Luận văn Tính cộng hưởng và không cộng hưởng của bài toán có giá trị biên kì dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ MAI LÊ TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ MAI LÊ TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - NĂM 2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Hoàn Hóa đã tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô khoa Toán và phòng Khoa học công nghệ – Sau đại học trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, giúp tác giả làm quen dần với việc nghiên cứu khoa học. Tác giả chân thành cảm ơn các thầy, cô phản biện đã nhận xét và sửa chữa những thiếu sót để luận văn hoàn chỉnh hơn. Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, thuộc tỉnh Bình Thuận, nơi tác giả đang công tác. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tác giả hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................. 1 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN.................. 5 1.1. Các khái niệm cơ bản: ................................................................ 5 1.2. Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dị ........... 8 1.2.1. Các định lí cơ bản: ................................................................... 8 1.2.2. Ứng dụng:................................................................................ 18 CHƯƠNG 2: TÍNH CỘNG HƯỞNG VÀ KHÔNG CỘNG HƯỞNG CỦA BÀI TOÁN CÓ GIÁ TRỊ BIÊN KÌ DỊ ..................................... 27 2.1. Khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán biên:....................... 27 2.2. Khảo sát bài toán giá trị biên Sturm Liouville: ..................... 29 2.3. Khảo sát bài toán biên:............................................................. 30 2.4. Khảo sát bài toán có giá trị biên kỳ dị “cộng hưởng” bậc hai31 KẾT LUẬN ........................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................... 49 1 MỞ ĐẦU Cũng như các môn khoa học khác, phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu của đòi hỏi thực tế. Lí thuyết phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng trong ứng dụng thực tiễn của Toán học. Hầu hết các quá trình tự nhiên đều tuân thủ theo một qui luật nào đó mà phương trình vi phân có thể mô tả được. Bằng chứng là các ngành Toán học, Cơ học, Vật lí, Hóa học, Sinh vật, Kinh tế, Sinh thái môi trường và Xã hội học đều liên quan đến phương trình vi phân. Lí thuyết phương trình vi phân nói chung và lí thuyết các bài toán biên nói riêng đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến việc phát hiện ra một số lượng lớn các ứng dụng, đặc biệt là trong khoa học. Chẳng hạn như: • Bài toán ( ) ( ) ( ) ( ) 2y" y' f t,y ,0 t 1 t y ' 0 0. ay ' 1 y 1 b, a 0  + = < <   = + = > có thể mô tả các quá trình sinh lí khác nhau. Ví dụ, khi ( ) yf t,y y = + α κ mô tả sự di truyền cấu trúc vững chắc của Oxygen tăng trong tế bào. Ở đây ,a,α κ là những hằng số xác định liên quan đến tỉ lệ phản ứng, tính thấm và hằng số Michaelis. Nghiệm y chính là sức căng của Oxygen và t = 1 tương ứng với biên của màng tế bào. Khi ( ) ( )f t,y exp y , , 0= − − >κ β κ β mô tả sự dẫn nhiệt trong não người. Ở đây f là tỉ lệ sản xuất nhiệt trên một đơn vị thể tích, y là nhiệt độ tuyệt đối và t là độ dài bán kính tính từ tâm. 2 • Năm 1927, L.H Thomas và E.Fermi độc lập với nhau tìm ra bài toán biên xác định thế năng tĩnh điện trong nguyên tử. Sự phân tích này đưa đến phương trình cấp hai kì dị phi tuyến: 1 3 2 2y" t y 0 − − = Có ba điều kiện biên được quan tâm đó là: i) Nguyên tử trung hòa với bán kính Bohr, cho bởi: ( ) ( ) ( )y 0 1. by ' b y b 0= − = ii) Nguyên tử ion hóa, cho bởi: ( ) ( )y 0 1. y b 0= = iii) Nguyên tử trung hòa cô lập, cho bởi: ( ) ( ) t y 0 1, lim y t 0 →∞ = = • Bài toán biên kì dị sau đây thường được gọi là phương trình Emden-Fowler có số mũ âm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 y" q t y 0, 0 t 1 y 0 y' 0 0, 0 ay 1 by 1 0, a b 0 , , a, b 0 với a 0 − + = < <  − + = + >  + = + >  ≥ + > γ α β α β α β α xảy ra trong khi tìm ví dụ về dạng phi tuyến trong lí thuyết chất lỏng phi Niutơn, cũng như việc vận chuyển bùn than đá xuống băng chuyền và lí thuyết lớp biên. Ở đây 0γ > . Đặc biệt là lớp phương trình biên cho sự chảy ổn định của chất giả nhựa qua một bản nửa vô hạn, được viết như sau: ( ) ( ) 1 ny y" nt 0,0 t 1,0 n 1 y' 0 y 1 0   + = < < < <   = = Khi n=1, phương trình này được gọi là phương trình Blasius. 3 Chính sự ứng dụng rộng rãi đó đã hướng chúng tôi đến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán “cộng hưởng” và “không cộng hưởng” có giá trị biên kỳ dị. Đặc biệt chúng tôi nghiên cứu về phương trình vi phân bậc hai: ( ) ( ) [ ]1 py' ' qy f t,y,y ' hầu khắp nơi trên 0,1 p µ+ = Với: m 1 mλ µ λ− < < (trường hợp không cộng hưởng) hoặc mµ λ= (trường hợp cộng hưởng), m = 1,2,. Ở đây 0λ = −∞ và i , i 1, 2,...=λ là những giá trị riêng của một bài toán tuyến tính xấp xỉ. Và y sẽ thỏa mãn một trong những điều kiện biên sau đây: i) Sturm Liouville ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 2 0 t 0 2 2 1 t 1 y 0 lim p t y ' t c , 0, 0, 0 ay 1 blim p t y ' t c ,a 0,b 0,a b 0 max a, 0 + − → → − + = ≥ ≥ + >   + = ≥ ≥ + >  > α β α β α β α (SL) ii) Neumann ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t 0 1 t 1 lim p t y ' t c lim p t y ' t c + − → →  =   = (N) iii) Tuần hoàn (Periodic) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t 0 t 1 y 0 y 1 lim p t y ' t lim p t y ' t + −→ →  =  = (P) Chú ý: Nếu hàm ( ) ( ) ( )1u C 0,1 C 0,1 với pu' C 0,1∈ ∈I thỏa điều kiện biên i) ta viết ( )u SL∈ . Chú ý tương tự cho các điều kiện biên khác. Nếu u thỏa i) với o 1c c 0= = ta viết ( )0u SL∈ Với vấn đề đặt ra như trên, chúng tôi đã nghiên cứu, giải quyết và trình bày trong luận văn này với cấu trúc gồm hai chương có nội dung cụ thể như sau: 4 Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản liên quan đến kiến thức trình bày trong luận văn, các định lí cơ bản về điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian định chuẩn, trong đó quan trọng nhất là định lí Leray-Schauder dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm. Áp dụng định lí Leray-Schauder vào chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình: ( ) ( ) [ ]1 py' ' ry f t,y,py ' , t 0,1 p + = ∈ ( ) ( ) ( ) [ ]1 py' ' ry t py ' f t,y,py ' , t 0,1 p κ+ + = ∈ thỏa mãn các điều kiện biên (SL) hoặc (N) hoặc (P) Chương 2: Là phần chính của luận văn. Khảo sát sự tồn tại nghiệm của các bài toán “không cộng hưởng” có giá trị biên kì dị: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1 py' ' ry f t,y,py ' , t 0,1 p y SL hoặc N hoặc P  + = ∈   ∈ ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 1 py' ' ry t py ' f t,y,py ' , t 0,1 p y SL hoặc N hoặc P  + + κ = ∈   ∈ Và bài toán “cộng hưởng” có giá trị biên kì dị: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) m o o 1 py' ' qy f t,y,py ' , t 0,1 p y SL hoặc N hoặc P  + λ = ∈   ∈ Với mλ là giá trị riêng thứ m của: [ ] ( ) ( ) ( ) ( )o o 1Lu u hkn trên 0,1 , Lu pu' ',m 1,2,3,... pq u SL hoặc N hoặc P  = λ = − =   ∈ 5 Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 1.1. Các khái niệm cơ bản: Định nghĩa 1.1 Cho X, Y là các không gian định chuẩn. 1) Ánh xạ liên tục F : X Y→ được gọi là compact nếu F(X) chứa trong một tập compact của Y. 2) Ánh xạ liên tục F : X Y→ được gọi là hoàn toàn liên tục nếu ảnh của mỗi tập bị chặn chứa trong một tập compact của Y. 3) Ánh xạ liên tục F : X Y→ được gọi là compact hữu hạn chiều nếu F(X) chứa trong không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của Y. Gọi { }1 2 nA a ,a ,...,a= là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn E với chuẩn . . Với 0ε > cố định đặt: ( ) ( ) { } { } n i i i i 1 i i i A B a , , B a , x E : x a : A R sao cho max 0, x a ε ε ε ε ε µ µ ε = = = ∈ − < → = − − U Gọi co(A) là tập lồi bé nhất chứa A. Ta định nghĩa phép chiếu Schauder là ánh xạ: ( ) ( ) ( ) ( ) n i i i 1 n i i 1 x a P : A co A sao cho P x ,x A x ε ε ε ε µ µ = = → = ∈ ∑ ∑ Nhận xét: Cách định nghĩa Pε là hoàn toàn có nghĩa vì, nếu: 6 ( ) ( )o o n o i i i i i i 1 x A , i : x B a , x a 0 x a 0 x 0ε ε ε µ ε µ = ∈ ∃ ∈ ⇒ − − > ⇒ = − − ≠ ⇒ ≠∑ Chú ý: ( ) ( )P A co Aε ε ⊂ do mỗi ( )P xε là tổ hợp tuyến tính của a1, a2,,an Định nghĩa 1.2 Cho B là một tập của không gian tuyến tính định chuẩn E, F : B E→ . Với mỗi 0ε > , b là một điểm trong B sao cho ( )b F b ε− < thì b được gọi là điểm cố địnhε − của F. Định nghĩa 1.3 Cho C là tập lồi trong E. (X,A) là một cặp trong C, nghĩa là X là tập con tùy ý trong C và A là tập đóng trong X. • Hai ánh xạ liên tục f,g : X E→ được gọi là đồng luân nếu có một ánh xạ liên tục [ ] ( ) ( ) ( ) ( )H : X 0,1 E với H x,0 f x và H x,1 g x× → = = , x X∀ ∈ • Ánh xạ H được gọi là đồng luân liên tục và ta viết H : f g≅ . Với mỗi [ ]t 0,1∈ ánh xạ ( )x H x,t→ được viết là tH : X E→ . • Chúng ta dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương. • Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là compact nếu nó là compact. • Ánh xạ đồng luân liên tục H gọi là “fixed point free” trên A X⊆ nếu với mỗi [ ]t 0,1∈ ánh xạ liên tục { }AH t : A E× → không có điểm bất động. • Gọi ( )AK X,C là tập hợp tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : X C→ sao cho thu hẹp A F : A C→ là “fixed point free” . • Hai ánh xạ liên tục ( )AF,G K X,C∈ được gọi là đồng luân (ta viết F G≅ ) trong ( )AK X,C nếu có một đồng luân liên tục [ ]H : X 0,1 C× → 7 ( ) { } [ ]t Xvới H u H t : X C, t 0,1= × → ∈ “fixed point free” trên X và ( ) ( ) ( ) ( )0 1H x F x ,H x G x= = . • Ánh xạ ( )AF K X,C∈ được gọi là cốt yếu (essential) nếu tất cả các ánh xạ ( )AG K X,C∈ sao cho A AF G= có điểm cố định. • Ánh xạ ( )AF K X,C∈ được gọi là không cốt yếu (inessential) nếu tồn tại ánh xạ ( )AG K X,C∈ sao cho A AF G= la ø“fixed point free”. Định nghĩa 1.4 Tập ( )KA C X⊂ được gọi là liên tục đồng bậc nếu 0, 0, f A, x,x ' X ∀ > ∃ > ∀ ∈ ∀ ∈ε δ ( ) ( ) ( )mà d x,x' thì f x f x '< − <δ ε . Định nghĩa 1.5 Hàm số [ ] 2pf : 0,1 R R× → được gọi là hàm L1 – Caratheodory nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] 2 1 r r i) t p t f t,y,q là đo được, y,q R ii) y,q p t f t,y,q liên tục hầu khắp nơi t 0,1 iii) Với bất kỳ r>0, tồn tại h L 0,1 sao cho p t f t,y,q h t , hầu khắp nơi t 0,1 và với mọi y r, q r → ∀ ∈ → ∈ ∈ ≤ ∈ ≤ ≤ Định nghĩa 1.6 [ ]n *pL a,b ,n N∈ là không gian các hàm u thỏa: ( )b na p u t dt < ∞∫ Định nghĩa 1.7 Hàm f được gọi là liên tục tuyệt đối trên [a,b] [ ]( )f AC a,b∈ nếu với mỗi 0,ε > n n i i i i i=1 i=1 0 sao cho b a thì f(b ) f(a )δ δ ε∃ > − < − <∑ ∑ , đúng cho mọi họ ( ){ }i ia ,b ; i 1,n= các khoảng không giao nhau. 8 Định nghĩa 1.8 Giả sử hệ hàm ( ) ( ) ( )1 2 ny x ,y x ,...,y x khả vi n -1 lần trên (a,b), khi đó định thức Wronski được xác định như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n ' ' ' 1 2 n 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 2 n y x y x ... y x y x y x ... y x W y ,y ,...,y W x ... ... ... ... y x y x ... y x− − − ≡ = ( )W x 0≠ tại một ( )x a,b∈ thì hệ hàm độc lập tuyến tính ( ) ( )W x 0, x a,b= ∀ ∈ thì hệ hàm phụ thuộc tuyến tính. Định nghĩa 1.9 Cho B, D là hai tập đóng rời nhau trong không gian tuyến tính định chuẩn E. Khi đó tồn tại một hàm liên tục [ ]: E 0,1λ → gọi là hàm liên tục Urysohn sao cho: ( ) 0 ,x Bx 1 ,x D λ ∈=  ∈ . Hay nói cách khác ( ) ( ) ( ) d x,B min ,1 ,x D x d x,D 1 ,x D     ∉   =      ∈ λ với ( ) { }d x,B min x y ,y B= − ∈ 1.2. Phương pháp điểm bất động trong bài toán biên kỳ dị 1.2.1. Các định lí cơ bản: Định lí 1.1 (Brouwer) En là không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều. C là tập đóng, bị chặn trong En thì tất cả các ánh xạ f : C C→ liên tục đều có điểm bất động. Định lí 1.2 Cho { }1 2 nA C E với A= a ,a ,...,a⊆ ⊆ ; C là tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn E. Nếu ( )P xε là phép chiếu Schauder thì: 9 1) Pε là ánh xạ hoàn toàn liên tục từ Aε vào ( )co A C⊆ 2) x P , x Aε εε− < ∀ ∈ Chứng minh: 1) Sự liên tục của Pε được thấy trực tiếp (vì là phép chiếu). Chúng ta chứng tỏ tính compact của Pε Gọi ( ){ }m 1P xε ∞ là một dãy trong ( )P Aε ε với: ( ) ( ) ( ) ( )( ) n n i m i i m i 1 i 1 x a x x P x xε µµ µ µ = = = ⇒ =∑ ∑ Chú ý với mỗi m: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] n1 m 2 m n m m m m x x x , ,..., 0,1 x x x µ µ µ µ µ µ   ∈     Vì [ ]n0,1 là tập compact và co(A) là một tập đóng, nên ta suy ra tính compact của ánh xạ Pε . 2) Chú ý ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i 1 i 1 n i i 1 1 1x P x x x x a x x a x x 1 x x = = = − = − ≤ − < = ∑ ∑ ∑ ε µ µ µµ µ µ ε ε µ bởi vì ( )i x 0 µ ≠ nếu ix-a ε< Định lí 1.3 (xấp xỉ Schauder) C là tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn E. Ánh xạ F : E C→ là hoàn toàn liên tục thì với mỗi 0ε > có một tập { } ( )1 2 nA= a ,a ,...,a F E C⊂ ⊆ và một ánh xạ liên tục hữu hạn chiều F : E Cε → sao cho: 1) ( ) ( )F x F x , x Eε ε− < ∀ ∈ 2) ( ) ( )F E co A Cε ⊆ ⊆ 10 Chứng minh: Do F hoàn toàn liên tục nên F(E) chứa trong một tập compact K của C. Mà K bị chặn hoàn toàn nên tồn tại một tập { } ( ) ( )1 2 nA= a ,a ,...,a F E với F E Aε⊆ ⊆ Gọi ( )P : A co Aε ε → là phép chiếu Schauder và định nghĩa ánh xạ F : E Cε → ( ) ( )( )F x P F x ,x Eε ε= ∈ theo định lí 1.2 ta có kết quả. Định lí 1.4 Cho B là tập con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn E. F : B E→ là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Khi đó F có điểm bất động nếu F có điểm cố địnhε − với mỗi 0ε > Chứng minh: Giả sử F có điểm cố địnhε − với mỗi 0ε > . Với mỗi n = 1,2,đặt bn là điểm 1/n _ cố định của F. Ta có ( )n n 1b F b n− < (*) Do F compact suy ra F(B) chứa trong một tập compact K trong E do đó có một dãy con các số tự nhiên S và x thuộc K sao cho : ( )nF x x K khi n→ ∈ → ∞ trong S. Vì vậy (*) suy ra nb x khi n→ → ∞ trong S và do B là tập đóng cho nên x B∈ . Do F liên tục trên B suy ra ( ) ( )nF b F x→ . Vậy ta có ( )x F x 0− = hay F có điểm bất động. Định lí 1.5 (Schauder) Cho C là một tập con lồi của không gian tuyến tính định chuẩn E thì tất cả các ánh xạ hoàn toàn liên tục F : C C→ đều có ít nhất một điểm bất động. 11 Chứng minh: Dùng định lí 1.4 với B C E= = chúng ta chứng minh F có cố địnhε − với mỗi 0ε > . Cố định 0ε > từ định lí 1.3 suy ra tồn tại một ánh xạ liên tục hữu hạn chiều F : E Cε → với ( ) ( )F x F xε ε− < với x thuộc E và ( ) ( )F C co A Cε ⊆ ⊆ , với A C⊆ . Do ( )co A đóng bị chặn và ( )( ) ( )F co A co Aε ⊆ chúng ta có thể áp dụng định lí 1.1 suy ra ( ) ( )x F x ,x co A .ε ε ε ε= ∈ Vì vậy ( ) ( ) ( )x F x F x F xε ε ε ε ε ε− = − < Định lí 1.6 Cho ( )AF,G K X,C∈ , giả sử với mỗi ( ) [ ]a,t X 0,1∈ × chúng ta có: ( ) ( ) ( )tG a 1 t F a a thì F G trong + − ≠ ≅ ( )AK X,C . Chứng minh: Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]H x,t tG x 1 t F x ; x,t X 0,1= + − ∈ × . H liên tục do F, G liên tục. Trước hết ta chứng minh [ ]H : X 0,1 C× → là một ánh xạ compact. Lấy một dãy bất kỳ ( ) [ ]n nx ,t X 0,1∈ × . Để không mất tính tổng quát ta có thể giả sử [ ]nt t 0,1 khi n→ ∈ → ∞ . Do F và G compact nên có một dãy con S các số tự nhiên và F(x), G(x) thuộc C sao cho: ( ) ( ) ( ) ( )n nF x F x ,G x G x→ → khi n → ∞ trong S, hơn nữa do C lồi nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n nH x ,t t G x 1 t F x H x,t= + − → khi n → ∞ trong S. Vậy H(x,t) là một phép đồng luân liên tục, compact. Do ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]tG a 1 t F a a với mỗi a,t X 0,1+ − ≠ ∈ × nên Ht là “fixed point free”. Cuối cùng do ( )0 1 AH F,H G nên F G trong K X,C= = ≅ Định lí 1.7 Cho U là một tập con mở của một tập lồi C E⊆ , ( )U, U∂ là một cặp trong C. Khi đó với bất kỳ 0u U∈ thì ánh xạ hằng ( ) 0F U u= là cốt yếu trong ( )UK U,C∂ 12 Chứng minh: Gọi G : U C→ là một ánh xạ hoàn toàn liên tục với 0U UG F u∂ ∂= = . Chúng ta chứng minh G có điểm bất động trên U. Định nghĩa: ( ) ( ) 0 G x nếu x U J x u nếu x C\U  ∈ =  ∈ Dễ dàng chứng minh được J : C C→ là một ánh xạ hoàn toàn liên tục. Từ định lí 1.5 suy ra J có điểm bất động u C∈ . Kết hợp với ( ) 0J x u U với x C\U= ∈ ∈ chúng ta có u U∈ , vì vậy ( ) ( ) 0Uu J u G u và do G u do u U∂= = = ∈ suy ra G có điểm bất động u. Vậy F là cốt yếu. Định lí 1.8 Giả sử (X,A) là một cặp trong C E⊆ . C là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn E. Ta có các tính chất của F sau đây là tương đương: 1) F là không cốt yếu 2) Có một ánh xạ “fixed point free” ( )AG K X,C∈ sao cho F G≅ ( )A trong K X,C Chứng minh: 1) 2)• ⇒ Gọi ( )AG K X,C∈ sao cho A AF G= là “fixed point free” . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]tG a 1 t F a a, a,t A 0,1+ − ≠ ∀ ∈ × . Thật vậy, giả sử ( ) ( ) ( )a A : tG a 1 t F a a∃ ∈ + − = , do ( )A AF G G a a= ⇒ = (mâu thuẫn). Do định lí 1.6 ta suy ra ( )AF G trong K X,C≅ 2) 1)• ⇒ 13 Gọi [ ]H : X 0,1 C× → là một đồng luân hoàn toàn liên tục liên kết giữa G và F sao cho { }XH t× là một “fixed point free” với mỗi [ ]t 0,1∈ . Đặt ( ) [ ]{ }B x : x H x,t ,t 0,1= = ∈ . Nếu B = ∅ thì với mỗi [ ]t 0,1∈ , Ht không có điểm bất động vì thế riêng F không có điểm bất động suy ra F không cốt yếu. Nếu B ≠ ∅ ta có A B = ∅I . B là tập đóng. Thật vậy, lấy nx B∈ , tức là ( )n n n nx H x ,t và x x X= → ∈ . Khi đó tồn tại [ ]t 0,1∈ và một dãy con các số tự nhiên S sao cho nt t khi n→ → ∞ trong S. Do sự liên tục của H ta có x=H(x,t) suy ra x B∈ . Vậy tập B đóng. Ta đã có A, B là