Luận án Đặc trưng không gian trạng thái và tính ổn định của một số hệ sandpile model mở rộng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ---------- Trần Thị Thu Hương ĐẶC TRƯNG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ HỆ SANDPILE MODEL MỞ RỘNG Chuyên ngành: Cơ sở Toán học cho Tin học Mã số: 62 46 01 10 Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Phan Thị Hà Dương, Viện Toán học LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2014 Đặc trưng không gian trạng thái và tính ổn định của một số hệ Sandpile Model mở rộng Trần Thị Thu Hương Chuyên ngành: Cơ sở Toán học của Tin học Mã số: 62 46 01 10 Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Phan Thị Hà Dương, Viện Toán học Ngày 27 tháng 3 năm 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Phan Thị Hà Dương. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nghiên cứu trong luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Trần Thị Thu Hương 1 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo tôi, PGS. TS. Phan Thị Hà Dương - người thầy, người đồng nghiệp mà tôi rất mực kính trọng, yêu quý và đầy lòng biết ơn. Chính sự say mê, niềm nhiệt huyết trong công tác nghiên cứu Toán của cô đã truyền cảm hứng cho tôi ngay từ khi mới bước chân vào Viện Toán. Dưới sự hướng dẫn của cô, theo thời gian, tôi đã trưởng thành và vững tin hơn rất nhiều trên con đường nghiên cứu của mình. Với tôi, cô còn là người bạn lớn có thể chia sẻ những khó khăn không những trong công việc mà trong cả cuộc sống. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, các đồng nghiệp, những người đã giúp tôi trong trao đổi khoa học, thảo luận, đóng góp ý kiến, động viên tinh thần,...: GS. Lê Tuấn Hoa, GS. Ngô Việt Trung, GS. Nguyễn Việt Dũng, Ths. Phạm Văn Trung, GS. Robert Cori, PGS. Phạm Trà Ân, GS. Ngô Đắc Tân, TS. Lê Công Thành, TS. Lê Mạnh Hà, TS. Đỗ Phan Thuận, GS. Dominique Rossin, PGS. Trương Xuân Đức Hà, ThS. Hoàng Phi Dũng, CN. Phùng Văn Doanh. Tôi xin cảm ơn bạn tôi, TS. Phạm Thị Anh Lê, người đã đọc kỹ bản thảo và sửa rất nhiều lỗi diễn đạt, chính tả và đánh máy. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các cơ quan, tổ chức: Trung tâm đào tạo sau đại học, Viện Toán học, Viện Khoa học và công nghệ Việt Nam, Quỹ Nafosted, VIASM (Viện nghiên cứu cao cấp về Toán), LIA Formath Vietnam, đã tài trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho công tác nghiên cứu, trao đổi khoa học của tôi trong thời gian làm luận án. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn Viện Toán học đã cho tôi làm việc trong một môi trường bình đẳng, thân thiện, hòa nhã, vui vẻ và lành mạnh. Luận án dành tặng ba mẹ tôi và hai cháu (Bin và Tốc): những người có thể không hiểu nội dung luận án nhưng chỉ cần nhìn thấy họ, tôi đã thấy cả bầu trời và 2 là nguồn động viên lớn nhất giúp tôi hoàn thành luận án đúng kỳ hạn. Luận án còn tặng cho những ai yêu Toán. 3 Mục lục Mục lục 1 Danh mục hình vẽ 3 Danh mục ký hiệu 6 Tóm tắt 7 Abstract 8 Mở đầu 9 1 Hệ động lực rời rạc 13 1.1 Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2 Phân hoạch của số tự nhiên, tập thứ tự bộ phận và dàn . . . 18 1.1.3 Ngôn ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2 Một số hệ động lực rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.1 Các kiến thức chung về hệ động lực rời rạc . . . . . . . . . . . 25 1.2.2 Hệ CFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2.3 Hệ SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 Hệ SPM: Tính ổn định 40 2.1 Hệ E-SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Cấu trúc không gian trạng thái của các phân hoạch trơn . . . . . . . 43 2.3 Độ dài đường đi giữa hai phân hoạch trơn trong hệ E-SPM . . . . . . 46 1 2.4 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3 Hệ SPM đối xứng song song 58 3.1 Một số mở rộng của hệ SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1 Hệ SPM song song (P-SPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.2 Hệ SPM đối xứng (S-SPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2 Hệ SPM đối xứng song song (PS-SPM): Trạng thái ổn định . . . . . . 64 3.3 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Các hệ mở rộng CFG có dấu và SPM đối xứng 82 4.1 Hệ mở rộng CFG có dấu (S-CFG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2 Các mở rộng S-SPM và S-CFG trên đường thẳng . . . . . . . . . . . 84 4.2.1 Sự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.2 Trạng thái ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.3 Các mở rộng trên đồ thị vòng: SPM(Cn), CFG(Cn), S-SPM(Cn) và S-CFG(Cn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.1 Các hệ SPM(Cn) và CFG(Cn); S-SPM(Cn) và S-CFG(Cn): Sự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.2 Cấu trúc không gian và đặc trưng trạng thái . . . . . . . . . . 98 4.3.3 Trạng thái ổn định của hệ S-CFG(Cn) . . . . . . . . . . . . . 103 4.4 Kết luận chương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Kết luận 110 Danh mục các công trình 113 Tài liệu tham khảo 113 2 Danh sách hình vẽ 1.1 Đồ thị đầy đủ K4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Biểu đồ Ferrer của phân hoạch (4, 3, 2, 2, 2, 1) . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Biểu đồ Hasse của một số tập thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Dàn và không phải dàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Dàn phân phối địa phương trên nhưng không phân phối địa phương dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Đồ thị quỹ đạo của CFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7 Luật rơi phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.8 Không gian trạng thái của SPM(6) và SPM(30) . . . . . . . . . . . . 36 2.1 Không gian trạng thái của hệ E-SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Không gian trạng thái của hệ E-SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Biểu đồ Ferrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Cột trơn và đường chéo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.5 Biểu đồ năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Đường đi dài nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7 Đường đi dài nhất giữa hai phân hoạch trơn . . . . . . . . . . . . . . 55 2.8 Phản ví dụ cho ea(i, j) = eb(i, j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1 Không gian trạng thái của: (a): SPM(6); (b): PS-SPM(6) . . . . . . . 60 3.2 Dãy đơn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Không gian trạng thái của hệ S-SPM(5) . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 Khai triển SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Không gian trạng thái của hệ PS-SPM(5) . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 3.6 Thủ tục Atom trên (4, 3, 2, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.7 Thủ tục đan xen trên (9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.8 Thủ tục giả đan xen trên (13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.9 Cột đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.10 Đường đi từ (20) tới trạng thái ổn định (1123(4)3321) . . . . . . . . . 80 4.1 CFG có dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2 Trọng số của các ký tự 0 của một từ trong LS . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 Không gian trạng thái của S-SPM(C4, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Dàn con SPM(C3, 10) của dàn SPM(10) . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4 Danh mục ký hiệu Altt(a) Áp dụng thủ tục đan xen t bước trên a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Atomt(a) Áp dụng thủ tục Atom t bước trên a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 CFG Chip Firing Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 CFG(G) Hệ CFG trên đồ thị G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 CFG(G,O) Hệ CFG trên G xuất phát từ trạng thái O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 CFG(G, k) Hệ CFG trên G xuất phát từ các trạng thái có trọng số k . . . . . . . . . . 29 δ Ánh xạ lấy hiệu đẳng cấu giữa hệ SPM và CFG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 E-SPM Hệ SPM mở rộng với luật thêm hạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 LS Ngôn ngữ ổn định trên {1,0,} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 PAltt(a) Áp dụng thủ tục giả đan xen t bước trên a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 P-SPM(N) Hệ SPM song song xuất phát từ (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 PS-SPM(N) Hệ SPM đối xứng song song xuất phát từ (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 SE-SPM Tập các phân hoạch trơn cảm sinh từ hệ E-SPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 SPM Sandpile Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 SPM(N) Hệ SPM xuất phát từ (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 S-SPM(N) Hệ SPM đối xứng xuất phát từ (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5 a↓i Dãy thu được từ a bằng thêm một hạt vào cột i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ai) Dãy bên trái (phải) thực sự của a tại i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 d Ánh xạ lấy hiệu đẳng cấu giữa hệ S-SPM và S-CFG trên đường thẳng . . . 85 dn Ánh xạ lấy hiệu trên đồ thị vòng Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 E(a) Năng lượng của a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 ea(i, j) Năng lượng của hạt (i, j) trong a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 FP (S-CFG(Cn, k) Tập trạng thái ổn định của S-CFG(Cn, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6 Tóm tắt Luận án trình bày một số mở rộng của hai hệ động lực rời rạc Sandpile model (SPM) và Chip firing game (CFG). Hai hệ này đã được nghiên cứu rất nhiều trong những năm gần đây bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau. Chúng tôi nghiên cứu bài toán đạt được, cấu trúc không gian và thời gian đạt được trên các hệ mở rộng này. Mở rộng thêm hạt trên hệ SPM: Nghiên cứu sự ổn định của hệ dưới tác động từ bên ngoài bằng việc bổ sung luật thêm hạt vào các cột hợp lý mỗi khi hệ đạt tới trạng thái ổn định duy nhất. Chúng tôi chỉ ra rằng có thể thu được tất cả các phân hoạch trơn bằng cách này. Từ đó chứng minh cấu trúc dàn của các phân hoạch trơn trong mối liên quan với dàn Young. Hơn nữa, nhờ giới thiệu khái niệm năng lượng chúng tôi mô tả được sự biến thiên của hệ thông qua các đại lượng được tính toán tường minh là đường đi ngắn nhất và dài nhất. Mở rộng hệ SPM thành hệ đối xứng song song (PS-SPM): Các cột có thể rơi sang cả hai phía (tính đối xứng) và các cột có thể rơi thì rơi đồng thời (tính song song), chúng tôi đã chỉ ra hệ SPM đối xứng song song và hệ SPM đối xứng có tập trạng thái ổn định có cùng hình dạng. Chứng minh này mang tính xây dựng nhờ chỉ ra tường minh con đường áp dụng luật PS-SPM kết hợp giữa các thủ tục đan xen, giả đan xen và tất định một cách hợp lý. Mở rộng hệ CFG thành hệ CFG có dấu: Các đỉnh trong hệ CFG có thể chứa một số âm các chip và các đỉnh chứa chip đủ âm cũng có thể bắn. Chúng tôi chỉ ra các đẳng cấu giữa hệ SPM đối xứng và hệ CFG có dấu trong hai trường hợp khi đồ thị nền là đường thẳng vô hạn và đồ thị vòng. Nhờ việc kết hợp nghiên cứu giữa hai hệ này, chúng tôi đặc trưng cho các trạng thái của các hệ và đưa ra một số tính toán tổ hợp liên quan đến số trạng thái ổn định của chúng. 7 Abstract The manuscript presents some generalizations of two discrete dynamical systems: Sandpile model (SPM) and Chip firing game (CFG), which have recently received great attentions in mathematics, physics and theoretical computer science. We focus on the reachabilities, the time to reach stable configurations and the configuration spaces on these systems. We study the stability of the SPM where grains can be added from outside on random columns. We prove that the infinite set of all stable configurations have a lattice structure which is a sublattice of Young lattice. Moreover, by using the con- cept of "energy" for each stable configuration, we give the formulae for the smallest and the greatest time to reach stable configurations. We investigate a generalization of the SPM, called the parallel symmetric sand- pile model, where columns can fall on either the left or the right (symmetric model) and at each step, all fallable columns will fall (parallel model). We prove that al- though the parallel model produces really less number of fixed points than that by the sequential model, the forms of fixed points of the two models coincide. Moreover, our proof is a constructive one which gives a nearly shortest way to reach a given fixed point form. We present an extension of the CFG, called signed chip firing game, by allowing a negative number of chips at some vertices and negative vertices can fire. We show the isomorphism between symmetric sandpile model and signed chip firing game when the supported graph is either cycles or the infinite graph. Therefore, we give a characterization of reachable configurations and of fixed points of each model. At the end, we give explicit formulae for the number of their fixed points. 8 Mở đầu Lý thuyết hệ động lực đã được nghiên cứu nhiều trong các lĩnh vực khác nhau như Toán học, Vật lý, Sinh học, Hóa học. Hệ động lực là một quá trình tiến hóa theo thời gian và được mô tả bằng các trạng thái và các luật vận động. Một hệ động lực là rời rạc nếu thời gian là trong Z. Trên hệ động lực rời rạc người ta quan tâm đến một số vấn đề sau: sự hội tụ của hệ, cấu trúc (thứ tự, dàn, nhóm) của không gian các trạng thái của hệ, tính đạt được của hệ (khi nào một trạng thái đạt được từ một trạng thái khác bằng cách áp dụng một số lần luật vận động), sự ổn định của hệ dưới các tác động, ... Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các vấn đề trên cho một số mở rộng của hai hệ động lực CFG (Chip firing game) và hệ SPM (Sandpile model). Hệ CFG được giới thiệu bởi Bak, Tang và Wiesenfield khi nghiên cứu các hệ đột biến có tổ chức trong tự nhiên vào năm 1987 [3]. Năm 1991, Bjorner, Lovász và Shor [7] đã mô hình hóa hệ bằng Toán học và sử dụng lý thuyết ngôn ngữ để nghiên cứu sự hội tụ của hệ. Theo đó, hệ CFG được định nghĩa trên một đa đồ thị có hướng G = (V,E), được gọi là đồ thị nền. Mỗi trạng thái của hệ là một sự phân bố chip trên V . Luật vận động là luật bắn: một đỉnh có thể bắn nếu chứa số chip ít nhất bằng số bậc đi ra của nó, và khi bắn nó sẽ cho tất cả các đỉnh dọc theo các cạnh đi ra này một chip. Năm 1997, Biggs nghiên cứu sự hội tụ của hệ CFG dưới tên gọi khác là "dollar game" và đã chỉ ra các điều kiện hội tụ của hệ phụ thuộc vào tổng số chip của trạng thái ban đầu [5]. Tiếp theo, Phan và các đồng nghiệp nghiên cứu cấu trúc không gian các trạng thái của hệ CFG trên đồ thị nền không có thành phần đóng không tầm thường. Các tác giả chứng minh hệ có cấu trúc dàn phân phối địa phương dưới [27, 32]. Sau đó, Dhar et. al. [17] và Cori và Rossin [11] nghiên cứu cấu 9 trúc nhóm trên một lớp các trạng thái ổn định đặc biệt (được gọi là các trạng thái đột biến) của hệ CFG trên đồ thị vô hướng có đỉnh chìm, và thực hiện nhiều tính toán tổ hợp liên quan đến lý thuyết đồ thị như số cây bao trùm, ma trận Laplace. Điều này cũng được nghiên cứu sâu hơn và mở rộng cho đồ thị có hướng nhờ sử dụng các công cụ của đại số [28]. Hơn nữa, gần đây hệ CFG còn được sử dụng như là một công cụ trong nghiên cứu một số vấn đề về đại số liên quan đến các định lý Riemann-Roch, đa thức Tutte, giả thuyết về h-vector của Stanley [4, 36, 38]. Hệ SPM và một số hệ khác liên quan đã được giới thiệu và nghiên cứu trong các lĩnh vực khác nhau: trong bối cảnh về dàn các phân hoạch của các số tự nhiên bởi Brylawsky [8]; từ góc nhìn của Vật lý để nghiên cứu hiện tượng tự đột biến có tổ chức (SOC) bởi Bak, Tang và Wiesenfeld [3]; từ cách tiếp cận của Tổ hợp bởi Anderson et. al., Spencer, Goles và Kiwi [1, 23, 43]. Hệ SPM là hệ động lực rời rạc, trong đó mỗi trạng thái (thường được gọi là các cột cát) là một dãy giảm dần. Luật vận động là luật rơi, tức là khi một cột cát có độ cao lớn hơn cột bên phải của nó ít nhất là 2 đơn vị (thường được gọi là hạt) thì nó sẽ cho hàng xóm đó một hạt. Năm 1993, Goles và Kiwi đã chứng minh rằng hệ SPM có thể được mã hóa như một hệ CFG trên đồ thị nền là nửa đường thẳng vô hạn. Nhờ vậy, hệ SPM kế thừa một số tính chất tổng quát của hệ CFG như sự hội tụ, cấu trúc dàn. Ngoài ra, do là một CFG trên đồ thị đặc biệt nên nó cũng có một số tính chất đặc trưng như các trạng thái đạt được từ một cột duy nhất đều được đặc tả và do vậy trạng thái ổn định duy nhất cũng được xác định tường minh. Hơn nữa, chúng ta cũng có thể tính được thời gian để hệ hội tụ đến trạng thái ổn định duy nhất [23, 26, 27, 31]. Bên cạnh đó, hệ SPM và một số biến thể của nó còn được sử dụng để tính toán hoặc sinh tổ hợp các lớp con của các phân hoạch như phân hoạch trơn, phân hoạch chặt và có thể dùng để chứng minh một số đẳng thức tổ hợp [8, 33, 34, 35]. Mục đích của luận án: 1. Nghiên cứu quá trình tự ổn định của hệ SPM dưới tác động từ bên ngoài. Nhắc lại rằng các hệ trong tự nhiên ngoài sự vận động nội tại bên trong còn bị tác động bởi các yếu tố từ bên ngoài. Mỗi khi hệ ổn định, một tác động nhỏ từ bên ngoài sẽ phá vỡ sự ổn định của hệ và làm cho hệ tiếp tục vận động với luật nội tại. Để đo sự biến thiên của hệ dưới tác động bên ngoài này, chúng tôi quan tâm tới sự 10 chuyển đổi giữa các trạng thái ổn định và thời gian chuyển đổi giữa chúng. 2. Đề xuất các hệ mở rộng trên các hệ SPM và CFG để mô tả tốt hơn hoặc cho phù hợp với các mục đích khác nhau của các hệ trong thực tế. Với các hệ mở rộng này, chúng tôi quan tâm đến đặc trưng các trạng thái, trạng thái ổn định; cấu trúc không gian; sự hội tụ; thời gian hội tụ và các tính toán tổ hợp trên các trạng thái của hệ. Với mục tiêu này, luận án trình bày bốn chương chính. Trước đó, một số kiến thức chuẩn bị và các kết quả đã được nghiên cứu liên quan đến luận án trên hai hệ SPM và CFG được trình bày trong Chương 1. Chương 2: Nghiên cứu tính ổn định của hệ SPM dưới tác động từ bên ngoài. Chúng tôi xét hệ SPM có bổ sung luật thêm: mỗi khi hệ đạt đến một trạng thái ổn định duy nhất, thì một hạt sẽ được thêm vào một cột, và hệ lại tiếp tục vận động với luật rơi nội tại để đạt đến một trạng thái ổn định khác, và tiếp tục quá trình này. Chúng tôi quan tâm đến tập tất cả các trạng thái ổn định thu được bằng cách như vậy. Các kết quả trong phần này là: sinh ra tập tất cả các phân hoạch trơn bằng hệ động lực; chứng minh rằng tập các phân hoạch trơn có cấu trúc dàn và là dàn con của dàn Young (dàn các phân hoạch với quan hệ thứ tự bao hàm). Thêm vào đó, bằng việc đưa ra khái niệm "năng lượng", chúng tôi cũng tính thời gian để hệ đạt đến một trạng thái ổn định cho trước. Trong hệ này vì thời gian của mỗi con đường đến một trạng thái ổn định là khác nhau nên việc đánh giá thời gian sẽ thông qua thời gian ngắn nhất và dài nhất. Đây cũng là cơ sở để khảo sát sự biến thiên của hệ dưới tác động từ bên ngoài. Chương 3: Nghiên cứu một mở rộng của hệ SPM thành hệ SPM đối xứng song song. Trong đó một cột có thể rơi sang bên phải hoặc bên trái nếu hiệu độ cao tương ứng ít nhất là