Luận văn Nghiên cứu một Đồ án Didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Nga Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: - Ban chủ nhiệm và các thầy cô, đồng nghiệp trong Khoa Toán - Tin học Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình. - Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học. - Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Trường Trung học thực hành ĐHSP đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi đến tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi chia sẻ những buồn vui và những khó khăn trong suốt khóa học. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt. NGUYỄN THỊ NGA DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên CLHN : Chỉnh lý hợp nhất TCTH : Tổ chức toán học bt : bài tập [a] : Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov [b] : Toán học cao cấp, tập 2, Nguyễn Đình Trí [c] : Vật lý đại cương, tập 2, Lương Duyên Bình F1 : Maths seconde, COLLECTION TERRACHER V1 : Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 năm 2000 P1 : Tài liệu hướng dẫn giảng dạy 11 năm 2000 E1 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11 năm 2000 V2 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 1 P2 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 1 E2 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 1 V3 : Sách giáo khoa thí điểm năm 2003 Đại số và giải tích 11, bộ 2 P3 : Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, bộ 2 E3 : Sách bài tập Đại số và giải tích 11, bộ 2 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Hàm số là một đối tượng luôn chiếm vị trí quan trọng trong chương trình toán ở trường Trung học cơ sở (THCS) và Trung học phổ thông (THPT). Trong các loại hàm số, chúng tôi quan tâm đặc biệt tới hàm số tuần hoàn với các lí do sau: + Thuật ngữ tuần hoàn, gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn, không chỉ được đề cập trong toán học, mà còn xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực khác như vật lí, hóa học, đời sống thường ngày,... Điều này kéo theo nhiều câu hỏi cần thiết được đặt ra:  Khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các khoa học khác có gì giống và khác nhau?  Ở trường phổ thông, khái niệm tuần hoàn có xuất hiện trong các môn học ngoài toán học không?  Có sự nối khớp nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn học đó? + Chủ đề hàm số tuần hoàn luôn xuất hiện trong cuốn sách nhan đề “Kiến thức giới hạn ôn thi tốt nghiệp môn Toán THPT” của Bộ GD&ĐT. Nói cách khác, nó là một chủ đề có thể xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Tuy nhiên, trong chương trình và SGK Toán phổ thông Việt Nam, vị trí của hàm số tuần hoàn ngày càng suy giảm qua các thời kỳ thay đổi chương trình và SGK. Hơn thế nữa, ở cấp độ phổ thông, người ta chỉ hạn chế vào duy nhất một loại hàm số tuần hoàn, đó là hàm lượng giác. Như sách giáo viên Đại số và giải tích 11 của các tác giả Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần (1991) nhấn mạnh: “Trong chương trình phổ thông chỉ có hàm số lượng giác mới có tính tuần hoàn”. Vậy, khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn xuất hiện như thế nào trong chương trình toán ở trường phổ thông? với vai trò gì? liệu có thể đề cập các hàm số tuần hoàn khác với các hàm số lượng giác không? Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra những câu hỏi sau:  Ở cấp độ tri thức khoa học, các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn được đề cập như thế nào? chúng có những đặc trưng gì? chúng chịu những ràng buộc nào?  Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, chúng xuất hiện ra sao? với những ràng buộc nào? vai trò và chức năng của chúng? những ràng buộc này ảnh hưởng thế nào trên các chủ thể của hệ thống dạy học (giáo viên và học sinh)?  Có sự tương đồng và khác biệt nào trong tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? lí do của sự khác biệt đó?  Có sự khác nhau nào giữa khái niệm tuần hoàn trong toán học và trong các môn khoa học khác? có sự nối khớp nào giữa các lĩnh vực này?  Có thể xây dựng một tình huống tiếp cận khái niệm hàm số tuần hoàn với các đặc trưng chủ yếu của nó? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lí thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu trong luận văn này là tìm câu trả lời cho những câu hỏi đã đặt ra ở trên. Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic toán. Cụ thể, đó là các khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học), của lí thuyết tình huống (hợp đồng didactic, đồ án didactic) và cách đặt vấn đề sinh thái học. Việc nghiên cứu các khái niệm tuần hoàn, chu kì và hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học đặt cơ sở trên việc phân tích các giáo trình ở bậc đại học, mà chúng tôi xem như một “xấp xỉ” của tri thức khoa học. Trong phạm vi lí thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu của mình như sau: - Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng? - Mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học (TCTH) gắn liền với khái niệm này? Các TCTH đó tiến triển ra sao qua các thời kỳ đổi mới SGK? Có những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế trên khái niệm này và các khái niệm gắn liền với nó? Có những quy tắc hợp đồng nào được hình thành giữa giáo viên và học sinh khi dạy và học về hàm số tuần hoàn? - Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm hàm số tuần hoàn ở bậc đại học và bậc phổ thông? - Có thể xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh tiếp cận và vận dụng các đặc trưng của hàm số tuần hoàn trước khi định nghĩa của khái niệm này chính thức được giảng dạy? 3. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau: Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu như sau: - Trước hết, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học thông qua phân tích một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu cách trình bày các vấn đề về khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kỳ ở cấp độ tri thức khoa học. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Quan hệ cá nhân của học sinh NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC: Toán học + Vật lí NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học toán ở Pháp NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY: Thể chế dạy học Hóa, Sinh, Vật lí, Toán ở Việt Nam NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM TIỂU ĐỒ ÁN DIDACTIC - Dựa vào phân tích trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học toán ở Pháp liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. - Kết quả phân tích tri thức khoa học và phân tích thể chế dạy học toán ở Pháp sẽ là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học phổ thông ở Việt Nam. Cụ thể, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn trong các SGK Hóa học, Sinh học, Vật lí và Toán học. - Những kết quả đạt được ở trên cho phép đề ra các câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nghiên cứu quan hệ cá nhân của học sinh đối với đối tượng tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Từ đó, chúng tôi sẽ xây dựng và triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với các đặc trưng của hàm số tuần hoàn và vận dụng chúng một cách ngầm ẩn trong việc giải toán. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương. + Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. + Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc phân tích khái niệm hàm số tuần hoàn ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể là đề cập một vài nét lịch sử liên quan đến khái niệm tuần hoàn, phân tích cách trình bày khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học. + Mở đầu chương 2 là sự phân tích một bộ SGK Toán của Pháp. Tiếp đó, chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế của thể chế dạy học ở trường phổ thông Việt Nam với khái niệm tuần hoàn, chu kỳ và hàm số tuần hoàn. + Chương 3 trình bày hai thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất trên học sinh lớp 10 nhằm tìm hiểu quan hệ cá nhân của họ đối với khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn. Thực nghiệm thứ hai là triển khai tiểu đồ án didactic đã xây dựng. + Phần kết luận trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn. Chương 1: KHÁI NIỆM HÀM SỐ TUẦN HOÀN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn và các khái niệm gắn liền với nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình toán, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tiến trình, cách thức đưa vào các khái niệm tuần hoàn, hàm số tuần hoàn và chu kì, vai trò và chức năng của chúng, cũng như sự nối khớp (nếu có) giữa các lĩnh vực toán và vật lí thể hiện qua các khái niệm này. Do thiếu tư liệu tham khảo, chúng tôi không thể đi sâu vào một nghiên cứu khoa học luận. Tuy nhiên, một vài nét về lịch sử của các khái niệm nêu trên sẽ được đề cập với mục đích làm rõ hơn cho phân tích các giáo trình ở bậc đại học. 1.1. Vài nét lịch sử về khái niệm tuần hoàn và hàm số tuần hoàn Phần này được trình bày dựa vào việc tham khảo các nguồn tài liệu sau đây: + Présentation du pendule de Foucault à Tours, Cahier Animateur. + Phép tính vi tích phân, tập 2: Toán cao cấp A2, Dùng cho sinh viên đại học và cao đẳng, Phan Quốc Khánh, NXBGD, 1998. + Cơ sở giải tích toán học, tập 2, G.M.Fichtengôn, 1977. + + Phân tích các tài liệu trên cho thấy, lượng giác có nguồn gốc từ nghiên cứu thiên văn và đến thế kỉ XVII, nó đã trở thành một công cụ không thể thiếu cho nhu cầu tìm hiểu và điều khiển thế giới vật lí xung quanh của con người. Trong thế kỉ XVII và XVIII, một nhánh của cơ học phát triển mạnh mẽ liên quan đến dao động cao tần. Những cuộc đi biển dài ngày của thời đại này đòi hỏi những kĩ thuật hàng hải chính xác hơn, những đồng hồ chính xác hơn. Điều này thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự dao động của quả lắc và nhiều loại lò xo khác nhau. Bằng cách quan sát con lắc, người ta thấy sự đều đặn, cân đối của chuyển động. Galilée nhận ra rằng con lắc dường như dao động “tuần hoàn”. Ông gọi chu kỳ T là khoảng thời gian mà con lắc dao động một vòng. Ông là người đầu tiên diễn tả ý tưởng về sự đẳng thời của những dao động nhỏ (bằng cách quan sát những đèn chùm ở nhà thờ) nghĩa là chu kỳ dao động thì không phụ thuộc vào biên độ góc của con lắc. Năm 1658 – 1659, Christiaan Huygens nghiên cứu lí thuyết về dao động của con lắc. Ông có ý tưởng điều tiết các đồng hồ bằng một con lắc để làm cho việc đo thời gian chính xác hơn. Đồng hồ quả lắc của ông được điều chỉnh theo một cơ chế với một sự tuần hoàn tự nhiên của dao động cao tần. Huygens đã khám phá ra quả lắc cầu mà chu kỳ dao động của nó không phụ thuộc vào biên độ. Còn Robert Hooke đã cải thiện lò xo uốn khúc, cơ sở của đồng hồ lò xo nhíp hiện đại. Ở một cấp độ khác, sự phát triển các kĩ năng sử dụng và sự tinh tế trong việc thiết kế các dụng cụ âm nhạc - từ bọc gỗ và đồng thau đến các dụng cụ bàn phím và đại phong cầm - đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu sự rung của các dụng cụ âm nhạc như đàn violon, kèn khí,...Tất cả các hiện tượng này là tuần hoàn, theo nghĩa lặp đi lặp lại một cách đều đặn. Như vậy, trong khoa học và kĩ thuật, người ta thường gặp các hiện tượng tuần hoàn, tức là các hiện tượng mà cứ sau một khoảng thời gian T xác định, mọi yếu tố được lặp lại hoàn toàn. Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn, đặc trưng bởi đẳng thức f(x + T) = f(x) với mọi x. Đại lượng sinxôit Asin( t  ) là hàm tuần hoàn đơn giản nhất, trong đó,  là tần số và T = 2 là chu kỳ. Hàm Asin( t  ) biểu diễn một dao động điều hòa, cũng gọi là dao động hình sin. Có thể lập các hàm tuần hoàn phức tạp hơn từ các hàm tuần hoàn đơn giản nhất như vậy. Cộng các hàm hình sin với chu kỳ khác nhau: y0 = A0, y1 = A1sin( 1t  ), y2 = A2sin( 22 t  ),... (1) (có chu kỳ là T = 2 , T 2 ,) thì ta vẫn được một hàm tuần hoàn chu kỳ T. Vấn đề ngược lại: Có thể biểu diễn một hàm tuần hoàn ( )t với chu kỳ T dưới dạng tổng của một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các đại lượng sinxôit dạng (1) không? Đối với một lớp khá rộng các hàm, với câu hỏi đó có thể trả lời là “biểu diễn được” nhưng chỉ khi ta thu hút toàn bộ dãy vô hạn các đại lượng dạng (1). 0 1 ( ) sin( )n n n t A A n t       Về mặt hình học, điều này có nghĩa là: đồ thị của hàm tuần hoàn có thể thu được bằng cách chất đầy các chuỗi sinxôit. Trong vật lí ta thường gặp những vấn đề tương tự như vậy, chẳng hạn phân tích một âm phức tạp thành các âm cơ bản, phân tích một dòng điện xung thành những dòng điện dao động điều hòa. Sau đó, nhà toán học Pháp Joseph Fourier (1768 – 1830) đã chứng minh rằng một hàm số tuần hoàn chu kỳ T có thể phân tích thành “tổng” của một hằng số với những hàm số tuần hoàn có đồ thị là những đường hình sin với chu kỳ T n (n là số nguyên dương). f(x) = A0 + 1 ( cos sin )n n n A nx B nx    Lí thuyết Fourier ra đời đã đánh dấu một thành tựu quan trọng của giải tích thế kỉ XIX. Trong giải tích, chuỗi Fourier là một công cụ cơ bản trong việc nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Lí thuyết chuỗi Fourier thiết lập một sự tương ứng giữa hàm số tuần hoàn với các hệ số Fourier. Do đó, phân tích Fourier có thể xem như một cách thức mới để nghiên cứu các hàm số tuần hoàn. Việc xây dựng một hàm số tuần hoàn là nghiệm của một phương trình hàm có thể dẫn đến việc xây dựng các hệ số Fourier tương ứng. Đặc biệt, lí thuyết Fourier chỉ ra rằng chỉ với hàm số sin và cosin là đủ để nghiên cứu tất cả các hiện tượng tuần hoàn. Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật. Nhìn từ góc độ toán học thì nó được áp dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực nghiên cứu và giải phương trình vi phân, tính toán xấp xỉ,...  Kết luận: + Trong lịch sử, thuật ngữ “tuần hoàn” xuất hiện từ việc nghiên cứu các hiện tượng lặp đi lặp lại trong vật lí, trong âm nhạc, Một hiện tượng tuần hoàn là hiện tượng được lặp lại như cũ sau một khoảng thời gian xác định T, gọi là chu kỳ. + Các hàm số mô tả các hiện tượng tuần hoàn là các hàm tuần hoàn và được đặc trưng bởi đẳng thức f(x +T) = f(x) với mọi x. + Hàm số tuần hoàn đơn giản nhất là hàm Asin ( t  ) biểu diễn một dao động điều hòa. Trong toán học, các hàm số có đồ thị là đường hình sin - hàm sin và hàm cosin - là cơ sở để nghiên cứu tất cả các hàm số tuần hoàn khác. Một hàm số f(x) tuần hoàn chu kỳ T luôn có thể phân tích được thành tổng của một hằng số với những hàm số có đồ thị là đường hình sin có chu kỳ T n (n là số nguyên dương). f(x) = A0 + 1 ( cos sin )n n n A nx B nx    1.2. Đặc trưng của khái niệm hàm số tuần hoàn trong phạm vi toán ở bậc đại học Ở đây, chúng tôi chọn phân tích đồng thời hai giáo trình sau : - Elementary Mathematics, V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Mir publishers Moscow, a review course Translated by George Yankowsky (kí hiệu là [a]) - Toán học cao cấp, tập 2: Giải tích, Nguyễn Đình Trí (1995), NXBGD (kí hiệu là [b]). Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là do việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số tuần hoàn trong hai giáo trình này là tương đối phong phú hơn các giáo trình khác. Hơn nữa, việc so sánh giữa hai giáo trình sẽ cho phép làm rõ các cách khác nhau trong việc trình bày khái niệm hàm số tuần hoàn và chu kỳ cũng như các đặc trưng của chúng ở cấp độ đại học. Điều này sẽ làm phong phú hơn cơ sở tham chiếu để chúng tôi thực hiện phân tích SGK phổ thông ở chương 2. 1.2.1. Hàm số tuần hoàn trong giáo trình [a] Trong giáo trình này, hàm số được đề cập ở chương 4. Nhưng ở đó, [a] chỉ trình bày định nghĩa và đồ thị hàm số, tính chẵn lẻ, tính đơn điệu và đặc trưng đồ thị của các hàm số có các tính chất đó, còn tính chất tuần hoàn hoàn toàn không được đề cập đến. Mãi đến chương 8, nhan đề “Hàm số lượng giác của một góc”, định nghĩa hàm số tuần hoàn mới xuất hiện trong mục “Tính chẵn lẻ và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác”. Điều này cho thấy, trong toán học, tính tuần hoàn là một tính chất đặc trưng của các hàm số lượng giác và luợng giác là nơi khởi đầu cho việc nghiên cứu khái niệm tuần hoàn. Định nghĩa hàm số tuần hoàn được cho ở trang 292 như sau: “Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T (T 0) nếu cho bất kỳ giá trị của x, điều kiện sau được thỏa mãn: Nếu hàm số xác định tại điểm x hoặc tại x + T thì nó xác định tại điểm còn lại và giá trị của nó tại cả hai điểm đều bằng nhau: f(x) = f(x + T). Số T được gọi là chu kỳ của hàm số f(x)”. Như vậy, khái niệm hàm số tuần hoàn được định nghĩa trên tập xác định D của hàm số. Chu kỳ của hàm số được định nghĩa là mọi số T 0 thỏa mãn 2 điều kiện: + Nếu x thuộc D thì x + T thuộc D và ngược lại + f(x) = f(x + T) Theo đó, chu kỳ của hàm số có thể không duy nhất. Sự liên hệ giữa các chu kỳ được thể hiện qua một mệnh đề trình bày ngay sau định nghĩa: “Nếu T là chu kỳ của f(x) thì bất kỳ số nT với n =-1, n =  2, ..., cũng là chu kỳ của f(x). Chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm số (nếu như chu kỳ tồn tại) được gọi là chu kỳ cơ sở.” Như vậy, [a] đã phân biệt hai khái niệm chu kỳ và chu kỳ cơ sở của hàm số. Như đã nói ở trên, khái niệm hàm số tuần hoàn chỉ được đưa vào khi nghiên cứu các hàm số lượng giác. Tuy vậy, sau khi đưa ra định nghĩa, [a] trình bày 3 ví dụ minh hoạ cho khái niệm hàm số tuần hoàn, trong đó các hàm số liên quan đều không phải là hàm lượng giác. Ví dụ 1: “Hàm số f(x) = c (c là hằng số) có mọi số đều là chu kỳ của nó nhưng không có chu kỳ cơ sở”. Ví dụ 2: “Gọi phần nguyên của số x (kí hiệu [x]) là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Phần thập phân của số x (kí hiệu (x)) là độ chênh lệch giữa x và phần nguyên của nó: (x) = x – [x]. Phần thập phân của x là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T =1”. Ví dụ 3: “Xem xét hàm số f(x) được xác định với các giá trị của x thỏa mãn: 0  x < 2 f(x) = 0 1 1 1 2 2 x khi x khi x     Sử dụng hàm số này và lấy T = 2 là chu kỳ cơ sở, chúng ta sẽ xây dựng được một hàm số tuần hoàn F(x) sau: F(x) = [ ] 2