Khóa luận Giúp học sinh trung học phổ thông vượt qua những sai lầm trong lập luận toán học phần hình học

CHƯƠNG 2 GIÚP HỌC SINH VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRONG VẼ HÌNH Hình học không gian là một môn học về các vật thể trong không gian (hình hình học trong không gian) mà các điểm hình thành nên vật thể đó thường không nằm trong một mặt phẳng. Do đó HS thường hay gặp khó khăn trong việc vẽ hình biểu diễn và vẽ hình không chính xác. Nguyên nhân chính là HS không đánh giá một cách đầy đủ các giả thiết bài toán đặt ra, hoặc những nhận định, những kết luận do trực giác đưa ra hoặc biểu thị sai các khái niệm như góc, khoảng cách... Và tất nhiên điều này sẽ dẫn đến bế tắc trong cách giải hoặc lời giải không chính xác. Sau đây là những bài tập cụ thể chỉ ra những sai lầm mà hầu hết HS mắc phải. Sai lầm khi không đánh giá đầy đủ các giả thiết Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh huyền BC = a, Các cạnh bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau và bằng Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Dự kiến sai lầm - HS sẽ xác định đường cao của hình chóp (hay chân đường cao của hình chóp) không đúng. Tức là, HS sẽ lấy điểm H bất kỳ (H là chân đường cao của hình chóp) trong mp (ABC) mà không dựa vào một sự ràng buộc nào của giả thiết bài toán. - Kẻ khi đó ta có: (1) - Mặt khác: kẻ - Khi đó, theo định lý 3 đường thẳng vuông góc, suy ra: . Vậy: Sxq = S + S + S - Ta có: ; . Khi đó tính SI, SJ, SK theo a. Phân tích sai lầm - Nhìn vào hình vẽ trên không có một gợi ý liên hệ nào giúp ta thực hiện tính toán. - HS chưa sử dụng giả thiết: các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau thì ta suy ra được điều gì? Ta chứng minh được: Suy ra: HA = HB = HC Vậy, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. Hình 1.1 - Xác định tâm của mặt đáy: Vận dụng giả thiết là tam giác vuông tại A, nên H là trung điểm cạnh huyền BC. - Từ những phân tích trên ta có hình vẽ 1.1 - Do đó, ta tính được: SI; SJ; SH: - Suy ra: Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Một mặt bên của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy những góc bằng nhau và bằng Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Dự kiến sai lầm - HS sẽ vẽ hình mà không thể hiện được: Mặt phẳng chưa vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với đáy những góc bằng nhau. - HS không phân biệt được khái niệm hình chóp đa giác đều với hình chóp có đáy là một đa giác đều: hình chóp đa giác đều thì chân đường cao của hình chóp trùng với tâm hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy, còn hình chóp có đáy là đa giác đều thì chưa chính xác, nên nhầm lẫn tính chất xác định chân đường cao của hình chóp. Từ những sai lầm đó mà dẫn đến việc xác định chân đường cao H của hình chóp không đúng, dẫn đến những tính toán thiếu chính xác. - Kẻ Vì đều nên H trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp . - Ta có: - Theo định lí 3 đường vuông góc ta có: Hình 2.1 - Hơn nữa, và Nên Do đó, Phân tích sai lầm - Từ giả thiết và nên và H nằm trên AC. - Vận dụng giả thiết hai mặt bên hợp với mặt đáy những góc bằng nhau nên ta có: suy ra => HI = HJ. Vậy H nằm trên đường phân giác góc B. Hình 2.2 - Hơn nữa, đều nên H là trung điểm của AC. Do đó, ta có hình vẽ 2.2. Ta tính được: Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD, SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a. Tính đường cao SH của hình chóp. Dự kiến sai lầm - Tương tự như 2 bài tập trên, HS sẽ xác định H không chính xác. Gọi H là giao của hai đường chéo, HS sẽ suy ra rằng SH là đường cao của hình chóp. Ta có: là tam giác cân nên Vậy SH là đường cao của hình chóp. Suy ra: Phân tích sai lầm - SH được xác định như trên không phải là đường cao của hình chóp, vì . - Nếu SH là đường cao sẽ dẫn đến mâu thuẫn: là tam giác cân nên SA = SC mà theo giả thiết Lời giải đúng như sau: Gọi O là giao của AC và BD. - Ta có : suy ra Do đó - Kẻ H thuộc AC, SH thuộc Vậy Vậy . Hay SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Xét xem có đặc điểm gì không? Vận dụng các đại lượng đã cho ta có: Vậy OS = OA = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp của Hay là tam giác vuông tại S. Suy ra: Biện pháp khắc phục sai lầm Những sai lầm trên đây là do thiếu sót một số hiểu biết cần thiết trong vẽ hình, chưa xâu chuổi, kết hợp các yếu tố giả thiết nên dẫn đến những sai lầm, nhưng chủ yếu là việc xác định sai đường cao của hình chóp. Để sửa chữa những sai lầm đó, chúng ta cho HS làm quen một số hình quen thuộc sau đây: Hình chóp đều Gọi là góc giữa cạnh bên hợp với đáy, là góc giữa mặt bên hợp với đáy Gọi là góc giữa đường cao của hình chóp với mặt bên. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy - Nếu hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó là đường cao của hình chóp. - Nếu hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt bên đó vuông góc với đáy. Hình chóp có Hình chóp có hai mặt bên và vuông góc với đáy, SA là đường cao của hình chóp Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao của hình chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và đáy. Tuỳ theo giả thiết mà vị trí của chân đường cao ở những vị trí đặc biệt. Hình chóp có Bài tập củng cố: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn và AB = BC = CD = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng b. Tính thể tích và diện tich xung quanh của hình chóp. Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác cân, vuông tại đỉnh C. Hai mặt bên (SAC) và (SBC) là những tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAB) có 900. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. 1.2 Sai lầm khi vẽ hình biễu diễn của một hình trong không gian Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng. Muốn vẽ hình biểu diễn thì ta phải áp dụng tính chất của phép chiếu song song như: Hình biểu diễn của tam giác đều là một tam giác giác bất kỳ, hình biểu diễn của hình vuông là một hình bình hành, đường tròn là một elip. Song một số tính chất của hình đó vẫn được bảo toàn. Và học sinh đã không nắm rõ điểm này, nên dẫn đến vẽ hình biểu diễn của hình H là không đúng. Bài tập: Cho một elip là hình biểu diễn của một đường tròn có tâm O. Hãy vẽ hình biểu diễn của: a. Một tam giác đều nội tiếp trong (O); b. Hình vuông nội tiếp trong (O); c. Hai đường kính vuông góc của đường tròn; d. Một dây cung và đường kính vuông góc với dây cung. Dự kiến sai lầm HS sẽ vẽ một tam giác, hình bình hành, hai đường kính, dây cung và đường kính bất kỳ để biểu diễn những hình yêu cầu trên, mà không có một mối ràng buộc nào biểu thị dữ kiện bài toán đã cho. a. Hình biểu diễn của một tam giác đều là một tam giác bất kỳ, nên ta có hình biễu diễn tam giác đều như bên. b. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành nên ta có hình biểu diễn hình vuông ABCD như bên. c. Vì qua phép chiếu song song không bảo toàn góc nên ta có hình biểu diễn hai đường kính AC và BD vuông góc nhau như bên. d. Lí luận tương tự như bên ta có hình biểu diễn của một đường kính vuông góc với dây cung. Phân tích sai lầm - Khi vẽ hình biễu diễn một hình thì ta phải thể hiện được các tính chất mà được bảo toàn qua phép chiếu song song. Và qua hình biểu diễn đó ta có thể nhận ra đó là tam giác đều, hình vuông, hai đường kính vuông góc... a. Trước hết ta vẽ tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Nhận xét: - A, O, H thẳng hàng, BC đi qua trung điểm của OD. - BC song song với MN, OA đi qua trung điểm của MN. Ta có hình biểu biễn như sau: - Vẽ cung M’N’, lấy I’ là trung điểm của M’N’. - Nối O’I’ cắt (O’) tại A’, D’. - Lấy trung điểm H’ của đoạn O’D’. Từ H kẻ B’C’ song song với M’N’ Tam giác A’B’C’ là hình biểu diễn của tam giác đều ABC. b. Cũng như câu a, khi nhìn vào hình vẽ biểu diễn trên thì ta không biết đó là hình biểu diễn của hình bình hành, hình chữ nhật hay là hình vuông. Bởi hình không thể hiện một tính chất đặc trưng nào? - Trước hết, ta có hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) là: Ta thấy: Tâm của hình vuông trung với tâm của đường tròn. Đường chéo của hình vuông luôn đi qua trung điểm của dây cung mà song song với đường chéo còn lại. Do đó hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) là: - Vẽ đường kính A’C’ biểu diễn đường kính AC; - Vẽ dây M’N’ song song với A’C’ và gọi I’ là trung điểm của nó; - Nối O’I’ cắt đường (O’) tại B’, D’. Vậy A’B’C’D’ là hình biểu diễn của hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). c. d. tương tự như cách xác định ở câu b. Ta có A’C’ và B’D’ là hai đường kính vuông góc, B’D’ và M’N’ là đường kính vuông góc với dây cung. Biện pháp khắc phục sai lầm Để vẽ hình biểu diễn chính xác ta cần thực hiện những bước sau: - Nắm rõ các tính chất của phép chiếu song song; - Vẽ hình đó trong phẳng rồi xét xem yếu tố nào không đổi khi qua phép chiếu song song; - Vẽ hình biểu diễn. Bài tập củng cố: Vẽ hình biểu diễn của lục giác đều, hình chữ nhật nội tiếp trong đường tròn tâm (O). 1.3 Sai lầm của HS khi xác định góc Khi giải những bài toán tính toán các yếu tố như độ dài đường vuông góc chung, góc... Ngay cả khi không yêu cầu dựng thì trên thực tế ta cũng phải xác định các yếu tố đó trên hình vẽ, sau đó mới tính toán. Song do không nắm kỹ các khái niệm mà học sinh thường gặp sai lầm trong phần này, dẫn đến kết quả tính toán sai. Bài tập 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a và các mặt bên của hình chóp hợp với đáy một góc Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh BC với các mặt bên của hình chóp và tính diện tích của thiết diện. Dự kiến sai lầm - HS sẽ gặp phải sai lầm khi xác định mặt phẳng phân giác của góc nhị diện đó là: xác định phân giác của hai góc và khi đó mặt phẳng phân giác được tạo bởi hai đường phân giác đó và cạnh nhị diện. - Trong mặt bên (SAB), dựng đường phân giác góc là BM. - Trong mặt bên (SCD), dựng đường phân giác góc là CN. Nối MN. Khi đó tứ giác BCNM là mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh BC cần tìm. Phân tích sai lầm - Nhìn vào hình vẽ ta không thể tìm ra được một mối liên hệ nào để tính toán được diện tích thiết diện BCNM. - Ở đây ta có thể chứng minh được rằng mặt phẳng phân giác đó không đi qua hai đường phân giác của hai góc và . Ta có lời giải như sau: Để dựng được mặt phẳng phân giác thì trước hết ta phải dựng được góc phẳng nhị diện cạnh BC. Từ H kẻ IJ song song với AB. Khi đó: . Do vậy . Từ I kẻ phân giác IK cắt SJ tại K, ta có: . Từ K kẻ MN song song với AD. Nối BM, CN ta có mặt phẳng phân giác là: BCNM Và thiết diện là hình thang vì MN // BC. - Chỉ ra được BM, CN không phải là phân giác của và . Thật vậy, Ta có: (1) (vì KI là phân giác của Vì MN song song với AD nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: (3). Ta thấy: nên (4). Từ (3) và (4) suy ra: . Vậy BM không là phân giác của Tương tự ta chứng minh được CN không phải là phân giác của - Với cách dựng đó ta có: Vì MN song song với AD nên: (5). Mặt khác: IK là phân giác nên: (6) Từ (5) và (6) suy ra: . Ta tính được: Do đó: Bài tập 2: Cho một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là một tam giác vuông ở A, có AB = a, góc B bằng Mặt phẳng đi qua cạnh BC và đỉnh A’ hợp với đáy ABC một góc bằng Tính thể tích hình lăng trụ. Dự kiến sai lầm - HS thường xác định sai góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (CA’B) Ta có: là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Do đó . Khi đó: Vậy thể tích hình lăng trụ là: Phân tích sai lầm - không phải là góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). - Do trực giác và không nắm rõ định nghĩa nên đã xác định góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) không chính xác. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hoặc xác định một mp vuông góc với giao tuyến BC của hai mặt phẳng đó. - Để xác định góc này ta cần tìm một mp vuông góc với . Từ A kẻ . Vậy suy ra: (theo định lí ba đường vuông góc) Vậy là góc phẳng nhị diện hợp bởi hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC). Ta có: ; = .. Vậy .... Biện pháp khắc phục sai lầm Khi cần tính góc nhị diện (hay góc giữa hai mặt phẳng) nếu góc chưa có sẵn thì ta phải dựng góc, sau đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác... để tính toán. Sau đây là phương pháp dựng góc giữa hai mặt phẳng (góc phẳng nhị diện). - Tìm c giao tuyến của hai mp và . - Tìm mặt phẳng vuông góc với c. Tìm các giao tuyến của với và . Khi đó = với - Tìm mp : + Tìm đường thẳng vuông góc với c, cắt và tại A và B. + Từ A (hay B) dựng đường vuông góc với c. Khi đó là góc giữa hai mặt phẳng cần tìm. Ta có: . Chú ý a) Nếu hai mặt của nhị diện lần lượt chứa hai tam giác cân MAB và NAB có chung đáy là AB thì (I là trung điểm của AB) là góc giữa hai mặt phẳng đó. Dựng mặt phẳng phân giác của nhị diện - Cần tìm 1 góc phẳng nhị diện của nhị diện đó. - Xác định phân giác của góc phẳng nhị diện. - Khi đó mặt phẳng phân giác là mặt phẳng đi qua cạnh của nhị diện và phân giác đó. (OCD) là mặt phẳng phân giác của nhị diện( A, CD, B) Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’ hợp với mặt bên BAA’B’ một góc . Tính thể tích hình lăng trụ. Dự kiến sai lầm HS sẽ xác định sai góc giữa BC’ và mp (AA’B’B). Nối BA’ góc giữa BC’ và mặt bên BB’C’C là . Vậy Trong , theo định lí sin ta có: Mặt khác: BA’ = BC’ nên là tam giác cân tại B. Vậy:Vậy thể tích hình lăng trụ là: Phân tích sai lầm Sai lầm của lời giải trên chính là việc xác định sai góc giữa đường thẳng B’C’ với mp (BAA’B’), do trực giác nhầm và không nắm rõ định nghĩa. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng. Theo định nghĩa ta phải tìm góc giữa BC’ và hình chiếu của nó trên (BAA’B’). Trước tiên phải xác định được hình chiếu của BC’. Ta thấy B thuộc (BAA’B’), ta cần xác định hình chiếu của C’ lên (BAA’B’), tức là xác định chân đường vuông góc kẻ từ C’ xuống (BAA’B’). Lấy I là trung điểm của A’B’. Vì đều nên Mặt khác: Vậy: . Vậy BI là hình chiếu của B’C’ trên (BAA’B’). Suy ra: . Ta có: . Suy ra, Vậy: Biện pháp khắc phục sai lầm Dựng góc giữa đường thẳng a và mp ta làm như sau: - Tìm giao điểm O của a và . - Lấy điểm A thuộc a chiếu vuông góc xuống thành H. Khi đó: - Nói một cách thực hành thì là góc giữa đường xiên và hình chiếu trong định lí 3 đường vuông góc. 1.4 Sai lầm của HS khi xác định khoảng cách Để tính khoảng cách đúng, chính xác thì yếu tố quan trọng nhất đó là dựng đúng khoảng cách đó. Bài toán về khoảng cách trong hình học không gian thuần tuý thường trừu tượng và khó đối với HS. Điều này cũng làm cho không ít HS thắc mắc, sai lầm khi học phần này. Cụ thể: Bài toán 1: Trong hình chóp tam giác S.ABC, đường cao đi qua đỉnh C của đáy. Mặt bên (SAB) là một tam giác vuông có cạnh huyền AB = a, hợp với đáy một góc , và . - Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAB). - Tính thể tích hình chóp. Dự kiến sai lầm - HS xác định góc giữa hai mp (SAB) và (ABC) và khoảng cách từ C đến (SAB) chưa chính xác. - Vì nên góc giữa (SAB) và (ABC) là . Vậy Từ C kẻ . Khi đó . Xét trong , vuông tại S: Với nên ta có: Trong tam giác vuông SAC có: Do đó: Vì CH là khoảng cách từ C đến (SAB) nên . Phân tích sai lầm - Như ở phần trước, xác định góc do trực giác và không nắm rõ định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. Trước hết ta phải xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng: . Tìm mp vuông góc với AB. Từ C kẻ . Khi đó . Vậy - Khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB) là khoảng cách từ C đến hình chiếu của nó trên mp (SAB). Ở đây H xác định như trên là không phải hình chiếu của C lên mp (SAB). Vì ta có thể chứng minh được . Từ C kẻ . Vậy H là hình chiếu vuông góc của C trên (SAB) Hay Từ những yếu tố trên ta tính được: Suy ra: Vậy, Biện pháp khắc phục sai lầm Xác định khoảng cách từ một điểm A đến mp là rất quan trọng. Bởi tất cả các khoảng cách khác đều có thể đưa về khoảng cách đó. Khi giảng dạy về phần này cần làm rõ phương pháp xác định khoảng cách này. Sau đây là một số phương pháp tìm khoảng cách. Thông thường trong SGK chỉ đưa ra những định lí khái quát và trừu tượng nên những phương pháp này chỉ rõ cho HS cách xác định mp chứa điểm A và vuông góc với mp như thế nào. Bởi khó khăn chủ yếu của HS là xác định mặt phẳng này? Phương pháp 1: - Xác định một mp qua A và vuông góc với mp . - Xác định . Từ A kẻ Nên - Xác định mp : Nếu đã có sẵn một đường thẳng d1 qua A vuông góc với một đường thẳng a chứa trong mp, thì từ A cần dựng một đường thẳng d2 và vuông góc với a. Khi đó . Phương pháp 2: Dựa trên cơ sở đã có một khoảng cách có sẵn. - Nếu có một điểm A’ - AA’ song song với Thì Khoảng cách của đường thẳng a (a song song với ) đến là khoảng cách từ một điểm trên đường a đến Để tính khoảng cách từ A đến ta có thể vận dụng hệ thức lượng trong tam giác... Ngoài ra có thể dựa vào: + Với: V là thể tích của hình chóp tạo bởi A và . B là diện tích của hình F trên h là đường cao hạ từ A xuống . + Bài tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có sáu mặt đều là hình thoi có một góc bằng và cạnh bằng a. Đường cao của hình chóp là Tính độ dài đoạn vuông góc chung của A’C’ và BB’. Dự kiến sai lầm - Xác định đường vuông góc chung của A’C’ và BB’ là không đúng. Kẻ . Ta có: là những tam giác đều. Do đó hình chóp A’.ABD là hình chóp đều. Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. - Nối BO’. Từ O’ kẻ . Khi đó O’ thuộc A’C’, I thuộc BB’ nên O’I là đường vuông góc chung của BB’ và A’C’. - Tính O’I dựa vào thể tích hình chóp B.A’C’B’. Hình chóp này có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp Nên (1). Mặt khác: Vì O’I là đường vuông góc chung nên . Vậy: Suy ra: (2). Từ (1) và (2) ta có: Phân tích sai lầm: Xác định đoạn vuông góc chung A’C’ và BB’ là sai. - Đây là sai lầm mà đa số HS mắc phải khi học phần này. Đa số HS lấy một điểm trên đường thẳng này rồi từ điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc đến đường thẳng kia. Đoạn vuông góc chung có nghĩa là đoạn thẳng mà vuông góc đồng thời với hai đường thẳng đó. Do đó ở đây nên không thể kết luận nó là đoạn vuông góc chung của A’C’ và BB’. Ta thấy . Xem thử ? Ta có: . Suy ra Vậy Hay B’O’ là đoạn vuông góc chung của A’C’ và BB’. Và . Đây là trường hợp đặc biệt đoạn vuông góc chung đã có sẵn. Những trường hợp tổng quát hơn thì ta phải dựng nó và dựng như thế nào? Thường dùng phương pháp sau, nếu nắm kỹ phương pháp này thì bất kỳ một bài toán dựng đoạn vuông góc chung nào đều có thể giải quyết được. Biện pháp khắc phục sai lầm Trước hết phải để học sinh nắm được định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Để giảm tính trừu tượng, tăng tính trực quan ta có thể thực hiện trên mô hình toán học đi đến kiến thức. Mở trang GSP/5.kc/7. - Xét bài toán: Cho hai đường chéo nhau a và b. Tìm đường thẳng c cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b. - Nháy nút Dung để có các bước dựng, giải thích từng bước. - Cho thay đổi các vị trị để HS dự đoán số đường thẳng c. Từ đây đi đến định nghĩ đoạn vuông góc chung. Để HS rút qua tích chất của đoạn vuông góc chung qua hoạt động sau: Mở trang GSP/5.kc/9. Cho M, N là hai điểm tuỳ ý thuộc hai đường chéo nhau a, b. Kéo rê M, N để so sánh: và MN. Rút ra nhận xét: Đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng ngắn nhất nối từ hai đường thẳng a và b. Đặt vấn đề để đi tìm 1 phương pháp xác định đoạn vuông góc chung. Mở trang GSP/5.kc/8. Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng a và b. - Nhận xét về các khoảng cách sau: Từ nhận xét trên, để xác định đoạn thẳng vuông gốc chung thì ta thực hiện được phương pháp sau: Phương pháp xác định đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng a và b. Trường hợp: a và b chéo nhau. Dựa vào định nghĩa đoạn vuông góc chung ta có thể dựng theo những bước sau: Xác định đoạn khoảng cách OH của a và b Bước 1: - Dựng chứa b và song song với a. Dựng : Từ một điểm trên đường thẳng b kẻ đường thẳng a’ song song với a. Khi đó: . Và Bước 2: Xác định vuông góc với . Xác định : - Từ một điểm O trên đường thẳng a, kẻ đường thẳng tại K. - Từ K kẻ đường thẳng . Khi đó . - Ta có: . Bước 3: Xác định giao tuyến của 2 mp , . Từ O