Luận văn Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử - Phonon quang)

Chúng ta đang sống trong một thế kỷ mà trên thế giới đang tích cực nghiên cứu và chuẩn bị cho ra đời một ngành công nghệ mới, hứa hẹn sẽ lấp đầy mọi nhu cầu trong cuộc sống của con người, đó là công nghệ nanô. Chính xu hướng này làm cho vật lý bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu. Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ thấp chiều đã làm thay đổi hầu hết tính chất của điện tử. Ở bán dẫn khối các điện tử chuyển động trong toàn mạng tinh thể ( cấu trúc 3 chiều), nhưng ở hệ thấp chiều chuyển động của điện tử bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục toạ độ. Phổ năng lượng của hạt tải bị gián đoạn theo các phương này. Chính sự lượng tử hoá phổ năng lượng này đã làm thay đổi cơ bản các đại lượng của hệ như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, và do đó làm thay đổi tính chất của hệ điện tử. Nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn ba chiều không có. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang- điện tử nói riêng.

pdf68 trang | Chia sẻ: duongneo | Lượt xem: 1107 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử - Phonon quang), để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ NGUYỄN THỊ HƯƠNG ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012 2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ NGUYỄN THỊ HƯƠNG ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH LÊN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Đinh Quốc Vương Hà Nội – 2012 3 LỜI CẢM ƠN Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS.Đinh Quốc Vương. Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong quá trình thực hiện luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo trong bộ môn vật lý lý thuyết – Khoa Vật Lý – trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất. Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ nhiệm khoa Vật Lý, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 01 tháng 11 năm 2012 Học viên Nguyễn Thị Hương 4 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH .................................................................................. 8 1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần ............................................................. 8 1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần ......................................................... 8 1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần ...................................................................................................... 8 1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần5 2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang). 11 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối ....................... 11 2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối 11 2.3.Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh ...................................................................................................... 15 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON (TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON QUANG) ............... 18 1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon giam cầm trong siêu mạng hợp phần .......................................................................................................... 18 2. Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến sự giam cầm của phonon................................................... 19 3. Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang) ....................................................... 35 Chương 3. TÍNH TOÁN SỐ CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN GaAs - Al0.3Ga0.7As VÀ BÀN LUẬN ...................................................................................................... 48 1. Tính toán số ................................................................................................. 48 2. Bàn luận ....................................................................................................... 51 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 54 5 PHỤ LỤC 56 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Chúng ta đang sống trong một thế kỷ mà trên thế giới đang tích cực nghiên cứu và chuẩn bị cho ra đời một ngành công nghệ mới, hứa hẹn sẽ lấp đầy mọi nhu cầu trong cuộc sống của con người, đó là công nghệ nanô. Chính xu hướng này làm cho vật lý bán dẫn thấp chiều ngày càng dành được nhiều sự quan tâm nghiên cứu. Việc chuyển từ hệ các bán dẫn khối thông thường sang các hệ thấp chiều đã làm thay đổi hầu hết tính chất của điện tử. Ở bán dẫn khối các điện tử chuyển động trong toàn mạng tinh thể ( cấu trúc 3 chiều), nhưng ở hệ thấp chiều chuyển động của điện tử bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một hoặc hai, ba trục toạ độ. Phổ năng lượng của hạt tải bị gián đoạn theo các phương này. Chính sự lượng tử hoá phổ năng lượng này đã làm thay đổi cơ bản các đại lượng của hệ như: hàm phân bố, mật độ trạng thái,và do đó làm thay đổi tính chất của hệ điện tử. Nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu. Đồng thời, cấu trúc thấp chiều làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà các hệ điện tử chuẩn ba chiều không có. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang- điện tử nói riêng. Ngày nay, cùng với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công nghệ hiện đại, người ta đã chế tạo ra các cấu trúc hai chiều- hố lượng tử, các cấu trúc một chiều- dây lượng tử, hay các cấu trúc không chiều- điểm lượng tử, với những thông số phù hợp với mục đích sử dụng. Từ những cấu trúc này người ta lại có thể chế tạo ra những cấu trúc thấp chiều khác. Siêu mạng hợp phần được tạo thành từ một cấu trúc tuần hoàn các hố lượng tử trong đó khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ để có thể xảy ra hiệu ứng đường hầm. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử, làm cho siêu mạng có một số tính chất chú ý mà bán dẫn khối thông thường không có [1-13]. 6 Tính chất quang của bán dẫn khối cũng như trong các hệ thấp chiều đã được nghiên cứu [14-18]. Loại bài toán về sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh (bức xạ laser) lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hệ bán dẫn thấp chiều đã được công bố khá nhiều. Tuy nhiên, trong các công trình này, các tác giả mới chỉ xem xét đến ảnh hưởng của điện tử giam cầm trong các hệ thấp chiều, bỏ qua ảnh hưởng của phonon giam cầm. Do đó trong luận văn này, chúng tôi tiến hành nghiên cứu và giải quyết đề tài “Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang)" Về phương pháp nghiên cứu Đối với bài toán về ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử -phonon quang) có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp Kubo – Mori, phương pháp chiếu toán tử, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử, phương pháp hàm Green kết hợp với việc sử dụng một số phần mềm hỗ trợ. Trong đề tài nghiên cứu này, tôi đã sử dụng các phương pháp và trình tự tiến hành như sau: - Sử dụng phương pháp Phương trình động lượng tử để tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới sự ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon. - Sử dụng chương trình toán học Matlab để đưa ra tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào các thông số của siêu mạng hợp phần GaAs/Al0.3Ga0.7As. Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Tổng quan về siêu mạng hợp phần và bài toán hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ mạnh. Chương 2: Phương trình động lượng tử và hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang). 7 Chương 3: Tính toán số cho siêu mạng hợp phần 0.3 0.7/GaAs Al Ga As và bàn luận. Kết quả chính thu được trong luận văn là: Dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm thì hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần phụ thuộc phức tạp vào nhiệt độ của hệ, các tham số đặc trưng cho cấu trúc của siêu mạng hợp phần, biên độ, tần số của sóng điện từ yếu và của bức xạ laser. Các tính toán cũng chỉ ra rằng các quang phổ của hệ số hấp thụ phi tuyến trong trường hợp phonon bị giam cầm rất khác so với trường hợp phonon không bị giam cầm. Phonon giam cầm gây ra sự thay đổi vị trí đỉnh cộng hưởng và xác suất xảy ra cộng hưởng lớn hơn so với trường hợp phonon không bị giam cầm. 8 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH 1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần 1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d1, ký hiệu là A, độ rộng vùng cấm hẹp Ag (ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d2 ký hiệu là B có vùng cấm rộng Bg (ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều. 1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng 9    2 cos cosn x yk k d k d        (1.1) Trong biểu thức (1.1),  là độ rộng của vùng mini; d=d1+d2 là chu kỳ siêu mạng; kx, ky là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ x,y trong mặt phẳng siêu mạng. Phổ năng lượng của mini vùng có dạng:   cosn n n zk k d     (1.2) n lµ ®é réng cña mini vïng thø n, x¸c ®Þnh bëi biÓu thøc:        2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 exp 2 / 4 1 2 / n n n m d d U d d d m d d U              (1.3) Trong công thức (1.3), d0 là độ rộng của hố thế biệt lập; 0 c vU      là độ sâu của hố thế biệt lập; A Bc c c     là độ sâu của hố thế giam giữ điện tử được xác định bởi cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B; A Bv v v     là độ sâu của hố thế giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe năng lượng giữa hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng; 2 2 2 22 n n m d      là các mức năng lượng trong hố thế biệt lập.           2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos cos sinh sin sinh 2 z k k k d k a k b k a k b k k         1/ 2 2 1 1 2 s zk m E k    ;      1/ 2 2 1 2 s zk m r k      Từ đó ta có:     2 2 2 2 2 2 cos 2 2 n n z k n k k d m m d             (1.4)   c vr       là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng hai bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các vùng dẫn c và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị v của hai lớp bán dẫn kế tiếp. Vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể . Do đó, 10 ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng. Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm thấy trong gần đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương trình Schrodinger có dạng:         2 2 2 r r r E r m           Vì  r là tuần hoàn nên hàm sóng của điện tử  r có dạng hàm Block thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng tổng cộng của điện tử trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết mạnh) có dạng.         1 1 exp exp dN x y z s mx y r i k x k y ik md z md L L N          (1.5) Trong đó, Lx, Ly là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và Nd là chu kỳ và số chu kỳ siêu mạng hợp phần;  s z là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập. 1.3. Sự giam cầm của phonon trong siêu mạng hợp phần Phonon bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần thì phổ năng lượng của phonon chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, chuyển động của phonon bị giới hạn theo trục z làm ảnh hưởng đến thừa số dạng và hằng số tương tác điện tử - phonon. So với trường hợp phonon không bị giam cầm thì trường hợp giam cầm bị lượng tử hóa và thêm chỉ số giam cầm của phonon m khi đó thừa số dạng và hằng số tương tác được biểu diễn bằng biểu thức: + . , ' ' 0 ( ) ( ) ( ) m N d i z m L n n n n m I z jd z jd e dz L      : Thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần, d: chu kỳ của siêu mạng. + 22 0 2 02 2 1 1 q O e C m q V L                           : Hằng số tương tác điện tử- phonon cho trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang. OV : Thể tích chuẩn hóa (chọn 1OV  )  : Hằng số điện. 11  : Độ điện thẩm cao tần 0 : Độ điện thẩm tĩnh. 2. Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối ( trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang). 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong bán dẫn khối Ta có Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là: phephe HHHH  (1.6) Với: +         p ppe aatA c e pH )(   +   q qqqph bbH  +     pq qqpqpqphe bbaaCH , + , p p a a  lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi ) ' ' , ' { , } { , }= p p p p p p a a a a        ; ' ' [ , ]=[ , ] 0 p p p p a a a a      + , q q b b  lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson) ' , ' [ , ] p p p p b b      ; ' ' [ , ]=[ , ] 0 p p p p b b b b      + q C : hằng số tương tác điện tử - phonon. + ( ) e p A t c           là hàm năng lượng theo biến ( ) e p A t c          2.2. Xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:   tpp p Haa t tn i ˆ, )(     (1.7) Hay , ( ) , ( ) ( )p p p p p q q q q p q p q q p q q p t n t e i a a p A t a a b b C a a b b t c                                                             12 Vế phải của phương trình trên có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng. - Số hạng thứ nhất: ' ' ' 1 ; ' ( ) 0 p p p pt p t e st a a p A t a a c                     - Số hạng thứ hai: 2 ; 0 p p q q qt q t sh a a b b               - Số hạng thứ ba:    ' ' ' ' , ' , ' 3 ; ; p p q p q p q q q p p p q p q qt q p q p tt sh a a C a a b b C a a a a b b                                            ' , ' ' , ' , ' 3 q p p p p q p q p p p q qt q p t sh C a a a a b b                         q p p q q p p q q p q p q p q p qt t t t q C a a b a a b a a b a a b                                 * * , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) q p p q q p q p q p q p q p p q q q C F t F t F t F t                             Với tqppqpp baatF 2121 )( ,,  Vậy phương trình (1.7) trở thành: * * , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q p p q q p q p q p q p q p p q q q n t i C F t F t F t F t t                                   Hay * * , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p q p p q q p q p q p q p q p p q q q n t i C F t F t F t F t t                                  (1.8) Để giải (1.8) ta đi tính )( ,, 21 tF qpp bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho nó:   tqpp qpp Hbaa t tF i ; )( 21 21 ,,     (1.9) Tính toán các số hạng trong vế phải của (1.9) rồi tiến hành giải phương trình vi phân ta thu được: 13       1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 11 1 1 1 , , 2 1 2 1* , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p q q p p q q p p q q q q q p q p q q q q qt t F t e i p p p p A t F t t m c C a a b b b C a a b b b                                                           (1.10) Giải (1.10) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta được:          1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 , , 2 1 2 1 1* ( ) exp ( ) t p p q q p q p q q q p p q q q q t tq t p p q t i F t C a a b b b a a b b b i ie t t p p A t dt dt m c                                                               2 (1.11) Thay (1.11) vào (1.8) và thực hiện một vài phép biến đổi ta thu được:        2 2 1 1 ' 1 1 ( ) 1 | | ' ( ') ( ')( 1) exp ' ( ) ( ')( 1) ( ') exp ' ( ) p q q t t p q q p q p p q q t p q q p q p p q q n t C t i ie dt n t N n t N t t qA t dt mc i ie n t N n t N t t q A t dt mc                                                                               ' 1 1 ' 1 1 ' ( ') ( ')( 1) exp ' ( ) ( ')( 1) ( ') exp ' ( ) t t t p q p q q p q p q t t p q p q q p q p q t i ie n t N n t N t t qA t dt mc i ie n t N n t N t t q A t dt mc                                                  
Luận văn liên quan