Tiểu luận Lý thuyết triển vọng: phân tích việc ra quyết định trong điều kiện rủi ro

Tiểu luận LÝ THUYẾT TRIỂN VỌNG: PHÂN TÍCH VIỆC RA QUYẾT ĐỊNH TRONG ĐIỀU KIỆN RỦI RO Phần nhóm 1 Nghiên cứu này trình bày những phê bình lý thuyết hữu dụng kì vọng như là một mô hình mô tả ra quyết định trong điều kiện rủi ro, và phát triển một mô hình thay thế được gọi là lý thuyết triển vọng. Sự lựa chọn trong những tình huống rủi ro cho thấy nhiều hiệu ứng phổ biến không phù hợp với tiền đề của lý thuyết hữu dụng. Đặc biệt, những người không đánh giá đúng các kết quả có thể xảy ra khi so sánh với các kết quả trong điều kiện chắc chắn. Khuynh hướng này được gọi là hiệu ứng chắc chắn, góp phần tạo nên tâm lý ác cảm rủi ro trong chọn lựa liên quan đến những lợi ích chắc chắn và tìm kiếm rủi ro trong những sự lựa chọn thua lỗ chắc chắn. Thêm vào đó, con người nói chung loại bỏ những thành phần được tạo ra từ tất cả tình huống khi xem xét. Khuynh hướng này được gọi là hiệu ứng cô lập, dẫn đến những sở thích không phù hợp khi quyết đinh như nhau được thể hiện ở các dạng khác nhau. Một lý thuyết có thể thay thế trong việc chọn lựa đã được phát triển, ở đó giá trị được chia thành lời và lỗ hơn là tài sản sau cùng và ở đó xác suất thay thế cho các trọng số trong ra quyết định. Giá trị của hàm lời thường là lõm, và hàm lỗ là lồi và thường thì khi lỗ thì dốc hơn khi lời. Các trọng số quyết định thường thấp hơn những xác suất tương ứng, trừ khi trong một vùng xác suất thấp. Sự dư thừa của những xác suất thấp có thể góp phần vào tính hấp dẫn của bảo hiểm và đặt cược. 1. Giới thiệu Lý thuyết hữu dụng kỳ vọng đã thống trị trong phân tích ra quyết trong điều kiện rủi ro. Đặt điểm chung của lý thuyết này là chấp nhận mô hình phân phối chuẩn của sự lựa chọn hợp lý và được ứng dụng rộng rãi như một mô hình mô tả hành vi kinh tế. Do đó, lý thuyết giả định rằng tất cả các người hợp lý sẽ tuân theo tiền đề của lý thuyết và hầu hết mọi người đã thật sự nghĩ thế trong thời gian dài. Nghiên cứu này mô tả nhiều đặt điểm của vấn đề lựa chọn mà ở đó sở thích vi phạm một cách có hệ thống các tiền đề của lý thuyết hữu dụng mong đợi kỳ vọng. Trong những phân tích này, chúng tôi cho thấy rằng lý thuyết hữu dụng, như được giải thích và áp dụng thông thường, không phải là mô hình mô tả thích hợp và chúng tôi đề xuất một mô hình thay thế cho việc chọn lựa trong điều kiện có rủi ro. 2. Bình luận Thực hiện quyết định trong điều kiện rủi ro có thể được xem như là một sự chọn lựa giữa các tình huống hay trò chơi. Một tình huống (x1, p1; …; xn, pn) là một kết hợp tạo ra kết quả xi với xác suất p i, sao cho p1 + p2 +…+ pn = 1. Để đơn giản hóa khái niệm này, chúng ta bỏ qua giá trị không có (null) và sử dụng (x, p) thể hiện tình huống (x, p; 0, 1-p) mà nó tạo ra x với xác suất p và 0 với xác suất 1-p. Tính huống không rủi ro tạo ra kết quả x chắc chắn được thể hiện bằng (x). Những thảo luận được trình bày được giới hạn trong những tình huống được gọi là những xác suất chuẩn hay xác suất mục tiêu. Sự áp dụng của lý thuyết hữu dụng kì vọng để chọn lựa giữa các tình huống (hay triển vọng) được dựa trên 3 tiền đề sau: (i): Kì vọng: U(x1,p1;…;xn,pn) = p 1u(x1)+…+p nu(xn). Nghĩa là tổng hữu dụng của một tình huống, thể hiện bằng U, là hữu dụng kì vọng của các kết quả trong các tình huống của nó. (ii) Kết hợp tài sản: (x1,p1;…;xn,pn) là có thể chấp nhận ở vị thế tài sản w nếu U(w+x1,p1;…,w+xn,pn) > u(w). Nghĩa là một tình huống là có thể chấp nhận nếu sự hữu dụng bắt nguồn từ sự kết hợp của tình huống với các tài sản của nó vượt quá sự hữu ích của những tài sản riêng lẻ này. Do đó, phạm vi của chức năng hữu dụng là trạng thái sau cùng (bao gồm vị thế tài sản của nó) hơn là phần lời hay lỗ. Mặc dù phạm vi của chức năng hữu dụng không bị giới hạn đối với bất kì loại kết quả nào, hầu hết ứng dụng của lý thuyết này liên quan đến kết quả tiền tệ. Hơn thế nữa, hầu hết các ứng dụng kinh tế đã giới thiệu giả thuyết bổ sung như bên dưới. (iii) Ác cảm rủi ro: u là hình lõm (u’’<0). Một người là ác cảm với rủi ro nếu anh ta thích tình huống chắc chắn (x) hơn bất kì tình huống rủi ro nào có giá trị kì vọng là x. Trong lý thuyết hữu dụng kì vọng, ác cảm rủi ro tương đương với mặt lõm của hàm hữu dụng. Sự phổ biến của ác cảm rủi ro có lẻ được biết như là sự tổng hợp liên quan đến lựa chọn có rủi ro. Điều này dẫn tới các nhà lý thuyết đầu thế kĩ 18 đề xuất rằng hữu dụng là một hàm lõm của tiền và ý kiến là duy trì trong những ứng xử hiện đại. Trong những phần tiếp theo chúng ta chứng minh một vài hiện tượng mà nó vi phạm các tiền đề của lý thuyết hữu dụng kì vọng. Những bằng chứng này được dựa trên những phản hồi của sinh viên và các trường đại học đối với các vấn đề chọn lựa mang tính lý thuyết. Những sự phản hồi này được trình bày theo từng loại vấn đề như được minh họa bên dưới. Bạn ưa thích chọn lựa nào nhất trong các chọn lựa sau đây: A: 50% cơ hội thắng 1.000; B: Có chắc chắn 450 50% khả năng không có gì. Những kết quả đề cập đến tiền tệ Israency. Để dự đoán ý nghĩa của những số liệu liên quan, cần chú ý rằng thu nhập ròng trung bình hàng tháng một gia đình là khoảng 3.000 bảng Israeli. Những người trả lời được yêu cầu tưởng tượng rằng họ thật sự đối mặt với sự lựa chọn như đã mô tả trên, và chỉ ra quyết định họ sẽ thực hiện trong những trường hợp như vậy. Những người trả lời được giấu tên và được giải thích cụ thể rằng không có câu trả lời “đúng” đối với những vấn đề nhưng vậy, mục tiêu của nghiên cứu là để tìm xem con người lựa chọn như thế nào trong những tình huống rủi ro. Các vấn đề được trình bày dưới hình thức bảng câu hỏi, với nhiều vấn đề trong mỗi phần nhỏ. Nhiều hình thức của bảng câu hỏi đã được sử dụng, ở đó các tình huống ở vị thế tả-hữu được thay đổi cho nhau. Các vấn đề được mô tả trong nghiên cứu này được lựa chọn để chứng minh nhiều hiệu ứng. Mỗi hiệu ứng được quan sát trong nhiều vấn đề với kết quả và xác suất khác nhau. Nhiều vấn đề đã được trình bày cho nhóm sinh viên và các trường đại học ở Stockholm và ở trường đại học Michigan. Những kết quả của mô hình thì thống nhất với những kết quả đạt được từ Israeli. Tính tin cậy của những lý thuyết chọn lựa làm xuất hiện những câu hỏi liên quan đến tính hợp lý của phương pháp và khả năng tổng quát những kết quả. Chúng tôi ý thức được sâu sắc vấn đề này. Tuy nhiên, tất cả những phương pháp khác mà có thể sử dụng để kiểm tra lý thuyết hữu dụng thì cũng có nhiều hạn chế. Những sự lựa chọn thực tế có thể điều tra thông qua cả bằng hiện trường, bằng quan sát tự nhiên hoặc bằng thống kê các hành vi kinh tế, hoặc bằng các thí nghiệm. Những nghiên cứu hiện trường chỉ có thể cung cấp những kiểm tra thô của các dự đoán định lượng, bởi vì xác suất và tính hữu dụng không thể đo lường đầy đủ bằng những cách như vậy. Những nghiên cứu thí nghiệm được thiết kế để đo lường chính xác sự hữu dụng và xác suất từ những lựa chọn thực tế, nhưng những nghiên cứu như vậy thông thường liên quan tới những trò chơi được tính toán trong các cuộc cược nhỏ, và hay lập lại của những vấn đề rất giống nhau. Những đặt điểm này của trò chơi thí nghiệm này làm phức tạp trong giải thích các kết quả và sẽ giới hạn tính khái quát hóa của chúng. Bằng cách mặt định, phương pháp chọn lựa mang tính lý thuyết xuất hiện như một thủ tục cơ bản mà ở đó rất nhiều câu hỏi lý thuyết có thể được điều tra. Sự sử dụng phương pháp đó dựa vào giả thuyết rằng con người thường biết họ sẽ cư xử thế nào trong những tình huống lựa chọn thực tế, và trên một giả thuyết xa hơn là những không có một lý do đặc biệt để che giấu sự ưa thích thật sự của họ. Nếu con người là hợp lý trong dự báo sự lựa chọn của họ, sự tồn tại của những vi phạm có tính hệ thống và phổ biến của lý thuyết hữu dụng kỳ vọng trong những vấn đề được trình bày đã đưa ra bằng chứng chóng lại lý thuyết đó. Sự chắc chắn, xác suất, và khả năng Trong lý thuyết hữu dụng kì vọng, hữu dụng của kết quả được gán trọng số bằng các xác suất của nó. Phần này mô tả một loạt các vấn đề chọn lựa ở đó sở thích của con người vi phạm một cách có hệ thống những nguyên tắc này. Chúng tôi đầu tiên chỉ ra rằng con người đặt nặng những kết quả được xem xét trong điều kiện chắc chắn, hơn là những kết quả chỉ là có thể xảy ra- một hiện tượng mà chúng tôi gọi là hiệu ứng chắc chắn. Ví dụ chóng lại lý thuyết hữu dụng kì vọng nỗi tiếng nhất mà nó thể hiện hiệu ứng chắc chắn được giới thiệu bởi nhà kinh tế người Pháp Maurice Allais năm 1953. Ví dụ của Allais đã được nhiều tác giả thảo luận cả trên quan điểm mô tả lẫn quan điểm tiêu chuẩn. Vấn đề lựa chọn theo theo cặp sau là một biến thể ví dụ của Allais, khác nhau so với nguyên bản là nó đề cập tới lợi ích tương đối hơn là lợi ích cực lớn. Số người trả lời mỗi vấn đề được chú thích bằng N, và phần trăm người chọn chọn lựa mỗi phương án được để trong ngoặc đơn. Vấn đề 1: Chọn giữa A: 2.500 với xác suất 0.33 B: 2.400 chắc chắn 2.400 với xác suất 0.66 0 với xác suất 0.01 N = 72 [18] [82]* Vấn đề 2: Chọn giữa C: 2.500 với xác suất 0.33 D: 2.400 với xác suất 0.34 0 với xác suất 0.67 0 với xác xuất 0.66 N =72 [83]* [17] Dữ liệu cho thấy rằng 82% đối tượng chọn B trong Vấn đề 1, và 83% chọn C trong Vấn đề 2. Mỗi sự ưa thích này thì có mức ý nghĩa 0.01, như được biểu thị bằng dấu sao. Hơn nữa, phân tích mô hình riêng lẻ sự chọn lựa cho thấy rằng phần lớn người trả lời (61%) thực hiện sự lựa chọn theo phương thức trong cả hai vấn đề. Mô hình sở thích vi phạm lý thuyết hữu dụng kì vọng theo như mô tả nguyên thủy của Allais. Theo lý thuyết đó, với u(0) = 0, sở thích trước tiên được ngụ ý bởi: u(2.400) > 0.33u(2.500) + 0.66u(2.400) hoặc 0.34u(2.400)>0.33u(2.500) trong khi sở thích thứ 2 cho thấy một sự đảo ngược. Chú ý rằng Vấn đề 2 là có được từ Vấn đề 1 bằng cách loại bỏ 0.66 cơ hội thắng được 2.400 trong cả hai tình huống được xem xét. Bằng chứng là sự thay đổi này tạo ra sự sụt giảm lớn hơn sự mong muốn khi nó thay đổi đặt điểm của tình huống từ chắc chắn thành có khả năng, hơn là khi cả tình huống nguyên thủy và tình huống giảm đều là không chắc chắn. Chứng minh đơn giản hơn cho hiện tượng này, liên quan đến trò chơi chỉ 2 kết quả như bên dưới. Ví dụ này cũng dựa trên Alliais. Vấn đề 3: A: (4.000, 0.8) hoặc B: (3.000). N =95 [20] [80]* Vấn đề 4: C: (4.000, 0.2) hoặc D: (3.000, 0.25). N = 95 [65]* [35] Những vấn đề trong các cặp này cũng như các cặp vấn đề khác, hơn phân nữa người trả lời vi phạm lý thuyết hữu dụng kì vọng. Để chỉ rằng một mô hình cách thức của sở thích trong Vấn đề 3 và Vấn đề 4 không thích hợp với lý thuyết, đặt u(0) = 0, và gọi chọn lựa của B tương ứng u(4.000) > 4/5, nơi mà sự lựa chọn C ngụ ý một bất đẳng thức ngược. Chú ý rằng tình huống C = (4.000, 0.2) có thể biểu diễn như là (A, 0.25), trong khi tình huống D = (3.000, 0.25) có thể được viết lạ là (B, 0.25). Tiền đề thay thế của lý thuyết hữu dụng khẳng định rằng nếu B được ưa thích hơn A, thì với bất kỳ (xác suất) kết hợp (B, p) phải được ưa thích hơn kết hợp (A, p). Các kết quả của chúng ta không tuân theo tiền đề này. Có vẻ là, giảm xác suất giảm từ 1.0 đến 0.25 có hiệu ứng lớn hơn giảm từ 0.8 đến 0.2. Những vấn đề lựa chọn của cặp sau minh họa hiệu ứng chắc chắn đối với kết quả không phải là tiền tệ. Vấn đề 5: A: 50% cơ hội thắng tour du lịch B: Chắc chắn một tour du lịch ba tuần đến Anh, Pháp, và Italy một tuần ở Anh N=72 [22] [78]* Vấn đề 6: A: 5% cơ hội thắng tour du lịch B: 10% thắng một tour du lịch ba tuần đến Anh, Pháp, và Italy một tuần ở Anh N=72 [67]* [33] Hiệu ứng chắc chắn không chỉ là một loại duy nhất vi phạm tiền đề thay thế. Tình huống khác mà ở đó tiền đề này thất bại được minh họa trong các vấn đề sau: Vấn đề 7: A: (6.000, 0.45) B: (3.000, 0,9) N =66 [14] [86]* Vấn đề 8: C: (6.000, 0.001) D: (3.000, 0,002) N=66 [73]* [27] Chú ý rằng trong Vấn đề 7, những xác suất thắng là đủ lớn (0.9 và 0.45), và hầu hết mọi người chọn tình huống mà nhiều khả năng thắng nhất. Trong vấn đề 8, có một khả năng thắng, mặc dù xác suất là rất nhỏ (0.002 và 0,001) trong cả hai tình huống. Trong tình huống này khi mà chiến thắng là có thể như không có khả năng mấy, nhiều người chọn tình huống mà nó đem lại lợi nhuận lớn hơn. Những kết quả tương tự cũng được công bố trong nghiên cứu của MacCrimmon và Larsson. Những vấn đề trên mô tả thái độ phổ biến đối với rủi ro hoặc cơ hội mà không được mô hình hữu dụng kì vọng thể hiện. Những kết quả ngụ ý một sự khái quát theo kinh nghiệm mà ở đó tiền đề thay thế bị vi phạm như sau. Nếu (y, pq) là tương đương với (x, p), thì (y, pqr) được ưa thích hơn (x, pr), 0<p, q, r<1. Tài sản này được kết hợp vào lý thuyết thay thế được phát triển trong phần 2 của nghiên cứu này. Hiệu ứng phản chiếu Phần trước đã thảo luận sở thích giữa những tình huống tích cực, nghĩa là những tình huống không liên quan đến thua lỗ. Điều gì sẽ xảy ra khi các kết quả đổi ngược, lãi thành lỗ? Cột bên tay trái của bảng I được thể hiện bốn vấn đề lựa chọn đã được thảo luận trong những phần trước, và cột bên phải thể hiện những vấn đề lựa chọn mà ở đó dấu của kết quả bị đảo ngược. Chúng ta sử dụng –x để biểu thị cho khoản lỗ x, và > 0 biểu thị sở thích thông thường, nghĩa là sự lựa chọn bởi phần lớn các đối tượng. Bảng 1: Sở thích giữa những tình huống tích cực và tiêu cực Mỗi vấn đề trong 4 vấn đề ở bảng I sở thích giữa tình huống tiêu cực là bức tranh phản chiếu qua gương của sở thích giữa các tình huống tích cực. Do đó, sự phản ánh của những tình huống xung quanh 0 đảo ngược trật tự sở thích. Chúng ta gọi mô hình này là hiệu ứng phản chiếu. Chúng ta quay lại những ngụ ý của dữ liệu này. Đầu tiên, chú ý rằng hiệu ứng phản chiếu ngụ ý rằng ác cảm rủi ro trong phạm vi tích cực đi kèm với sự tìm kiếm rủi ro trong phạm vi tiêu cực. Trong vấn đề 3, chẳng hạn như, phần lớn các đối tượng sẳn sàng chấp nhận rủi ro 0.8 để mất 4.000 hơn là chắc chắn mất 3.000, mặc dù trò chơi này có giá trị kì vọng thấp hơn. Sự tồn tại của tìm kiếm rủi ro trong lựa chọn giữa các tình huống tiêu cực được ghi nhận trước đây bởi Markowwitz. Williams đã báo cáo dữ liệu nơi mà sự dịch chuyển những kết quả tạo ra một sự chuyển đổi sâu sắc từ ác cảm rủi ro sang tìm kiếm rủi ro. Chẳng hạn như, nghiên cứu của ông ta là không có sự khác biệt giữa (100, 0.65; -100, 0.35) và (0), thể hiện sự ác cảm với rủi ro. Họ không thấy khác biệt giữa (-200, 0.8) và (-100), thể hiện sự tìm kiếm rủi ro. Quan sát gần đây của Fishburn và Kochenberger mô tả sự phổ biến của tìm kiếm rủi ro giữa các tình huống tiêu cực. Thứ 2, nhắc lại là sở thích giữa những tình huống tích cực trong bản I không phù hợp với lý thuyết hữu dụng kì vọng. Sở thích giữa những tình huống xấu tương ứng cũng vi phạm cơ chế kì vọng theo cùng cách. Chẳng hạn như, vấn đề 3’ và 4’, như vấn đề 3 và 4, chứng minh rằng kết quả trong tình huống chắc chắn có trọng số cao hơn kết quả trong điều kiện không chắc chắn. Trong phạm vi tích cực, hiệu ứng chắc chắn đóng góp vào sự ác cảm với rủi ro được ưa thích đối với lợi nhuận chắc chắn hơn là lợi nhuận lớn hơn nhưng chỉ là có khả năng. Trong phạm vi tiêu cực, hiệu ứng tương tự dẫn tới sự tìm kiếm rủi ro, thích lỗ mà chỉ là xác suất hơn là lỗ nhỏ hơn nhưng chắc chắn. Nguyên tắc tâm lý như nhau-đánh giá cao sự chắc chắn-ưu tiên ác cảm rủi ro trong vùng lợi nhuận và tìm kiếm rủi ro trong vùng thua lỗ. Thứ ba, Hiệu ứng phản chiếu loại bỏ những lo ngại không chắc chắn hay thay đổi như một lời giải thích của hiệu ứng chắc chắn. Xem xét, ví dụ, sở thích phổ biến cho (3,000)> (4,000; 0.80) và cho (4,000; 0.20) > (3,000; 0.25). Để giải quyết những triển vọng không có sự thống nhất cao người ta có thể giả định rằng mọi người điều thích giá trị kỳ vọng cao và phương sai nhỏ (hãy xem, ví dụ Allais [2]; Markowitz [30]; Tobin [41]. Từ (3,000) không có sự khác nhau, trong khi (4,000; 0.80) có sự khác biệt lớn, các khách hàng tiềm năng trước đây có thể lựa chọn mặc dù giá trị của nó thấp hơn dự kiến. Tuy nhiên, khi kỳ vọng giảm, sự khác biệt phương sai giữa (3,000; 0.25) và (4,000; 0.20) có thể không đủ để vượt qua những khác biệt so với giá trị kỳ vọng. bởi vì (-3,000) có giá trị kỳ vọng cao hơn và phương sai thấp hơn so với (-4,000; 0.80). Dữ liệu này đòi hỏi rằng, tổn thất chắc chắn được yêu thích, trái với các dữ liệu khác. Như vậy dữ liệu của chúng tôi không phù hợp với quan điểm cho rằng sự chắc chắn là mong muốn chung. Thay vào đó, nó xuất hiện làm cho sự chắc chắn tăng lo ngại lỗ cũng như mong muốn lãi. Xác suất bảo hiểm Tỷ lệ mua bảo hiểm đối với thiệt hại cả lớn và nhỏ đã được nhiều người coi như là bằng chứng chắc chắn với mặt lõm của hàm hữu dụng tiền tệ. Nếu không mọi người sẽ chi tiêu rất nhiều tiền để mua Bảo hiểm ở một mức giá vượt quá chi phí dự kiến tính toán bảo hiểm? Tuy nhiên, ví dụ các loại hình bảo hiểm có sức hấp dẫn tương đối không hỗ trợ quan điểm cho hàm hữu dụng tiền tệ là lõm ở mọi điểm. Ví dụ, người ta thường thích các chương trình bảo hiểm cung cấp các khoản khấu trừ thấp hơn hoặc giảm xuống 0 hơn là những chính sách bảo hiểm cung cấp các khoản khấu trừ cao hơn - trái với lo ngại rủi ro. Một vấn đề bảo hiểm khác mà trong đó người dân phản ứng không phù hợp với giả thuyết lõm có thể được gọi xác suất bảo hiểm. Để minh họa khái niệm này, xem xét các vấn đề sau đây, mà hiện diện cho 95 sinh viên Đại học Stanford. Vấn đề 9: Giả sử bạn xem xét khả năng bảo hiểm cho một số tài sản bị hư hại, như cháy hay trộm cắp. Sau khi xem xét các rủi ro và điều khoản bảo hiểm bạn sẽ thấy rằng bạn không có sở thích ưu tiên rõ ràng giữa các mục mua bảo hiểm hay là để các tài sản không có bảo hiểm Sau đó bạn sẽ sự chú ý đến một chương trình bảo hiểm mới được gọi là xác suất bảo hiểm. Trong chương trình này bạn phải trả một nửa phí bảo hiểm thường xuyên. Trong trường hợp thiệt hại, có một cơ hội là 50%, bạn phải trả một nửa phí bảo hiểm và công ty bảo hiểm sẽ chi trả tất cả các tổn thất khi thiệt hại diễn ra; hoặc có 50% cơ hội khác, bạn nhận được thanh toán bảo hiểm của bạn và chịu tất cả các tổn thất. Ví dụ, nếu một tai nạn xuất hiện vào một ngày lẻ của tháng, bạn phải trả một nửa còn lại của phí bảo hiểm thường xuyên và các khoản lỗ của bạn được bảo hiểm, nhưng nếu tai xảy ra vào một ngày bất kỳ trong tháng, thanh toán bảo hiểm của bạn được hoàn lại và các khoản lỗ của bạn không được bảo hiểm. Nhớ lại rằng phí bảo hiểm đầy đủ hầu như không bao gồm giá trị chi phí bảo hiểm. Trong hoàn cảnh này, bạn có mua probabilistic insurance không? Mặc dù vấn đề 9 có thể trù liệu, bảo hiểm rủi ro làm giảm xác suất của một sự kiện không mong muốn mà không cần loại bỏ nó hoàn toàn. Chẳng hạn, lắp đặt một báo động trộm, thay thế lốp xe cũ, và quyết định ngừng hút thuốc lá tất cả có thể được xem như là bảo hiểm rủi ro. Trả lời cho vấn đề 9 và một số câu hỏi biến thể khác, cho thấy Bảo hiểm rủi ro nói chung là không hấp dẫn. Rõ ràng, việc giảm rủi ro của sự mất mát từ p đến p/2 là ít giá trị hơn việc làm giảm xác suất của sự mất mát từ p/2 đến 0. Trái ngược với những dữ liệu này, lý thuyết hữu dụng kỳ vọng (với một u lõm) cho rằng bảo hiểm rủi ro được cấp trên để bảo hiểm thường xuyên. Đó là, nếu ở vị trí tài sản w, một là chỉ sẵn sàng trả phí bảo hiểm y để bảo đảm chống lại một xác suất p của khoản lỗ x, sau đó phải chắc chắn được sẵn sàng trả phí bảo hiểm ry nhỏ hơn để giảm xác suất bị lỗ x từ p đến (1-r)p, 0<r<1. Thông thường, nếu có sự bất đồng giữa (w-x,p; w,1-p) và (w-p), sau đó ta nên thích xác suất bảo hiểm (w-x,(1-r)p; w-p; w-rp; 1-p) hơn bảo hiểm thường xuyên. Để chứng minh đề xuất này, chúng tôi thấy rằng: hàm ý: mà không mất tính tổng quát, chúng ta có thể thiết lập u(w-x) = 0 và u(w) = 1. Do đó, u(w-y) = 1-p, và chúng tôi muốn cho thấy rằng: mà nắm g