Bài tập lớn Ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong giải toán hình học

ĐẠI HỌC VINH - KHOA TOÁN --–&—-- Đề tài: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong giải toán hình học Giáo viên hướng dẫn : Ths. Nguyễn Chiến Thắng Sinh viên thực hiện : Hoàng Thị Ngọc Trà MSSV : 0851000037 Lớp : 49A Toán Vinh – 2011 Mục lục Trang Nhận xét của giáo viên ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… Lời cảm ơn Nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn là hai nguyên lí có nội dung khá đơn giản, song nó lại là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực lại có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng mình các bài toán tổ hợp, số học, đại số… Nó là công cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học và là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Đặc biệt là đối với các bài toán dành cho học sinh giỏi, thi chọn đội tuyển quốc gia hay các kì thi IMO cũng như các kì thi toán học trên thế giới. Việc sử dụng hai nguyên lí đó không chỉ tạo nên những kết quả đẹp khi giải quyết những bài toán chứng minh trong đại số, lý thuyết số mà cả ở hình học. Vì vậy đề tài «Ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong giải toán hình học » là một đề tài rất thiết thực khai thác vào một phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều. Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi không đưa ra các khái niệm, định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài, các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng. Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý của thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến Thắng, cũng như Thư viện Đại học Vinh và toàn thể các bạn sinh viên lớp 49A Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này ! Người thực hiện Sinh viên : Hoàng Thị Ngọc Trà LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Sau gần nửa thế kỉ hình thành và phát triển, có thể nói, giáo dục mũi nhọn (giáo dục năng khiếu) đã thu được nhiều thành tựu rực rỡ với nhiều thành tích và huy chương chói lọi. Các đội tuyển quốc gia tham gia các kì thi Olympic quốc tế (IMO) có bề dày thành tích mang tính ổn định và có tính kế thừa. Từ nhiều năm nay, các hệ năng khiếu toán học và các trường THPT chuyên thường sử dụng song song sách giáo phổ thông và kết hợp thêm các tài liệu chuyên khoa. Ngoài thị trường hiện tại có rất nhiều tài liệu tham khảo. Song, vấn đề về các tài liệu mang tính chất chuyên đề vẫn con rất ít, hoặc nói rất mờ nhạt. Đặc biệt là các chuyên đề về hình học. Vì vậy trong bài tiểu luận môn hình học sơ cấp và lịch sử toán này tôi đã chọn đề tài là “Ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn trong việc giải toán hình học” . Hi vọng nó có thể trở thành một tài liệu tham khảo cho quá trình dạy học bộ môn hình học ở trường THPT và dành cho học sinh chuyên toán. Nguyên lí dirichlet và nguyên lí cực hạn là hai nguyên lí có nội dung khá đơn giản, song nó lại là một công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó đặc biệt có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực lại có thể áp dụng rộng rãi trong việc chứng mình các bài toán tổ hợp, số học, đại số… Đặc biệt nó là công cụ tạo nên nhiều kết quả đẹp trong hình học. Nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm vật cụ thể, nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của bải tiểu luận là nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn qua các kì thi cũng như quá trình dạy học bộ môn hình học ở trường THPT để tổng hợp và đưa ra được các ứng dụng quan trọng của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn vào việc giải toán hình học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Để đạt được mục đích nghiên cứu trên bài tiểu luận có nhiệm vự làm rõ những vấn đề sau: 3.1.Nêu rõ được nội dung của hai nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. 3.2.Nêu được cách ứng dụng hai nguyên lí trên vào việc giải toán hình học như thế nào. 3.3.Hệ thống lại được các dạng bài tập có ứng dụng hai nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. 4.Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm cho một cái nhìn tổng quát nhất về nội dung nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn và nhận diện bài toán có thể giải quyết được bằng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. - Phân tích và tổng hợp các dạng bài tập nhằm xây dựng được một hệ thống bài tập đi từ dễ tới khó, từ cụ thể tới tổng quát có ứng dụng nguyên lí Dirichlet và nguyên lí cực hạn. 5.Giải thuyết khoa học. Nếu xác định được các ứng dụng và hệ thống lại được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán đặc biệt là bộ môn hình học ở trường THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi. 6.Tình hình nghiên cứu đề tài. Trong quá trình tìm hiểu, đề tài “Ứng dụng của nguyên lí dirichlet và nguyên lí cực hạn và giải toán hình học” là một đề tài hay, được khá nhiều tài liệu cũng như luận văn đề cập tới nhưng gần như đều dừng lại ở mức chung chung, hoặc chỉ dành cho nó một vài ý nhỏ trong cả nội dung lớn của phần Toán rời rạc. 7.Đóng góp của bài tiểu luận. 7.1. Về mặt lý luận: Bài tiểu luận này nêu rõ được các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và nguyên lí Cực hạn vào giải toán hình học và hệ thống được các dạng bài tập. 7.2. Về mặt thực tiễn: Bài tiểu luận sẽ trở thành một tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy ở trường THPT cũng như quá trình dạy học sinh giỏi. 8.Cấu trúc của bài tiểu luận. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. bài tiểu luận gồm có 2 chương: Chương 1 : Nguyên lí Dirichlet Chương 2: Nguyên lí Cực hạn. CHƯƠNG 1 - NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1.Nhà toán học Dirichlet Giới thiệu chung: Toán học ở Đức trong nửa đầu của thế kỷ thứ XIX đã đạt tới một mức độ lớn, nó được đánh dấu bới các công trình nghiên cứu lớn của CF Gauss (1777-1855), CGJ Jacobi (1804-1851), và G. Lejeune-Dirich (1805-1859). Trong thực tế, hầu như tất cả các nhà toán học hàng đầu của Đức vào giai đoạn này đã có vai trò rất quan trọng trong công tác giảng dạy và truyền thụ lại kiến thức. Điều này đặc biệt đúng cho Jacobi và Dirichlet, những người thành công nhất trong công tác giáo dục và đã đạt được một cấp độ mới về giảng dạy theo định hướng nghiên cứu hiện tại của họ trong khi Gauss lại là một người "thực sự không thích" việc giảng dạy – hay nói đúng hơn là việc giảng dạy không được Gauss quan tâm nhiều lắm trong sự nghiệp nghiên cứu của mình. Vai trò hàng đầu của toán học Đức trong nửa sau của thế kỷ XIX và thậm chí đến năm 1933 định mệnh sẽ là không thể tưởng tượng nếu không có cơ sở đặt bởi Gauss, Jacobi, và Dirichlet. Nhưng trong khi Gauss và Jacobi đã được vinh danh thì có lẽ tên tuổi của nhà toán học Drichlet lại chỉ có một vài bài báo, bài viết ngắn bằng tiếng Anh. Vì vậy trong bài tiểu luận của tôi hôm nay xin được trích nguyên một phần để nói về nhà toán học lỗi lạc này: G. Lejeune-Dirich Phần này bao gồm các ý như sau: 1. Vài nét về tiểu sử nhà toán học Dirichlet. 2. Các công trình toán học. Chân dung nhà toán học Dirichlet 1.1.1 Vài nét về tiểu sử nhà toán học Dirichlet. G. Lejeune-Dirich tên đầy đủ là Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sinh ra tại Duren – vùng đất nằm giữa Cologne và Aachen vào ngày 13 tháng 2 năm 1805. Ông là người con thứ bảy và cũng là con út của Johann Arnold Lejeune Dirichlet (1762-1837) cùng vợ là Anna Elisabeth.Cha của Dirichlet là một bưu điện viên, nhà lái buôn và cũng ủy viên hội đồng thành phố ở Duren với chức danh là chính ủy Poste. Năm 1807, sau khi toàn bộ khu vực bờ trái của dòng sông Rhine nhận sự cai trị của Pháp – kết quả của cuộc chiến tranh giữa cách mạng Pháp và Napoleon, các thành viên của gia đình Dirichlet đã trở thành công dân Pháp. Cuối cùng thất bại của Napoleon Bonaparte tại trận chiến Waterloo và sự tổ chức lại Châu Âu tại Hội nghị Vienna (1814-1815), một vùng rộng lớn của khu vực bờ trái sông Rhine bao gồm Bonn, Cologne, Aachen và Duren đã thuộc Phổ, và gia đình Dirichlet đã trở thành công dân Phổ. Cái tên "Lejeune Dirichlet" xuất hiện một cách khá bình thường cho một gia đình người Đức. Chúng tôi xin giải thích ngắn gọn nguồn gốc của nó : ông của Dirichlet là Antoine Lejeune Dirichlet – ông nội của Dirichlet (1711 - 1784) được sinh ra ở Verviers (gần EGE `Li, Bỉ) và định cư ở Duren, nơi ông đã kết hôn với một cô con gái của một gia đình Duren. Cha của G. Lejeune-Dirich là người đầu tiên mang tên "Lejeune Dirichlet" (có nghĩa là "Dirichlet trẻ") để phân biệt với tên của ông nội, người đầu tiên cùng tên. Tên gọi "Dirichlet" (hoặc "Derichelette") có nghĩa là "tới từ Richelette" - một thị trấn nhỏ ở Bỉ. Chúng tôi đề cập đến điều này với mục đích là tránh sai lầm rằng Dirichlet là hậu duệ của một gia đình Huguenot Pháp. Cha mẹ của Dirichlet rất có năng khiếu nuôi dạy con. Điều này chắc chắn sẽ không là một vấn đề dễ dàng đối với họ, vì gia đình họ thực sự không mấy khá giả. Đầu tiên Dirichlet tham dự một trường tiểu học tư thục. Ở đó, ông đã được hướng dẫn bằng tiếng Latin nó như là một bước chuẩn bị cho trường trung học nơi mà việc nghiên cứu các ngôn ngữ cổ xưa như là một phần thiết yếu của việc đào tạo. Tài năng toán học Dirichlet bộc lộ từ rất sớm. Khi chưa đầy 12 tuổi ông đã sử dụng tiền túi của mình để mua sách về toán học, và khi họ nói rằng ông không thể hiểu chúng, ông đã trả lời rằng , dù sao đi nữa rằng ông cũng sẽ đọc chúng cho đến khi thực sự hiểu chúng. Lúc đầu, cha mẹ của Dirichlet muốn con trai của họ trở thành một thương gia. Và ông đã mạnh mẽ phản đối kế hoạch này và nói rằng ông muốn học, cha mẹ của ông đã đồng ý và gửi ông tới trường trung học ở Bonn năm 1817. Ở đây có những cậu bé 12 tuổi được quan tâm, chăm sóc và giám sát của Peter Joseph Elvenich (1796-1886), một học sinh xuất sắc về các ngôn ngữ cổ đại và triết học, người đã được làm quen với gia đình Dirichlet. Đối với Dirichlet, Elvenich đã không phải giám sát nhiều. Ông là một học sinh chăm chỉ và tốt với cách cư xử dễ chịu, ông đã nhanh chóng giành được sự yêu mến của tất cả những người cùng làm việc với ông. Đối với đặc điểm này, chúng ta có rất nhiều người đương thời nổi tiếng làm chứng như A. von Humboldt (1769 - 1859), CF Gauss, Jacobi CGJ, Fanny Mendelssohn Bartholdy Hensel nee (1805 - 1847), Felix Mendelssohn Bartholdy (1809-1847), KA Varnhagen von Ense (1785 - 1858), B. Riemann (1826-1866), R. Dedekind (1831-1916). Dirichlet cho thấy một sự quan tâm đặc biệt trong toán học và lịch sử. Sau hai năm Dirichlet chuyển tới trường trung học Jesuiter tại Cologne. Khi đó Elvenich đã trở thành một nhà ngữ văn tại trường trung học ở Koblenz và được thăng làm giáo sư tại trường Đại học Bonn và Breslau, và luôn nhận thông tin về công việc cũng như bằng tốt nghiệp bác sĩ của Dirichlet .Tại Cologne, Dirichlet đã được tham dự bài giảng về toán học của Georg Simon Ohm (1789-1854) – người nổi tiếng với những phát hiện về định luật Ohm (1826). Năm 1843 Ohm phát hiện ra rằng nâm thanh chuẩn được mô tả bởi dao động hình sin. Phát hiện này đã mở đường cho việc áp dụng giải tích Fourier vào việc phân tích âm thanh. Dirichlet đã đạt được những tiến bộ nhanh chóng trong toán học theo sự chỉ đạo của Ohm cùng với sự nghiên cứu siêng năng của ông về những luận án toán học, vì vậy mà ông đã sớm có được một kiến thức rộng lớn ngay cả ở độ tuổi này. Ông học tại trường trung học tại Cologne năm chỉ có một, bắt đầu vào mùa đông năm 1820, và sau đó bỏ đi với một chứng chỉ bỏ học. Trên chứng chỉ đó đã khẳng định rằng Dirichlet đã vượt qua kì thi Abitur, nhưng kiểm tra một trong các tài liệu cho thấy rằng không phải như thế. Các quy định về việc kiểm tra Abitur yêu cầu các ứng viên phải có khả năng thực hiện một cuộc trò chuyện bằng tiếng Latinh - ngôn ngữ chung của thế giới học thức trong nhiều thế kỷ. Kể từ khi Dirichlet vào trường trung học chỉ mới ba năm, có lẽ ông đã có những vấn đề trong việc thỏa mãn điều kiện quan trọng này. Hơn nữa ông cũng không cần Abitur để học toán học – những gì mà ông mong ước. Tuy vậy, sự thiếu khả năng nói La tinh của ông đã làm ông gặp khó khăn nhiều trong suốt sự nghiệp của mình như chúng ta sẽ thấy sau này. Trong mọi trường hợp, Dirichlet đã bất thường rời khỏi trường trung học ở độ tuổi 16 với chứng chỉ đã rời trường học nhưng không có một kiểm tra Abitur. Cha mẹ của ông bây giờ muốn anh học luật để đảm bảo một cuộc sống tốt để họ con trai. Dirichlet tuyên bố ông sẵn sàng cống hiến hết mình cho việc học hằng ngày trong thời gian ban ngày - nhưng sau đó ông sẽ nghiên cứu toán học vào ban đêm. Sau này cha mẹ của ông đã đồng ý để ông nghiên cứu toán học. Học tại Paris. Khoảng 1820 các điều kiện để nghiên cứu toán học ở Đức là khá xấu cho học sinh thực sự sâu sắc quan tâm đến toán học. Nhà toán học nổi tiếng thế giới duy nhất là CF Gauss ở Gottingen, nhưng lại giữ một cái ghế cho thiên văn học. Gauss vị giám đốc đầu tiên Sternwarte , với gần như tất cả các khóa học của mình đã dành cho thiên văn học, đo đạc, và áp dụng toán học. Hơn nữa, Gauss không thích giảng dạy - ít nhất là không phải từ cấp độ thấp theo lệ thường ở thời đó. Ngược lại, các điều kiện ở Pháp lúc đó thực sự là tốt hơn. Các nhà khoa học nổi tiếng như P.-S. Laplace (1749-1827), A.-M. Legendre (1752-1833), J. Fourier (1768-1830), S.-D. Poisson (1781-1840), A.-L. Cauchy (1789-1857) đều hoạt động ở Paris, làm cho thủ đô của nước Pháp trở thành một thế giới của toán học. Gia đình của Dirichlet cũng có một vài mối quan hệ khá tốt với một số gia đình người Pháp tại Paris và họ đã để cho con trai của họ đi đến Paris vào tháng 5 năm 1822 để nghiên cứu toán học. Dirichlet học tại Sb EGE `de France và ở Faculte des Sciences, nơi ông tham dự các bài giảng của các giáo sư lưu ý như SF Lacroix (1765-1843), J.-B. Biot (1774-1862), JNP Hachette (1769-1834), và Francœur LB (1773-1849). Ông cũng xin phép tham dự các bài giảng là một sinh viên khách mời nổi tiếng Ecole Polytechnique. Nhưng đại biện phía Phổ tại Paris đã từ chối yêu cầu đó nếu không có một sự cho phép đặc biệt từ bộ trưởng Phổ của các công tác tôn giáo, giáo dục, và y học, hay của chính Freiherr Karl Zooming volt Stein Altenstein. 17 tuổi một sinh viên như Dirichlet tới từ Rhenisch, một tỉnh lẻ không có cơ hội để kiếm được một sự cho phép như vậy.. Chi tiết về các khóa học Dirichlet là dường như không được biết. Chúng tôi biết rằng Dirichlet, không chỉ những khóa học đó , bài luận văn kiệt tác về số học của Gauss cũng được Dirichlet chú ý. Theo yêu cầu của Dirichlet,mẹ của ông đã mua một bản sao của bài luận văn và gửi tới Paris cho ông trong tháng mười một năm 1820 Không còn nghi ngờ gì nữa, những nghiên cứu về những kiệt tác lớn của Gauss đã để lại cho Dirichlet 1 ấn tượng lâu dài, cái mà có tầm quan trọng ko thua kém gì so với ấn tượng mà các khóa học. Chúng ta biết rằng việc nghiên cứu Dirichlet về bài luận văn số học diễn ra thường xuyên trong cuộc đời của ông, và chúng ta có thể giả định chắc chắn rằng ông là nhà toán học người Đức đầu tiên nắm rõ về nghiên cứu độc đáo này. Ông không bao giờ đặt bản sao đó trên kệ của mình, vì nó luôn luôn nằm trên bàn của ông. Sartoriusvon Waltershausen ([Sa], trang 21) đã viết rằng Dirichlet đã luôn luôn mang theo bản sao đó bên mình trên tất cả các chuyến đi của mình điều đó giống như việc các giáo sĩ luôn luôn bên mình mang theo cuốn sách cầu nguyện của họ. Sau một năm sống yên tĩnh trong sự tách biệt, chỉ tận tâm tới những sự nghiên cứu của mình, cuộc sống của Dirichlet đã có một sự thay đổi cơ bản trong mùa hè năm 1823. Tướng MS Foy (1775 - 1825) đang tìm kiếm một người giám hộ riêng để dạy ngôn ngữ Đức và văn học cho các con của mình. Nói về tướng MS Foy, đó là một vị tướng lỗi lạc có trình độ học vấn cao, một vị anh hùng nổi tiếng đóng vai trò lãnh đạo trong suốt 20 năm trong cuộc chiến tranh của cách mạng Pháp và Napoleon Bonaparte. Ông đã dành được rất nhiều sự mến mộ vì chính những chiến lược của ông mà quân đội tránh được những tổn thất nặng nề không cần thiết. Năm 1819 Foy được bầu vào Viện đại biểu nơi mà ông là người đứng đầu phe đối lập tấn công mạnh mẽ nhất vào các chính sách mà phần lớn được bỏ phiếu có lợi cho vua chúa cũng như giáo sĩ cực đoan. Bằng sự giúp đỡ của Larchet de Charmont, một người bạn cũ của Tướng Foy và người bạn của cha mẹ Dirichlet, Dirichlet đã được giới thiệu với gia đình Foy và ông đã nhận được một công việc với mức lương tốt, để ông không còn phải phụ thuộc vào sự hỗ trợ tài chính của cha mẹ. Công việc giảng dạy rất vừa phải, Dirichlet có đủ thời gian cho những sự nghiên cứu của mình... Ngoài ra, với sự giúp đỡ của Dirichlet,Mme Foy ôn lại tiếng Đức của cô, và, ngược lại, cô đã giúp Dirichlet thoát khỏi giọng Đức của mình khi nói tiếng Pháp. Dirichlet được đối xử như là thành viên của gia đình Foy và cảm thấy rất thoải mái khi ở vị trí may mắn này. Ngôi nhà của Tổng Foy là một điểm hẹn của nhiều nhân vật nổi tiếng ở thủ đô nước Pháp và chính điều này đã cho phép Dirichlet đạt được sự tự tin trong mặt xã hội của ông - điều đó có tầm quan trọng trong cuộc sống tương lai của ông. Dirichlet nhanh chóng làm quen được với các giáo viên trong viện hàn lâm của mình. Công việc đầu tiên mang tính chất hàn lâm của Dirichlet là một bản dịch tiếng Pháp của một bài báo của JA Eytelwein (1764 - 1848), thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Hoàng gia ở Berlin, về thủy động lực học ([EY]). Giáo viên của Dirichlet là Hachette sử dụng bản dịch này khi ông đã đưa ra một báo cáo công việc này cho những người ở Pari, Societe Paris Philomatique tháng 5 năm 1823, và ông xuất bản một bài phê bình lại trong Bulletin des Khoa học mệnh Societe la Philomatique de Paris, 1823, trang113-115. Bản dịch đã được in vào năm 1825 ([EY]), và Dirichlet gửi một bản sao choViện Hàn lâm Khoa học tại Berlin năm 1826 ([Bi.8], trang 41). Công trình khoa học đầu tiên của Dirichlet có tên Memoire sur l'impossibilite de quelques indeterminees du `cinqui EME degre ([Q.1], trang 10-20 và tr 21-46) ngay lập tức được đánh giá cao trong giới khoa học. “Memoire sur l'impossibilite de quelques indeterminees du `cinqui EME degre” Công việc này liên quan chặt chẽ đến Định lý Fermat lớn của năm 1637, định lí phát biểu rằng phương trình: không thể được giải quyết trong tập số nguyên, (x, y, z , n ≥ 3, n). Chủ đề này vẫn còn đang có nhiều tranh cãi, do đó Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đã treo một giải thưởng cho người chứng minh được giả thuyết này, các giải pháp phải được gửi trước tháng 1 năm 1818. Trong thực tế, chúng ta biết rằng Wilhelm Olbers (1758 - 1840) đã gây ra sự chú ý của Gauss cho câu hỏi này, hy vọng rằng sẽ Gauss có thể dành được giải thưởng, một huy chương vàng trị giá 3.000 Franc ([O.1] tr 626-627). Tại thời điểm đó, lời giải cho p