Luận văn Nghiên cứu một Đồ án dạy học khái niệm giới hạn vô cực của hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phan Kim Mộng NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phan Kim Mộng NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập với sự hướng dẫn của TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. LỜI CẢM ƠN Tôi trân trọng dành những dòng đầu tiên để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã luôn động viên, tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng vào việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng trân trọng gửi lời cảm ơn đến:  PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã truyền đạt cho chúng tôi những tri thức về Thuyết nhân học trong Didactic, với sự nghiêm khắc nhưng đầy nhiệt tình của cô, chúng tôi đã luôn nỗ lực trong học tập và nghiên cứu.  TS. Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, người còn dành một buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tôi các kỹ năng cần thiết về tin học khi trình bày một luận văn, xử lí hình ảnh,  PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Thị Nga. Mỗi thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp cho chúng tôi về những nội dung còn mới mẻ của chuyên ngành Didactic Toán. Từ đó, thầy cô đã truyền cho chúng tôi niềm say mê, hứng thú đối với chuyên ngành này.  GS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent về những góp ý quý báu cho luận văn. Và tôi cũng chân thành cảm ơn:  UBND tỉnh Bến Tre, Sở GD ĐT tỉnh Bến Tre, Ban Giám Hiệu trường THPT Nguyễn Đình Chiểu đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tôi được tham gia khóa học.  Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán- Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.  Các bạn trong lớp cao học - Didactic toán khóa 23 về những chia sẻ, động viên nhau để hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình, trong đó có cô Đoàn Thị Minh Phượng là cô giáo chủ nhiệm cũ, cũng là đồng nghiệp trong tổ Toán của tôi, mọi người đã tạo điều kiện tốt và là hậu phương vững chắc giúp tôi yên tâm hoàn thành khóa học. Nguyễn Phan Kim Mộng DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT CLHN: Chỉnh lí hợp nhất SGK: Sách giáo khoa SGK VN: Sách giáo khoa Việt Nam THPT: Trung học phổ thông CTHH: Chương trình hiện hành SGK11 CB: Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 cơ bản SGKHH: Sách giáo khoa hiện hành KNV: Kiểu nhiệm vụ TCĐ: Tiệm cận đứng SGK11 NC: Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao SGK12 CB: Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản SBT12 CB: Sách bài tập giải tích 12 cơ bản SGK12 NC: Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao SBT12 NC: Sách bài tập giải tích 12 nâng cao SGK 10 NC: Sách giáo khoa hình học 10 nâng cao SGV12 NC: Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao Tr: Trang HS: Học sinh GV: Giáo viên DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng1.1: Tóm tắt các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số .13 Bảng 1.2 : Bảng thống kê KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số.15 Bảng 1.3: Bảng thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tiệm cận đứng.24 Bảng 1.4: Bảng thống kê số lượng ví dụ và bài tập thuộc các KNV liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số trong SGK Mỹ.42 Bảng 2.1. Giá trị x sao cho f(x)>M...55 Bảng 2.2. Giá trị hàm số f.....58 Bảng 2.3. Bảng thống kê kết quả trong pha 1.......66 Bảng 2.4. Bảng thống kê kết quả trong pha 4 ......72 DANH MỤC CÁC HÌNH Trang Hình 1.1. Tiếp tuyến của đường cong.27 Hình 1.2. Đồ thị của hàm số y= 1/x2...29 Hình 1.3. Minh họa định nghĩa lim ( ) x a f x → = +∞ .30 Hình 1.4. Minh họa định nghĩa lim ( ) x a f x → = −∞ .30 Hình 1.5. Minh họa định nghĩa giới hạn một bên....31 Hình 1.6. Minh họa định nghĩa chính xác của giới hạn......32 Hình 2.1. Bốn phương án của phiếu 1.47 Hình 2.2. Đồ thị hàm số f và điểm M trên đồ thị .51 Hình 2.3. Đồ thị hàm số f và đường thẳng y=5 ....55 Hình 2.4. Pha 1, bài làm của học sinh 1 ...67 Hình 2.5. Pha 1, bài làm của học sinh 2 ...67 Hình 2.6. Pha 1, bài làm của học sinh 3 ..68 Hình 2.7. Pha 1, bài làm của học sinh 4 .68 Hình 2.8. Pha 1, bài làm của học sinh 5 .68 Hình 2.9. Pha 2, bài làm của học sinh 6 69 Hình 2.10. Pha 2, bài làm của học sinh7 ...69 Hình 2.11. Pha 2, bài làm của học sinh 8 ..70 Hình 2.12. Pha 3, bài làm của nhóm 1, 3 ..71 Hình 2.13. Pha 4, bài làm của nhóm 3, 5 ..73 Hình 2.14. Pha 4, bài làm của nhóm 4 ..73 Hình 2.15. Pha 5, bài làm của nhóm 1 ..74 MỤC LỤC Trang phụ bìa Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các thuật ngữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục các hình vẽ MỞ ĐẦU ............................................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................................ 1 1.1. Về phương diện tri thức luận .................................................................................... 1 1.2. Về phương diện thể chế dạy học Việt Nam .............................................................. 3 1.3. Các đồ án dạy học về khái niệm giới hạn ................................................................. 5 2. Xác định vấn đề nghiên cứu của luận văn ................................................................... 7 3. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................................... 7 4. Phương pháp nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ...................................... 7 5. Cấu trúc của luận văn ................................................................................................... 8 Chương 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÔ CỰC ............. 10 1.1. Giới hạn vô cực trong chương trình và sách giáo khoa Việt Nam .......................... 10 1.1.1. Những kết quả nghiên cứu đã có ..................................................................... 10 1.1.2. Cấp độ chương trình ........................................................................................ 11 1.1.3. Cấp độ sách giáo khoa ..................................................................................... 12 1.2. Kết luận về thể chế dạy học khái niệm giới hạn vô cực ở trường phổ thông Việt Nam ......................................................................................................................... 24 1.3. Giới hạn vô cực của hàm số trong sách giáo khoa Mỹ ........................................... 26 1.3.3. Phần bài học ...................................................................................................... 27 1.3.3. Về định nghĩa .................................................................................................... 29 1.3.3. Về các định lí giới hạn ...................................................................................... 32 1.4. Phần bài tập ............................................................................................................. 34 1.5. Về vai trò công cụ của giới hạn vô cực của hàm số ................................................ 41 1.6. Một số kết luận về phân tích sách giáo khoa Mỹ: ................................................... 43 6. Kết luận chương 1 ....................................................................................................... 43 CHƯƠNG 2. NGHIÊN CỨU MỘT ĐỒ ÁN DẠY HỌC ............................................. 45 2.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................................ 45 2.2. Các lựa chọn cố định cho tất cả các tình huống của đồ án ..................................... 45 2.3. Nội dung thực nghiệm ............................................................................................. 46 2.3.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm và kịch bản thực nghiệm .................... 46 2.3.2. Kịch bản thực nghiệm ....................................................................................... 58 2.4. Phân tích tiên nghiệm .............................................................................................. 59 2.4.1. Phân tích tiên nghiệm tình huống 1 .................................................................. 59 2.4.2. Phân tích tiên nghiệm tình huống 2 .................................................................. 62 2.5. Phân tích hậu nghiệm .............................................................................................. 66 2.5.1. Pha 1 ................................................................................................................. 66 2.5.2. Pha 2 ................................................................................................................. 69 2.5.3. Pha 3 ................................................................................................................. 71 2.5.4. Pha 4 ................................................................................................................. 72 2.5.5. Pha 5 ................................................................................................................. 74 2.6. Kết luận chương 2 ................................................................................................... 75 KẾT LUẬN ...................................................................................................................... 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................... 77 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Khái niệm giới hạn là một trong những khái niệm cơ sở trong dạy học Giải tích thực một biến. Nhóm AHA (1999) đã nhận định: Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đó phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc) và Hình học (bài toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai hướng: có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn []. Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực. Qua việc tham khảo tài liệu nghiên cứu về khái niệm giới hạn, đặc biệt là các công trình nghiên cứu trong didactic toán, chúng tôi nhận thấy có nhiều đề tài nghiên cứu quan tâm đến khái niệm này. Điều đó thể hiện vị trí quan trọng của khái niệm này trong dạy học giải tích ở trường phổ thông. Quan tâm đến việc dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi tóm tắt các công trình nghiên cứu đã có về khái niệm giới hạn theo ba phương diện: - Phương diện tri thức luận - Phương diện phân tích thể chế - Phương diện đồ án dạy học 1.1. Về phương diện tri thức luận  Quan điểm tri thức luận của khái niệm giới hạn Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã tổng hợp ba quan điểm tri thức luận về khái niệm giới hạn. • Quan điểm “đại số” Theo quan điểm này khái niệm giới hạn chỉ là việc tính toán các giới hạn bằng các quy tắc đại số. Nó cho phép thao tác trên những định lý và sử dụng các kết quả liên quan đến các “giới hạn thông dụng” mà không cần làm rõ bản chất của khái niệm. Ví dụ: Thực nghiệm của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) đã kiểm chứng được quan điểm nổi trội ở trường THPT Việt Nam là quan điểm đại số, thông qua hai câu hỏi, một là yêu cầu tính một giới hạn nhưng giới hạn đó không tồn tại và hai là giải thích kết quả của một bài toán giới hạn: 2 Câu hỏi 1: Tính 3 2 1lim 3x x x→ − − − Câu hỏi 2: Hãy viết một đoạn ngắn để giải thích cho một học sinh lớp 10 hiểu 2 1 1lim 2 1x x x→ − = − có nghĩa là gì? [12, tr. 23]. Kết quả cho thấy đối với kiểu nhiệm vụ tính lim ( )f xx a→ thì phần lớn học sinh (73%) tìm cách biến đổi đưa về dạng vô định quen thuộc và thực hiện các bước tính toán để cho một kết quả L. Còn đối với câu hỏi 2, đa số học sinh (72,5%) giải thích bằng cách viết một chỉ dẫn để tính hoặc thực hiện phép tính để cho kết quả. Điều đó cho thấy quan điểm đại số chính là quan điểm nổi trội trong thể chế THPT Việt Nam. • Quan điểm “xấp xỉ x”: (Trong tác phẩm của Bkouche 1996, ông gọi là quan điểm chuyển động học) Theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ f(x) đến l. “Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa x nhận các giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y - phụ thuộc vào x (y là một hàm số của đại lượng x) - tiến về một giá trị l. Nếu x dần dần xích lại gần giá trị a kéo theo đại lượng y xích gần lại l” [Bkouche 1996]. Ví dụ: Trong luận văn của mình, tác giả Lê Thành Đạt (2010) giới thiệu cách tiếp cận định nghĩa giới hạn hàm số tại x a= của sách giáo khoa (SGK) Mỹ « Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic – year 12 »: Khi chúng ta viết lim ( )f x L x a = → chúng ta hiểu là ( )f x nhận giá trị dần đến L khi x nhận giá trị dần đến a (nhưng không bằng a ). [2, tr. 53]. Điều đó cho thấy quyển SGK Mỹ này đã lựa chọn quan điểm xấp xỉ x. • Quan điểm “xấp xỉ f(x)”: (Trong tác phẩm của Bkouche 1996, ông gọi là quan điểm xấp xỉ) Theo quan điểm này, chính độ xấp xỉ f(x) với l sẽ quyết định độ xấp xỉ x với a. Theo Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) thì: Chính quan điểm “xấp xỉ f(x)” cho phép khái niệm giới hạn trở thành tri thức toán học thực thụ. Nhưng bên cạnh đó thì: Quan điểm “xấp xỉ x” chính là chướng ngại khi tiếp cận quan điểm “xấp xỉ f(x)” 3 Các quan điểm về khái niệm giới hạn xuất hiện trong lịch sử theo tiến trình: quan điểm xấp xỉ x; quan điểm xấp xỉ f(x); quan điểm đại số. Những nghiên cứu về mặt tri thức luận đã tổng hợp còn đưa ra tổ chức toán học tham chiếu.  Tổ chức toán học tham chiếu Để phân tích chương trình và SGK, người ta đã mô hình hóa từ các giáo trình đại học thành các tổ chức toán học tham chiếu. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), đã tóm tắt một số kết quả từ nghiên cứu của Bosch, Espinoza và Gascon (2002) về hai tổ chức toán học địa phương tham chiếu OM1 và OM2 của khái niệm giới hạn như sau: OM1: Xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn. [12, tr. 4]. Thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T1: “Tính lim ( )f x x a→ ” (ở đây a là một số thực, hoặc là vô cực). Kĩ thuật gắn với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản là thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Yếu tố công nghệ để giải thích cho các kĩ thuật được xây dựng qua hệ thống tiên đề Serge Lang trong Calculus (1986). OM2: Xoay quanh bản chất tôpô của khái niệm giới hạn. [12, tr. 5]. Để trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một biểu thức xác định hàm số. Kiểu nhiệm vụ liên quan là T2: Chứng minh tồn tại (hay không tồn tại) lim ( )f x x a→ . Yếu tố công nghệ để giải thích cho kiểu nhiệm vụ T2 là dựa trên tính chất giới hạn dãy số và định nghĩa khái niệm giới hạn bằng ngôn ngữ ( , )ε δ . Như vậy OM1 gắn với quan điểm đại số của giới hạn còn OM2 gắn với quan điểm xấp xỉ (gồm xấp xỉ x và xấp xỉ f(x)) của giới hạn. Từ đó cho phép rút ra những kết luận sau về thể chế dạy học Việt Nam. 1.2. Về phương diện thể chế dạy học Việt Nam Chúng tôi sẽ tóm tắt thành hai giai đoạn từ các công trình nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành Long (2004) và Lê Thành Đạt (2010), như sau:  Giai đoạn chỉnh lí hợp nhất (CLHN) 4 Từ năm học 2000 – 2001, các trường THPT trong cả nước đã dùng chung một bộ SGK gọi là bộ SGK CLHN thay thế cho ba bộ SGK đã được sử dụng từ năm 1990 ở ba miền trước đó. Trong phân tích chương trình và SGK giai đoạn này, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đều có kết luận giống nhau là chương trình và SGK ưu tiên cho các kiểu nhiệm vụ là dấu vết của tổ chức toán học tham chiếu OM1, các nội dung toán học là vết của OM2 hầu như không xuất hiện. Như vậy theo kết luận của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) thì: SGK hiện hành (tức là SGK CLHN) tạo thuận lợi cho việc thiết lập quan điểm đại số của khái niệm giới hạn ở học sinh. [12, tr. 19]  Giai đoạn hiện hành: Đến năm học 2005 - 2006, bộ SGK CLHN lại được thay thế bằng hai bộ SGK, một bộ được viết theo chương trình chuẩn và một bộ được viết theo chương trình nâng cao. Chúng tôi gọi đây là chương trình hiện hành (CTHH), trong đó bộ sách viết theo chương trình chuẩn được gọi là SGK cơ bản còn bộ sách viết theo chương trình nâng cao được gọi là SGK nâng cao. Những điểm khác nhau cơ bản của CTHH so với chương trình CLHN về khái niệm giới hạn được tác giả Lê Thành Đạt (2010) nêu: Chương trình hiện hành không dùng ngôn ngữ ( ); Nε để định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số, thay vào đó thông qua hoạt động cụ thể để hình thành định nghĩa giới hạn 0. Chương trình hiện hành phân biệt hai khái niệm giới hạn vô cực của hàm số: giới hạn −∞ và giới hạn +∞ , đồng thời xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số khi x →+∞ và x →−∞ (trong khi chương trình chỉnh lí hợp nhất lại đưa ký hiệu lim ( )f xx→∞ ). [2, tr. 25]. Và tác giả cũng kết luận thêm đối với khái niệm giới hạn thì trong chương trình hiện hành hoàn toàn thiếu các yếu tố lý thuyết của tổ chức toán học OM2 xoay quanh kiểu nhiệm vụ chứng minh sự tồn tại giới hạn. Qua việc phân tích các tổ chức toán học, tác giả kết luận: Vết của tổ chức toán học OM1 chiếm ưu thế (35/41 nhiệm vụ trong bộ SGK cơ bản và 105/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao). Vết của tổ chức toán học OM2 tồn tại nhưng ít hơn OM1 (chiếm tỷ lệ 6/41 nhiệm vụ 5 trong bộ SGK cơ bản và 5/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao). Lí do dẫn đến kết quả trên có thể được giải thích: vì các kiểu nhiệm vụ và kĩ thuật là vết của tổ chức toán học OM2 hầu như không được sử dụng với mục đích là công cụ nghiên cứu các đối tượng tri thức khác có liên quan đến khái niệm giới hạn như: khái niệm hàm số liên tục, đạo hàm, các đường tiệm cận của đồ thị hàm số [2, tr. 52]. Như vậy qua hai giai đoạn khác nhau, chúng tôi nhận thấy quan điểm đại số vẫn chiếm ưu thế trong thể chế trường phổ thông. Qua việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi tổng hợp lại các đồ án didactic đã được xây dựng từ hai công trình của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004). 1.3. Các đồ án dạy học về khái niệm giới hạn  Đồ án trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Đồ án này được xây dựng với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn của hàm số tại một điểm, theo quan điểm xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi với nội dung như sau: Cho hàm số ( ) 2 2 0,1 0,02 0,25 0,01 x xf x x − − = − • Hoạt động 1 (làm việc cá nhân) với yêu cầu : Giải phương trình ( ) 3f x = • Hoạt động 2 (làm việc cá nhân, một nửa lớp làm trên phiếu 2A và một nửa còn lại làm phiếu 2B) với 2 yêu cầu: Phiếu 2A: Tìm ba giá trị của x sao cho ( )2,99 3,01f x≤ < Phiếu 2B: Tìm ba giá trị của x sao cho ( )2,99 3,01f x< ≤ • Hoạt động 3 (làm việc nhóm, các nhóm làm trên phiếu 3A là những HS đã được làm việc với phiếu 2A, tương tự cho phiếu 3B) với 2 yêu cầu: Phiếu 3A: Hãy đề nghị một cặp số ( ); ( )x f x sao cho giá trị ( )f x gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và 0, 2x < Phiếu 3B: Hãy đề nghị một cặp số ( ); ( )x f x sao cho giá trị ( )f x gần số 3 nhất mà em có thể tìm được và 0, 2x > Từ pha thể chế hóa, tác giả đã rút ra kết luận: - Nảy sinh tình huống làm xuất hiện một đối tượng quan trọng của Giải tích xấp xỉ 6 đó là khoảng cách (do cả lớp đã thống nhất dùng khoảng cách ( ) 3f x − đ