Luận văn Phương trình vi phân đại số

Luận văn Phương trình vi phân đại số MỤC LỤC Trang Mở đầu ................................................................................................ 2 Chƣơng I Một số khái niệm về hệ phƣơng trình vi phân đại số ... 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ......................................... 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng ........ 7 1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số ................................. 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số....... 13 Chƣơng II Bán kinh ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng .................................................... 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ............................................ 24 Chƣơng III Bán kính ổn định của hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37 3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt ............................................................. 55 Kết luận .............................................................................................. 59 Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của A.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm 1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua, lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công nghệ, sinh thái học, ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến phương trình vi phân dạng: Att x'( t ) + B x ( t ) 0 ở đó, a là hằng số, A, B C I , LRRnn , x : I , I a , , . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phân detA t 0 t I đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations” được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006. Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, gồm có ba chương: Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau. Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng trong đó Ax'( t ) - Bx ( t ) 0 A, B là các ma trận thực, detA 0. Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 A t x' t B t x t , t 0 trong đó , , ở đây công thức bán AL.loc 0,BL ;K.nnloc 0, ;K nn kính ổn định được đưa ra. Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm học tập, nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2008 Học viên cao học Lƣu Thị Thu Hoài Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 CHƢƠNG I MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 9 Định nghĩa 1.1.1. Cho được gọi là một phép chiếu nếu PP2 . P L . P Nhận xét 1.1.2. i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có: . n KerPIm P  ii) Mỗi phân tích  n UV tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V. Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U. Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận) Cho . Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu là AL n indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà KerAkk KerA. 1 indAmin k : KerAkk KerA 1 Định lý 1.1.4. Với mọi ta luôn có: AL n imAk KerA kvới mọi k n thoả mãn 0<k<indA. imAk KerA kvới k indA imA. k KerA k n Định nghĩa 1.1.5. Cho . Cặp ma trận (A,B) được gọi là chính A, B L  n quy nếu c  sao cho . detcA B 0 Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà . Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu là , là chỉ số detcA B 0 ind A, B của ma trận cA B1 A . ind A, B ind cA B1 A (Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Định lý 1.1.7. Nếu không suy biến thì: QL n . ind QA, QB ind AQ , BQ ind A , B Nếu A, B là giao hoán được thì . ind A, B ind A Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, sao cho cA + B khả c R nghịch, đặt . Khi1 đó, QA và QB là giao hoán được. Q cA B Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và thì tồn tại các mak trận khả nghịch P, Q sao cho: rank cA B1 A r A Pdiag Ir ,, UB Q Pdiag W, Unr Q ở đó l1 lsr l lr U diag U1,..., Us , max l i k , U r u ij L  với 1 khi jiU k 0 1còn Ul 0 l k. u ; ij 0 khi ji 1 Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1. 2) x KerA và Bx ImA suy ra x = 0 3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B). 4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi . WL n 5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA . 6) Với thì S KerA . n S:: x n Bx ImA 7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp EL n thoả mãn: A B , ta nhận được ma trận 1 1 rankA rankA EA , EB , 1 0 B2 không suy biến A . 1 L  n B2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 1.2. Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 2 , 3 , 9 Xét hệ phương trình vi phân dạng: (1.2.1) F t, x t , x ' t 0 trong đó: n , xI:  Ia,  nn F: I D  t, x , y F t , x , y D là tập mở trong n , .  , ''nn nn F C I D Fxy,,, F C I D L Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn ' KerFx ' t, x t , x ' t 0 với mọi . t, x , x ' I D  n Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính: (1.2.2) A t x' t B t x t q t trong đó: , q liên tục trên I, detA(t) = 0 với mọi là A,, B C I L  n tI, hệ phương trình vi phân đại số. Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này. Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân đại số ([3], [9]). Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng: (1.2.3) F t, x t , x ' t 0 trong đó: xI:  n , , Ia;  F: I D  nn t, x , y F t , x , y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 D là tập mở trong n ,  , ''nn nn F C I D Fxy,,, F C I D L . ' n KerFx' t, x , x 't 0, x , x ' I D  Giả thiết không phụ thuộc vào x và x’ tức là: ' KerFx' t, x , x ' . ' n KerFx' t, x , x ' t N, x , t x ' I D  Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch được gọi là trơn trên I nếu có ma Nt trận hàm khả vi liên tục sao cho 2 , ImQ(t) = Q C1 I, L  n Q t Q t N(t) . tI Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt . 1 n P t In Q t P C I, L  1 Ta có: và từ ' F t, x , y F t , x , P t y Fx t' x , sy , 1 s P t y Q t yds 0 . Từ đó ta '' Q t y ImQ t N t KerFxx'' t, x , x ' F t , x , y Q t y 0 suy ra: 1 ' F t, x , y F t , x , P t y Fx' t , x , sy 1 s P t y Q t yds 0 0 hay F t, x , y F t , x , P t y F t, x , x ' F t , x , P t x ' F t , x , Px ' t P ' t x t Điều này cho thấy, để hàm xI:  n là nghiệm của (1.2.3) thì cần phải có . Bây giờ ta quan tâm tới không gian Px C1 I,, nQx C I, n hàm sau: . 1n 1 n 1 n CN I, x C I ,  : Px C I ,  Đặt n '' S t, x , y z : Fxy t , x , y z ImF t , x , y '' G1 t, x , y : Fyx t , x , y F t , x , y Q t ' A11 t, x , y : G t , x , y Fy t , x , y P ' t Q t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 N11 t, x , y : KerA t , x , y n ' S11 t, x , y z : Fx t , x , y P t z ImA t , x , y Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 1 trên tập mở nnếu . G I D  N t S t,, x yt,, x y Gn Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ số 2 trên tập mở nnếu: G I D  và n dimN1 t , x , yN const11 t, x , y 0 St,, x t y , x G , y  Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng: (1.2.4) A t x'0 t B t x t trong đó xI:  n , , với mọi tI . A,, B C I L detAtn 0 trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên N t KerA t tục. Đặt . P t: I Q t S t:: z n B t z ImA t A1 t:' A t B t A t P t Q t N11 t: KerA t n S11 t:: z B t P t z ImA t Gọi là phép chiếu khả vi liên tục lên dọc theo , Qt1 Nt1 St1 . P11 t: I Q t B1 t:' B t A 1 t PP 1 P t Đặt A2 t: A 1 t B 1 t Q 1 t Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi tI n tức là tI . N t S t  detAt1 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi dimN1 ttức const là detA1 0 t 0 t I n N11 t S tdetR A 2 t t 0 I t I Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng: (1.2.5) Ax'0 t Bx t trong đó: n , , . Khi đó: xI:  detA 0 A, B L  n N: KerA S:: z n Bz ImA Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA). , , n A1 : A BQ N11: KerA S11:: z B z ImA Gọi là phép chiếu lên dọc , đặt . Q1 N1 S1 P11: I Q , B1 : BP A2: A 1 BQ 1 1 A 1 BPQ 1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi NS n . detA1 0 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ khi dimN const 0 1 tức là detA1 0 n NS11R detA2 0 1.3. Phân rã hệ phƣơng trình vi phân đại số thành hệ phƣơng trình vi phân thƣờng và hệ phƣơng trình đại số 1 , 3 Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại số. Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 (1.3.1) Ax' t Bx t q t trong đó: n , , , . xI:  detA 0 A, B L  n q., C I Rn 1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên , KerA . Khi đó, AQ = 0. QP = 0. P: In Q A = AIn = A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A1P. B = BIn = B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP = (A+BQ)Q + BP = A1Q + BP Do vậy, hệ (1.3.1) . APx11' t AQx t BPx t q t Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với 1 và 1 ta được PA1 QA1 hệ tương đương: 11 Px' t PA 11 BPx t PA q t 11 Qx t QA11 BPx t QA q t Đặt , ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau: u t Px t v t Qx t -1 -1 u' t PA11 Bu () t PA q t -1() -1 v t QA11 Bu t QA q t trong đó là hệ phương trình vi phân thường, còn là hệ phương trình () () đại số. Đặc biệt, khi ta được hệ: qt 0 -1 u'0 t PA1 Bu t ( ') -1 ( ') v t QA1 Bu t 0 1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2 Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó detA1 0, detA2 0. Xét vế trái của (1.3.1) ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Ax' t Bx t APx ' t Bx t A Px ' t Bx t = A BQ P Px'' Qx BPx A1 P Px Qx BPx = A1 BPQ 1 PP 1 Px' t PQx 1 Q 1 x BPx BPQ 1 x = A2 PP 1 Px' t PQx 1 Q 1 x BPPx 1 Do vậy, hệ (1.3.1) A2 PP 1 Px' t PQx 1 Q 1 x BPPx 1 q t Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với 1 1 1 ta được PPA12, QPA12, QA12 hệ phương trình tương đương: -1 -1 PPP1 Px' PPQx 1 PP 1 A 2 BPPx 1 PP 1 A 2 q -1 -1 QPP1 Px' QPQx 1 QP 1 A 2 BPPx 1 QP 1 A 2 q -1 -1 Q1 x Q 1 A 2 BPPx 1 Q 1 A 2 q Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ1, PP1 cũng là các phép chiếu đồng thời đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có: Q,, PQ11 PP -1 Q1 Q 1 A 2 BPQQ,1 0, PPP11 PP, PPQ1 0, QPP11 QQQPQ, 1 Q và hệ trên trở thành: Q11 Q P, QQ11 P QQ -1 -1 PPx1' PP 1 A 2 BPPx 1 PP 1 A 2 q -1 -1 QQ1 x' Qx QP 1 A 2 BPPx 1 QP 1 A 2 q -1 Q1 x Q 1 A 2 q Đặt ta nhận được hệ sau: u PPx1 , v Q1 x, w Qx x u Pv w -1 -1 u' PP1 A 2 Bu PP 1 A 2 q -1 -1 Qv' w QP 1 A 2 Bu QP 1 A 2 q -1 v Q12 A q Đặc biệt, khi ta nhận được hệ: qt 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 -1 u'0 PP12 A Bu -1 w QP12 A Bu 0 v 0 1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phƣơng trình vi phân đại số 3 14 , 15 Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau: (1.4.1) A t x'0 t B t x t trong đó: xI:  n , , , detA 0 A, B L  n q., C I Rn Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường . xt 0 1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và trơn. Gọi là phép chiếu KerA t Qt khả vi liên tục lên , đặt . KerA t P t: In Q t Ký hiệu là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện đầu x t;, t00 x n P t0 x t 0 P t 0 x 0, t 0 I , x 0  Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường của hệ (1.4.1) được gọi là ổn xt 0 định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và với mọi đều tồn tại sao cho nếu n thoả mãn tI0 t ,0 x0  0 P t00 x thì với mọi . tt x t;, t00 x 0 Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường của hệ (1.4.1) được gọi là ổn xt 0 định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số sao cho nếu 00t 0 thì khi t . P t0 x 0 0 t 0x t; t00 , x 0 Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường của hệ (1.4.1) được gọi là ổn xt 0 định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số 0 cho trước Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 đều tồn tại số sao cho nếu thoả mãn thì n t ,0 x0  0 P t00 x với mọi . tt tt 0 x t;, t00 x e 0 1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và trơn. Các phép chiếu KerA t Pt, như ở mục 1.3.2. Ký hiệu là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn Pt1 x t;, t00 x điều kiện đầu . n P t0 P 1 t 0 x t 0 P t 0 P 1 t 0 x 0, t 0 I , x 0  Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường của hệ (1.4.1) được gọi là ổn xt 0 định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và mọi tI0 đều tồn tại sao cho nếu n thoả mãn t ,0 x0  0 P t0 P 1 t 0 x 0 thì với mọi . tt x t;, t00 x 0 Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường của hệ (1.4.1) được gọi là ổn xt 0 định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số sao cho nếu 00t 0 thì khi t . P t0 P 1 t 0 x 0x t; t00 0 , x t 0 0 Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường của hệ (1.4.1) được gọi là ổn xt 0 định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số 0 cho trước đều tồn tại số sao cho nếu n thoả mãn t0,0 x0  thì với mọi . tt tt 0 P t0 P 1 t 0 x 0 x t;, t00 x e 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 CHƢƠNG II BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ HẰNG Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng , trong Ax'( t ) - Bx ( t ) 0 đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và phức bằng nhau cũng được chứng minh. 2.1. Bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình (2.1.1) Ax'( t ) - Bx ( t ) 0 trong đó hoặc , det A = 0, cặp là chính quy chỉ xm, A , B  ) KK m m ,( (AB , ) số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho I 0 (2.1.2) B 0 A Wr T-1; B W1 T -1 , 0 U 0 Imr- ở đây. I là ma trận đơn vị trong U là ma trận k- luỹ linh có s s s r r KK,,B1 dạng U = diag(J1, J2,..., Jl) với 0 1 ... 0 0 ... 0 J Rppii, i 1,2,... l . i . . ... 1 (2.1.3) 0 0 ... 0 sao cho l Nhân hai vế (2.1.1) với W -1 ta được maxpii k , p m - r . 1 il i 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 (2.1.4) y' t B1 y t 0, Uz ' t z t 0, (2.1.5) (2.1.5) trong đó yt T1 x t, y tKKr , z t m r . zt Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do đó, hệ trên trở thành y' t - B1 y t 0, zt 0, trong đó y tKKr,. z t m r Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầ