Nghiên cứu phản ứng động lực cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động

Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 186 NGHIÊN CỨU PHẢN ỨNG ĐỘNG LỰC CẦU DÂY VĂNG DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI ĐỘNG A STUDY RESPONSE OF CABLE-STAYED BRIDGES TO MOVING VEHICLES SVTH : PHAN HOÀNG NAM Lớp 03X3C – Trường Đại học Bách khoa, ĐHĐN GVHD: GVC. Th.S LÊ VĂN LẠC Khoa XDCĐ – Trường Đại học Bách khoa, ĐHĐN TÓM TẮT Trong phần nghiên cứu này, thể hiện cái nhìn tổng quan về động lực học và đưa ra một phương pháp phân tích đơn giản để đánh giá phản ứng động của CDV dưới tác dụng của tải trọng di động. Cây cầu được lý tưởng hóa theo mô hình Bernoulli-Euler trên gối đàn hồi với độ cứng gối thay đổi. Để giải phương trình dao động của cầu, tác giả sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn và kỹ thuật xếp chồng các mode dao động. ABSTRACT This part of the thesis presents a state-of-the-art review and a simplified analysis method for evaluating the dynamic response of cable-stayed bridges to moving vehicles. The bridge is idealized as a Bernoulli-Euler beam on elastic supports with varying support stiffness. To solve the equation of motion of the bridge, the finite difference method and the mode superposition technique are used. 1. Mở đầu Do tính thẩm mỹ, ứng dụng hiệu quả các vật liệu xây dựng và những ưu điểm đáng kể khác mà cầu dây văng (CDV) đã được xây dựng phổ biến trong những thập niên gần đây. Loại cầu này đang có xu hướng tăng khả năng vượt nhịp, sử dụng các loại vật liệu có cường độ cao để giảm trọng lượng đến mức thấp nhất. Khi đó kết cấu trở nên thanh mảnh, gọn nhẹ hơn và rất nhạy cảm với các tác động của tải trọng. Kể từ vụ sụp cầu thảm khốc của cây cầu Tacoma Narrows đầu tiên năm 1940, người ta đã chú ý nhiều hơn đến đặc tính động lực học của cầu treo. Trong suốt 68 năm qua, nhiều nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết đã được tiến hành nhằm hiểu rõ hơn về các yếu tố khác nhau ảnh hưởng đến phản ứng của loại công trình này đối với gió, động đất và xe cộ lưu thông. Để nghiên cứu những ảnh hưởng về động lực học do xe cộ lưu thông trên cầu, các kĩ sư trên thế giới dựa vào hệ số khuếch đại động (DAF) được xác định trong các tiêu chuẩn thiết kế. Những hệ số này thường là hàm của tần số dao động riêng của kết cấu nhịp hoặc chiều dài phạm vi ảnh hưởng của tải trọng. Đây là phương pháp thường được dùng cho mục đích thiết kế có thể cho ra các thiết kế vững chắc và đắt tiền đối với một số cây cầu nhưng lại đánh giá thấp các ảnh hưởng động lực học đối với các cây cầu khác. Hơn nữa, khi so sánh các tiêu chuẩn thiết kế ở mỗi quốc gia, các hệ số DAF dao động trong một phạm vi lớn. Vì vậy, để kiểm tra khả năng chịu đựng của các cây cầu đang tồn tại đối với sự lưu thông nặng nề hơn và để thiết kế các cây cầu mới hợp lý hơn thì cần phải sử dụng các kỹ thuật phân tích cải tiến có xét đến tất cả các thông số quan trọng ảnh hưởng đến phản ứng động lực học của cầu như: sự tương tác cầu - xe cộ, độ gồ ghề của bề mặt đường, hệ số cản của cầu, … 2. Nội dung 2.1. Mô hình hóa xe m1 m2 v(t) ks csw1(t) w2(t) Hçnh 2-1: Mä hçnh hoïa xe Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 187 Xe nặng với một số bộ phận cơ bản như: máy kéo, rơmooc, hệ thống kéo, … có thể được mô hình hóa như một chất điểm có khối lượng đặt trên hệ lò xo và hệ giảm chấn (hình 2-1). Gọi F(t) là lực liên hệ giữa xe và cầu, được xác định là dương khi hướng xuống dưới cầu, phương trình vi phân chuyển động được thiết lập như sau: 2 1 2 1 1 2 1 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) 0s s d w dw dw m m g m k w w c F t dt dt dt          (2.1) 2 2 2 1 2 2 12 ( ) ( ) 0s s d w dw dw m k w w c dt dt dt       (2.2) Với: w1(t), w2(t) - Chuyển vị theo phương đứng của vật m1, m2 theo thời gian. ks - Độ cứng của lò xo ; cs – Hệ số cản nhớt ; g - Gia tốc trọng trường. Từ (2.1) và (2.2) ta có thể xác định được lực liên hệ F(t) giữa xe và cầu như sau: 2 2 2 22 1 2 121 )()( dt wd m dt wd mgmmtF  (2.3) Giả thiết rằng xe luôn luôn tiếp xúc với cầu khi đó lực F(t)>0, và biến dạng giữa hệ vật và bề mặt của cầu không đáng kể, ta có: 1 ( ) ( ( ), ) ( ( ))w t y x t t r x t  ; 1( ) y y r w t v v x t x           (2.4a-b) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ) 2 . y y y y r r w t v v a v a x x t x t x x                     (2.4c) Với: 1( )w t và 1( )w t - Vận tốc và gia tốc theo phương đứng của khối vật. v và a - Vận tốc và gia tốc theo phương dọc cầu. y(x,t), r(x) - Hàm chuyển vị và hàm thể hiện quy luật bề mặt của cầu. 2.2. Mô hình hóa kết cấu cầu y(x,t) Ig, Eg, mg Li, Ai, Ei Ig, Eg, mg kx x y(x,t) v(t) m1 m2 v(t) m1 m2 H i Ls=99.5m L=204m Ls=99.5m xv(t) x s Hình 2-2: Mô hình hóa kết cấu CDV 3 nhịp 99,5m+204m+99,5m 2.2.1. Các giả thiết chính - Hệ thống nhiều cáp với khoảng cách các điểm neo cáp nhỏ so với chiều dài của cầu. - Bỏ qua khối lượng cáp, hệ số cản của cầu. - Các cáp được lý tưởng hóa như các lò xo liên tục phân bố theo phương dọc cầu. - Lực căng của cáp dưới tác dụng của tĩnh tải được điều chỉnh sao cho chuyển vị tại nút bằng 0. - Chỉ xét mômen uốn trong mặt phẳng, bỏ qua mômen xoắn do tải lệch tâm trên mặt cầu. - Khi xe qua cầu, chuyển vị và vận tốc di chuyển theo phương đứng của xe được xem bằng 0. 2.2.2. Thiết lập phương trình vi phân chuyển động Theo [1], phương trình vi phân chuyển động cho sự dao động của cầu tại các mặt cắt của dầm chủ (được lý tưởng hóa theo mô hình Euler-Bernoulli trên các gối đàn hồi): Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 188 4 2 4 2 ( , ) ( , ) . . ( ). ( , ) . .( ). ( )g g g v y x t y x t E I k x y x t m x x F t x x         (2.5) Với:  - Hàm Delta-Dirac ; Eg - Mô đun đàn hồi của dầm chủ Ig - Mômen quán tính của mặt cắt ngang dầm chủ mg - Khối lượng trên 1 đơn vị chiều dài dầm ; k(x) - Độ cứng của lò xo Các điều kiện biên: (2.6a-d, 2.7a-b) (0, ) 0y t  ; 2 2 (0, ) 0 y t x    ; ( , ) 0y L t  ; 2 2 ( , ) 0 y L t x    ; y(x,0) = 0 ; ( ,0) 0 y x t    2.2.3. Độ cứng của lò xo Theo [7], độ cứng của lò xo lý tưởng hóa từ dây cáp thứ i, được xác định: 2. .sini i i i i E A k L   (2.8) Biểu thị ứng suất cho phép của cáp là a , tĩnh tải và hoạt tải trên 1 đơn vị chiều dài là qg và qq diện tích mặt cắt ngang của cáp i được tính như sau: ( ). .sin g q i a i q q s A     (2.9) Tính phi tuyến hình học của cáp do sự thay đổi của độ chùng và hình dạng dưới các lực căng khác nhau, được xét đến gần đúng bằng cách giới thiệu môđun đàn hồi tương đương [5]. 0 2 2 3 ( ) . 1 . 12 c i c c E E x E x E      0 2 L x        (2.10) Với: Ec, c - Môđun đàn hồi, khối lượng riêng của vật liêu chế tạo cáp. 0 - Ứng suất kéo ban đầu trong cáp. Lực trong cáp gây ra bởi hoạt tải xe nhỏ so với lực do tĩnh tải nên 0 được thay bằng g ứng suất trong cáp do tĩnh tải gây ra. ( ) g g a g q q q q    (2.11) Thay thế (2.9) vào (2.8) phương trình sau đây được thiết lập cho độ cứng của lò xo trên một đơn vị chiều dài của cáp. 2 ( ).( ) 1 ( ) . . 1 ( ) g q a E x q q k x xH H     0 2 L x        (2.12) 2.3. Phân tích phản ứng động 2.3.1. Dao động tự do Phương trình vi phân cho dao động tự do của mô hình cầu: 0 ),( .),().( ),( .. 2 2 4 4       x txy mtxyxk x txy IE ggg (3.1) Hàm chuyển vị y(x,t) có thể được biểu diễn bởi 2 hàm, hàm tọa độ không gian z(x) và hàm tọa độ thời gian (t). Khi đó dao động của cầu ứng với mode dao động thứ i và chuyển vị cầu tại các vị trí khác nhau ứng với thời gian t được diễn đạt như sau: ( , ) ( ) ( ) ( )( cos sin ) i i i i i i i i y x t z x t z x a t b t     (3.2) Với: ωi là tần số góc dao động thứ i của dao động tự do của cầu. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 189 Thay thế phương trình (3.2) vào phương trình (3.1) ta được: 0)(.)().( ),( .. 2 4 4  xzmxzxk dx txyd IE iigigg  (3.3) Phân chia mô hình cầu thành n đoạn giống nhau với chiều dài mỗi đoạn là h. Lấy (n-1) phần chưa biết thay thế vào phương trình (3.3), theo phương pháp sai phân hữu hạn thì phương trình trên được thiết lập như sau: AZ = λZ (3.4)   1 2 3 3 2 1 1 1 4 1 0 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 0 1 4 n n c c c A c c c                                   (3.5a-f) 1 1 ( 1 1) 0 0 n n n                  ;   1,1 1, 1 1 2 3 1 1,1 1, 1 ( 1 1) , , ,..., n n n n n n n z z Z z z z z z z                         2 4 . i gg gi IE h m   ; 41 1 )( 5 h IE xk c gg  ; 43,2 3,2 )( 6 h IE xk c gg  2.3.2. Phân tích động Sử dụng kỹ thuật xếp chồng các mode dao động, ta tìm nghiệm phương trình (2.5) dưới dạng: 1 ( , ) ( ) ( )i iiy x t z x t    (3.6) Thay (3.6) vào (2.5) ta được: .. 1 ( ( ) ) ( ).IV ig g i i i i g i vi E I z k x z m z x x F         (3.7) Từ đó suy ra: .. 2 ( )i i i i v g F z x m      (3.8) Nghiệm của phương trình (3.8): . 2 0 0 i i2 2 i ( ( ) )( ) os sin i v i i gi v i i i g i g Fz x mFz x c t t m m               (3.9) Với 0i và . 0i là những giá trị ban đầu cho đừng đoạn, 0y và 0y là chuyển vị theo phương đứng và vectơ vận tốc của cầu ở đoạn trước đó, ta có: 0 0 T i iz y  ; . . 0 0 T i iz y  (3.10a-b) Với 0y và 0y là chuyển vị theo phương đứng và vectơ vận tốc của cầu ở đoạn trước đó. Thay vào phương trình (3.6) ta có được vectơ chuyển vị theo phương đứng của cầu tại mỗi đoạn: . 2 0 0 i i2 2 1 i ( ( ) )( ) os sin s i v i i gi v i i i i g i g Fz x mFz x y z c t t m m                     (3.11) Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 190 Với s là số mode dao động, s  n-1. Vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của cầu được xác định như sau: 2 . 0 0 1 ( ( ) ) sin cos s i v i i g ii i i i i g Fz x m y z t t m                 (3.12) 2 . 0 0i i i 1 ( ( ) ) os sin s i v i i g ii i g Fz x m y z c t t m                   (3.13) Kỹ thuật xếp chồng các mode dao động cũng được sử dụng để xác định vectơ mômen uốn trong dầm tại mỗi đoạn. 1 '' '' s g g g g i i i m E I y E I z        (3.14) Sử dụng ngôn ngữ lập trình MATLAB để phân tích phản ứng động, sự tương tác động giữa xe và cầu, các bước lặp, kiểm tra, tính toán được thể hiện ở thuật toán bên dưới. Điều kiện hội tụ, trong kết quả bài toán này chọn Tolerance = 5.10-6:     1 6 max 5.10 max j j j y y Tolerance y      (3.15) Với yj – Vectơ chuyển vị của cầu tại đoạn đang xét. 2.3.3. Phân tích tĩnh Véc tơ chuyển vị tĩnh được xác định như sau: 3 11 2( )st j j g g m m gh y A P E I   ; 0 1 0 jP j                    (3.16a-b) Với: A-1 là nghịch đảo của ma trận A được xác định từ biểu thức (3.5a). j - Điểm chịu tác động của tải trọng xe. st jy - Vectơ chuyển vị của cầu trong trường hợp tải trọng xe tác dụng vào điểm thứ j. Mômen uốn trong dầm ở từng đoạn: , 1, , 1,2 ( 2 ) g gst st st st i j i j i j i j E I m y y y h      (3.17) 2.4. Ứng dụng phân tích tĩnh và động CDV Mỹ Thanh – Tỉnh Sóc Trăng 2.4.1. Số liệu đầu vào Xe: m1 =3000 (kg), m2 =31700 (kg), cs = 8,6.10 4 (Ns/m), ks = 9,12.10 6 (N/m). Cầu: Ec = 1,97.10 11 (N/m 2 ), Eg = 0,38.10 11 (N/m 2 ), Ig = 1,48 (m 4 ), a = 750.10 6 N/m 2 , qg = 17.10 4 (N/m), qq = 6.10 4 (N/m), c = 2,5.10 4 (N/m 3 ), mg = 2,71.10 5 (N/m). Phân chia mô hình cầu thành 403 đoạn, chiều dài mỗi đoạn h = 1m. Xét 10 mode dao động đầu tiên. 2.4.2. Kết quả Tần số dao động tự do ứng với các mode dao động: Mode dao động 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F (Hz) 0,36 0,47 0,60 0,76 0,99 1,29 1,65 2,08 2,56 3,11 Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008 191 Biểu đồ chuyển vị tại vị trí giữa nhịp giữa DAFd = 1,062 (v = 30m/s ; x = 201,5m). Biểu đồ mômen uốn tại vị trí giữa nhịp giữa DAFm = 1,094 (v = 30m/s ; x = 201,5m). 3. Kết luận và kiến nghị Đối với các nghiên cứu sơ bộ, sử dụng các mô hình CDV đơn giản để xác định tính khả thi của các mẫu thiết kế, có thể áp dụng phương pháp trình bày trong đề tài vì nó đơn giản và đủ chính xác cho việc phân tích phản ứng động. Nên dùng kỹ thuật xếp chồng các mode dao động đối với việc phân tích như trên đặc biệt khi phân tích các mô hình cầu lớn, nhiều cấp độ. Với hầu hết các trường hợp, có thể đưa ra được các kết quả đủ chính xác bằng cách sử dụng 25 đến 30 dạng dao động đầu tiên. Phản ứng động của cầu chỉ thể hiện chính xác khi có xét đến độ gồ ghề của mặt cầu, tương tác cầu - xe cộ, hệ số cản của cầu và dao động của cáp. Trong đề tài, chỉ trình bày tổng quan nghiên cứu đầu tiên về vấn đề tải trọng động của CDV với việc sử dụng mô hình, kỹ thuật phân tích đơn giản. Phương pháp phần tử hữu hạn phi tuyến mới chính là nghiên cứu tổng quát nhất về vấn đề này. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khang (1998), Dao động kỹ thuật , Nxb Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội. [2] Nguyễn Hoài Sơn, Đỗ Thanh Việt, Bùi Xuân Lâm (2002), Ứng dụng Matlab trong tính toán kỹ thuật, Nxb Đại học Quốc gia, Tp Hồ Chí Minh. [3] Lê Đình Tâm, Phạm Duy Hòa (2000), Cầu dây văng, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. [4] Nguyễn Xuân Toản (2008), Nghiên cứu xây dựng phần mềm phân tích tương tác động lực học giữa cầu dây văng và đoàn tải trọng di động mô hình 2 khối lượng, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Đà Nẵng. [5] Mai Lựu (2003), Phân tích tĩnh và động trong cầu dây văng, Luận văn Thạc sĩ, Tp Hồ Chí Minh. [6] Raid Karoumi (1998), Response of Cable-Stayed and Suspension Bridges to Moving Vehicles, Doctoral Thesis, Stockholm. [7] Troitsky M.S (1988), Cable-Stayed Bridges, 2nd ed, BSP Professional Books, London. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20.0 -16.0 -12.0 -8.0 -4.0 0 4.0 Vehicle position (xv/L) V e h ic le d is p la c e m e n t (m m ) Dynamic Static 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 Vehicle position (xv/L) B e n d in g m o m e n t (k N m ) Dynamic Static