Luận văn Khái niệm dầy đặc trong đại số theo nghĩa tô pô và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------ Nguyễn Vũ Thanh KHÁI NIỆM DẦY ĐẶC TRONG ĐẠI SỐ THEO NGHĨA TÔPÔ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2006 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ...................................................................................................... 1 Lời nĩi đầu ...................................................................................................... 2 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN. .......................................................... 5 I.1.Modul bất khả qui trung thành .................................................. 5 I.2. Radical của vành........................................................................ 7 I.3.Radical của một đại số .............................................................. 10 I.4.Vành nửa đơn............................................................................ 10 I.5.Vành Artin ................................................................................ 11 I.6. Định lý dày đặc........................................................................ 12 I.7.Vành nguyên tố......................................................................... 17 I.8.Vành đơn................................................................................... 18 CHƯƠNG II:TƠPƠ HỮU HẠN VÀ TƠPƠ ZARISKI ........................... 19 II.1.Một số khái niệm cơ bản về khơng gian tơpơ ......................... 19 II.2.Tơpơ hữu hạn........................................................................... 25 II.3.Tơpơ Zariski ............................................................................ 29 CHƯƠNG III:ĐỊNH LÝ KAPLANSKY-AMITSUR............................... 33 III.1.PI-đại số trên vành giao hốn cĩ đơn vị ................................ 33 III.2. Đại số K{ }X .......................................................................... 34 III.3. Định lý Kaplansky Amitrur .................................................. 36 CHƯƠNG IV: ĐA THỨC TÂM TRÊN ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ ÁP DỤNG. ....43 IV.1. Định lý Formanek về đa thức tâm trên Mn(K)..................... 43 IV.2. Đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự ............. 52 Tài liệu tham khảo ....................................................................................... 61 1 LỜI CẢM ƠN --------------- Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đối với quý thầy cơ trong tổ Đại số , quý thầy cơ trong Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh cùng quý thầy cơ trong tổ Đại số Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.Hồ Chí Minh đã trang bị cho tơi đầy đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng tồn thể quý thầy cơ phịng Khoa học Cơng nghệ và Sau Đại học trường ĐHSP TP.Hồ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Tiền Giang đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập và nghiên cứu hồn thành chương trình khố học. Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đặc biệt đối với thầy PGS.TS Bùi Tường Trí đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ chỉ bảo trong quá trình xây dựng và hồn thành luận văn này. Quá trình xây dựng và hồn thành luận văn, tơi đã nhận được sự động viên và giúp đở về tinh thần của các bạn học viên khố 14 chuyên ngành Đại số. Tơi xin ghi nhận nơi đây lịng biết ơn sâu sắc nhất. Tác giả luận văn 2 LỜI NĨI ĐẦU ------ Trong đại số khơng giao hốn cĩ khái niệm dày đặc và “định lý dày đặc” về vành nguyên thuỷ do Jacobson và Chevalley chứng minh làm cơ sở để chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur về đại số nguyên thuỷ trong PI đại số,định lý dày đặc đã đặt nền mĩng trong việc xây dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những hướng nghiên cứu mới trong tốn học. Tuy nhiên trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson việc chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur cĩ sử dụng kết quả: f là đa thức trong K{X}, ánh xạ (l1,l2,,ln) → f (l1,l2,,ln) với li FL End V∈ = là liên tục trong tơpơ hữu hạn và nếu f là đồng nhất thức trên tập dày đặc trong L thì f là đồng nhất thức trên L mà khơng được trình bày và chứng minh rõ ràng.Cũng như vậy trong chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận tác giả của sách PI- đại số cũng chỉ áp dụng các tính chất của tơpơ Zariski mà khơng cĩ chứng minh. Mục đích chính của luận văn là giải quyết hai vấn đề: Thứ nhất là xây dựng khơng gian tơpơ trên tập YX tất cả các ánh xạ từ X vào Y gọi là tơpơ hữu hạn .Gọi V là khơng gian vectơ trên thể và là tập tất cả các phép biến đổi tuyến tính của V trên Δ End VΔ Δ ,ta sẽ chứng minh là tập đĩng trong khơng gian tơpơ VV.Tơpơ hữu hạn trên VV cảm sinh tơpơ trên và A tác động dày đặc trong theo nghĩa đại số khi và chỉ khi A dày đặc (trù mật) trong theo nghĩa tơpơ tức là : End VΔ End VΔ End VΔ End VΔ A = .Sau đĩ chứng minh ánh xạ (l1,l2,,ln) f(l1,l2,,ln) với li là liên tục trong tơpơ hữu hạn nhờ các ánh xạ (l,m) l+m , End VΔ → L End VΔ∈ = → 3 (l,m) lm , l →→ α l (với Kα ∈ ) là liên tục trong khơng gian tơpơ hữu hạn.Dựa vào tính chất của hàm liên tục ta suy ra rằng nếu A dày đặc trong , f là đồng nhất thức trên A thì f là đồng nhất thức trên .Áp dụng kết quả này để chứng minh hồn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur. End VΔ End VΔ Thứ hai là xây dựng tơpơ Zariski trên khơng gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vơ hạn K làm cơ sở để chứng minh định lý Formanek về đa thức tâm trên đại số ma trận mà trong sách PI-đại số của tác giả Nathan Jacobson cũng chỉ nêu ra khơng chứng minh rõ.Xem K là khơng gian vectơ một chiều trên K với tơpơ Zariski,khi đĩ hàm đa thức ϕ : KV → ∑ = n i nii fe 1 21 ),...,,( αααα 6 là liên tục đối với tơpơ Zariski và mọi tập mở khác rỗng của V thì dày đặc trong tơpơ Zariski.Từ đĩ suy ra hàm đa thức triệt tiêu trên tập mở khác rỗng của V thì triệt tiêu trên V.Áp dụng điều này để hồn chỉnh việc xây dựng đa thức tâm trên Mn(K) bằng phương pháp Formanek.Tiếp theo của luận văn là sử dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen về đại số nguyên tố thoả mãn đồng nhất thức thực sự. Nội dung luận văn được chia thành bốn chương như sau: Chương I:Một số khái niệm và các định lý về vành khơng giao hốn. Chương này chủ yếu trình bày một số khái niệm,định lý,bổ đề cơ bản đã cĩ trong vành khơng giao hốn nhằm làm cơ sở lý luận cho chương III và chương IV như: Rađical Jacobson của vành,đại số,các khái niệm vành nửa đơn,vành đơn,vành nguyên thuỷ,vành nguyên tố và mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là khái niệm dày đặc và định lý dày đặc mà sẽ được sử dụng xuyên suốt trong luận văn. 4 Chương II:Tơpơ hữu hạn và tơpơ Zariski. Chương này xây dựng một tơpơ trên tập tất cả các ánh xạ từ X vào Y gọi là tơpơ hữu hạn làm cơ sở lý luận cho việc chứng minh hồn chỉnh định lý Kaplansky-Amitsur trong chương III đồng thời xây dựng tơpơ Zariski trên khơng gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường vơ hạn K làm cơ sở để xây dựng đa thức tâm trên đại số ma trận được trình bày ở chương IV. Chương III:Định lý Kaplansky-Amitsur. Hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về PI-đại số trên một vành giao hốn cĩ đơn vị và áp dụng kết quả đạt được ở chương II về tơpơ hữu hạn để hồn thiện chứng minh định lý Kaplansky-Amitsur trên đại số nguyên thuỷ. Chương IV:Đa thức tâm trên đại số ma trận và áp dụng. Chương này nội dung chủ yếu là xây dựng đa thức tâm Formanek trên đại số ma trận Mn(K) bằng việc chứng minh định lý Formanek nhờ vào tơpơ Zariski được trình bày ở chương II và áp dụng đa thức tâm để chứng minh định lý Posner-Rowen về đại số nửa nguyên tố thoả đồng nhất thức thực sự. Chắc chắc luận văn khơng tránh khỏi sai sĩt.Tác giả luận văn rất mong nhận được những đĩng gĩp ý kiến quý báo của quý thầy cơ và các bạn đồng nghiệp. 5 CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LÍ VỀ VÀNH KHƠNG GIAO HỐN. Trong chương này chủ yếu chúng ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản đã cĩ trong vành khơng giao hốn nhằm làm cơ sở lý luận cho các chương sau,do đĩ cĩ một số định lý chỉ nêu ra mà khơng phải chứng minh. Trong chương này,kí hiệu R là vành khơng giao hốn, M là R modul phải, EndRM là vành các R đồng cấu trên M. I.1. Modul bất khả qui trung thành . I.1.1. Định nghĩa : M được gọi là R-modul trung thành nếu từ M.r = (0) suy ra r = 0. I.1.2. Bổ đề : Kí hiệu A(M) ={r∈R/M.r = (0) };ta cĩ A(M) là ideal hai phía của R và M là )(MA R -modul trung thành. Cho M là R-modul,a∈R, ánh xạ Ta:M→ M cho bởi mTa = ma, m∈ M là đồng cấu nhĩm cộng.Kí hiệu E(M) là tập tất cả các đồng cấu nhĩm cộng.E(M) là một vành với các phép tốn cộng,nhân các đồng cấu nhĩm. Xét ánh xạ ϕ: R → E(M) a Ta 6 Vì Ta+b = Ta+ Tb và Tab = TaTb nên ϕ là đồng cấu vành. Mặt khác : Ker ϕ = A(M) nên )(MAR ≅ Im ϕ . I.1.3. Bổ đề : )(MA R đẳng cấu với vành con của vành E(M) . Đặc biệt: Nếu M là R-modul trung thành thì A(M) = (0) ,khi đĩ ϕ là đơn cấu và nhúng R vào E(M) như vành con khi đồng nhất a ≡ Ta ,a∈R 6 I.1.4. Định nghĩa : Vành giao hốn tử của R trong M là C(M) = { f∈E(M) / Taf = fTa ,∀a∈R} Rõ ràng C(M) là vành con của vành E(M).Với f∈C(M),∀m∈M,∀a∈R ta cĩ: (ma)f = (mTa)f =m(Taf) =m(fTa) =(mf)Ta =(mf)a ⇒ f là R đồng cấu modul. Vậy C(M) = EndRM . I.1.5. Định nghĩa : M được gọi là R-modul bất khả qui nếu MR≠ (0) và M chỉ cĩ hai modul con tầm thường là (0) và M. I.1.6. Bổ đề Schur: Nếu M là R-modul bất khả qui thì C(M) là một thể. I.1.7. Bổ đề : Nếu M là R-modul bất khả qui thì M đẳng cấu với modul R/ρ với ρ là ideal phải tối đại của R .Hơn nữa tồn tại a∈R sao cho x-ax ∈ρ với mọi x∈R (ρ được gọi là ideal phải chính qui).Ngược lại với ρ là ideal phải tối đại chính qui thì R/ρ là R-modul bất khả qui. Chứng minh: Vì M là R-modul bất khả qui nên MR ≠ (0). S = { u∈M/ uR = (0) }là modul con của M và S ≠ M nên S = (0).Do đĩ với m ≠ 0 thì mR ≠ 0 mà mR là modul con của M nên mR = M . Xét ánh xạ ϕ :R→ M r m.r 6 ϕ là tồn cấu R-modul và kerϕ ={r∈R/mr = 0}= ρ là ideal phải của R. Ta cĩ R/ρ ≅ M. M là bất khả qui nên R/ρ là modul bất khả qui do đĩ ρ là ideal phải tối đại.Mặt khác từ mR = M ,∃ a∈R sao cho ma = m.Với mọi x∈R ta cĩ max = mx ⇒ m(x-ax) = 0 ⇒ x-ax∈ρ,∀x∈R.Vậy ρ là ideal phải tối đại 7 chính qui của R. Ngược lại nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì R/ρ là modul bất khả qui. Nhận xét: Nếu R cĩ đơn vị thì mọi ideal phải tối đại của R đều là ideal phải tối đại chính qui. I.2. Radical của vành I.2.1. Định nghĩa: Radical Jacobson của vành R,kí hiệu là J(R) là tập hợp các phần tử của R linh hố tất cả các modul bất khả qui trên R. Nếu R khơng cĩ modul bất khả qui ta qui ước J(R) = R và gọi là vành radical.Theo định nghĩa ta cĩ J(R) = A(M) ( giao lấy trên mọi M bất khả qui) là ideal hai phía của R. ∩ I.2.2. Định nghĩa : ρ là ideal phải của R ,kí hiệu (ρ :R) = { x∈R/Rx ⊂ ρ } I.2.3. Bổ đề : a/Nếu ρ là ideal phải chính qui thì (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong ρ. b/ Nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui thì A(M) = (ρ:R) với M = R/ρ . I.2.4. Định lý: J(R) = ∩ (ρ:R) trong đĩ ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R và (ρ:R) là ideal hai phía lớn nhất của R chứa trong ρ. Áp dụng Bổ đề Zorn ta cĩ bổ đề sau: I.2.5.Bổ đề: Nếu ρ là ideal phải chính qui của R (ρ ≠ R) thì ρ nằm trong một ideal phải tối đại chính qui nào đĩ. I.2.6. Định lý: J(R) = ∩ρ trong đĩ ρ chạy qua tất cả ideal phải tối đại chính qui của R. Chứng minh: 8 Theo định lí I.2.4 ta cĩ J(R) = ∩ (ρ:R) và (ρ:R) ⊂ ρ nên J(R) ⊂ ∩ρ. Đặt T = ρ và lấy x∈T. Ta chứng minh x tựa chính qui tức ∃ w∈R sao cho : ∩ x + w + xw = 0 .Xét tập A ={xy+y/y∈R} là ideal phải của R. Nếu A ≠ R thì theo bổ đề I.2.5 tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ0 chứa A (do A là chính qui với a = -x). Vì x∈ T = ∩ ρ nên x∈ ρ0 ⇒ xy∈ ρ0 ,∀y∈R ⇒ y = (xy+y) - xy∈ ρ0, ∀y∈R ⇒ ρ0 = R (vơ lí) Vậy {xy + y/y∈R}= R.Với -x∈R ,∃ w∈R sao cho : xw + w = -x ⇒ x + w + xw = 0.Nếu T⊄ J(R) thì tồn tại modul bất khả qui M sao cho T⊄ A(M) ⇒ M.T ≠ (0) ⇒ ∃m∈M:mT ≠(0).Mà mT là modul con của M và M là bất khả qui nên mT = M ,khi đĩ ∃t∈T sao cho mt = -m.Vì t∈T nên ∃s∈R:t + s + ts = 0 ⇒mt + ms + mts = 0 ⇒ mt = 0 ⇒ m = 0(vơ lí). Vậy T⊂ J(R) ⇒T = J(R) ⇒ J(R) = ∩ρ . I.2.7. Định nghĩa: a∈R được gọi là tựa chính qui phải nếu ∃ a/∈R :a + a/ + aa/ = 0. a/ gọi là tựa nghịch đảo phải của a.Tương tự ta cĩ định nghĩa tựa chính qui trái và tựa nghịch đảo trái.Một ideal phải gọi là tựa chính qui phải nêú mọi phần tử của nĩ là tựa chính qui phải.Như vậy J(R) là ideal phải tựa chính qui phải. Tương tự như trong chứng minh định lí 1.2.6 phần T = ρ ⊂ J(R) ta cĩ kết quả sau: ∩ I.2.8. Định lý:J(R) là ideal phải tựa chính qui phải và chứa mọi ideal phải tựa chính qui phải,tức là J(R) là ideal phải tựa chính qui phải tối đại duy nhất của R.Ta kí hiệu Jr(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal phải tối đại chính qui phải của R và Jl(R) = ∩ρ , ρ chạy khắp ideal trái tối đại chính qui trái của R. Sau đây ta sẽ chứng minh:Jr( R) = Jl( R). 9 Tương tự định lí I.2.8 Jl( R) là ideal trái tựa chính qui trái tối đại duy nhất của R.Giả sử a∈Jr( R) vừa tựa chính qui phải vừa tựa chính qui trái,khi đĩ tồn tại b,c ∈ R sao cho : a+b+ba = 0 và a+c+ac = 0 (1) suy ra ba+bc+bac = 0 và ac+bc+bac = 0 do đĩ ba = ac (2).Từ (1) và (2) suy ra b = c. Nĩi khác đi tựa nghịch đảo trái và phải của a trùng nhau. Giả sử a∈Jr(R),a tựa chính qui phải nên ∃a/∈R sao cho a + a/ + aa/ = 0 ⇒ a/ = - a – aa/ ∈Jr(R).Với a/∈Jr(R) ∃a//∈R: a/ + a// + a/a// = 0, a và a// lần lượt là nghịch đảo trái ,phải của a/ nên a = a//.Từ đĩ suy ra a/ + a + a/a = 0 tức a là tựa chính qui trái.Vậy Jr( R) là ideal trái tựa chính qui trái nên Jr(R) ⊂ Jl(R). Tương tự Jl(R) ⊂ Jr(R), do đĩ Jr(R) = Jl(R). Nhận xét: Tựa nghịch đảo phải (trái) của a là duy nhất.Thật vậy giả sử a +a/ +aa/ = 0 và a +a// +aa// = 0 , do a cĩ nghịch đảo trái là a/ nên a +a/ +a/a = 0 từ đĩ suy ra a/ = a//. I.2.9.Định nghĩa: • Phần tử a∈R được gọi là lũy linh nếu tồn tại n∈N sao cho an = 0 . • Ideal phải (trái, hai phía) của R được gọi là nil-ideal phải (trái,hai phía) nếu mọi phần tử của nĩ đều lũy linh. • Ideal phải (trái, hai phía) ρ của R được gọi là lũy linh nếu tồn tại m∈N sao cho a1a2am = 0 với mọi ai∈ρ,tức tồn tại m∈N sao cho ρm = 0. Nhận xét: a/Nếu ρ là lũy linh thì ρ là nil-ideal. b/Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính qui.Thật vậy giả sử a∈R lũy linh khi đĩ tồn tại n∈N sao cho an = 0.Gọi b = -a+a2-a3++(-1)n-1an-1 thì a+b+ab = 0 suy ra a là tưạ chính qui phải.Tương tự a cũng là tựa chính qui trái. c/J(R) chứa mọi nil-ideal một phía. 10 d/ Nếu R cĩ ideal phải lũy linh khác (0) thì R cĩ ideal hai phía lũy linh khác (0). I.3. Radical của một đại số: I.3.1. Định nghĩa: A được gọi là đại số trên trường F nếu A thoả các điều kiện sau: a/ A là một vành. b / A là khơng gian vectơ trên trường F. c / ∀a,b∈A, ∀α∈F thì α(ab) = (αa)b = a(αb). Nếu A cĩ đơn vị 1 thì α.1 với α∈F nằm trong tâm của A.Thật vậy ta cĩ (α.1)a = α(1.a) = α(a.1) = a(α.1),∀a∈A. I.3.2. Mệnh đề: A là một đại số trên trường F. Khi đĩ radical Jacobson của đại số A trùng với radical Jacobson của vành A. Chứng minh: Giả sử ρ là ideal phải tối đại chính qui của A thì ρ là vành con của A,hơn nữa ρ cịn là khơng gian con của A trên F, tức Fρ⊂ρ. Thật vậy,giả sử Fρ⊄ ρ thì Fρ +ρ =A (do ρ là ideal phải tối đại của A và Fρ là ideal phải của A).Ta cĩ A2 = (Fρ+ρ)A ⊂ (Fρ)A+ρA ⊂ρA⊂ρ.Vì ρ là chính qui nên cĩ a∈A sao cho x-ax∈ρ,∀x∈A nhưng ax∈A2⊂ ρ ⇒ x∈ρ,∀x∈A ⇒ ρ = A (vơ lí) . Vậy mọi ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là vành cũng chính là ideal phải tối đại chính qui của A với tư cách là đại số. Vậy Jvành(A)=Jđại số(A) . I.4.Vành nửa đơn I.4.1.Định nghĩa: R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = (0). I.4.2.Định lý: R là một vành thì )(RJ R là vành nửa đơn. 11 I.4.3. Định lý: Nếu A là ideal hai phía của R thì J(A) = A ∩ J(R). I.4.4. Hệ quả : Nếu R là vành nửa đơn thì mọi ideal của R cũng nửa đơn. Chú ý : Kết quả định lý I.4.3 khơng cịn đúng nếu A là ideal một phía . Chẳng hạn lấy R là vành ma trận vuơng cấp 2 trên trường F. R là vành nửa đơn nên J(R) =(0). Lấy A= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Fβαβα , 00 là ideal phải của R và với β∈F vì x2 = x lũy linh và )( 00 0 AJx ∈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= β ⇒=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ )0( 00 0 2β ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ∈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Fββ 00 0 là nil ideal phải của A ⇒J(A) ≠ (0) .Do đĩ J(A) ≠ A ∩ J(R). I.4.4. Định lý: Kí hiệu Rn là vành các ma trận vuơng cấp n trên R. Khi đĩ J(Rn) = (J( R))n I.5. Vành Artin I.5.1. Định nghĩa: Vành R gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác ∅ các ideal phải đều cĩ phần tử tối tiểu .Ta thường gọi vành Artin phải là vành Artin. Một vành là vành Artin khi và chỉ khi mọi dãy giảm các ideal phải của R ρ1 ⊃ ρ2 ⊃⊃ ρm ⊃ đều dừng , tức ∃ n∈ N sao cho ρn = ρn+1 = I.5.2. Các ví dụ: - Trường , thể và các vành hữu hạn đều là vành Artin. - Vành các ma trận vuơng cấp n trên một thể là vành Artin. - Tổng trực tiếp một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. - Đại số hữu hạn chiều trên một trường là đại số Artin. - Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin, nên vành thương của vành Artin là vành Artin. 12 I.5.3. Định lý: Nếu R là vành Artin thì J(R) là ideal lũy linh. I.5.4. Hệ quả : Nếu R là vành Artin thì mọi nil ideal (phải , trái , hai phía) của R là lũy linh. Thật vậy vì mọi nil-ideal đều nằm trong J(R), mà J(R) là lũy linh nên nil-ideal cũng lũy linh. Sau đây chúng ta sẽ chứng minh một định lí quan trọng được áp dụng nhiều sau này do Jacobson và Chevalley đưa ra đĩ là định lí dày đặc. I.6. Định lý dày đặc : I.6.1. Định nghĩa: Vành R được gọi là vành nguyên thuỷ nếu nĩ cĩ modul bất khả qui trung thành. Nhận xét : 1/Nếu M là R modul bất khả qui và A(M)={x∈R/Mx = 0 } thì )(MA R là vành nguyên thủy (bổ đề I.1.2).Đặc biệt nếu ρ là ideal phải tối đại chính qui của R và nếu M = ρR thì ):( RR ρ là vành nguyên thủy. 2) Nếu R là vành nguyên thuỷ và M là R-modul bất khả qui trung thành thì ρRM ≅ , tức R cĩ ideal phải tối đại chính qui và A(M) = (0). Khi đĩ ánh xạ )(: MER →ϕ là đơn cấu nên cĩ thể nhúng R vào aTa6 E(M) như vành con (theo bổ đề I.1.3) 3/Vành nguyên thuỷ là vành nửa đơn vì tồn tại ρ là ideal phải tối đại chính qui và (ρ:R) = (0) ⇒ J(R) = ∩(ρ:R) = (0) (theo định lí I.2.4). 13 I.6.2. Định lý : R là vành nguyên thuỷ khi và chỉ khi tồn tại ideal phải tối đại chính qui ρ của R sao cho (ρ:R) = (0). Khi đĩ R là vành nửa đơn và nếu R giao hốn cĩ đơn vị thì R là một trường . Thật vậy nếu R là vành nguyên thuỷ giao hốn thì (ρ:R) = ρ = (0) là ideal tối đại )0( RR ≅⇒ là một trường . * Giả sử R là vành nguyên thuỷ và M là modul bất khả qui trung thành .Gọi Δ = C(M) là giao hốn tử của R trong M , theo bổ đề Schur (bổ đề I.1.6) Δ là một thể . Khi đĩ M là một khơng gian vectơ trên Δ với phép nhân ngồi MM →Δ×:μ αααμ )(.),( mmm == trong đĩ MM →:α thuộc Δ = C(M) =EndRM. I.6.3. Định nghĩa: Vành R được gọi là tác động dày đặc trên M ( hoặc R gọi là dày đặc trên M) nếu với mọi n và v1,v2,,vn trong M là hệ độc lập tuyến tính trên Δ và bất kì n phần tử w1,w2,,wn trong M thì tồn tại r∈R sao cho wi = vi.r (i =1,2,,n) Chú ý : Nếu M là khơng gian vectơ hữu hạn chiều trên Δ và R tác động trung thành và dày đặc trên M thì R= M ≅ Δn ( với n = ). ΔEnd MΔdim Δn là vành các ma trận vuơng cấp n trên Δ. Thật vậy :Nếu M là R-modul trung thành thì R nhúng vào E(M) như vành con nếu đồng nhất r ≡ Tr :M→M với (m)Tr = mr. ∀α∈Δ ta cĩ:(mα)Tr = m(αTr) = m(Trα) = (mTr)α ⇒Tr ∈ M . Ngược lại , giả sử v1,,vn là cơ sở của M trên Δ và f ∈ M. ΔEnd MEndR Δ⊂⇒ ΔEnd Do R dày đặc trên M nên ∃ r∈R sao