Luận văn Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy – học toán - Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG NGHIÊN CỨU VỀ KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ TRONG DẠY – HỌC TOÁN : ĐỒ ÁN DIDACTIC TRONG MÔI TRƯỜNG MÁY TÍNH BỎ TÚI LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN CODE: 60.14.10 GIÁO SƯ HƯỚNG DẪN: Annie BESSOT TP. HCM – 2004 Tên đề tài: Nghiên về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học toán: một đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi Hội đồng khoa học: Chủ tịch hội đồng: TS. TRẦN VĂN TẤN Thư ký hội đồng: TS. LÊ VĂN TIẾN Giáo sư hướng dẫn: TS. Annie BESSOT Phản biện: TS. Claude COMITI và TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU LỜI CẢM ƠN Xin chân thành cảm ơn Ban Lãnh đạo và các Cán bộ của phòng Sau Đại học ĐHSP TP.HCM; Ban Chủ nhiệm và các Giáo sư của Khoa Toán – Tin học ĐHSP TP. HCM; Ban Lãnh đạo và các Nhà Nghiên cứu của nhóm DDM thuộc Phòng Nghiên cứu Leibniz của INPG (Nước Cộng Hòa Pháp) đã giúp đỡ và động viên tôi thực hiện luận văn này. Đặc biệt, xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến: - Giáo sư hướng dẫn Bà PGS TS Annie BESSOT. Với đầy nhiệt huyết và sự nghiêm khắc, Bà đã không tiếc công sức hướng dẫn tôi thực hiện nghiên cứu didactic và giúp đỡ tôi trong việc trình bày ngôn ngữ cho luận văn. - TS Alain BIREBENT và TS LÊ VĂN TIẾN, những người đã giúp đỡ tôi như những Giáo sư đồng hướng dẫn bằng những lời khuyên đầy chất lượng và những tài liệu bổ ích. - PGS TS Annie BESSOT và PGS TS Claude COMITI, những người đã bảo hộ tôi trong những ngày ở Pháp. - GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI, TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU, TS LÊ VĂN TIẾN và TS ĐOÀN HỮU HẢI vì sự giảng dạy đầy nhiệt tình và hiệu quả trong suốt khóa Cao học Thạc sĩ Didactic Toán. - Các anh: CÔNG KHANH, CHÍ THÀNH, ANFONSO, những người luôn giúp đỡ và động viên tôi trong những ngày làm việc trong nhóm DDM của INPG tại Grenoble. - Các bạn Học viên Cao học khóa 12, nhất là hai cô THỦY và HÀ, những người đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu. - Bà Claudine MERCIER, chủ nhà của tôi ở Grenoble, người đã rất hiếu khách và đón tiếp tôi như một thành viên trong gia đình. - Ban Giám hiệu Trường PTTH Chuyên TRẦN ĐẠI NGHĨA (QI) đã cho phép chúng tôi tiến hành các thực nghiệm trong các lớp của trường. MỤC LỤC Lời cảm ơn Nội dung Lời tựa Phần I: I. Tổng hợp các công trình nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn I.1. Cornu B.(1983) I.2. Robert A. (1982) I.3. Ba quan điểm khoa học luận I.4. Bosch, Espinoza và Gascon (2002) II. Phân tích các chương trình và các SGK Việt nam II.1. Phân tích tổ chức toán học (TCTH) II.1.1. Cấu trúc của chương trình và SGK hiện hành II.1.2. Những chuyển đổi didactic khác nhau trong các SGK CCGD và trong SGK hiện hành II.1.2.1. So sánh các SGK II.1.2.2. Các TCTH cần giảng dạy trong các SGK II.1.2.3. Kết luận về các TCTH trong SGK hiện hành II.2. Các yếu tố của hợp đồng didactic trong SGK hiện hành II.3. Giả thiết nghiên cứu III. Thực nghiệm III.1. Phân tích tiên nghiệm III.1.1. Câu hỏi 1 III.1.2. Câu hỏi 2 III.2. Phân tích hậu nghiệm III.2.1. Câu hỏi 1 III.2.1. Câu hỏi 2 III.3. Kết luận Vấn đề đặt ra Trang 1 1 2 3 4 6 6 6 7 8 12 18 19 22 22 23 23 25 25 25 28 30 30 Phần II: I. Quan điểm dạy học Giải tích ở Pháp II. Vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi trong giảng dạy Giải tích (tổng quát) và khái niệm giới hạn (đặc biệt) ở Pháp. III. Giả thiết công việc IV. Sự có mặt của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương trình Toán học THCS và THPT Việt nam IV.1. Giai đoạn trước cải cách giáo dục (trước năm 1985) IV.2. Giai đoạn CCGD từ 1986 đến 1999 IV.3. Chương trình hiện hành (từ năm 2000) IV.4. Chương trình thí điểm IV.5. So sánh và nhận xét V. Công đoạn dạy học V.1. Phân tích tiên nghiệm V.2. Phân tích hậu nghiệm V.3. Kết luận Lời kết và triển vọng Tài liệu tham khảo Phụ lục 31 32 33 34 34 35 37 38 39 41 44 49 54 55 LỜI GIỚI THIỆU Khái niệm giới hạn, trung tâm của giải tích, là một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Trong chương trình toán học phổ thông Việt nam, khái niệm này xuất hiện ở lớp 11; người ta nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học khái niệm này. Đây là một khái niệm kiểu mới đối với học sinh bởi vì đây là những lần đầu tiên các tiến trình vô hạn xuất hiện. Trong phần đầu của công việc, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau đây: đâu là thực chất của những khó khăn trong việc lĩnh hội khái niệm giới hạn? Khái niệm này tồn tại thế nào trong thể chế dạy học Việt nam? Thứ nhất, chúng tôi tổng hợp một số kết quả nghiên cứu đã có ở nước Cộng hòa Pháp về chủ đề này nhằm hiểu được các chướng ngại cơ bản trong việc học khái niệm này và nhằm làm rõ các quan niệm khoa học luận về khái niệm này. Những kết quả nghiên cứu này sẽ dùng làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam về vấn đề dạy và học khái niệm giới hạn. Thứ hai, chúng tôi phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai đoạn “cải cách giáo dục” (từ những năm1990) và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhấ” (kể từ năm 2000) dưới các kiến thức của lý thuyết nhân chủng học được phát triển bởi Y.Chevallard và nhóm nghiên cứu của ông (Chevallard, 1992) và của khái niệm hợp đồng didatique được giới thiệu bởi G.Brousseau (Brousseau, 1980). Việc nghiên cứu một phần “sinh thái học” của khái niệm giới hạn trong thể chế Việt nam cho phép chúng tôi xác định các lựa chọn thể chế và đặc biệt là các yếu tố của hợp đồng didactique. Từ đó, chúng tôi phát biểu thành các giả thiết nghiên cứu như là hiệu ứng của các lựa chọn thể chế đã nghiên cứu ở trên. Thứ ba, chúng tôi kiểm chứng sự hợp thức của các giả thiết nghiên cứu thông qua một thực nghiệm trong lớp 12. Các kết quả nghiên cứu trong phần đầu tiên đặt ra cho chúng tôi đến vấn đề về sự mở rộng mối quan hệ thể chế của học sinh với khái niệm giới hạn. Kể từ giai đoạn chống cải cách toán học hiện đại ở CH Pháp (1980 –1998), quan điểm về dạy học giải tích ở trường PTTH là giảng dạy liên tiếp các vấn đề xấp xỉ. Như vậy, máy tính bỏ túi đóng vai trò rất lớn đối với quan điểm dạy học này. Ở Việt nam, trong những năm gần đây, chúng ta ghi nhận sự tiến triển đáng kể của máy tính bỏ túi trong các chương trình phổ thông (PTCS và PTTH) . Trong khi mà học sinh (ngày càng đông) sở hữu các máy tính bỏ túi (trên bàn học) với màn hình (ngày càng lớn); thầy giáo vẫn chỉ có cái bảng đen , bục giảng, viên phấn và dẻ lau bảng. Môi trường làm việc của nguời thầy vẫn không có gì thay đổi từ hơn 25 năm qua. Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của máy tính bỏ túi (bên cạnh những công cụ khác) trong thể chế phổ thông Việt nam. Chính vì vậy, trong phần thứ hai của luận văn, chúng tôi phân tích sự có mặt của của các yếu tố tính toán và tin học trong các chương trình Toán ở PTCS và PTTH Việt nam. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một công đoạn dạy học khái niệm giới hạn kết hợp máy tính bỏ túi. Sự xây dựng công đoạn này dựa trên phương pháp luận của công nghệ didactique mà chúng ta có thể tìm thấy các tài liệu tham khảo ở M. Artigue (1988) và Y.Chevallard (1982). Lời tựa: một số yếu tố về khái niệm đồ án didactic Tài liệu tham khảo: Artigue (1988) và Chevallard (1982). Khái niệm đồ án didactic: Đồ án didactic là một tình huống giảng dạy được soạn thảo bởi nhà nghiên cứu, một dạng công việc didactic tương tự như công việc của ngườiø kỹ sư: dựa trên và tuân theo các kiến khoa học trong lĩnh vực của mình, nhưng để làm việc trên những đối tượng thực tế phức tạp hơn nhiều so với những đối tượng thuần túy khoa học. Hai chức năng của đồ án didactic: Đồ án didactic cho phép: - thực hành trên hệ thống giảng dạy, dựa trên các phân tích didactic khởi đầu. - kiểm chứng phần lý thuyết đã được soạn thảo bằng cách nghiên cứu sự thực hiện nó trên một hệ thống giảng dạy. Các pha khác nhau của phương pháp luận đồ án didactic: 1. Các phân tích khởi đầu: Chúng dựa trên: các kết quả nghiên cứu trong lĩnh vực; phân tích khoa học luận tri thức nhắm đến; phân tích các quan niệm và chướng ngại của học sinh; phân tích thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa). 2. Xây dựng công đoạn dạy học và phân tích tiên nghiệm và tổ chức thu thập các dữ liệu 3. Thực nghiệm và tổ chức quan sát 4. Phân tích hậu nghiệm và hợp thức nội tại Sự hợp thức nội tại được thực hiện bằng việc đối chiếu hai mô hình của phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm Giới thiệu luận văn: Chúng tôi tiến hành các nghiên cứu về chủ đề: giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi ở trường PTTH, dựa trên phương pháp luận của đồ án didactic. Luận văn gồm hai phần: Trong phần thứ nhất (Phần I), chúng tôi thực hiện các nghiên cứu khởi đầu về vấn đề dạy và học khái niệm giới hạn ở trường THPT: - tổng hợp một số kết quả nghiên cứu thực hiện ở Pháp nhằm hiểu được các chướng ngại khoa học luận cơ bản trong việc học khái niệm này và nhằm làm rõ các quan niệm khoa học luận về khái niệm này. Một số kết quả được dùng làm tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế Việt nam. - phân tích các chương trình và các sách giáo khoa của hai giai đoạn “cải cách giáo dục” và giai đoạn “chỉnh lý và hợp nhất” bằng cách sử dụng các công cụ của lý thuyết nhân chủng học và hợp đồng didatic. Các kết quả của phân tích thể chế được hợp thức bằng một thực nghiệm thực hiện cho các học sinh lớp 12. Đặc biệt, phần thứ nhất này cho phép khẳng định sự vắng mặt của quan điểm khoa học luận xấp xỉ về khái niệm giới hạn, quan điểm cho phép hình thành khái niệm giới hạn theo nghĩa “giải tích”, trong mối quan hệ các nhân của học sinh. Trong khi đó ở Pháp, về vấn đề giảng dạy Giải tích ở cấp độ THPT, cuộc chống cải cách toán học hiện đại (1980 –1998) đã định hướng phải tổ chức giảng daỵ liên tục các vấn đề xấp xỉ được hổ trợ bởi sự có mặt của máy tính bỏ túi. Chính vì lý do này, trong phần II, chúng tôi dự định xây dựng và thực hiện một đồ án didactic trong đó mục tiêu dạy học là giới thiệu quan điểm “xấp xỉ” của khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi. Để thực hiện, đầu tiên chúng tôi xác định các yếu tố tính toán và tin học có mặt trong các chương trình liên tiếp ở cấp II và cấp III cho các câu hỏi: trong số các yếu tố tính toán này máy tính bỏ túi đóng vai trò gì và chiếm vị trí thế nào? vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi tiến triển ra sao? Kế đến, dựa trên phân tích tiên nghiệm, chúng tôi xây dựng một đồ án didactic về khái niệm giới hạn hàm số, kết hợp máy tính bỏ túi. Sau đó, chúng tôi thực nghiệm đồ án này trong một lớp 11 mà ở đó khái niệm giới hạn đã được giảng dạy. Cuối cùng, chúng tôi tiến hành phân tích hậu nghiệm từ các dữ kiện thu được và đối chiếu với phân tích tiên nghiệm. Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi Trang 1 PHẦN I I. Tổng hợp các công trình nghiên cứu didactique về khái niệm giới hạn Chúng tôi tổng hợp lại các nghiên cứu lịch sử và khoa học luận cùng các kết quả thực nghiệm ở CH Pháp về khái niệm này từ bốn công trình: Cornu (1983), Robert (1982), Trouche (1996) và Bosch, Espinoza, Gascon (2002). I.1 Luận án của Cornu (1983). Mục tiêu của nghiên cứu là nhằm hiểu rõ thực chất của những khó khăn trong việc lĩnh hội khái niệm giới hạn và nhằm cải thiện việc dạy và học khái niệm này. ¾ Nghiên cứu lịch sử khái niệm giới hạn ♦B.Cornu chứng minh rằng sự xuất hiện của khái niệm giới hạn một cách tất yếu gắn với một trường rất nhiều khái niệm khác: khái niệm về sự vô hạn (tính xác đáng của việc sử dụng vô hạn trong toán học); các đại lượng hình học (các diện tích và các thể tích ); khái niệm thời gian (giới hạn có đạt được hay không?); các khái niệm về dãy, chuỗi; khái niệm hàm số, đạo hàm, giá trị lớn nhất vá giá trị nhỏ nhất, tiếp tuyến; các vất đề về tính liên tục, về tích phân; cùng với: vận tốc tức thời, tốc độ hội tụ, chặn trên và chặn duới, điểm tụ ♦Cornu nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và phát triển trong suốt lịch sử của khái niệm giới hạn: - “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ cảnh hình học và ngữ cảnh chuyển động học, “ các đại lượng” được quy về phạm vi số mà ở đó khái niệm giới hạn được hợp nhất. - Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: một kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụngï. Ở đây không chỉ còn là một dãy các suy luận logic, mà là suy luận trên các tiến trình vô hạn. - Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể “gán được” nữa ? có tồn tại hay không các đại lượng “tan dần” mà chỉ cần qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? có phải một số nhỏ hơn tất cả các lượng (dương) cho trước thì bằng không? - Một giới hạn có thể đạt tới hay không ? - Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu. Một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn. Hai đại luợng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại tiến về một lượng hữa hạn”. ¾ Từ các nghiên cứu lịch sử, Cornu xây dựng rất nhiều bài Test về vấn đề các cụm từ “tiến về” và “giới hạn” nhằm quan sát các “quan niệm tự nhiên1” của học 1 Các “quan niệm tự nhiên” là những quan niệm không được xây dựng từ một sự giảng dạy có tổ chức (Cornu, 1983) Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi Trang 2 sinh. Các bài test này, được đề nghị cho những học sinh chưa học khái niệm giới hạn, đã cho thấy sự đa dạng về các ý nghĩa mà học sinh gán cho các cụm từ trên cũng như sự đa dạng về quan niệm gắn với khái niệm giới hạn : ố: - Cụm từ “giới hạn” trước hết đối với học sinh mang ý nghĩa về sự cố định: một “giới hạn” được đặt trong không gian và thời gian; không được phép hay là không thể vượt qua giới hạn này. Người ta khó mà tiếp cận một giới hạn và khó mà có thể đạt được nó. “Giới hạn” hoặc là cái chia cắt thành hai phần hay là cái “cuối cùng”. - Cụm từ “tiến về” nói chung mang nghĩa “động” hơn. Theo Cornu, các quan niệm tự nhiên để lại những ảnh hưởng rất mạnh mẽ và dai dẳng. Chúng hòa lẫn với các từ vựng toán học cùng với khái niệm toán học và hình thành nên những quan niệm riêng ở học sinh. ¾ Sau khi nghiên cứu lịch sử và các quan niệm riêng của học sinh, Cornu xây dựng một công đoạn dạy học. Công đoạn này được lồng vào trong tiến trình dạy học toán với mong muốn giúp học sinh vuợt qua các chướng ngại trong khi học khái niệm giới hạn. Những phân tích của Cornu cho thấy rằng: ♦ Các học sinh (ở Pháp) vẫn gặp phải ba chướng ngại khoa học luận: - Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn rằng một số tồn tại nếu ta không thể tính được nó? - Các vô cùng bé và các vô cùng lớn: có tồn tại hay không những số rất nhỏ, nhỏ hơn bất kì số một số “thất sự” nào, nhưng chưa bằng không? - Một giới hạn có thể đạt tới hay không? ♦Chướng ngại khoa học luận quan trọng về “sự chuyển đổi sang phạm vi số” không xuất hiện ở học sinh ngày nay bởi vì từ khi còn nhỏ học sinh đã có thói quen sử dụng số để giải quyết các bài toán về các “đại lượng”. ♦Những chướng ngại không có nguồn gốc khoa học luận: bất đẳng thức, điều kiện đủ, giá trị tuyệt đối, bước chuyển từ sự hội tụ đơn điệu sang sự hội tụ vv Đâu là những quan niệm riêng của học sinh ? I.2. Robert A.(1982) A. Robert nêu ra ba kiểu mô hình2 của khái niệm giới hạn, theo những biểu hiện về quan niệm riêng của học sinh, từ một thực nghiệm trên các sinh viên đại học về khái niệm giới hạn của dãy s ¾ Các mô hình “sơ khai” tương ứng với những miêu tả không đầy đủ của học sinh về sự hội tụ: không tính đến chỉ số n. Các dãy số hội tụ được xem là các dãy số có các số hạng không thể vượt qua một con số nào đó (mô hình thanh chắn). 2 Được kể ra bởi A. Bessot trong cour Thạc sĩ (2002) Giảng dạy khái niệm giới hạn trong môi trường máy tính bỏ túi Trang 3 ¾ Các mô hình “động” có tính đến chỉ số n và sự biến thiên của nó. Các mô hình này được học sinh diễn tả bằng các động từ về sự tiến triển trong không gian và thời gian Ví dụ: n càng tăng , un càng dần về một số n càng tăng, khoảng cách từ un đến L càng nhỏ. Trường hợp riêng của mô hình “động” là mô hình động “đơn điệu”: một dãy số hội tụ là dãy tăng dần đến giới hạn của nó. ¾ Các mô hình “tĩnh” tương ứng với sự miêu tả về sự hội tụ thể hiện mối liên hệ giữa ε và N: mọi khoảng bé tùy ý chứa tất cả các un kể từ một chỉ số n nào đó hay kể từ một chỉ số n nào đó tất cả các số hạng của dãy phải thuộc một lân cận của L nhỏ tùy ý. Các mô hình “tiền tĩnh” không thể hiện mối liên hệ giữa ε và N: với n đủ lớn, các un chứa trong một khoảng chứa L, hay rất gần với L. I.3. Làm rõ ba “quan điểm khoa học luận”3 về khái niệm giới hạn ¾Quan điểm “chuyển động học”: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số” (Bkouche, 1996) “Nếu một đại lượng biến x tiến về một giá trị a của đại lượng này (theo nghĩa x nhận các giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại giá trị a, đại lượng y xích gần lại b” (Bk