỉ xét những tập B sao cho ( )1X B− là biến cố, tức ∈ F, khi đó lớp tất cả các biến cố ( )1X B− là lớp biến cố cảm sinh bởi biến số ngẫu nhiên ( )X τ . 1.1.2 ĐỊNH NGHĨA Ta xét không gian xác suất ( ), ,F PΩ và lớp các biến ngẫu nhiên bình phương khả tích được định nghĩa trên Ω và thỏa mãn điều kiện : Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 8 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh 2 2 ( ) ( )EX X P dτ τ Ω = < ∞∫ Khi đó, ta có : ( )2 2 2 , ,E cX c EX c R X ξ= ∀ ∈ ∀ ∈ Mặt khác: ( )2 2 22 2X Y X Y+ ≤ + <∞ Nên , ta cũng có : ( )2 2 2X +Y 2 2 , ,E EX EY X Y ξ≤ + < ∞ ∀ ∈ Kí hiệu ( )2 , ,L F PΩ là không gian Hilbert các đại lượng ngẫu nhiên X sao cho 2EX < ∞ . Với hai phần tử ,X Y ta định nghĩa tích vô hướng trong ( )2 , ,L F PΩ là , : ( . ) ( ) ( ) ( )X Y E X Y X Y P dτ τ τ Ω = = ∫ . (1.1) Không gian 2 ( , , )L F PΩ là tập các lớp tương đương với tích vô hướng được định nghĩa theo công thức (1.1), mặt khác vì mỗi lớp tương đương được xác định duy nhất bằng cách lấy một phần tử bất kì nào đó của lớp làm đại diện nên ta vẫn dùng kí hiệu X, Y để chỉ các phần tử của ( )2 , ,L F PΩ , ta có thể dùng ngắn gọn 2L và vẫn gọi đó là những biến ngẫu nhiên bình phương khả tích và ta chú ý rằng nếu chỉ có X thì hiểu rằng X là đại diện cho cả một lớp các biến ngẫu nhiên tương đương với X. 1.1.3 ĐỊNH NGHĨA Sự hội tụ trong L2 là sự hội tụ bình phương trung bình viết là 2L nX X⎯⎯→ nghĩa là, dãy các phần tử { }nX , { } 2nX L∈ được gọi là hội tụ đến X nếu và chỉ nếu : Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 9 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh 22 : 0n nX X E X X− = − → khi n →∞ Để xây dựng tính đầy của L2 là không gian Hilbert ta còn phải xây dựng tính đầy của L2 nghĩa là nếu 2 0m nX X− → khi ,m n →∞ thì tồn tại 2X L∈ sao cho: 2L nX X⎯⎯→ Ta xét tính chất : 1.1.4 TÍNH CHẤT Nếu 2nX L∈ và 1 2 nn nX X −+ − ≤ ; n = 1, 2, 3 thì tồn tại một biến ngẫu nhiên X trên ( , , )F PΩ sao cho 2LnX X⎯⎯→ . Chứng minh: Chọn 0X = 0 Đặt Xn : = 1 1 j j j X X ∞ − = −∑ , khi đó theo bất đẳng thức Cauchy – Schward, ta có : , .X Y X Y ≤ E ( 1 1 j j j X X ∞ − = −∑ ) = 1 1 j j j E X X ∞ − = −∑ 1 1 1 2 jj j j j X X ∞ ∞ − − = = ≤ − ≤ < ∞∑ ∑ Từ đó, suy ra tồn tại 1 1 lim n j jn j X X −→∞ = −∑ và giới hạn đó hữu hạn. Như thế 1 1 lim ( ) lim n j j nn nj X X X−→∞ →∞= − =∑ tồn tại. 1.1.5 ĐỊNH LÝ (Định lý về phép chiếu trong không gian Hilbert) Nếu A là một không gian con đóng của không gian Hilbert H và x H∈ thì: a) Tồn tại duy nhất một phần tử 'x A∈ sao cho ' inf y A x x x y ∈ − = − Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 10 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh b) 'x A∈ và ' inf y A x x x y ∈ − = − nếu và chỉ nếu 'x A∈ và ( )'x x A⊥− ∈ x’ được gọi là chiếu (trực giao) của x lên A, viết là ' : Ax P x= Định lý này được gọi là định lý về phép chiếu trực giao. Chứng minh: a) Nếu 2 y A : infd x y∈= − thì tồn tại một dãy { }ny , ny A∈ sao cho 2 0ny x− → . Hơn nữa, với k, l bất kì thuộc không gian Hilbert, theo quy tắc đường chéo hình bình hành ta có : 22 2 22k l k l k l⎡ ⎤− + + = +⎣ ⎦ Do đó, xét ,m ny x A y x A− ∈ − ∈ Ta có: 2 2 2 22m n m n m ny x y x y x x y y x y x⎡ ⎤− + − + − + − = − + −⎣ ⎦ tức là: 2 2 2 22 2m n m n m ny y x y y y x y x⎡ ⎤+ − + − = − + −⎣ ⎦ Mặt khác, vì: ( ) , 2 m ny y A − ∈ ( )22 220 4 22m nm n m ny yy y x y x y x−⎛ ⎞≤ − = − − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )2 24 2 0m nd y x y x≤− + − + − → khi ,m n →∞ Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 11 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Từ đó theo tiêu chuẩn Cauchy, 'x H∃ ∈ sao cho ' 0ny x− → và vì A đóng nên 'x A∈ và vì tính liên tục của tích vô hướng nên : 2 2' lim nnx x x y d→∞− = − = Để chứng minh tính duy nhất của x’ ta giả sử có 'y A∈ sao cho: 2 2 ' 'x y x x d− = − = khi đó dùng tính chất hình bình hành ta có : 2 2 2 2' '0 ' ' 4 2 ' ' 2 4 4 0 x yx y x x x y x d d ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟≤ − = − − + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ≤ − + = ' 'y x⇒ = b) Nếu 'x A∈ và ( ')x x A⊥− ∈ thì x’ là phần tử duy nhất của A được định nghĩa trong a) vì với bất kỳ y A∈ có : 2 2 2 2 ' ' , ' ' ' ' ' x y x x x y x x x y x x x y x x − = − + − − + − = − + − ≥ − dấu “ = “ đạt được khi và chỉ khi 'y x= . Ngược lại, nếu 'x A∈ và ( ')x x A⊥− ∉ thì x không là phần tử của A và có phần tử x’’ : Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 12 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh 2'' ' ayx x y = + với x’’ gần x’ hơn x, với y là phần tử bất kỳ của A sao cho: '', 0x x y ≠ và ',a x x y= Thật vậy, 2'' ' ' '', ' ' ''x x x x x x x x x x− = 2 2' ' ' '' 2 2 , a x x x x x x y = − − + 2 2 2 2' ' a x x x x y = − − ≤ − 1.1.6 TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU i) ( )A A AP x y P x P yα β α β+ = + . ii) ( ) 22 2A Ax P x I P x= + − trong đó I là phép đồng nhất. iii) x H∀ ∈ tồn tại duy nhất một biểu diễn: ( )A Ax P x I P x= + − A iP x A∈ ; ( )AI P x A⊥− ∈ iv) A n AP x P x→ khi và chỉ khi 0nx x− → v) x A∈ khi và chỉ khi AP x x= . vi) x A⊥∈ nếu và chỉ nếu 0AP x = . vii) 1 2A A⊆ nếu và chỉ nếu 1 2 1 ,A A AP P x P x x H= ∀ ∈ . 1.1.7 PHÉP XẤP XỈ TUYẾN TÍNH TRONG L2 Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 13 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Giả sử X1, X2 và Y là những biến ngẫu nhiên trong L2, nếu chỉ có thể quan sát được X1, X2 mà ta ước lượng giá trị của Y bằng cách dùng tổ hợp tuyến tính: 1 1 2 2'Y X Xα α= + , 1 2, Rα α ∈ sao cho sai sót M dưới đây có trung bình bình phương đạt giá trị nhỏ nhất, nghĩa là sao cho: ( ) 22 1 1 2 2: 'M E Y Y E Y X Xα α= − = − + = 21 1 2 2Y X Xα α− − ÷ min Ta có thể viết : 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 22 ( ) 2 ( ) ( )M EY EX EX E YX E YX E X Xα α α α α α= + + − − + . Lấy đạo hàm riêng của M lần lượt đối với 1α , 2α , dẫn đến hệ phương trình cho nghiệm tối ưu 1 2,α α 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E X E X X E YX E X X E X E YX α α α α ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ (1.4) Ngoài ra, ta có thể dùng định lý hình chiếu trong không gian Hilbert L2 . Ta đặt vấn đề tìm phần tử Y’ trong tập đóng A : { }2 1 1 2 2: \ :A X L X a X a X= ∈ = + với 1 2,a a R∈ , sao cho : ' inf X A Y Y X Y ∈ − = − với X A∈ . Như vậy, theo định lí chiếu trong không gian Hilbert 'Y A∈ và Y’ thỏa điều kiện trên khi và chỉ khi 'Y A∈ và 'Y Y A⊥− ∈ và do đó 1 1 2 2 , 0Y X X Xα α= , tức là : 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 , 0 , 0 Y X X X Y X X X α α α α =⎧⎨=⎩ Áp dụng tính chất của tích vô hướng đã định nghĩa ở trên ta suy ra (1.4). 1.1.8 PHƯƠNG TRÌNH DỰ ĐOÁN Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 14 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Cho không gian Hilbert 2L , một tập con đóng 2A L⊆ và một phần tử 2X L∈ , định lý chiếu trong không gian Hilbert khẳng định rằng tồn tại duy nhất một phần tử 'X A∈ sao cho: ', 0,X X Y Y A = ∀ ∈ (1.5) Phương trình (1.5 ) gọi là phương trình dự đoán và phần tử ' : AX P X= là dự đoán tốt nhất của X trong A. Hay ta có thể nói dự đoán tốt nhất của X trong A là chiếu của X trong A. 1.1.9 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ DỰ ĐOÁN TỐT NHẤT TRONG L2 Như ta đã nói ở trên, nếu 2nX L∈ , 2X L∈ thì 2LnX X⎯⎯→ khi và chỉ khi: 2 2 0n nX X E X X− = − → khi n→∞ ™ Một số tính chất của sự hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình Nếu 2L nX X⎯⎯→ thì khi n→∞ i) 2 nEX ,1 ,1 EX L nX X=⎯⎯→ = ii) 22 2, ,Ln n nE X X X X X E X=⎯⎯→ = iii) ( ) 2, , , ,Ln n n nE X Y X Y X Y E X Y=⎯⎯→= ™ Định nghĩa 1: ( Dự đoán bình phương trung bình tốt nhất của Y) Nếu A là một không gian con đóng của 2L thì dự đoán bình phương tốt nhất của Y trong A được định nghĩa là phần tử 'Y A∈ sao cho : 2 2 2' Z A Z A : inf infY Y Y Z E Y Z ∈ ∈ − = − = − ™ Định nghĩa 2: ( Kỳ vọng có điều kiện AE X ) Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 15 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Nếu A là một không gian con đóng trong L2 và chứa các hàm hằng, nếu 2X L∈ thì ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện của X với A cho trước là phép chiếu A AE X P X= Mặt khác, vì toán tử AE X là toán tử chiếu trên L 2 nên AE có các tính chất phép chiếu : i) ( ) , ,A A AE aX bY a E X b E Y a b R+ = + ∈ ii) 2L A n AE X E X⎯⎯→ nếu 2LnX X⎯⎯→ iii) ( )1 2 1A A AE E X E X= nếu 1 2A A= 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 16 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh §1.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.2.1 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN BIỄU DIỄN DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC HÀM NGẪU NHIÊN CƠ BẢN ™ Định nghĩa ( Hàm ngẫu nhiên cơ bản ) Hàm ngẫu nhiên cơ bản là hàm có dạng : ( ) ( ).t C tδ θ= (1.6) trong đó : C là một đại lượng ngẫu nhiên ( )tθ là hàm không ngẫu nhiên của biến số t T∈ ™ Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên cơ bản i) Kỳ vọng : ( ) ( ) ( ). .C CE t E t t Eδ θ θ= = trong đó : CE là kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên C * Nếu 0CE = thì ( ) 0E tδ = * Khi xét các hàm ngẫu nhiên cơ bản có kỳ vọng bằng không , ta kí hiệu là ( )0 tδ => ( )0 0E tδ = ii) Hàm tự tương quan của hàm ngẫu nhiên cơ bản ( )tδ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' ' ' ', . . . . . CK t t E t t t t E C t t Dδ δ δ θ θ θ θ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥⎣ ⎦ trong đó : CD là phương sai của đại lượng ngẫu nhiên C iii) Đối với các hàm ngẫu nhiên cơ bản, ta có các phép biến đổi tuyến tính + Phép toán đạo hàm : ( ) ( )'' .t C tδ θ= Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 17 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh + Phép toán tích phân xác định : ( ) ( ) 0 0 . T T t dt C t dtδ θ=∫ ∫ iv) Nếu G là một toán tử tuyến tính , ta có : ( ){ } ( ){ }G t C G tδ θ= ™ Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản) Cho quá trình ngẫu nhiên : ( ) ( ) ( ) 1 . n i i i t E t C tχχ θ = = +∑ (1.7) trong đó : iC là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0, 1,i n= ( )E tχ là kỳ vọng của ( )tχ . Biểu thức (1.7) được gọi là khai triển của quá trình ngẫu nhiên ( )tχ theo các hàm cơ bản. với : + các đại lượng ngẫu nhiên ( )iC t , 1,i n= được gọi là hệ số khai triển. + các hàm không ngẫu nhiên ( )i tθ , 1,i n= được gọi là các hàm tọa độ. ™ Đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên theo các hàm cơ bản Giả sử ( )tχ biểu diễn được dưới dạng (1.7) , khi đó : Xét một toán tử tuyến tính G tác động lên ( )tχ , ta sẽ có : ` ( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } 1 n i i i t G t G E t C G tχξ χ θ = = = +∑ Đặt ( ){ } ( )GG E t E tχ = và ( ){ } ( )i iG t tθ =Ψ Khi đó : ( ) ( ) ( ) 1 n G i i i t E t C tξ = = + Ψ∑ Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 18 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Ta thu được ( )tξ theo các hàm cơ bản với các hệ số 1 2, ,...., nC C C . Như vậy, nếu quá trình ngẫu nhiên ( )tχ khai triển dưới dạng tổng các hàm cơ bản, qua phép biến đổi tuyến tính G thì các hệ số khai triển không thay đổi, còn kỳ vọng và các hàm tọa độ bị tác động theo phép biến đổi tuyến tính. 1.2.2 KHAI TRIỂN CHÍNH TẮC CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Giả sử quá trình ngẫu nhiên khai triển dưới dạng : ( ) ( ) ( ) 1 . n i i i t E t C tχχ θ = = +∑ , trong đó : , 1,iC i n= là các đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng 0 và ma trận tương quan i jk . Xét hàm tự tương quan và phương sai của ( )tχ ( ) ( ) ( )0 0' ', ,K t t E t tχ χ χ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ trong đó : ( ) ( )0 1 n i i i t C tχ θ = =∑ ( ) ( )0 ' ' 1 n i i i t C tχ θ = =∑ Khi đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 1 1 , . , n i j i j i j i j i i j j K t t E C C t t E C C t tχ θ θ θ θ == ⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ với : ( ) [ ]2i i i iE C C E C D= = ( iD được gọi là phương sai của iC ) ( ) ( ), , , 1,i j ijE C C k i j i j n= ≠ = Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 19 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh Như vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 1 , . n i i i i j i j i i j K t t t t D t t kχ θ θ θ θ = ≠ = +∑ ∑ (1.8) Đặt t = t’ ta có phương sai của ( )tχ : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 n i i i j i j i i j D t t D t t kχ θ θ θ = ≠ = ⎡ ⎤ +⎣ ⎦∑ ∑ (1.9) * Chú ý : Nếu các hệ số iC ( )1,i n= không tương quan với nhau , nghĩa là i jk = 0 ( i j≠ ) . Khi đó ta nói (1.7) là khai triển chính tắc của hàm ngẫu nhiên ( )tχ ™ Nhận xét * Khai triển chính tắc của quá trình ngẫu nhiên ( )tχ là khai triển có dạng : ( ) ( ) ( ) 1 . n i i i t E t C tχχ θ = = +∑ trong đó : ( )E tχ là kỳ vọng của quá trình ngẫu nhiên ( )tχ ( )( )1,i t i nθ = là các hàm tọa độ ( )1,iC i n= là các đại lượng ngẫu nhiên không tương quan với nhau và đều có kỳ vọng bằng 0 * Nếu ( )tχ có khai triển chính tắc thì hàm tự tương quan của nó có dạng là ( ) ( ) ( )' ' 1 , n i i i i K t t t t Dχ θ θ = =∑ * Nếu ( )tχ có khai triển chính tắc thì phương sai của ( )tχ có dạng là : ( ) ( )( )2 1 n i i i D t t Dχ θ = =∑ Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 20 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh 1.2.3 ĐƯA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC Cho quá trình ngẫu nhiên ( )tχ biểu diễn dưới dạng : ( ) ( ) 1 . n i i i t M tχ ψ = =∑ (1.10) trong đó : ( )( )1,i t i nψ = là các hàm không ngẫu nhiên iM là các đại lượng ngẫu nhiên tương quan có ma trận tương quan : 1 12 1 2 2 .... .... .... .... n n M n D k k D k K D ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ với : ( )( ) 0, , 1, ,i j i i j jk E M E M E i j n i j⎡ ⎤= − − ≠ ∀ = ≠⎣ ⎦ và 0i iEM E= ≠ Biểu thức dạng (1.10) của ( )tχ chưa phải là dạng chính tắc , do đó ta cần đưa nó về dạng chính tắc. Ta viết biểu thức(1.10) dưới dạng : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n i i i i i i i t E t M E tχ ψ ψ = = = + −∑ ∑ Đặt : 0 i i iM M E= − , ( ) ( ).i iE t E tχ ψ= , 1,i n= Khi đó: ( ) ( ) ( )0 1 n i i i t E t M tχχ ψ = = +∑ Biểu thức trên còn có thể viết dưới dạng : Đề tài Khai triển trực giao của hàm ngẫu nhiên 21 Luận văn thạc sĩ toán học Trần Thị Vân Anh ( ) ( )* * .Tt M tχ ψ= (1.11) với : ( ) ( ) ( )* t t E tχχ χ= − và ( )* ,M tψ là các ma trận cột và T biểu diễn phép chuyển vị của ma trận Ma trận tương quan được viết dưới dạng : ** T MK E M M ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ Chọn ma trận A sao cho vectơ : * .C A M= có các thành phần iC , 1,i n= là c