Luận văn Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ----------------------------- NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN MỘT LỚP BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN Tp. Hồ Chí Minh – 2008 2 LỜI CẢM ƠN ðầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñối với PGS. TS. NGUYỄN ANH TUẤN – Khoa Toán – Tin học, Trường ðại học Sư Phạm ñã dành thời gian và công sức và tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn ñến quý Thầy Cô trong Hội ñồng chấm luận văn ñã dành thời gian ñọc, chỉnh sửa và ñóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh. Bên cạnh ñó, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám Hiệu trường ðH Sư phạm Tp.HCM, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Phòng KHCN – SðH và quý Thầy Cô ñã giảng dạy, tạo ñiều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này. Và ñể có ñược kết quả như ngày hôm nay, tôi cũng ñã ñược sự giúp ñỡ tận tình của Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý, cũng như nhận ñược những lời ñộng viên, ñóng góp ý kiến của các bạn ñồng nghiệp Khoa Vật Lý – Trường ðH Sư phạm Tp.HCM cùng bạn bè và người thân. ðặc biệt, tôi xin dành tặng kết quả này cho ba mẹ và gia ñình thân yêu nhất của mình – những người ñã luôn tạo ñiều kiện, hỗ trợ cũng như ñộng viên tôi vượt qua những khó khăn trong bước ñường nghiên cứu khoa học này. Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận ñược những ý kiến ñóng góp của bạn ñọc. Mọi ý kiến ñóng góp, xin gửi về theo ñịa chỉ: Nguyễn Vũ Thụ Nhân Khoa Vật Lý, Trường ðại học Sư Phạm Tp.HCM 280 An Dương Vương, Quận 5, Tp.HCM Email: nguyenvuthunhan@gmail.com Xin chân thành cảm ơn. 3 Mục lục Trang phụ bìa ................................................................................................1 Lời cảm ơn ...................................................................................................2 Mục lục ...................................................................................................3 Danh mục các ký hiệu ....................................................................................5 MỞ ðẦU ...................................................................................................8 Chương 1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN.........................................................10 Chương 2. MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................12 2. 1. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT........................................................................................ 12 2.1.1. ðịnh nghĩa 2.1.1.......................................................................12 2.1.2. ðịnh nghĩa 2.1.2.......................................................................12 2.1.3. Bổ ñề 2.1.1 (bổ ñề về tính giải ñược của phương trình vi phân hàm không thuần nhất)............................................................13 2.1.4. Bổ ñề 2.1.2 ...............................................................................15 2. 2. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN PHI TUYẾN17 2.2.1. ðịnh nghĩa 2.2.1.......................................................................17 2.2.2. ðịnh nghĩa 2.2.2.......................................................................17 2.2.3. Mệnh ñề 2.2.1 ([8]) ..................................................................17 2.2.4. Mệnh ñề 2.2.2 ([8]) ..................................................................18 2.2.5. Bổ ñề 2.2.1 ...............................................................................18 2.2.6. Mệnh ñề 2.2.3 ..........................................................................19 2.2.7. Mệnh ñề 2.2.4 (Tính chất của tập 0 (( ; ); )V a b ℓ .........................19 2.2.8. Bổ ñề 2.2.2 ..............................................................................20 Chương 3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦA BÀI TOÁN BIÊN HAI ðIỂM .....23 4 3. 1. BÀI TOÁN (1.1), (1.2) .............................................................. 23 3.1.1. ðịnh lý 3.1.1 ............................................................................23 3.1.2. Bổ ñề 3.1.1 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận)............................23 3.1.3. Hệ quả 3.1.1 .............................................................................26 3.1.4. Hệ quả 3.1.2 .............................................................................28 3.1.5. ðịnh lý 3.1.2 ............................................................................29 3.1.6. Bổ ñề 3.1.2 (bổ ñề ñánh giá xấp xỉ tiệm cận)............................30 3.1.7. ðịnh lý 3.1.3 ............................................................................34 3.1.8. Bổ ñề 3.1.3 ...............................................................................34 ðịnh lý 3.1.3’ .....................................................................................38 3.1.9. Hệ quả 3.1.3 .............................................................................38 3.1.10. Hệ quả 3.1.4 ...................................................................41 3. 2. BÀI TOÁN (1.1), (1.2) CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VỚI PHẦN CHÍNH KHÔNG TĂNG....................................................... 44 3.2.1. ðịnh lý 3.2.1 ............................................................................44 3.2.2. Bổ ñề 3.2.1 ...............................................................................44 3.2.3. Bổ ñề 3.2.2 ...............................................................................46 3.2.4. Hệ quả 3.2.1 .............................................................................50 3.2.5. Hệ quả 3.2.2 .............................................................................54 3.2.6. Hệ quả 3.2.3 .............................................................................55 3.2.7. Hệ quả 3.2.4 .............................................................................57 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ......................................................................62 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................63 5 Danh mục các ký hiệu
R: tâp hợp các số thực
R+ = [0, + ∞)
N: tập hợp các số tự nhiên
C ([a ; b]; R) là không gian các ánh xạ liên tục u: [a, b] → R trên [a ; b] với chuẩn: || u ||C = max { |u(t)|: a ≤ t ≤ b}
C0 ([a ; b]; R) = { u ∈ C( [a ; b]; R) : u(a) = 0, u(b) = 0}
C1([a ; b]; R) là không gian các ánh xạ khả vi, liên tục u: [a, b] → R với chuẩn: 1 'C C Cu u u= +
1 0 ([ ; ]; )C a b R = { }1([ ; ]; ) : ( ) 0, ( ) 0u C a b R u a u b∈ = =

'C ([a ; b]; R) là không gian các hàm liên tục tuyệt ñối trên [a ; b], cùng với các ñạo hàm cấp một cũng liên tục tuyệt ñối, hàm u: [a ; b] → R với chuẩn:  ' ( ) '( ) b C a u u a u s ds= + ∫
' ( ; )locC I D (với I ⊂ [a ; b] và D ⊂ R) là tập hợp các ánh xạ u: I →D liên tục tuyệt ñối trên I sao cho u ∈ 'C ( I0 ; D) với mỗi tập compact I0 ⊂ I.
'C ([a ; b]; (0, + ∞)) = {u ∈'C ([a ; b]; R): u(t) > 0, ∀ a ≤ t ≤ b}
[ ]( ); ;L a b R là không gian các hàm f : [a ; b] → R khả tích Lebesgue trên [a ; b] với chuẩn: ( ) b L a f f s ds= ∫
( )( ) { }; ; = (( ; ); ) : ( ) 0,L a b R f L a b f t a t b+ ∈ ≥ ∀ < <ℝ
LP((a ; b); R), p> 1, là không gian các hàm f: (a ; b) → R, ( )( ) ; ;RPf L a b +∈ , với chuẩn 1/ ( ) p pb p L a f f s ds =     ∫ 6
( )( ); x ; , , nK a b R D n N D R∈ ⊂ , là tập hợp các ánh xạ ( ): ; x nf a b R D→ thỏa mãn ñiều kiện Caratheodory ñịa phương, nghĩa là:
( ) ( )., : ;f x a b D→ là ño ñược với mỗi x ∈ Rn.  ( ){ } ( )( )0sup ., , ; ,f x x D L a b R+∈ ∈ với mỗi tập compact 0 nD R∈ .  ( ),. : nf t R D→ là liên tục hầu khắp nơi với mọi t ∈ (a ; b).
M((a ; b); D), với D ⊂ R, là tập các hàm ño ñược f: (a ; b) → D.
L0([a;b]) là tập hợp các toán tử [ ]( ) ( )( ): ; ; ; ; C a b R L a b R→ℓ tuyến tính, bị chặn thỏa mãn ñiều kiện: ( )( ){ } ( )( )sup . : 1 ; ;Cv v L a b R+= ∈ℓ (*)
L1((a ; b)) là tập hợp các toán tử [ ]( ) ( )( ): ; ; ; ; C a b R L a b R→ℓ liên tục, và thuần nhất dương thỏa mãn ñiều kiện (*).
K((a ; b)) là tập hợp các toán tử F: 1([ ; ]; ) (( ; ); )C a b L a b→ℝ ℝ liên tục và thỏa mãn ñiều kiện: { } ( )( )1sup ( )(.) : ; ;R , 0CF v v r L a b r+≤ ∈ ∀ >
K ((a ; b)) là tập hợp các toán tử F: '([ ; ]; ) (( ; ); )C a b L a b→ℝ ℝ liên tục và thỏa mãn ñiều kiện: ( )( ) { } ( )( ) ' sup . : ; ; , 0 C F v v r L a b R r+≤ ∈ ∀ >
σ: L((a ; b); R) → L((a ; b); R) là toán tử ñược xác ñịnh bởi: 2 ( )( ) exp ( ) t a b p t p s dsσ +     =       ∫ 1( )( ) ( )( )( )( ) t p t p s ds p tα α σ σ σ = ∫ 7 1( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) t b ab a t p t p s ds p s ds p t σ σ σ σ = ∫ ∫ [ ] ( ) ½p p p+ = + [ ] ( ) ½p p p− = −
Ta nói toán tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} là không giảm nếu: Với bất kỳ u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≥ v(t), a≤ t ≤ b thì ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a≤ t ≤ b .
Ta nói toán tử ℓ ∈ Li((a ; b)) , i ∈ {0; 1} là không tăng nếu: Với bất kỳ u, v ∈ C([a ; b]; R) thỏa mãn: u(t) ≤ v(t), a≤ t ≤ b thì ta có: ℓ( u)( t) ≥ ℓ( v)( t), với a ≤ t ≤ b.
Nghiệm của bài toán: u”( t) = F (u) (t) với F∈K((a ; b)) là hàm u ∈
'C ( [ a ; b]; R) thỏa mãn phương trình hầu khắp nơi trên (a ; b). --------------------------- 8 MỞ ðẦU 1. Lý do chọn ñề tài Lý thuyết bài toán biên cho phương trình hàm ñược hình thành và phát triển từ thế kỷ XVIII và ngày càng tìm ñược ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật. Song, chỉ từ năm 1997, việc nghiên cứu và phát triển theo hướng này mới thực sự phát triển mạnh và thu ñược nhiều kết quả mới. Các kết quả này ñược nghiên cứu bởi một nhóm các nhà toán học Grudia và Cộng hòa Czech dưới sự dẫn dắt của giáo sư viên sỹ Ivan Kiguradze - Viện trưởng viện toán học Tbilisi. Trong những năm gần ñây, vấn ñề này càng ñạt ñược nhiều kết quả trong các công trình của các tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza. R.Hakl, A.Lomtatidze. Vì vậy, chúng tôi chọn ñề tài này làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển ñề tài của mình theo hướng của các tác giả trên. 2. Mục ñích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi tiếp tục học tập và nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên hai ñiểm cho các phương trình: phương trình vi phân hàm cấp hai thuần nhất, phương trình vi phân hàm cấp hai không thuần nhất, và áp dụng kết quả ñạt ñược cho phương trình vi phân hàm cấp hai ñối số lệch. 3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi chú trọng việc nghiên cứu về tính giải ñược và duy nhất nghiệm của các bài toán biên hai ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. 4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Kết quả của luận văn này là cơ sở ñể tiếp tục nghiên cứu các lớp bài toán biên hai ñiểm, nhiều ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai và phương trình vi phân hàm bậc cao và áp dụng các kết quả ñó cho phương trình vi phân ñối số lệch bậc cao. 9 5. Cấu trúc luận văn Nội dung chính của luận văn gồm có 3 chương: Chương 1. Phần giới thiệu bài toán Chương 2. Một số công cụ, kiến thức chuẩn bị Nội dung chính của chương là trình bày các khái niệm, ñịnh nghĩa, và các bất ñẳng thức liên quan ñến quá trình xây dựng kết quả của bài toán. ðồng thời, chúng tôi xây dựng các bổ ñề về tính giải ñược của bài toán biên hai ñiểm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. Chương 3. Các kết quả chính của bài toán Dựa trên các kết quả của chương trên ñể xây dưng các ñiều kiện ñủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân hàm bậc hai. -------------------------------------------------- 10 Chương 1. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình: u’’ (t) = F (u)(t) (1.1) thỏa mãn ñiều kiện: u(a) = 0, u(b) = 0 (1.2) trong ñó: F ∈ K((a ; b)). Bài toán (1.1), (1.2) ñã ñược nghiên cứu chi tiết trong trường hợp F là toán tử Nemytski, nghĩa là: F(u)(t) = f ( t, u (t), u’(t)), với f ∈K((a ; b)xR2; R) Khi ñó, bài toán (1.1) trở thành: '' ( , ( ), '( ))u f t u t u t= (1.3) Các kết quả của bài toán biên (1.3), (1.2), ñược trình bày trong các công trình của các nhà toán học như S.N.Bershtein [5], M.Nagumo, C.De la Vallée Poussin, L. Tonelli và H. Epheser. Hiện nay, lý thuyết về bài toán biên dạng (1.3), (1.2) ñã ñược hình thành một cách ñầy ñủ, trong ñó hàm f là hàm không khả tích. Trong những năm gần ñây, vấn ñề này càng ñạt ñược nhiều kết quả trong các công trình của các tác giả như: I.Kiguradze, B.Puza. R.Hakl, A.Lomatatidze. Vì vậy, công việc chính của luận văn là tiếp tục học tập và phát triển ñề tài của mình theo hướng của các tác giả trên. Trong những năm gần ñây, các công trình ñều nghiên cứu lý thuyết bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm ([1 - 4, 6 - 8], ...). Hơn nữa, bài toán (1.3), (1.2), tiếp tục ñược nghiên cứu tỉ mỉ trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, chúng ta gặp khó khăn khi sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết bài toán vi phân thường cho bài toán vi phân hàm, bởi các phương pháp ñể 11 nghiên cứu trong hầu hết trường hợp ñều dựa trên tính chất của toán tử Nemytski. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ học tập, nghiên cứu các bài toán trên và ñưa ra một số ñiều kiện ñể bài toán (1.1), (1.2) có thể giải ñược trong trường hợp F như là toán tử tựa tuyến tính. Ở chương 2 và §1 chương 3, chúng tôi sẽ ñề cập ñến các ñiều kiện tổng quát ñể bài toán có nghiệm, và ở §2 chương 3, chúng tôi sẽ nghiên cứu toán tử F là toán tử ñơn ñiệu ℓ. Phương pháp chính trong việc chứng minh các kết quả ở các mục trên dựa vào sự ñánh giá, ước lượng các bất ñẳng thức vi phân hàm. ðối với nhiều công trình của các nhà toán học, kết quả của các mục trên ñã ñược giải quyết tương ñối ñầy ñủ cho các bài toán có dạng: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2" . ' u t p t u t p u t u t h t u t G u tτ= + + + (1.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )" g . ' u t p t u t t u t h t u t G u tτ= + + + (1.5) Và: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )" u t h t u t G u tτ= + (1.6) Trong ñó: τ ∈ M((a ; b); (a ; b)), p1, p, g ∈ L((a ; b); R) và p2, G ∈ K((a ; b)). 12 Chương 2. MỘT SỐ CÔNG CỤ, KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2. 1. BỔ ðỀ VỀ TÍNH GIẢI ðƯỢC CỦA BÀI TOÁN KHÔNG THUẦN NHẤT Trong mục này, ta xét tính giải ñược của phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến khi phương trình thuần nhất tương ứng chỉ có nghiệm tầm thường Xét phương trình vi phân cấp 2 không thuần nhất: ''( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )( )u t p t u t g t u t H u t= + + (2.1.1) và phương trình vi phân thuần nhất: '' ( ) ( ) ( ) '( )u p t u t g t u t= + (2.1.2) trong ñó: p, g ∈ L((a ; b); R). 2.1.1. ðịnh nghĩa 2.1.1 Ta nói cặp toán tử (ℓ0, ℓ1) thuộc tập U0((a; b)) (hay U0((a; b)) là tập hợp tất cả các cặp toán tử (ℓ0, ℓ1)) nếu: 1. ℓi ∈Li((a ; b)) , (i = 0, 1) là không tăng. 2. Tồn tại ánh xạ w ∈'C ([ a ; b]; (0; +∞)) sao cho: w"(t) ≤ ℓ0 (w)(t) + ℓ1(1)(t), với a < t < b (2.1.3) ( )0 1( )( ) (1)( ) 1 b a w s s ds+ <∫ ℓ ℓ . (2.1.4) 2.1.2. ðịnh nghĩa 2.1.2 Ta nói: phiếm hàm vectơ (p, g1, g2): (a ; b) → R3 thuộc tập V0((a; b); ℓ) nếu: 1. p, g1, g2 ∈ L((a ; b); R) 2. Với mỗi hàm g ∈ M((a ; b); R) thỏa mãn bất ñẳng thức: g1(t) ≤ g(t) ≤ g2(t), với a < t < b (2.1.5) ñều tồn tại w ∈'C ( [ a ; b];R) sao cho: w"(t) ≤ p(t)w(t) + g(t)w’(t) + ℓ(w)(t), với a < t < b. (2.1.6) 13 2.1.3. Bổ ñề 2.1.1 (bổ ñề về tính giải ñược của phương trình vi phân hàm không thuần nhất) Giả sử H ∈ K((a ; b)), và tồn tại q ∈ L((a ; b); R+) sao cho với mọi phiếm hàm v ∈ C1([a ; b]; R) ta luôn có bất ñẳng thức: |H(v)(t)| ≤ q(t). (2.1.7) Hơn nữa, giả sử bài toán thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi ñó, bài toán (2.1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Xét C([a ; b]; R2) là không gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn: { }1 2max ( ) ( ) :v v t v t a t b= + ≤ ≤ ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài toán (2.1.2), (1.2) và G2(t, s) = t ∂ ∂ G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b. Xét toán tử T = (T1, T2) : C([a ; b]; R2) → C([a ; b]; R2) ñược ñịnh nghĩa bởi: Ti (v1, v2) (t) =  2( , ) ( )( ) , , 1,2 b i a t s H v s ds a t b i≤ ≤ =∫G . (2.1.8) trong ñó: ( )( ) ( ) , , ([ ; ]; ) t a w t w s ds a t b w C a bϕ = ≤ ≤ ∈∫ ℝ (2.1.9)  ( )( )( ) ( ) ( ), , ([ ; ]; )H w t H w t a t b w C a bϕ= ≤ ≤ ∈ ℝ (2.1.10) T là ánh xạ liên tục, compact tương ñối từ C([a ; b]; R2) vào chính nó. Thật vậy, xét ( )1 2, Im , n n nh h h T n N= ∈ ∈ . Khi ñó tồn tại ( ) [ ]( )1 2 2, ; ; , n n nv v v C a b R n N= ∈ ∈ , sao cho: ( )1 2( ) , ( ), , {1,2}, in i n nh t T v v t a t b i n N= ≤ ≤ = ∈ Giả sử  2( ) ( )( )n nf t H v t= , a ≤ t ≤ b, n ∈ N 14 Vì ( )( ) ( )H v t q t≤ . nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử: lim 0 n Ln f f →+∞ − = , với f ∈ L([a ; b]; R) (2.1.11) Xét : ( ) ( , ) ( ) , , 1,2 b i i a t t s f s ds a t b i= ≤ ≤ =∫q G Hiển nhiên: ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rq q q C a b= ∈ và ( ) '2 1( ), .q t q t a t b= ≤ ≤ , Khi ñó:  ( ) 1 '1 1 ' 2 1 2n n n n LC LL h q h q h q M f f− = − = − ≤ − và:  ( )'2 2 2 '2 2 2( ) ( )n n nC Lh q h a q a h q− = − + − ≤ 2( , ) ( ) ( ) ) . b n n nL L a t s f s f s ds f f M f f≤ − + − ≤ −∫G với ( ){ }2M 1 sup G , : ,t s a t s b= + ≤ ≤ Khi ñó, từ (2.1.11) ta có: lim 0 n Ln h q →+∞ − = Nghĩa là, toán tử T là ánh xạ liên tục, và compact tương ñối. Vì vậy, theo nguyên lý ñiểm bất ñộng Schauder, tồn tại ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rv v C a b∈ sao cho:  2( ) ( , ) ( )( ) , , 1,2 b i i a v t t s H v s ds a t b i= ≤ ≤ =∫G (2.1.12) ðiều ñó chứng tỏ hàm số u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, với 1 2( ) ( ) , t a v t v s ds a t b= ≤ ≤∫ , và là nghiệm của bài toán (2.1.1), (1.2).  15 2.1.4. Bổ ñề 2.1.2 Giả sử H ∈  ( )( ; )K a b , và Im H ⊂ L((a ; b); R) là tập compact. Giả sử, bài toán thuần nhất (2.1.2), (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường. Khi ñó, bài toán (2.1.1), (1.2) có ít nhất một nghiệm. Chứng minh: Xét C([a ; b]; R2) là không gian các phiếm hàm véc tơ hai chiều, liên tục tuyệt ñối v = (v1, v2): [a; b] → R2 với chuẩn:  1 2C Cv v v= + ðặt G1:[a,b] x [a; b] → R là hàm Green của bài toán (2.1.2), (1.k) và G2(t, s) = t ∂ ∂ G1(t, s), với a ≤ t, s ≤ b. Xét toán tử ( )  ( )  ( )2 21 2, : [ ; ]; [ ; ];T T T C a b R C a b R= → ñược ñịnh nghĩa bởi các ñẳng thức (2.1.8) – (2.1.10). Ta chứng minh ImT là tập compact tương ñối trong  ( )2[ ; ];C a b R Thật vậy, xét ( )1 2, Im , .n n nh h h T n N= ∈ ∈ Khi ñó tồn tại ( ) [ ]( )1 2 2, ; ; , n n nv v v C a b R n N= ∈ ∈ , sao cho: ( )1 2( ) , ( ), , {1,2}, in i n nh t T v v t a t b i n N= ≤ ≤ = ∈ Giả sử  2( ) ( )( )n nf t H v t= , a ≤ t ≤ b, n ∈ N Vì ImH là tập compact tương ñối trong không gian L([a ; b]; R), nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử: lim 0n Ln f f→+∞ − = , với f ∈ L([a ; b]; R) (2.1.13) Giả sử : ( ) ( , ) ( ) , , 1,2 b i i a t t s f s ds a t b i= ≤ ≤ =∫q G Hiển nhiên: ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rq q q C a b= ∈ và ( ) '2 1( ), .q t q t a t b= ≤ ≤ Khi ñó: 16  ( ) 1 '1 1 ' 2 1 2n n n n LC LL h q h q h q M f f− = − = − ≤ − và:  ( )'2 2 2 '2 2 2( ) ( )n n nC Lh q h a q a h q− = − + − ≤ 2( , ) ( ) ( ) ) . b n n nL L a t s f s f s ds f f M f f≤ − + − ≤ −∫G với ( ){ }2M 1 sup G , : ,t s a t s b= + ≤ ≤ Khi ñó, từ (2.1.13) ta có: lim 0n Ln h q→+∞ − = . Nghĩa là, Toán tử T là hoàn toàn liên tục. Vì vậy, theo nguyên lý ñiểm bất ñộng Schauder, tồn tại ( ) [ ]( )21 2, ; ;Rv v C a b∈ sao cho:  2( ) ( , ) ( )( ) , , 1,2 b i i a v t t s H v s ds a t b i= ≤ ≤ =∫G ðiều ñó chứng tỏ hàm số : u(t) = v1(t), a ≤ t ≤ b, vớ